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TEORIA DA VIBRAO
com aplicaes
Professor
de Engenharia Santa Brbara
Mecnicn
da Universidade
da Califrnia,
Cssio Sigaud Engenheiro Civil
Copyright
1973 by Prentice-Halllnc.Ali rights reserved.
Publicado Prentice
em ingls com o titulo with Applications Englewood USA. Cliffs,
Theory of Vibration Halllnc., New Jersey,
PREFCIO
,-:,','?,:;'/(:';:'''i::':~;,i,>:,:.',,;:''',.:7''-/Dii:eito$,.Reseryadosem 1978 por Editora lte~cincia Ltda. Rio de,Janeiro, Brasil
Programao Composio
Visual e Capa 'Arte do Texto
Intercincia Intercincia
CIPSrasi!. Cataloga50-nafonte Sindicato Nacional do. Editores de Livro., RJ.
o assunto vibraes tem uma fascinao nica. Trata-se de um tema lgico, explicvel atravs de princpios bsicos d~ mecnica. Ao contrrio do que seobserva com algumas matrias, seus conceitos matemticos so todos eles ssociados a fenmenos fsicos c;ue podem ser experimentados e medidos. um assunto que agrada ensinar e debater com os alunos. Desde o 'primeiro texto eleme'ntar, "Mechanical Vibrations", publicado em 1948, o autor tem procurado melliorar suaapresentao, quer acompanhando o progresso tecnolgico, quer pelo tirocnio adquirido no ensino e na prtica. Neste sentido, no decorrer dos anos, muitos' professores e estudantes contriburam com sugestes e troca de idias~Este texto novo, reescrito na sua quase totalidade; mais uma vez um desejo, da parte do autor, no propsito de uma apresentao mais clara, com tcnicas modero nas que so hoje rotina. Nos cinco captulos iniciais, que tratam dos sistemas de um e dos de dois graus de liberdade, foi mantida a sin1plicidade do texto anterior, confiantemente melliorado. Tendo em vista o ,uso corrente do computador digital, sua aplicao no campo das vibraes encorajada com alguns exemplos simples. Apesar da versatilidade do computador digital, o computador analgico ainda um instrumento til e, em muitos casos, plenamente justificado. Os primeiros cinco captulos, que abordam os sistemas de dois graus de liberdade de um ponto de vista simples e fsico, fom1am o fundamento para a compreenso do que bsico em vibraes e podem ser lecionados num curso inici~l, em perodo de trs meses a um semestre. No Captulo 6 h uma generalizao dos conceitos dos sistemas de dois graus de liberdade para os de muitos graus. A nfase neste captulo ' a teoria e a extenso para os sistemas de muitos graus de liberdade apresentada elegantemente, com o auxI1io da lgebra matricial. O emprego das matrizes esclarece toda a base para o desacoplamento das coordenadas. So introduzidas algumas idias fora do comum de modos normais na_vibrao forada e o mtodo espao-estado, utilizado correntemente em teoria de controle.
T396t
Thomson, William T. Teoria da vibrao com aplicaes/William T. Thomson; Cssio Sigaud. - Rio de Janeiro: Intercincia, 1978.
traduo
de
Traduo de: Theory 01 vibration Apndices Bibliografia 1. Processamento Vibrao I. T(tulo eletrnico de
with applications
dado.
-
Mecnica
aplicada
2.
