View
103
Download
0
Category
Preview:
Citation preview
Capítulo 5
Fenomenologia do Problema de Fechamento da Turbulência
e
Equações da Turbulência
•Como foi comentado em unidades anteriores, uma das características mais importantes de um escoamento turbulento é a multiplicidade de escalas
Introdução sobre o problema de fechamento e a modelagem da turbulência
•Multiplicidade de escalas --> Número de graus de liberdade
3L 9 / 4Ngl ReLld
•Percebe-se com esta equação que quanto maior o número de Reynolds maior será o número de graus de liberdade do escoamento
Exemplo do cálculo do número de graus de liberdade em dois casos práticos extremos
•Para o cálculo do Ngl deste escoamento, tomar-se-á alguns dados típicos: l2000 km (escala de comprimento característica) e 1 mm (menor escala da turbulência, escala dissipativa de Kolmogorov).
3L 9 / 4Ngl ReLld
•Vê-se que a solução teórica ou numérica do problema acima está fora das possibilidades atuais, mesmo com os maiores supercomputadores existentes.
•Outro exemplo: Turbulência de grelha
28Ngl 10
• Para o cálculo do Ngl, novamente toma-se alguns dados típicos: l = 4 mm (largura do passo da grelha); U = 10 m/s (velocidade típica); = 10-5 m2/s (viscosidade cinemática).
• Com estas informações tem-se Re=4.000, o que fornece Ngl=1,3x108. Verifica-se que, mesmo neste caso a um modesto número de Reynolds, o cálculo explícito de todos os graus de liberdade não é possível.
• A maior parte dos problemas práticos de engenharia são caracterizados por números de Reynolds que se localizam nesta faixa. Surge então a questão: como resolver esta classe de problemas?
• Reynolds (1894) deu prosseguimento a desenvolvimentos sobre este assunto e propos um processo de decomposição das equações governantes de tal forma a se analisar o comportamento médio do escoamento e modelar suas flutuações
• Esta decomposição proposta conduz ao chamado problema de fechamento da turbulência e deu origem a um vasto domínio de pesquisa, modelagem da turbulência
• Em outra unidade este problema será investigado e serão apresentadas duas linhas de modelagem: modelagem estatística clássica (simulação numérica do comportamento médio dos escoamentos turbulentos) e modelagem sub-malha (simulação numérica de grandes escalas, onde as grandes estruturas são resolvidas explicitamente e as menores estruturas são modeladas).
Equações da Turbulência à Luz do Processo Histórico
• A chamada Simulação Numérica Direta seria aquela capaz de, dado um escoamento caracterizado por um valor do número de Reynolds, resolver todos os graus de liberdade ou todo o espectro de energia associado ao escoamento.
• Com base nos dois exemplos colocados na seção precedente, mesmo para os escoamentos a baixos números de Reynolds não é possível praticar SND, ou seja, resolver diretamente todos os graus de liberdade que caracterizam os escoamentos turbulentos. Surge então a ideia de separação ou decomposição das escalas da turbulência.
• O regime turbulento é a regra:
• na natureza
• em processos controlados
• Mais do que isto, na engenharia moderna, é importante poder controlar a turbulência
• Computar os efeitos da turbulência em nossos cálculos é de muita importância
• Controlar exige compreender:
• Experimentar no laboratório
• Experimentar computacionalmente
• A solução das Equações de Navier-Stokes levaria à representação fiel da física dos escoamentos
Decomposição das escalas da Turbulência
Saint-Venant: 1797-1886
Boussinesq: 1842-1929
Reynolds: 1842-1912
• Reynolds/Boussinesq, propuseram independentemente, decompor as variáveis de NS em uma parte média e uma parte flutuante, de forma a se poder resolver escoamentos turbulentos
Decomposição das escalas da Turbulência
F(t)
t
txfsinalfiltradapartetxf ,:,
txf ,
xf
Equações médias de Reynolds
•Neste caso, conforme já comentado, separa-se um sinal genérico na sua parte média média temporal e na sua parte flutuante:
f x ,t f x f x ,t
Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de médias
A média de uma flutuação é nula
f x ,t f x f x ,t f x ,t f x ,t f x
f x f x f x 0
A média do produto de duas médias é igual ao produto das duas médias
f f f f .1 f f
A média do produto de uma variável média por uma flutuação de uma variável é nula
f f f f f .0 0
Observa-se que em todas as propriedades descritas, considerou-se que a média de uma variável é uma constante.
