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mecanica de fluidos
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Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
247
CAPITULO IV
TENSIÓN SUPERFICIAL Y CAPILARIDAD
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
248
4.1 TENSION SUPERFICIAL.
Si depositamos con cuidado sobre el agua una esfera de acero engrasada, ésta puede flotar, formando en
la superficie del agua una depresión, aunque la densidad de la esfera puede llegar a ser hasta ocho veces
mayor que la densidad del agua. Esta experiencia se muestra en la figura 4.1.
Figura 4.1. Esfera de acero flotando en la superficie de agua.
Las fuerzas que soportan la esfera no son las fuerzas de flotación sino más bien son las fuerzas debidas a
la tensión superficial las que mantienen a la aguja en dicha posición. γ
Por otro lado cuando un tubo de vidrio limpio y de pequeño diámetro, se sumerge en agua, el agua
ascenderá en el interior del tubo tal como se muestra en la figura 4.2a, pero si el tubo se le sumerge en
mercurio, el mercurio desciende en el tubo como se muestra en la figura 4.2b.
Figura 4.2. (a) Tubo de vidrio sumergido en agua; (b) Tubo de vidrio limpio sumergido en mercurio.
El fenómeno de tensión superficial también ha sido observado en la formación de gotas de agua en las
hojas de una planta como se muestra en la figura 4.3a, así mismo gracias a éste fenómeno los insectos
acuáticos pueden caminar sobre la superficie libre del agua como lo muestra la figura 4.3b
Figura 4.3. (a) Gotas de agua formadas sobre una planta; (b) insecto caminando sobre la
superficie del agua.
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Estos fenómenos y otros de naturaleza análoga muestran la existencia de una superficie límite entre un
líquido y otra sustancia. Es decir la superficie de un líquido puede suponerse en un estado de tensión tal
que si se considera cualquier línea situada sobre ella o limitándolo, la sustancia que se encuentra a un lado
de dicha línea ejerce una tracción sobre la otra situada al otro lado. Esta tracción está en el plano de la
superficie y es perpendicular a la línea. Este efecto puede demostrarse utilizando la teoría molecular (ver
figura 4.4) es decir una molécula en el interior de un fluido está sometida a las fuerzas de atracción en
todas las direcciones dando lugar a una resultante nula tal como puede verse en la molécula A; la
molécula B que tiene más moléculas de líquido en la parte inferior de su esfera de acción experimenta una
fuerza resultante hacia abajo. La molécula C soporta la acción de una fuerza resultante dirigida hacia el
interior del líquido, esta situación repetida a lo largo de toda la superficie del líquido produce la
contracción de la superficie total del líquido como si se tratase de una membrana elástica. Esta tendencia
contráctil produce el fenómeno de tensión superficial.
Figura 4.4 Descripción molecular de la tensión superficial.
4.2 ALGUNOS EXPERIMENTTOS QUE MUESTRAN EL FENÓMENO DE LA TENSIÓN
SUPERFICIAL.
Una forma experimental como puede mostrarse los fenómenos de la tensión superficial es considerar un
anillo de alambre de algunos milímetros de diámetro en el cual se ha instalado un bucle de hilo tal como
se muestra en la figura 4.5 a. Cuando el anillo y el bucle se colocan en una disolución jabonosa, al sacarlo
de ella se forma una película delgada de líquido en la cual el bucle de hilo flota. Por otro lado si se pincha
el interior del bucle de hilo, este toma una forma circular como se muestra en la figura 4.5b, como si las
superficies del líquido tirasen radialmente hacia afuera en el sentido de las flechas.
Figura 4.5 (a) Anillo metálico con un bucle de hilo extraído de una solución jabonosa; (b) Anillo de
alambre en el que se pincho el centro del bucle.
Debe observarse que antes de pinchar la lámina líquida a ambos lados del hilo actúan las mismas fuerzas
de las manera que la resultante de las fuerzas es nula.