COO - 620.30183 COU - 620.178.5:
681.3
~ proibida
a reproduo
total ou parcial por quaisquer
meios,
sem autorizao por escrito da ed'itora
I1I
EDITORA INTERClfNCIA LTOA. Rua Vema r,1agalhjies, 66, Tels.: 281-7495/263-5899 ZC16 - 20710 - Rio de Janeiro - Brasil
H muitas abordagens analticas para o estudo da vibrao de estruturas com plexas de muitos graus de liberdade. O Captulo 7 apresenta alguns dos mais teis mtodos e, embora os sistemas de muitos graus de liberdade, na sua maioria, sejam resolvidos atualmente no computador digital, necessita-se ainda conhecer, no s como formular tais problemas para a computao eficiente, como algumas das apro'ximaes que se podem fazer para checar os clculos. Todos os problemas aqui podem ser programados para o computador, sendo entretanto necessrio que se entenda a teoria bsica das computaes. Como exemplo, apresentada a compu tao digital de um problema do tipo Holzer. O Captulo 8 refere-se aos sistemas contnuos ou queles problemas associados a equaes diferenciais parciais. Uma apreciao de problemas de vigas pelas diferenas frnitas oferece uma oportunidade de resolv-Ios no computador digital. As equaes de Lagrange, objeto do Captulo 9, reforam o entendimento dos sistemas dinrnicos apresentados anteriormente e alargam a viso para outros desen volvimentos. Por exemplo, os conceitos importantes do mtodo da sorna de modos urna conseqncia natural das coordenadas generalizadas Lagrangianas. O sentido das equaes restritivas como condies de contorno fsico para a sntese modal entendido logicamente outra vez, por meio da teoria de Lagrange. O Captulo 10 trata dos sistemas dinmicos excitados por foras aleatrias ou deslocamentos. Tais problemas devem ser examinados sob um ponto 'de vista estatstico e, em muitos casos, a densidade da probabilidade da excitao leatria distribuda normalmente. O ponto de vista adotado aqui o de que, apresentado um registro leat6rio, determina-se facilmente uma autocorrelao que permite o clculo da densidade espectral e da resposta quadrtica mdia. O computador digital essencil novamente para o trabalho nmerico. No Captulo 11, d;enfase ~ introduo do mtodo do plano de fase no tratamento dos sistemas no-lineares. Quando as no-linearidades so pequenas, os 'mtodos de perturbao ou iterao proporcionam uma abordagem analtica. Resul tados de computaes a mquina para um sistema no-linear ilustram o que pode ser feito. Os Captulos 6 a 1I contm matria apropriada para um segundo curso sobre vibrao, que pode ser dado em nvel de graduao. l.1 1.21.3 1.4
NDICE
1.51.6
Introduo Movimento Harmnico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anlise Harmnica Funo Transiente de Tempo. . . . . . . . . . . . . . . . Funo Aleatria de Tempo ... '.' . . .. . . . . . . . Propriedades do Movimento Oscilatrio. . . . . . . . .
. . . . . . . . .. , . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .. 2 5 7 8 9
VIBRAO LIVRE2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 Mtodos de Sonia de Foras Mtodo de Energia Massa Efetiva Vibrao Livre Amortecida Decremento Logartmico Amortecimento de Coulomb Rigidez e Flexibilidade 1.5 18 20 23 28 32 33
, .. '
','
MOVIMENTO EXCITADO HARMONICAMENTE3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 Introduo ' Vibrao Ham1nica Forada : Desbalanceamento Rotativo "Whirling" de Eixos Rotativos Movimento de Suporte Instrumentos Medidores de Vibrao Isolamento de Vibrao .. , ~ Amortecimento ................................. Amortecimento Viscoso Equivalente ................... Amortecimento Estrutural Agudeza de Ressonncia 47 47 51 57 59 -
6164 6771
72 74