Equações Médias de Reynolds
• Conservação da massa ui 0xi
• Aplicando o operador média sobre esta equação e utilizando a propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial, tem-se a conservação da massa para as médias das componentes da velocidade
ui 0xi
• Subtraindo-se uma equação da outra, tem-se a conservação da massa para as flutuações das componentes da velocidade:
ui 0xi
• As flutuações de velocidade obedecem à conservação da massa.
Equações Médias de Reynolds
Equação do balanço de quantidade de movimento
uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i
•Aplicando-se o operador média sobre esta equação e utilizando-se da propriedade comutativa, tem-se a seguinte equação
uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i
•Aplicando-se a decomposição de escalas
u u u
•Utilizando-se das três propriedades já comentadas, tem-se que:
uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i
•Observa-se que a consequência imediata do processo de decomposição de escalas e da transformação das equações originais em equações médias, é o aparecimento de um tensor adicional, conhecido como tensor de Reynolds. Ele pode ser reescrito na forma matricial como abaixo:
u u u u w
u w
w u w w w
•Verifica-se que este tensor é simétrico. Ele tem natureza física semblante ao tensor viscoso molecular, apesar de sua origem, ligada ao termo não linear. Desta forma é natural transpor este tensor para o segundo membro da equação de transporte e agrupá-lo ao tensor viscoso:
uu u1 p ji iu u u ui j i jt x x x x xj i j j i
•Mais equações que incógnitas!
•Fechamento! -> Gerar mais equações de transporte? Modelagem da turbulência!
Equações de Navier-Stokes filtradas
f x ,t f x f x ,t
•Decompondo as variáveis em suas partes filtradas e flutuantes:
Energia associada à parte filtrada davelicidade, ou seja, às grandes estruturas.
Energia associada àsescalas sub-malha, ou àparte flutuante
E(f)
ffc
F(t)
t
txfsinalfiltradapartetxf ,:,
txf ,
xf
Conceito de filtros
•O processo de filtragem pode ser definido como sendo a integral de convolução envolvendo a função a ser filtrada e uma função filtro apropriada, como ilustra a equação abaixo.
f x ,t G x x f x ,t dx
V
• Exemplo da função G
1
se x x cG x x V0 se x x c
x
y
z
xlc
•Aplicando este filtro sobre uma função tem-se que a função filtrada assume o valor médio da função no interior do volume de integração:
1f x ,t f x ,t dV
VV
•Ilustra-se a seguir uma situação unidimensional de um processo de filtragem espacial. Neste caso o tamanho característico do filtro é x e o número de onda de corte é kc. Nota-se que quanto menor for x maior será o número de onda de corte e maiores serão as freqüências espaciais e temporais capturadas
x
f
x
O valor filtrado é umamédia sobre x
Curva aproximadapara os valoresfiltrados
•Com este tipo de filtro a distância dos pontos vizinhos não influenciam no cálculo do valor da função filtrada. Um segundo tipo de função filtro G, como uma gausiana, pondera a influência dos pontos vizinhos em função da distância ao ponto em questão.
