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Estudiar las propiedades básicas de los capacitores, la dependencia de la capacitancia con la geometría y con los dieléctricos. Analizar las características de circuitos RC. Calcular la constante de tiempo de un circuito RC por diferentes métodos.
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Capacitores y dieléctricos. Circuitos RC
E. Acebal, J. C. Fortunatti
Departamento de Física – Universidad Nacional del Sur
Av. Alem 1253, (8000) Bahía Blanca, Argentina
e-mail: emi_acebal@hotmail.com
e-mail: juan2_fortunatti@hotmail.com
Objetivo
Estudiar las propiedades básicas de los capacitores, la dependencia de la capacitancia con
la geometría y con los dieléctricos. Analizar las características de circuitos RC. Calcular la
constante de tiempo de un circuito RC por diferentes métodos.
Introducción
Un capacitor (originalmente conocido como condensador) es un dispositivo electrónico
pasivo utilizado para almacenar energía electroestáticamente sustentando un campo
eléctrico[1]
. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de
placas o láminas, separadas por un material aislante, llamado dieléctrico, o por el vacío. Las
placas, al ser sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga
eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total.
Véase Figura 1.
Figura 1. Capacitor de placas paralelas.
Al contrario de los resistores, los capacitores no disipan la energía, sino que la almacenan
en la forma de un campo electroestático entre los conductores.
La carga almacenada en una de las placas es proporcional a la diferencia de potencial entre
ellas. Esta constante de proporcionalidad es llamada capacidad o capacitancia, en el SI se
mide en Faradios (F), siendo un faradio la capacidad de un condensador en el que, sometidas
sus placas a una diferencia de potencial de un volt, estas adquieren una carga eléctrica de un
coulomb. La capacidad de un capacitor está dada por la siguiente ecuación:
(1)
donde C es la capacitancia en faradios, Q es la carga en coulombs y V es la caída de potencial
sobre el mismo en volts.
La capacitancia es una propiedad puramente geométrica de los capacitores. Para un
capacitor de placas paralelas la capacidad C es:
(2)
siendo ε0 la permitividad del vacío (8,854 x 10-12
F/m), A el área de las placas, d la distancia
entre las mismas y εr la permitividad relativa del material dieléctrico entre las placas. Para el
caso del aire εr ≈ 1.
Al disponer dos capacitores en serie, la carga se distribuirá de tal forma que será igual en
ambos capacitores (ya que si fuera diferente, la carga en las placas que están conectadas se
distribuiría sobre el equipotencial, haciendo que sea igual en ambos)[1]
. Teniendo en cuenta
esto, la capacidad equivalente resulta ser para la asociación en serie:
(3)
Por el contrario, en la asociación de los capacitores en paralelo, la diferencia de potencial
sobre las placas de cada uno será la misma. Por lo tanto, la capacidad equivalente para un
paralelo entre dos capacitores estará dada por:
(4)
Al conectar un capacitor en serie con una resistencia y alimentarlos con una fuente de
corriente continua, circuito RC (véase Figura 2), la corriente empezará a circular por la malla.
A su vez, el capacitor ira acumulando carga entre sus placas. Cuando el capacitor se encuentra
totalmente cargado, la corriente deja de fluir a través del circuito, a esta etapa del circuito RC
se le llama etapa de carga del capacitor.
Figura 2. Circuito RC
Aplicando la segunda ley de Kirchhoff al circuito de la Figura 2, se encuentra la ecuación
diferencial que determina la relación entre las caídas de potencial para este último:
(5)
donde V0 es la diferencia de potencial generada por la fuente de CC, q la carga del capacitor,
C la capacitancia, I la corriente y R la resistencia.