Introduo " 83 Excitao de Impulso " 83 Excitao Arbitrria : . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85 Formulao da Transtf1!ladade Laplace. . . . . . . . . . . . . . .. 91 Espectro de Resposta: '.'. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 96 o Computador Analgico 101 Diferenas Finitas em Computao Digital " 111 A Computao Runge-Kutta ' 119 SISTEMAS DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Introduo , Vibrao de Modo Normal Acoplamento de Coordenadas ~ .. ' Vibrao Harmnica Forada Absorvedor de Vibrao : Pndulo Centrfugo Absorvedor de Vibrao O Amortecedor de Vibrao .. ' Efeito Giroscpico sob~e Eixos R~iativos Computao Digital GRAUS DE LIBERDADE 169 169 173 173 177 178 180 182 183 188 , ~ 129 129 136 139 142 144 146 151 153
7.7 Clculo de Modos Mais Altos 7.8 'Matrizes de Transferncia - (Problemas tipo BaIzer) 7.9 Sistema Torcioal : .' ' 7.1 O Sistema Engrenado 7.11 Sistemas Bifl1rcados 7.12 Vigas .'.~' 7.13 Estruturas Repetidas e Matriz deTransferncia ........... 7.14 Equao de Diferena ; ;
217 221 223 232 233 236 244 247
SISTEMAS 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 8.8 8.9
CONTlNUOS 265 266 269 271 274 278 279 281 289
'
)
) )
Introduo '.. ' A Corda Vibratria Vibrao Longitudinal de Barras ' Vibrao Torconal de Barras A Equao de Euler para a Vig;l. . Efeito de Inrcia Rotativa Dcformil\,o de Cisalhamento Vibrao de Membranas ' Computao Digital Soluo Transientc pelas Transformadas de Lap1ace
)6)
SISTEMAS DE MUITOS 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10
Introduo Matrizes de Flexibilidade e de Rigidez Teorema de Reciprocidade Autovalores e Autovetores " , Propriedades Ortogonals dos Autovetores Razes Repetidas A Matriz Modal P , : '; Vibrao Forda CDesacoplamentode Coordenadas Modos Normais Forados de Sistemas Amortecidos Mtodo Espao Estado: '
EQUAO 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 9.10
DE LAGRANGE 299 299 300 303 307 309 313 315 320 322
o.
'. :
Intraduo " ' Coordenadas Generalizadas , Princpio do Trabalho Virtual ................ , Desenvolvimento da Equao de Lagrange Massa e Rigidez Generalizadas Mtodo de Soma de Modos Ortogonalidade da Viga, Incluindo Inrcia Rotaviva e DeformaoporCisalhamento Modos Normais de Estrutura Vinculadas Mtodo Acelerao-Modo Sntese Modal
SISTEMAS DE PARMETIWS,\
.
CONCENTRADOS 199 199 200 203 212 215 VIBRA O ALEA TRIA 10.1 10.2 10.3 10.4 Introduo A Funo da Resposta da Freqncia Densidade Espectral. Distribuio da Probabilidade 333 335 '-.337 344
7.1 7.2 7.3 7.4 ,7.5 7.6
Introduo ... ; : Equao Caracterstica Mtodo dos Coeficientes de Inf1uncia Princpio de Raylelgh , Frmula de Dunkerley Mtodo de Iterao Matricial
'
10.5 10.6 10.7
Correlao Transformada Resposta de Fourier Contnuas de Estruturas
353 357
),!
))
Excitao
Aleatria
362
VIBRAOES NO-LINEARES11.1 11.2 11.3 liA I 1.5 11.6 11.7 11.8 11.9 lU 11.11 11.12 11.13 Introduo O Plano de Fase Sistemas Conservativos Estabilidade Mtodo O Mtdo de Equilbrio Delta ',' . . . . . . . . . . . .. : , , Analgico para Sistemas 40 I Runge-Kutta 402 . .. , ......................... das Isclinas 371 372 374 376 379 381 384 386 390 394 399I
) ) )
MOVIMEf.JTO OSCILA TRIO
) )
Mtodo de Lienard Mtodo das Restas Inclinadas. O Mtodo de Perturbao
) ))
O Mtodo de IteraoOscilaes Auto-Excitadas Circuitos O Mtodo do Computador No-lineares
)
)) )O estudo da vibrao diz respeito aos movimentos oscilatrios de corpos e s foras so capazes ) )
que Ihes so associadas. de vibrao. oscilatrio. Os sistemas Deste modo, grau de vibrao
Todos os corpos dotados requer geralmente
de massa e elasticidade e estruturas
a maior parte das mquinas
est sujeita a certo
e o seu projeto
o exame do seu comportamento
) )
oscilatrios Para menos
podem os mtodos
ser, de um modo prevalece e de difcil o estado matemticos
geral, caracterizados o princpio
como
lineares
ou no-lineares. so bem sistemas
os primeiros conhecidos Entretanto, da amplitude
de superposio para o seu estudo. os mtodos para conhecimentoI
) )
e esto bem desenvolvidos Ao contrrio, anlise destes dos sistema~,
disponveis aplicao
no-lineares.