Propriedades associadas ao conceito de separação de escalas por meio de filtragem das equações
Uma flutuação filtrada não é nula
f x ,t f x f x ,t f x ,t f x ,t f x
f x f x f x 0
•Esta propriedade se deve ao fato que uma variável filtrada pela segunda vez não é, forçosamente, igual à mesma variável filtrada pela primeira vez, como ilustra a figura abaixo:
f(t)
t
Função original
Função filtrada uma vez
Função filtrada duas vezes
O produto filtrado de uma variável média por uma flutuação de uma variável é diferente de zero
f f f f 0
A produto de duas variáveis filtradas, filtrado novamente, é diferente do produto das duas variáveis filtradas separadamente
f f f f
Equações de Navier-Stokes filtradas
Conservação da massa
ui 0xi
Operador filtro + propriedade comutativa entre este operador e o operador derivada parcial
ui 0xi
ui 0xi
Subtraindo-se uma equação da outra
Equação de balanço da quantidade de movimento
uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i
uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i
•Estaria esta equação na forma de ser resolvida? Porque não?
•Aplicando-se a decomposição de escalas ao termo não linear:
u u u u u u u u u u u u u u u u ui j i i j j i j i j j i i j
•Necessita-se ainda de uma decomposição
u u u u u u u u u u u u u ui j i i j j i j i j j i i j
•Surge o chamado tensor de Leonard
L u u u uij i j i j
•Logo,
uu u1 p ji iu u L u u u u u ui j ij i j i j i jt x x x x xj i j j i
Incógnitas à mais! Modelagem da turbulência!
• Os tensores adicionais devem ser modelados
uu u1 p ji iu u ( L u u u u u u )i j ij i j i j i jt x x x x xj i j j i
• Antes disto, façamos um estudo comparativo entre as equações médias de Reynolds e as equações filtradas.
uu u1 p ji iu u u u u u u u Liji j i j i j i jt x x x x xj i j j i
uup j1 iu u u ui j i jx x x x xj i j j i
Equações Médias de Reynolds
Equações Filtradas de Navier-Stokes
Equações Globais Filtradas para a Turbulência
uu u1 p ji iu ui jt x x x x xj i j j i
ij u u u ui j i j
uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i
Germano (1996)
uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i
“Equações Médias de Reynolds”
Equações Filtradas Globais
Equações Filtradas - desprezando-se os tensores cruzados e de Leonard
uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i
• “Equações Médias de Reynolds”: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre todo o espectro de freqüências e o escoamento médio
Grande “responsabilidade” para os modelos que deverão fechar este sistema de equações => falta de generalidade
• Equações Filtradas: o tensor de Reynolds modela a transferência de energia entre a banda resolvida e a banda não resolvida do espectro
Menor “responsabilidade” para os modelos sub-malha: modelos mais simples e maior generalidade ==> malha mais fina e maior custo computacional.
uu u1 p ji iu ui j ijt x x x x xj i j j i
• A equação é a mesma para o que se chama de “Equação média de Reynolds” e “Equações Filtradas”
• O que difere?
• O que se busca representar com este modelo matemático
• O tipo de metodologia a ser utilizada
Qual a metodologia a ser utilizada?
Depende do objetivo!
• Se o objetivo é o comportamento médio do escoamento:
> Diferentes tipos de modelos: k-eps, Rij, etc. (esquemas de discretização espacial e temporal de ordem baixa => menor custo, pois são várias equações de transporte a mais a serem resolvidas!!)
> Existem modelos diferentes para diferentes tipos de problema ==> pouca generalidade.
• Se o objetivo da análise é o comportamento físico do problema:
• Baixos Reynolds
• SND
• SGE
SND
• Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de alta ordem de precisão
• Se o objetivo é o comportamento físico do problema:
•Altos Reynolds
SGE
•Baixa difusão numérica - esquemas numéricos de acima de segunda ordem no tempo e no espaço
Observações Finais sobre as Equações
• As equações para a turbulência são as mesmas, indiferente às metodologias que foram utilizadas para deduzí-las
• O problema de fechamento é resolvido por meio de duas correntes filosóficas:
> Primeira: calcular menos e modelar mais
> Segunda: calcular mais e modelar menos
• Qual o tipo de modelagem a ser utilizada? Depende dos objetivos !!!
Recommended