Reemplazando I = dq/dt en la ec.(5), y haciendo las operaciones matemáticas pertinentes,
se obtiene la expresión para la carga de un capacitor en un circuito RC:
( ) ( ) (6)
Dividiendo ambos términos de la ec.(6) por C, se obtiene una expresión para la caída de
potencial en el capacitor en función del tiempo :
( ) ( ) (7)
También, derivando la ec.(6) respecto del tiempo se obtiene la variación de la corriente con
el tiempo:
( )
(8)
Y, por lo tanto, multiplicando ambos términos de la ec.(8) por la resistencia R dará como
resultado la caída de potencial sobre la resistencia:
( ) (9)
Por otro lado, se denomina como constante de tiempo del circuito τ al tiempo que le tarda
al voltaje de la resistencia en alcanzar el valor de V0/e:
(10)
Derivando la ec.(7) respecto al tiempo se obtiene la siguiente expresión:
( )
(11)
y escribiéndola en términos de VC, resulta:
( )
(12)
Si se quitara la fuente del circuito RC y se la sustituyera por un cortocircuito (véase Figura
3), la carga comenzaría a fluir desde una de las placas del capacitor hacia la otra a través de la
resistencia. Esta última disipara la energía en forma de calor, hasta que la carga en las dos
placas del capacitor sea nula. A esta parte se la denomina etapa de descarga del capacitor.
Figura 3. Circuito RC sin fuente de tensión. La carga almacenada en el capacitor es disipada
en la resistencia.
Utilizando, nuevamente, la segunda ley de Kirchhoff, la ecuación diferencial encontrada en
este caso es:
(13)
Reemplazando I = dq/dt y siendo V0, en este caso, la diferencia de potencial inicial en el
capacitor. Resolviendo la ecuación diferencial se obtiene la expresión para la descarga de un
capacitor en un circuito RC.
( ) (14)
Derivando esta última se obtiene la expresión para la corriente en función del tiempo:
( )
(15)
La caída de potencial para el capacitor en el proceso de descarga será:
( ) (16)
La energía almacenada en un capacitor está dada por:
(17)
Se define tiempo de subida ts, como el tiempo que tarda el capacitor en incrementar la
diferencia de potencial entre sus placas desde el 10% al 90% del valor máximo. El tiempo de
subida y la constante de tiempo del circuito RC están relacionados por la siguiente ecuación:
(18)
Se tiene la misma relación para cuando el capacitor disminuye la diferencia de potencial
entre sus placas desde el 90% al 10% del valor máximo, a este intervalo se lo denomina
tiempo de caída tc.
Materiales
Fuente de tensión continua (PASCO).
Generador de funciones (Topward 8170).
Capacitor variable PASCO ES-9043.
Interface y PC.
Osciloscopio.
Multímetro.
Calibre.
Resistencias de carbón ¼ W.
Capacitores electrolíticos y cerámicos.
Placas metálicas rígidas (aluminio).
Planchas de cartón, acrílico y vidrio.
Protoboard.
Método
Parte A: Determinación de la constante de tiempo de un circuito RC.
En esta primera parte se determinó la constante de tiempo de un circuito RC, tanto para un
proceso rápido de descarga como para uno lento.
Proceso rápido de descarga
Se armó el circuito representado esquemáticamente en la Figura 4. Con un multímetro se
precisaron los valores de la resistencia R y la capacitancia C, para determinar mediante la
ec.(10) la constante de tiempo característica τ.
Figura 4. Esquema de un circuito RC alimentado por un generador de funciones.
Con el generador de funciones (GF) se introdujo una señal cuadrada en el circuito, y
mediante un sistema de adquisición de datos conectado a una computadora, se determinó la
caída de tensión en la resistencia y el capacitor en función del tiempo.
Se hizo uso de distintos métodos, tanto experimentales como de procesamiento de los
datos, con la finalidad de obtener un resultado para τ y de comparar la eficacia de dichos
métodos.
Por último, utilizando un osciloscopio, se mesuró el tiempo de subida y caída de la
diferencia de potencial sobre el capacitor. Valiéndose de la ec.(18), se halló el valor de τ tanto
para etapa de carga como la de descarga.
Proceso lento de descarga
Para el proceso lento de descarga, se armó el circuito descripto en la Figura 1.
Determinando los valores para C y R con un multímetro, se halló el valor teórico para la
constante de tiempo para este circuito particular.