proveitoso de oscilao.
algum
))
uma vez que eles representam
final para o qual tendem
todos os sistemas, com o aumento Existem acontece ausncia poder
)A vibrao livre e na
duas classes gerais de vibraes, um sistema fora externa. pela distribuio quando
a livre e a forada. No caso
quanda
oscila sob a ao Qe foras que lhe so inerentes
)
da ao de qualquer estabelecido
de vibrao livre o sistema
))
vibrar com uma ou mais das suas freqncias
naturais; que so peculiares aode foras ex-
sistema dinmico Denomina-se ternas. Quando
de sua massa e rigidez. ela ocorre sob a excitao
l'ibrao forada
)) ))
a excitao
oscilatria,
o sistema obrigado
a vibrar na freqncia
);":'~~:ii;\;: ) :'}da'excitao. Se. esta freqncia coincide com uma das freqncias naturais do ;sistema, forma-se um estado de ressonncia, da podendo resultar amplas e perigosas ..~ . ..:..',.', . ) '':'' ,-,;~~tvl"Movimentos irregulares, que aparentam no possuir perodo definido, podem ,:~s~r-'consideradosasoma de }1m muito' gralldg"nm.e.lQde movimentos regulares de I J,iti~eCjnciasvariadas. As propriedades de tais movll1entos podem ser definidas esta ,j',tistic;uIie,nte. A discusso dessas propriedades ser tratada em seo mais adiante. )i\.'Jorma
'.9 .movll1ento
Figura 1.22. Movimento harmnico com proeo dc um ponto que se move numa circunferncia.
)'od
'~~is .simples ~ovimento peridico movimento harmnico. ser demonstrado por meio de uma massa suspensa de uma pequena mola, lindicadonaFig:>!:2.L Se a massa levantada da sua posio de repouso e d._,_' .. ,' ".... .I' ' .
por freqncia angular. U~a vez que o movll1ento se repete em cada 21f radianos, temos a relao
roonde r e
21t =T
Assim, a velocidade
e a acelerao
so tambm
harmnicas,
com a mesma freqncia respectivamente,
= 21tfdo movimento respectivamente. de um ponto numa circunferncia, adoharmnico, usualmente me-
de oscilao, como indicado
mas frente
do deslocamento
por rr/2 e rr radianos,
f
so o perodo
e a freqncia
na Fig. 1.23.
didos em segundos e ciclos por segundo, conveniente, do por uma quantidade O fasor
no caso de mo~in1ento i e admitir-se complexa z chamada
tar-se um eixo imaginrio
que o raio da circunferncia
seja representa
fasor.
z
expresso
pela equao
que define
os componentes, como
real e imaginrio. tempo Re
Com
O
variam senoidalmente
z
1m z muitas vezes necessrio freqncia, porm diferindo expressos pelos fasoresZ1
= =
A cos wtA sen wt dois moviInentos harmnicos da mesma podem
Figura 1.23. No mOl'imento hannnico, a l'elocidade e a acelerao esto frente do deslocamento por rr/2 e rr.
considerar-se
da fase pelo valor
O movimentocorno movimento zero at o infinito.
transiente, peridico ComT
limitado infinito,00,
no tempo, pela incluso->
pode ser considerado das regies de valor ficam
de perodo = 2rr/w) deuma
ou w)
0, as retas espectrais
?!. "' 0,15~um ~acelerao
(;~0\;~1'Jmxima
ni.oViment~ harmI:i~o tem uma :uuplitude de 0,:0 s. Detemlmar o maXlmo da velOCIdade e ace1eraao. acelermetro indi~a que uma estrutura
por e u~ perod~
de
muito juntas aproximando-se
curva contnua.