Otro equipo sencillo que muestra la existencia de la tensión superficial es el mostrado en la figura 4.6,
consiste en un trozo de alambre doblado en forma de U y se utiliza un segundo alambre como deslizador.
Cuando el sistema se introduce en una disolución jabonosa y posteriormente se saca de ella, el alambre, el
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250
alambre de longitud L, se desplaza rápidamente hacia arriba siempre que su peso W1, no sea demasiado
grande, y para mantenerlo en equilibrio es necesario aplicar una segunda fuerza W2. Aunque parezca
extraño la fuerza total F = W1 + W2, mantendrá el alambre en reposo, independientemente del área de la
lámina líquida, siempre que la temperatura se mantenga constante.
Figura 4.6. Alambre en forma de U con un alambre móvil AB en equilibrio bajo la acción de la
tensión superficial.
Aunque una película de agua jabonosa es muy delgada, su espesor es muy grande comparado con el
diámetro molecular. Por lo tanto puede considerarse formada por un volumen de líquido limitado por dos
capas superficiales cuyo espesor es de algunas moléculas. Cuando se tira hacia debajo de la varilla móvil
y se aumenta el área de las láminas, hay moléculas situadas en el interior que se desplazan hacia las capas
superficiales.
4.3 COEFICIENTE DE TENSIÓN SUPERFICIAL.
Consideremos un alambre delgado en forma de U y un alambre móvil de longitud L, extraído de una
disolución jabonosa tal como se muestra en la figura 4.7.
Figura 4.7 Trabajo necesario para incrementar el área de la película jabonosa.
Para mantener el alambre móvil en equilibrio o para ampliar el área de la lámina es necesario aplicar una
fuerza exterior Fex es decir para ampliar el área es necesario realizar un trabajo, trabajo que resulta ser
proporcional al incremento de área, siendo la constante de proporcionalidad el llamado coeficiente de
tensión superficial, γ.
Entonces, el trabajo ΔU, necesario para aumentar el área de la superficie líquida en una cantidad ΔA, será
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251
AU . (4.1)
Donde, γ es el coeficiente de tensión superficial. Δ
El trabajo que hay que desarrollar para incrementar el área de la película superficial también se expresa en
la forma.
ixiFrFU
..
(4.2)
Por otro lado el incremento de área superficial debido la aplicación de la fuerza exterior F, esta dado por
2A l x (4.3)
Remplazando las ecuaciones (4.2) y (4.3) en (4.1), tenemos
)2( xLxF
2
F
l (4.4)
La ecuación (4.4), expresa que, el coeficiente de tensión superficial γ se define como la razón entre la
fuerza superficial y la longitud perpendicular a la fuerza a lo largo de la cual actúa. En el sistema
internacional el coeficiente de la tensión superficial se expresa en N/m y el sistema CGS absoluto, se
expresa en dinas/cm.
Para un líquido dado el coeficiente de tensión superficial solo depende de la naturaleza del líquido y de la
temperatura. Es decir el coeficiente de tensión superficial disminuye con el aumento de la temperatura.
Cuando la temperatura del líquido se aproxima a la crítica Tk, el coeficiente de tensión superficial tiende a
cero.
En la Tabla 4.1, se dan los valores de la tensión superficial correspondientes a algunos líquidos.
TABLA 4.1. Valores del coeficiente de tensión superficial para algunos líquidos a la temperatura de
20ºC
LIQUIDO TENSION SUPERFICIAL
(N/m)
Agua 0,073
Mercurio 0,50
Glicerina 0,064
Aceite de ricino 0,035
Benzol 0,03
Keroseno 0,03
Alcohol 0,02
4.4 SOBREPRESIÓN Y DEPRESIÓN DEBIDA A LA CURVATURA DE LA SUPERFICIE LIBRE
DE UN LÍQUIDO.
