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8/9/2019 Cap 2 CAMPO ELCTRICO Y LEY DE GAUSS 19-38-2010II
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2) CAMPO ELCTRICO2) CAMPO ELCTRICOY LEY DE GAUSSY LEY DE GAUSS
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 19
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2.1) Definicin de campo elctrico,2.1) Definicin de campo elctrico,E
El vectorE describe las propiedades elctricas del espacio {medio}.
Donde:
Campo elctricoCampo elctrico:: DiscusinDiscusin
Las interacciones del campo no son instantneasLa carga q modifica el medio que la rodea (campo)
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
0
eFEq
=
rr
eFr
q
0q
P
Er
P
q
0 0
0
: ,
0
q Carga de prueba q
q
+
E
20
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
Ecuaciones de EEcuaciones de E
i)i) qq
( )
( )
0
3
3
3
( )
0
,
:
( )
0r
q
q
kqq r r
r r kqrE s
kq r r E r
r
i rq r
En gener
r
al
= =
=
r
r r r rr r
r rr rr r
r
ii)ii) Distribuciones Discretas, DDDistribuciones Discretas, DD
( ) ( )( )
31 1
i
i n i ni iqDD
i i i
kq r r E r E r
r r
= =
= =
=
r rr rr r
iii)iii) Distribuciones continuasDistribuciones continuas::
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
( )
q
rE rr
rr
rr
q P
( )iq
rE rr
rr'ir r=
r r
iq P
iq
21
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
j)j) VolumtricaVolumtrica
( )
( )3 ,r v
k dv r r E
r r: representa el volumen
= r
r
r r
jj)jj) SuperficialSuperficial
( )
( )3
,r
ak da r r
Er r
o s : representa el rea
=
r
rr r
jjj)jjj) LinealLineal
( )
( )3
,r
l :k
rd
el
pr
resenta la longir
E dr
ur
t
=
r
rr r
Las distribuciones de carga crean el campo
ObservacionesObservaciones
j) Nu EC
jj)0
eF
Eq
=r
: definicin operacional
jjj)
0 0
0
, : " "
:
.
e e F q E F Fuerza sentida por q .
E creado por cierta distribucin de
cargas en la posicin de q
=r
jv) El E es usado intensivamente en las ecuaciones.
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 22
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2.2)2.2) Lineas de fuerza, LFLineas de fuerza, LF
( )
( ) ( )3r
k r dv r r E
r r
, E se obtiene por definicion
=
r
r
r rr
LEY DE GAUSS: dealta simetra . til slo para de alta simetra: E fcil de calcular. LF / LF=simetra .
Definicin de lineas de fuerzaDefinicin de lineas de fuerza
Son lasSon las trayectoriastrayectorias descritas por lasdescritas por las 0q debido a ladebido a la ( )eF qE generada porgenerada porciertacierta ..
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rr
rr
P( )r
r
23
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
La forma de las LF esta ligada a cmo se distribuye la q
LF para diversas distribuciones de cargaLF para diversas distribuciones de carga
i)i) q
ii)
1 2: q q
|q|
+-
d
g
g
g
Caso especial:
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
LF
( )'rr
0q
eFr
q
0q
q
eFr
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
1 2
1
2
" "
q q q
q
q
d pequea
+
iii)iii)
iv)iv)
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
q -q
d
O
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Dipolo elctrico:Modelo ms simple para describirModelo ms simple para describirsistemas cargados (cuando d sesistemas cargados (cuando d seaprox. a 0)aprox. a 0)
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
v)v) ( )0 r
CaractersticasCaractersticas
j)j)E tg LF
jj)jj)
jjj)jjj) No se cruzanNo se cruzan
jv)jv) Distribucin de LF:Distribucin de LF:
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O
Q dv= Q
0q Er
+
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
k)k) Densidad LF: Relacionada a la intensidad.Densidad LF: Relacionada a la intensidad.
kk)kk) Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.Uniformidad LF: Relacionada a campos constantes.
? Prepare maquetas de LFs? Prepare maquetas de LFs
2.3) Ley de Gauss2.3) Ley de Gauss
Establece laEstablece la proporcionalidad entre elentre el flujo elctricoflujo elctrico a travs de ciertaa travs de cierta superficiesuperficiecerrada, llamada gausianacerrada, llamada gausiana yy la carga elctrica encerrada por dicha superficie.la carga elctrica encerrada por dicha superficie.
Definicin del flujo elctricoDefinicin del flujo elctrico,, Er
Es la cantidad fsica escalar que informa acerca de cuanto E atraviesa lasuperficie.
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Johann Carl FriedrichGauss,El prncipe de lasmatemticas.
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
. ,.