est. vibrando
a 82 cps e uma
mxima de 50 g. Detemnara harmnico 180 pol/s. tem
amplitude
da vibrao. de 10 cps e sua velocidade seu perodo e sua ace-
1',,-)
Um movimento de lerao mxima.
urna freqncia
Determinar
sua amptude,
1-4 Achar
a soma de dois movimentos ligeiramente diferentes.
harmnicos Discutir
de amplitude o fenmeno
igual, mas com que
freqncias
de batimento
o"'n
w,
2w,
3w,
resulta da sua soma. (~~0xpressar o nmero complexo 4 + ,3i n~ forma exponencial
AeOo re-
//'1'1-6 'Adicionarsultado 'jI I I
os dois nmeros para A L O.
complexos
(2 + 3i) ~ (4' -' i), expressandomultiplicado e 4(/rr/3' por i.
1-7 Mostrar que unl fasor gira 90 quando 1-8 Determinar a' sorna de. dois fasores5t!rr/6 eoprimeiro fasor. " para
O
w,
e enco"ntrar o ngulo entre 'I ' ' ' '
2w,
3w, Figura,j.6-2.
~y'') ~ /.
...,a resultan.teDeterminar
a srie de Fourier
a 'on'da 'retangular
ndicada
na Fig. P.I-9. 11
1-10 Determinar a srie de Fourier para o caso da origem da onda quadrada do Prob!. 1-9 ser deslocada de rr/2 para a direita. 1-11 Determinar a srie de Fourier para a onda triangular indicada na Fig. P.I-II.
1-17 Estabelecer a equao para o deslocamento s do pisto no mecanismo de manivela indicado na Fig. P.I-I7, e determinar os componentes harmnicos e suas magnitudes relativas.
112 Determinar a si-ie de Fourier para o perfil em dente de serra representado na Fig. P.I-I2.
113 Determinar o valor da raiz da mdia quadrtica de uma onda formada das pores positivas de uma senide. 1-14 Determinarovalordamdiaquadrticadaonda em dente de serradoProbl Faz-Io de dois modos, pela curva quadrada -epeta srie de Fourier. 1-15 Traar o espectro da freqncia relativo onda triangular do Prob!. 1-11. 116 Determinar a srie de Fourier e o espectro da freqncia de um conjunto de -pulsos retangulares indicado na Fig. P.I-I6-
O
1-12.
.
VIBRAO LivRE
Qualquer sistema que possua massa e elasticidade capaz de vibrao. O mais simples sistema oscilatrio consiste em uma massa e uma mola, conforme a Fig. 2.11. A mola que suporta a'massa considerada de peso desprezvel e de uma rigidez de k lb por unidade de dellexo. O sistema possui um grau de liberdade, em razo do seu movimento ser definido por uma coordenada apenas ,x. Quano posto em movimento, haver oscilao na freqncia natural !", que uma propriedade do sistema. Examinemos agora alguns dos conceitos bsicos associados livre vibrao de sistemas com um grau de liberdade. O exame do movimento do sistema' baseias, inicialmente, na segunda lei de Newton. Conforme indica' a Fig: 2.11, a deforinao da mola na posio de equilbrio esttico t. e a fora da mola kt. igual fora gravitacional w atuando sobre a massa m:
Medindo o deslocamento x da posio de equilbrio esttico, as foras que atuam sobre m so k(t. + x) e w. Considerando-se x positivo na direo de cima para :baixo, todas as quan tidades - fora" velocidad.e e acelerao - so tambm positivas na mesma direo.
k Posio sem
, T
=
27tj!f.