Es sabido que la superficie de los líquidos se comporta como una membrana elástica estirada. Si la
película está limitada por un contorno plano, ella misma tiende a adoptar la forma plana. Por lo tanto, si la
película es convexa, al tendera ponerse plana presionará sobre las capas líquidas que se encuentran debajo
de ella, mientras que si la película es cóncava, tirará de ella, tal como se muestra en la figura 4.8. Es decir,
xFU
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252
“Toda película superficial curva ejerce sobre el líquido una presión complementaria, en comparación
con aquella que experimenta dicho líquido cuando la película superficial es plana; si la superficie es
convexa, la presión complementaria es positiva (sobrepresión); si es convexa, la presión
complementaria es negativa (depresión)”.
Figura 4.8 Acción de la curvatura de una superficie: (a) Sobrepresión; (b) Depresión.
4.4.1. Presión complementaria para una superficie del líquido de forma esférica.
Consideremos que el radio de la esfera es R y aislemos en la superficie un casquete esférico de
área ΔA como se muestra en la Fig. 4.9. Las fuerzas de tensión superficial aplicadas al contorno del
casquete son tangentes a la superficie esférica. La fuerza ΔF, aplicada al elemento diferencial ΔL de
dicho contorno está dado por
LF s (4.5)
Debido a que esta fuerza es tangente a la superficie esférica, forma cierto ángulo con el radio OC. Por lo
tanto, la componente de la fuerza paralela al radio OC, no será igual a cero. Es decir existirá una
sobrepresión.
Figura 4.9. Casquete esférico de área ΔA, tomado de una esfera de radio R para determinar la
sobrepresión.
Del gráfico se observa que φ
senFF .1 (4.6)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
253
Al sustituir la ec. (4.5) en (4.6), se obtiene
senLF S .1 (4.7)
Debido a que alrededor del casquete existe un conjunto de fuerzas análogas a ΔF1, la fuerza resultante
paralela al radio OC, es
.11 LsenFF S (4.8)
La suma ΣΔL, es la longitud del contorno que limita al casquete esférico. Este contorno en una
circunferencia de radio r, por lo tanto, ΣΔL = 2πr, y la ecuación (4.8) se escribe
senrF S .21 (4.9)
Del gráfico se observa además
R
rsen (4.10)
Remplazando el valor de la ec.(4.10) en (4.9), se tiene
R
rF S 2
1
.2 (4.11)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones entre el interior y exterior del casquete (p – p0),
viene expresado por
AppFp 0 (4.12)
Esta fuerza es perpendicular a la superficie tal como muestra la figura 4.10. La componente de esta fuerza
en dirección vertical será
cos'0 AppFp (4.13)
Pero ΔAcosφ, es el área proyectada sobre un plano perpendicular al eje Y, es decir la fuerza en dirección
vertical será
.0 proyp AppF (4.14)
La fuerza total en la dirección vertical se expresa
.0 proypp AppFF (4.15)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces
la ecuación (4.15) se escribe
2
0 .rppFp (4.16)
En la dirección Y, las fuerzas debido a la diferencia de presiones y la debida a la tensión superficial se
compensan, por tanto se tiene
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R
rrpp
F
S
y
22
0
.2.
0
Rp S2 (4.17)
Figura 4.10 Fuerza debida a la diferencia de presión para una gota
4.4.2. Presión complementaria para una lámina de líquido de forma esférica.
Consideremos una lámina esférica (pompa de jabón) muy delgada de tal manera que los radios
interior y exterior sean iguales a R. Para determinar la fuerza debido a la tensión superficial aislemos un
casquete esférico de radio r, tal como se muestra en la figura 4.11.
Figura 4.11 Casquete esférico aislado para determinar las fuerzas debido a la tensión superficial.