Se alimentó el circuito con una fuente de tensión continua para cargar al capacitor. Se
procedió sustituyendo la fuente por un cortocircuito, conectando la resistencia y el capacitor
en paralelo. Utilizando un cronómetro y un voltímetro conectado en paralelo a la resistencia
se tomaron datos de la diferencia de potencial sobre la resistencia cada 5 segundos, para luego
poder determinar la constante de tiempo para el circuito.
Parte B: Variación de la capacidad con la geometría.
En esta parte, se analizó la dependencia entre la capacidad y la geometría de un capacitor.
Para esto, se utilizó un capacitor el cual era posible variar la distancia entre las placas.
Este último constaba de dos placas circulares montadas perpendicularmente sobre una
plataforma rectangular. A su vez, una de estas placas se encontraba adosada a un riel móvil
sobre la plataforma, el cual era posible regular con precisión micrométrica. Haciendo uso de
un multímetro se determinó la magnitud de la capacidad para cada incremento de la
separación entre las placas. Un diagrama de este capacitor puede apreciarse en la Figura 5.
Figura 5. Diagrama del capacitor de placas móviles.
A modo de analizar el comportamiento de la capacidad con el área de las placas, se
confeccionaron cuatro capacitores utilizando placas rectangulares de aluminio, empleando un
calibre se tomó nota del ancho, largo y espesor de cada una.
Las placas fueron separadas por medio de tacos de madera, dispuestos en las esquinas de
las mismas, como se muestra en la Figura 6.
Figura 6. Esquema de los capacitores construidos para el estudio de la capacitancia con el
área.
Parte C: Variación de la capacidad con un medio dieléctrico.
Para estudiar el comportamiento de la capacitancia respecto al medio dieléctrico que separa
las placas, se utilizó el capacitor de placas circulares móviles de la Figura 5. Entre medio de
las placas se colocaron planchas de diversos materiales (vidrio, acrílico y cartón). Variando la
distancia entre las placas del capacitor y manteniendo el dieléctrico pegado contra una de
ellas, se determinó el valor de la capacitancia para cada caso.
Al variar la distancia entre las placas del capacitor, entre medio de estas no solo se
encontraba la plancha de dieléctrico (vidrio, acrílico o cartón), sino también, una parte era
ocupada por aire. Cuando se tiene dos dieléctricos en el espacio entre las placas de un
capacitor, se lo puede considerar a este último, como dos capacitores con dos dieléctricos
diferentes en serie. En este caso, para uno será el aire, y para el otro la plancha a usar. Con lo
que, utilizando las ec.(2) y ec.(3), la capacitancia medida estará dada por la ecuación
siguiente:
(19)
y por lo tanto, como la distancia total será la distancia que ocupa el aire y la plancha entre las
placas (d = daire+dplancha), la capacidad equivalente será:
(
)
(20)
con esta última es posible ajustar los datos obtenidos experimentalmente y determinar un
valor para la permitividad relativa del material en cada caso.
Parte D: Arreglo de capacitores en serie, paralelo y combinado.
Con el fin de determinar la distribución de la carga almacenada en un circuito compuesto
por capacitores, se utilizaron los circuitos mostrados en la Figura 7. Con un multímetro se
determinó la capacidad real de cada uno de los capacitores a utilizar en los circuitos.
Circuito A Circuito B Circuito C
Figura 7. Circuitos utilizados en la parte D.
Antes de tomar nota de la caída de potencial sobre cada uno de los capacitores, se dejó
estabilizar los circuitos. También se hizo el cálculo teórico de la distribución de carga de estos
circuitos para hacer una comparación con los valores experimentales.
Resultados y discusión
Parte A
Proceso rápido de descarga
Los valores para la resistencia y el capacitor utilizados en el circuito del proceso rápido de
descarga, fueron: R = (10,00 ± 0,01) kΩ y C = (11,30 ± 0,01) nF, con estos fue posible
obtener un valor teórico para la constante de tiempo del circuito, con una magnitud de τ1 =
[(1,130 ± 0,002) x 10-4
] segundos. La señal del generador fue ajustada con una frecuencia de f
= (500 ± 1) Hz y una amplitud V0 = (4,00 ± 0,01) V. En la Figura 8 se presentan los datos
obtenidos con la interfaz conectada a la computadora para la diferencia de potencial en el
capacitor.