-"",mo''' m -:I~.
cp_.k
t:.
i r~)
l~;i;;,~~:.:,,,'"'.Essas quantidades so expressas em termos da del1exo esttica
. ww
l:1,
notando-se
pela Eq. (2.1-1) que kf::,. = mg. Considerando
g = 386 pOI/S1 e l:1 em polegadas,
T ~-
0N\.O-
'--
r~ tJ ~l\_'")2rfT\..
a expresso
da freqncia
natural
em termos de l:1
_ J li: fn - 27t '1/ 187,6 =~c.p.m.
t:' _~ cps (Hcrtz) - 3,127
K-~~ e1im'nou da a escolha da v' posio de equil brio x evidente -que qua d t , I e "o ' mo lmen o t o peso w d e a e r resulta-nte sobr m I rR'
"J~2)[~ ts'L\A
=
2-
esttico t 't' como d referncia para f I k
!T::> -t// stas /7 condies,
l'
ora Definindo-se
e
Slmp esmen e a .ora angular
ora es a Ica d a mo a , e a I d'd 1 t a mo a eVI o ao es ocamen o x.
a freqncia
wn pela equaffo ~ y
\)J ~
.,
"'-
A..AI
r' \
L\'A
\_
a freqncia natural de um sistema de um grau de liberdade . . ' " . " //' defimda UnIcamente pela deflexo estatlca A. A Flg, (2.1-2) apresenta um grafico logartmico da Eq. (2.1-9). Embora so aplica.se no amortecida. os sistemas osci!atros possam diferir na aparncia, submetidos como a presente no pndulo discus rotaa todos os sistemas de um grau de liberdade, Em alguns casos a oscilao
".... :i-.:.
O ~q
vibrao livre
rotava,
e conclumos, equao
pela comparaffo linear
com a Eq. (1.2-8), que o movimento ordem homognea (2.1-4)
harmnico.
. . - i
~
diferencial
de segunda
tem a seguinte
soluo geral
0,05 0,10Dcl1exo
0,50A"
. 1,0
onde
A e B so duas constantes
necessrias.
Essas constantes
so calculadas para
para
as condies
iniciais x(O) e x(O) e a Eq. (2.1-5) simplificada
donal,
em cujo caso a segunda
lei de Newton
substituda
pela sua correspondente
x = -~ senW.
x(O)
w.1
. + x(O) cos .
Wn1
rotativa
-_.-
.-
~
.'l)
Exemplo
2.2-1 a freqncia natural do pndulo torcional indicado na Fig. 2.2-1.
,>,
)
Detenninar onde M o momento, lar, tudo referido J o momento de inrcia da massa, e (j a acelerao fIxo de rotao. A equao angu-
a um mesmo
eixo inercial
acima
tambm vlida em relao ao eixo do centro de massa que pode estar em movimento,
..
> )>
.I
)
o totalvibrap
de energia em um sistema' conservativo estabelecida pelo prinpio livre de um sistema no amortecido sob a forma
constante,
e a equao de energia.
diferencial A energia enquanto
de na A a Os mximos
Figura 2.2-1. Pndulo rorciollal.
movimento
de conservao
Soluo:equao
Suponhamos
que o movimento
oscilatrio
seja harmnico
e expresso
pela
parte cintiea de esforo
e parte potencial.
, energia cintica energia potencial 'trabalho realizado
T
conservada
na massa em razo
da sua velocidade, na deformao
o =das energias cintica,e T ma:-.:-=
A sen wllt so
U conservada
elstica ou a energia
potencial
num campo de fora como a gravidade. se depreende
Sendo constante das seguintes
rI'
total, sua taxa de variao zero, conforme
equaes
lJe~ax= iJw; A2iKe~u
T + U = constan te , dt (TSe o no~so interesse determinada pelas seguintes p'~incpio de conservao d
(2.2-1) (2.2-2)natural do sistema, ela pode ser de acordo eom o Exemplo 2.2-2 de peso Um cilindro de movimento Igualando as duas. energias,
Umu
=
=
iKA' da sua freqncianatural, que
+
U) = O
chegamos
expresso
est apenas na freqncia consideraes. Podemos da energia, que
estabelecer,
.i~
w e raio r rola sem deslizar sobre uma superfcieindica a Fig. 2.2-2. pequenas Determinar sua equao em volta do seu ponto
ciln-
drica de raio R como
diferencial mais baixo .
para oscilaes
Por no haver deslizamento onde.1
rrp
e
2
representam
duas instncias
de tempo.