La componente de la fuerza ΔF, paralela al eje X, en este caso es
senFF .1 (4.18)
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
255
Teniendo en cuenta que ΔF = γSΔL, la ec. (18), se escribe en la forma
senLF S .1 (4.19)
La fuerza resultante total en dirección horizontal es
.11 LsenFF S (4.20)
Del gráfico se observa que
rL .22 (4.21)
En donde se considera el doble de la longitud de la circunferencia de radio r, por el hecho de existir dos
superficies, una exterior y la otra interior, entonces al remplazar la ecuación (4.21), en la ecuación (4.20),
se tiene
senrF S .41 (4.22)
Teniendo en cuenta que senφ =r/R, la ecuación (4.22) se escribe
R
rF S 2
1
.4 (4.23)
Por otro lado, la fuerza debida a la diferencia de presiones que actúa sobre el elemento de área ΔA’, está
dado por
'0 AppFp (4.24)
En donde p, es la presión del aire en el interior de la burbuja y p0 es la presión atmosférica.
Esta fuerza es perpendicular a la superficie y actúa tal como se muestra en la figura 4.12, entonces la
componente horizontal es
cos'0 AppFp (4.25)
Puesto que ΔA’ cos φ, es el área de la superficie proyectada en un plano perpendicular al eje X, la ec.
Anterior se escribe
.0 proyp AppF (4.26)
La fuerza resultante en la dirección horizontal se expresa
.0, proypxp AppFF (4.27)
Al proyectar toda la superficie del casquete de radio r se obtiene un círculo de área Aproy = πr2, entonces la
ec. (4.27) se escribe
2
0, .rppF xp (4.28)
Debido a que en la dirección horizontal existe equilibrio, la resultante de todas las fuerzas en esta
dirección es nula, es decir
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256
2
2
0
0
4 ..
x
S
F
rp p r
R
4 SpR
(4.29)
La ecuación (4.29) indica que la para un coeficiente de tensión superficial constante la presión
complementaria, es directamente proporcional al radio R, de la superficie esférica, es decir la diferencia
de presión es mucho mayor cuando el radio es menor, esto es, si se soplan dos burbujas en los extremos
de un tubo, la más pequeña obligará al aire a entrar en la grande. En otras palabras la más pequeña se hará
aún más pequeña y la grande incrementará su volumen.
Figura4.12. Fuerza debido a la diferencia de presiones en una burbuja.
4.4.3. Presión bajo la superficie curva de un líquido de forma cualquiera.
Para determinar la diferencia de presión bajo una superficie de forma arbitraria, en primer
lugar, existe la necesidad de conocer lo que es curvatura de una superficie en general. θ
En la figura 4.13, se muestra una superficie cualquiera, en donde se ha trazado una perpendicular a la
superficie que pasa por O. Al trazar un plano P1 por la normal, la intersección de este plano con la
superficie se genera una sección normal.
Para el caso de una esfera, cualquier sección normal es un arco de circunferencia A1B1, cuyo radio
coincide con el de la esfera. La magnitud C = 1/R, se le conoce con el nombre de curvatura de la esfera.
Para el caso de una superficie de forma arbitraria, el trazado de diferentes secciones normales por el punto
O dará diferentes curvas geométricas y por tanto diferentes curvaturas. En la Fig. 4.13, se muestran dos
secciones normales diferentes trazadas por el mismo punto O. Una de estas secciones de la curva da el
arco A1B1 y la otra el arco A2B2, siendo sus radios de curvatura R1 y R2, respectivamente.
La curvatura media de la superficie en el punto O, se expresa como
21
11
RRC (4.30)
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257
Figura 4.13 Esquema para mostrar la curvatura de una superficie.
Consideremos ahora una superficie del líquido de forma arbitraria y por el punto O tracemos dos
secciones normales A1B1 y A2B2, tal como se muestra en la figura 4.14, los radios de curvatura de las
secciones normales so R1 y R2. Teniendo en cuenta que la figura es un cuadrilátero curvilíneo, entonces
ΔL1 será la longitud de DE y ΔL2 la longitud de DG y EF, entonces el área del cuadrilátero será
.21 LLA (4.31)
La fuerza debido a la tensión superficial en el borde DE, será
11 LF S (4.32)
La componente de ΔF1 en dirección del radio OC1 es diferente de cero, por tanto
senFF 11 ' (4.33)
De la figura se obtiene la relación trigonométrica
1
2
11
11
2
R
L
CA
AOsen
1
21
2R
Lsen
(4.34)
Al sustituir la ec (4.34) en (4.33) se obtiene
1
21'
12R
LLF S
1
'
12R
AF S
(4.35)
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258
Figura 4.14 Fuerza debido a la tensión superficial para una superficie de forma arbitraria
En el borde GF actuará una fuerza semejante a la dada por la ecuación anterior.