Figura 8. Resultados y ajuste de la señal de salida sobre el capacitor (izquierda: carga,
derecha: descarga). Curvas de ajuste: VC(carga) = -7,2e(-t/1,7)
+3,9 con R2 = 0,97 y
VC(descarga) = 8,2e(-t/1,78)
-4,02 con R2 = 0,995.
A partir del análisis del gráfico de la Figura 8 es posible ver que tanto la carga como la
descarga del capacitor se comportan exponencialmente, verificando la teoría. Del ajuste de los
datos se obtiene τ con un valor de τ2 = [(1,7 ± 0,1) x 10-4
] segundos para la carga y τ3 = [(1,78
± 0,06) x 10-4
] segundos para la descarga.
A continuación se muestra el gráfico de la derivada numérica de VC respecto a VC.
Figura 9. Ajuste lineal de la derivada numérica de VC respecto de VC (izquierda: carga,
derecha: descarga). Rectas de ajuste izquierda: dVC(t)/dt = -6937VC+26557 con R2 = 0,998,
derecha: dVC(t)/dt = -6297VC-24943 con R2 = 0,997.
Observando la Figura 9 es clara la linealidad predicha en la teoría entre Vc y su derivada.
La inversa del módulo de la pendiente obtenida en el ajuste es la constante de tiempo
característica de este circuito, para la carga τ4 = [(1,59 ± 0,02) x 10-4
] segundos y para la
descarga τ5 = [(1,44 ± 0,02) x 10-4
] segundos.
También, se determinó τ utilizando un osciloscopio, midiendo los tiempos de subida y
caída (ts y tc), los cuales arrojaron el mismo valor para la carga como la descarga, τ6 = τ7 =
[(1,18 ± 0,05) x 10-4
] segundos.
El tiempo característico obtenido mediante los distintos métodos utilizados para el proceso
rápido de descarga se muestran en la Tabla 1, cada uno con su respectivo error porcentual
frente al valor teórico calculado.
Tabla 1. Tiempo característico para el circuito RC de la parte A, determinado por varios
métodos.
Método Valor de τ [10^-4
s] % error
(teórico) τ1 = RC 1,130 ± 0,002
Ajuste de VC (carga) τ2 1,7 ± 0,1 51%
Ajuste de VC (descarga) τ3 1,78 ± 0,06 58%
Ajuste de dVC/dt vs Vc (carga) τ4 1,59 ± 0,02 41%
Ajuste de dVC/dt vs Vc (descarga) τ5 1,44 ± 0,02 27%
Tiempo de subida y caída τ6, τ7 1,18 ± 0,05 4%
Comparando los valores obtenidos a través de los distintos métodos para el tiempo
característico del circuito RC, cabe destacar el pequeño error porcentual respecto al valor
teórico presentado por el medido con el osciloscopio (τ6, τ7).
Por otra parte, el error porcentual entre τ2-5 y el valor real es muy significativo, entre el
25% y el 50%, denunciando que estos métodos son muy imprecisos para hallar el tiempo
característico. Este error puede ser introducido por la adquisidora de datos con la cual se
realizaron las mediciones, ya que los componentes internos que posee actúan a la vez como
una carga más del sistema.
Proceso lento de descarga
La resistencia y el capacitor utilizados en el segundo circuito comprendían valores de R =
(38,30 ± 0,01) kΩ y C = (4620 ± 1) µF. Con estos valores se determinó la constante de tiempo
teórica para el circuito, con una magnitud de τ7 = (177,00 ± 0,06) segundos.
El capacitor fue cargado utilizando una fuente de tensión continua, fijada en (20,0 ± 0,1)
V. En la siguiente figura se presentan los datos obtenidos para la diferencia de potencial entre
los extremos del capacitor en función del tiempo.
Figura 10. Resultados y ajuste de la diferencia de potencial sobre el capacitor en función del
tiempo para el proceso lento de descarga. Curva de ajuste: VC = 1,7095e(-t/209)
+0,0105 con
un R2 = 0,99996.