Admitimos
que
1
seja o ins-
=
RO.
tante em que a massa passa pela sua posio
de equilibrio
esttico,
e escolhemos
U1
=
O como refernciadeslocamento
para a energia potencial. da massa. Nesta posio,
Seja z o tempo correspondente a velocidade, da massa zero,
ao mximo resultando
Tz = O. Temos ento
se o sistema so os mximos,
est submetido e da
a um movimento
harmnico,
os valores Figura 2.22.
i
Soluo:uma
Devese
notar,
ao se determinar a velocidade
a energia
cintica
do cilindro, do centro -
que h
fi
translao
e, uma rotao.
A velocidade de rotao
de translao
do cilindro
(R - r), enquanto
(~ -
li) == (Rir
1)0, uma19
a )J
t
vez que ~ agora como T ==
l;1. ~(R4g
[(R - r)8J2 - r)282
+ ~ ; ; [( ~ -
1)8]'Exemplo 2.3-1 Determinar o efeito da massa da mola na freqncia natural do sistema indicado na Fig. 2.3- I.
onde (w/g) (/ /2) o momento de massa.
de inrcia do cilindro em relao ao seu centro
A energia potencial referida sua posio mais baixa ms
I: massa do clcmcntoda mola velocidade do elemento da mola
dy
que igual ao negativo do trabalho efetuado pela fora da gravidade no levantar o cilindro na distncia vertical (R - r) (I - cos O} Substituindo na Eq. (2.2-2)[~ ; (R -
x1":
y
r)2(j
-I- Ir(R -
r)sen {}
J"
0, equao para o
e fazendo sen O == O para ngulos p~quenos, obtemos a,conhecida movimento harmnico(j i
Soluo: Com.\: igual velocidade da massa concentrada m. suporemos que a velocidade de um elemento da mola, localizado distncia y da sua extremidade fixa, varie linearmente com y da forma seguinte
_2.L-o ~.3(R r)
e encontramos para a massa efetiva o valor de um tero da massa da mola. Adicionando o valor da massa efetiva ao da massa concentrada, a expresso da 'freqncia natural revista ser At agora admitimos, no clculo da freqncia natural, a inexistncia de massa na mola. Muitas vezes a mola e outros elementos mveis podem representar uma frao pondervel da massa total do sistema, e do seu abandono podem resultar freqncias naturais altas demais. Para obtermos uma estimativa melhor da freqncia natural, podemos computar a energia cintica adicional dos elementos mveis, que no foi considerada anteriormente. Isto, claro, requer uma suposio quanto ao movimento dos elementos distribudos. O resultado integrado da energia cintica adicional pode ser, ento, expresso em termos da velocidade j; da massa concentrada na forma de 20
Exemplo 2.3-2 Muitas vezes os sistemas oscilatrios so compostos de 'alavlJlcas, engrenagens e outras ligaes que complicam aparentemente a anlise. Um exemplo tpico desses casos est no sistema de v!vul3 de motor indicado na Fig. 2.3-2. geralmente van"tajosa a redu:To de um tal sistema para outro equivalente mais simples.
f-.
.- aO \
:
I
Quando
um sistema
linear de um grau de liberdade e do amortecimento
excitado,
sua resposta
dependo
der do tipo de excitao movimento
presente.
Geralmente
a equao
ter a seguinte frmula
onde crio Dentre conduz
F(l)
a exeitao e Pd a fora de amortecimento. Embora seja difcil a desreal da fora de amortecimento, possvel a admisso de modelos ideais deque muitas vezes resultam em prognsticos viscoso, satisfatrios proporcional" da resposta. esses modelos, ao tratamento a fora de amortecimento matemtico mais simples. viscoso expressa pela seguinte equao
amortecimento,
velocidade,
A fora de amortecimento
onde
c uma constante
de proporcionalidade. indicado
Ela represelltada
simbolicamente
por um amortecedor,
conforme
na Fig. 2.4J.