:
ES E
S S
ds da vector de area elementa
E ds E da
l
=
rr
r
r
r
Ley de GaussLey de Gauss
, . NEE SGSG
E da q = r
0
. NE
SG
qE da
r r
Para simplificar los clculos verPara simplificar los clculos verque:que:
cosE da E da
{ }
1
2
0
E da E da
E cte E da E da E saledela
r r
r r r rr
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
dar
da
Er
S A=da da
da d
aa
d
r
r
r
SG
28
NE
SG
q dV
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )
( )3r
k dl r r E
r r
=
r
rr r
( ) ( ) 2 2
r rj r r rj zk r r r z
r zk
= +
=
r r r r r
r
( )( )
{ }
{ }
{ }
3 22 2
3 22 2
3 22 2
0,
?
y z
y
z po
k dz rj zk E r E j E k
r z
dz
r
E k r
simetria
r z
zdzE k
r z
= = +
+
= =+
= +
r r
22 alta simetraalta simetra GaussGauss
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E
r
SG=SCL+STS+STI
Er
H
O
dar
rr r
H
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
{ }
0
0
0
0
0 0 ,
2
2
NE
SG SCL STS STI
NE
SCL
SCL
qE da
da || E da E
q SG : E cteEda
HE d
E
a E r
r
H
+ + =
= + + =
= = =
=
=
r r
6 7 8 6 7 8r rr r
r
r r
r
r
S1P22)a) Localice en la figura los puntos donde el campo elctrico es cero.b) Trace un dibujo cualitativo que muestre las lneas de fuerza del campo
resultante.c) Haga un grfico cualitativo de E vs. x, dnde E se evale en puntos del eje
X.
Solucin:
a) Para el punto S:
kE E+ 2
q k
d
+
{ }2
0
2 qq
d d
+ 25 q
d
21
2d
+
2 212 54
d d d + +
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
Q q- q+ E- P E+ Sx
d1 0 d0 d x
31
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
2
1,2 1
12 4 4 3
21 2 103 2 0 0,9
2 2 3 6d d d d
+
Igual en Q:
kE+
2 q( )2
1
1
2
kE
d
+
5 q( )2 2
1 1 12
1
52 5 5
4d d d
d + +
2
1 1 11,2
5 25 453 5 0
4d d d
+ +
5
3 4 5 100,3; 1,4
2 3 6
b)
c) Para el punto S:
{ } { }2 2 2 2
2 5 2 5
1 1
2 2
T T
k q k q E i i kq i E i
x xx x
+ +
r
2 2
2 5 1,
21
2
T E kq xx
x
>
L hay que especificar para cada regin
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- + x
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
S1P7) En la distribucin mostrada 0 esconstante y q0 es una carga puntual.Calcule la fuerza sobre q0 si d >> R0.
Solucin:
Por superposicin:
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E-y ET
E+
0,90 0,5 x
E+ E+
R0 0 centro de la
circunferencia q0
R0/2
d
0 0 qr
R0/2 dR0
0
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
( )0 0 0' 2
0
' ;/ 2
q Qq Q q
kQ kQE E E i
d Rd
+ +
r r r
3
3 00 0 0
4 4, '
3 3 2 8
R QQ R Q
0 0
3
0 0 2 2
0
4 1 1 3
8 2
q qE k R i
d RE
d
i
r
00
1R
Si d Rd
>>
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( ) { {2
20
0
1 0 cos 22
k E d i sen d j
R
+
r
( )1
1 cos22 +
( ) ( )0 00 0k
E i ERR
k
r r
b) , ' cosr zk r R i Rsen j +
( ) ' cosr r R i Rsen j zk +
{ }3/ 23 2 2' ; Rr r R z dq d +
r r
( ){ }
{ { {
22
20
3/ 2 02 2
1 cos 2 cos2
k R z E z d i sen d j d k
RR z
+ +
r
( ){ }
( ){ }
2
0
2
0
3 / 22 2
3/ 22 2
,k RE z i k R
R zE z
R z
+
+
rr
( )2
0
3limz R
k RE z
z
>>
r
S1P47) Determine el campo elctrico de un disco de radio R con densidadsuperficial de carga uniforme, sobre puntos en el eje axial del disco.
Solucin:
A) Usando coordenadaspolares (coordenadascilndricas en el plano)
y
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z
r
r y
'r
x 36
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
da=(rd )drdr
d rx
( )
( )3
'
'
kdq r r
E r k I r r
r rr
r r
( )dq da rd dr = =
( )0,0,r z
( )' cos , ,0r r rsen
( ) ( )
( )3/ 2
2 2
cos , ,
s
k rd dr r rsen z I
r z
+
r
( )
( )
2
3/ 20 0 2 2
cos , ,R r rsen z rd dr
r z
+
2
0cos d
= 02
0sen d
= 0 (por evaluarse en sus periodos)
( )
2
3/ 20 0 2 2
R rzdrdI kr z
+
r
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{ }( )
2
3/ 20 0 2 2
R zrdr
d kr z
+
( )( )
3/ 20 2 2
2R rdr
z kr z
+
( ) ( )2 2
2z z
E z k k z R z
+
r
? Encuentre este resultado usando la definicin con un elemento de reacartesiano. Analice la expresin integral.
? Qu ocurre si R R
( ) ( )( )
( )
22
2
k kz E z k k
z k k
r
( ) ( ) ( )0 0
12 2
4 2E z k
r: El E de un plano!
(verifquelo usando LG)
B) Usando anillos de = dr
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo
z r
r y
'r
x
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Cuaderno de Actividades: Fsica II
b) , ' cosr zk r r i rsen j +
( ) ' cosr r r i rsen j zk +
{ }3/ 23 2 2' ;r r r z dq rd + r r
( ){ }
{
2
3/ 2 02 2
cosk rdr
dE z r d i rsen d j zd k r z
+ +
r
142 43
( ) { } ( ) { }3/ 2 3/ 22 2 2 20
(2 ) (2 ) R
k zrdr k zrdr
dE z k E z k r z r z
+ +
r r
( ) ( )2 2
2z z
E z k k z R z
+
r
Lic. Percy Vctor Caote Fajardo 39
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