Mediante el ajuste de los datos se obtuvo τ para este circuito, con un valor de τ8 = (209,0 ±
0,2) segundos.
Al comparar el valor del tiempo característico obtenido mediante el ajuste de los datos de
la descarga del capacitor se observa un error relativo porcentual del 18%. Sin embargo, cabe
destacar, que el comportamiento observado en la Figura 10 es puramente exponencial, lo cual
refuerza el valor obtenido por este método.
Para finalizar, se analizó qué sucede con la carga y energía almacenadas en el capacitor.
De la ec.(1) se obtuvo la cantidad de carga en el capacitor enseguida este fue desconectado de
la fuente Q = [(7,946 ± 0,005) 10-3
] C y se determinó la energía máxima almacenada con un
valor de EMAX = [(6,834 ± 0,007) 10-3
] J. Una vez descargado el capacitor, tanto la carga
como la energía almacenada son nulas, esto se debe a que ésta es disipada en forma de calor
por la resistencia involucrada en el circuito.
Parte B
Los resultados obtenidos para la variación de la capacidad en función de la distancia son
mostrados en la Figura 11. El ajuste se realizó teniendo en cuenta la ec.(2), se observa que a
medida que la distancia entre las placas crece, la capacitancia disminuye con 1/d, encontrando
un buen acuerdo con la teoría.
Figura 11. Variación de la capacidad con la distancia entre las placas. Curva de ajuste: C =
(3x10-12
+2,83x10-13
/d con R2 = 0,993.
Para el estudio de la variación de la capacidad con el área del capacitor, se confeccionaron
cuatro capacitores de placas rectangulares de distintos tamaños. Las áreas comprendidas por
cada uno de estos fueron: (59,57 ± 0,01) cm2, (70,84 ± 0,01) cm
2, (76,56 ± 0,01) cm
2 y
(130,88 ± 0,01) cm2. Se adoptó la misma separación d = (8,50 ± 0,06) mm para todos los
capacitores. Los resultados son mostrados en la Figura 12, puede observarse el
comportamiento claramente lineal como era de esperarse por la teoría.
Figura 12. Variación de la capacidad con el área de las placas. Recta de ajuste: C =
1,28x10-9
A+5,6x10-12
con R2 = 0,98. El dato en rojo fue descartado ya que claramente hubo
un error en su medición.
Parte C
Los valores medidos para C, utilizando las distintas planchas de material dieléctrico, en
función de la separación entre las placas del capacitor se muestran en la Figura 13.
Figura 13. Variación de la capacidad respecto a la distancia entre las placas para distintos
materiales dieléctricos.
Puede observarse que a medida que el dieléctrico que predomina entre las placas del
capacitor es el aire, como es de esperarse, los valores de C tienden hacía los datos obtenidos
utilizando solo aire entre las placas.
Para ajustar los datos obtenidos, fue utilizada la ec.(20). La permitividad del aire fue
sacada de tabla, la cual es aproximadamente εr ≈ 1. El área comprendida por las placas del
capacitor era de A = (306,6 ± 0,1) cm2. En el ajuste se utilizó una ecuación de la forma: y =
c+a/(x+b), la constante a fue fijada con a = Aε0.
En las siguientes figuras pueden observarse los datos obtenidos con cada material
dieléctrico y sus respectivas curvas de ajuste.
Figura 14. Variación de la capacidad con la distancia entre las placas para cada material
dieléctrico. Curvas de ajuste: Vidrio: C = 5,6 x 10-12+Aε0/(d-0,00227) R
2 = 0,997, Cartón: C
= 6,2 x 10-12+Aε0/(d-0,00065) R
2 = 0,998 y Acrílico: C = 5,9 x 10
-12+Aε0/(d-0,0018) R
2 =
0,998.
Utilizando los datos arrojados por las curvas de ajuste se calcularon los respectivos valores
para la permitividad de cada material. Estos últimos son mostrados en la Tabla 2, junto con
valores característicos sacados de tablas[2][3]
.