omulao
balancim
com momento podem
de inrcia
J. a vlvula eom massa mv e a molafor-
com massa
ms
ser reduzidos
a uma simples massa em A pela seguinte
da equao
da energia cintica
To'
+J'
+ +mJb}' t ;C~')(h)'
~ +(J + m,/)' -+ -}m,b')'Admitindo-se forma em que a velocidade em A seja
x
A slu\:o da equao ferencial homognea,
acima ~em ullas partes. cuja soluo corresponde
Se P(t)." fisicamente a soluo
O, - lemos a equao particular
di-
quela 'de vibrao livre devido ;\ excitaa equao inieialmente
de amortecimento_Com o tucho reduzido m"a-inteiro est reduzido a uma mol e uma massa adicional na extremidade
Com
P(t)
c/. O, obtemos homognea.
A. o siste
o sem restrio homognea,
da soluo
Examinaremos
a uma mola e uma massa apenas,
como indica a Fig. 2.3-2.
que nos dar alguma compreenso
do papel do amortecimento.
Para o valor de c que reduz o radical. a zero temos o caso limite, entre o mo vimen to osciJatrio e o nooscilatrio, e que definimos como
amortecimento
critico. agora oportunotidades' usadas na prtica. Amortecimento crtico onde !i uma constante. Feita a substituio na equao diferencial, temos c C" Crtieo. o exame desses trs casos em detalhe, com o amortecimento da Eq. (2.49) e em termos de quan crtico. Comeamos '0 radical
zero para o amortecimento
(msque satisfeita
2
+ cs + k)e"k =O
=
O
por todos os valores de t quando
s-
c + -s J}l
.1.I
/1Z
conveniente tecimento
expressar
o valor de qualquer
amortecimento
em termos
do amor
critico,
por meio da frao no-mensurvel
s .7= ._- c -l:.:'.2m -'
J( C)'-
2111
--
m
k
que chamada em termos de onde A e B so constantes e a serem determinadas de acordo com as condies
frao de amortecimento.
Expressamos
agora as razes da Eq. (2.47)
S,
notando
que
iniciais x(O)
x (O).os valores da Eq. (2.47), temos para (2.4-8) a seguinte expresso
Considerando
o
primeiro
termo
e'C':2m)'
simplesmente dos termos
uma funo de tempo exponencialmente dentro do parntese depende, entretanto, zero ou ncgativo. (c/2m)2 maior que k/m, os expoentes a
e os trs casos de amortecimento maior, menorou igual unidade. mostra
discutidos
~nteriormente
dependem
agora de
S S
ser
declinante.
O comportamento
do valor numrico Quando na equao este caso como Quando
sob o radical ser positivo,
A Fig. 2.4-2 de modo cimento. que Para
a Eq.(2.4-12) Se
traada
num plano
complexo,
com
ao
o termo de amortecimento acima so nmeros
longo do eixo horizontal.
S
= O, a Eq. (2.4-12)
fica red'uzida a SI.
,/wll
= ,
reais e no h oscilao
poss vel. Referimo-nos
superamortecido.o termo de amortecimento i (c/2m)' imaginrio, ,= coso
0< s - I
x
==cC
Xe-(""'sen'(~ e-(""'(C, sen~
CO_I
+ r/J)co_1) C I, C2 so detemnadas x(O) e X(O),
(2.4-14) (2.4-15)
o
movimento
uma [uno
de tempo
exponencialmente
decrescente,
conforme
in-
co.1 -I- C1 cos ~ X. exatos e aproximados,
de
{j
como
que indicada graficamente na' Fig. 2.5-1. ln traduzimos aqui urna expresso denominada decremento logartmico que del1nida como o logaritmo natural do quociente de duas quaisquer amplitudes consecutivas. A frmula do decrernento lagar trnico pois 15--, ln x,X2
!IO, 'o,
0.2('tO
A-, -0,6
0,8
1,0
e uma vez que os valores dos scnos so iguais quando o tempo aumcn tado do perodo de amortecimcn to T
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