Tabla 2. Valores experimentales y sacados de tablas para la permitividad de los materiales
utilizados.
Material Valor experimental Valor de tabla
Vidrio 4,290 ± 0,004 3,7 – 10,0
Cartón 1,9 ± 0,1 2,0
Acrílico 2,55 ± 0,07 2,1 – 3,9
Parte D
Los valores reales para los capacitores utilizados en los circuitos de la parte D son
mostrados en la Tabla 3.
Tabla 3. Valores reales para los capacitores utilizados en la parte D.
Capacitor Valor medido
10 µF (43,15 ± 0,01) µF
47 µF (9,39 ± 0,01) µF
100 µF (1) (87,70 ± 0,01) µF
100 µF (2) (99,20 ± 0,01) µF
100 µF (3) (33,00 ± 0,01) µF
A partir de estos valores, se realizó el cálculo teórico para la distribución de la carga para
cada circuito. Estos últimos, junto con los resultados experimentales son mostrados en las
Tablas 4-6.
Tabla 4. Resultados teóricos y experimentales para el circuito A.
Circuito A C1 (10 µF) C2 (47 µF)
VEXPERIMENTAL (6,22 ± 0,01) V (5,79 ± 0,01) V
VTEORICO (9,85 ± 0,02) V (2,144 ± 0,003) V
Tabla 5. Resultados teóricos y experimentales para el circuito B.
Circuito B C1 (100 µF) (1) C2 (47 µF)
VEXPERIMENTAL (12,00 ± 0,01) V (12,00 ± 0,01) V
VTEORICO (12,00 ± 0,01) V (12,00 ± 0,01) V
Tabla 6. Resultados teóricos y experimentales para el circuito C.
Circuito C C1 (100 µF) (1) C2 (100 µF) (2) C3 (100 µF) (3)
VEXPERIMENTAL (9,21 ± 0,01) V (2,80 ± 0,01) V (2,80 ± 0,01) V
VTEORICO (6,5866 ± 0,0002) V (5,41 ± 0,01) V (5,41 ± 0,01) V
Como puede observarse, los datos obtenidos experimentalmente difieren de los teóricos en
una magnitud mayor al 50% en algunos casos. Se le atribuye este problema a que no se dejó
que los circuitos se estabilizaran completamente, y por lo tanto, los capacitores no llegaron a
cargarse en su totalidad.
Conclusión
En las distintas secciones del trabajo se logró estudiar las propiedades básicas de los
capacitores, como se propuso inicialmente.
En primer lugar, se obtuvo la constante de tiempo de un circuito RC por diferentes
métodos y se comparó cada una con la hallada a partir de los valores de resistencia y
capacidad medidos con un multímetro. Se concluye que el método más adecuado para
mesurar dicha magnitud es obteniendo el tiempo de caída y subida con un osciloscopio,
debido a que su error relativo es muy bajo. El gran error relativo observado en los resultados
obtenidos por otros métodos, se le atribuye al equipamiento de medición utilizado. Este
último, al no tener sus circuitos internos aislados correctamente, actúa como una carga más
sobre el sistema, y por lo tanto, modificando el comportamiento del circuito.
En segundo lugar, se logró verificar la relación existente entre la capacidad y las
propiedades geométricas de un capacitor de placas paralelas, el área y distancia entre ambas.
A su vez, se determinó la permitividad relativa de distintos materiales dieléctricos: vidrio,
cartón y acrílico, todos con una magnitud aceptable dentro de los valores estándar.
Por último, se midió la distribución de carga entre capacitores en serie y en paralelo, con
resultados en desacuerdo con los teóricos. Se atribuyó esta discrepancia al escaso tiempo de
relajación que se le dio a los circuitos, lo que no permitió que los capacitores se cargaran
totalmente.
Referencias
[1] Wikipedia: Capacitor – http://en.wikipedia.org/wiki/Capacitor
[2] http://www.clippercontrols.com/pages/Dielectric-Constant-Values.html
[3] Wikipedia: Relative permitivity - http://en.wikipedia.org/wiki/Relative_permittivity
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