1
'
12R
AF S
(4.36)
Siguiendo el mismo procedimiento se determina la fuerza de tensión superficial en el borde DG,
obteniéndose
2
'
22R
AF S
(4.37)
Y el borde EF habrá una fuerza análoga a la dada por la ecuación (4.37)
2
'
22R
AF S
(4.38)
La fuerza neta sobre el cuadrilátero debido a la tensión superficial será
21
?
22
22
R
A
R
AF SS
(4.39)
Las fuerzas debidas a la diferencia de presiones se expresan en la forma
AppFp 0 (4.40)
Como las fuerzas debido a la diferencia de presiones se ven equilibradas por las fuerzas debido a la
tensión superficial, resulta
21
0
'
11
RRAApp
FF
S
p
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259
21
0
11
RRpp S (4.41)
A la ecuación (4.41) se le denomina fórmula de Laplace, esta debida a la superficie de un líquido de
forma arbitraria. Así por ejemplo si la superficie es de forma esférica, los radios de curvatura son iguales,
entonces la ec. (4.41) se escribe
Rpp
RRpp
S
S
2
11
0
0
Por otro lado si la superficie es un cilindro de revolución, uno de los radios de curvatura es infinito y el
otro es igual al radio del cilindro R, por lo tanto, se tiene
Rpp S
110
Rpp S 0
(4.42)
4.5. ANGULOS DE CONTACTO
Las secciones anteriores se limitaron al estudio de los fenómenos de tensión superficial en láminas que
separan un líquido de un gas. Sin embargo, existen otros límites en los cuales se observa la presencia de
láminas superficiales. Uno de estos límites aparece entre la pared sólida y un líquido, y otra entre la pared
sólida y un fluido gaseoso. Estos límites se muestran en la figura 4.15, conjuntamente con sus láminas.
Debe notarse además que las láminas solo tienen espesores de algunas moléculas y a cada lámina se
encuentra asociada una determinada tensión superficial. Así por ejemplo:
FSL = Tensión superficial de la lámina sólido-líquido
FSV = Tensión superficial de la lámina sólido-vapor
FLV =Tensión superficial de la lámina líquido-vapor
Figura 4.15. Láminas que delimitan los límites: sólido – líquido –vapor.
La curvatura de la superficie líquida en la cercanía de la pared sólida depende de la diferencia entre la
tensión superficial sólido-vapor (FSV) y la tensión superficial sólido-líquido (FSL). Para determinar la
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260
relación entre estas tensiones superficiales, se traza el DCL de una porción de láminas en la intersección
como se muestra en la figura 4.16, y se aplica las ecuaciones de equilibrio
Figura 4.16. (a) Diagrama de cuerpo libre de las láminas sólido-líquido-vapor para el Ioduro de metileno en
contacto con vidrio, (b) Interacción molecular entre moléculas del sólido (vidrio) y el líquido
(agua).
Las ecuaciones de equilibrio según las direcciones mostradas proporcionan.
0 xF
senFA LV (4.43)
0 yF
.cosLVSLSV FFF (4.44)
Donde A, es la fuerza de atracción entre la posición aislada y la pared, y se denomina fuerza de adhesión.
La ecuación (4.43) nos permite determinar la fuerza de adhesión conocida la tensión superficial líquido-
vapor y el ángulo de contacto θ, mientras que la ecuación (4.44) muestra que el ángulo de contacto, el
cual es una medida de la curvatura de la superficie del líquido-vapor adyacente a la pared, depende de la
diferencia entre la fuerza de tensión superficial sólido-vapor y de la tensión superficial sólido-líquido.
En la figura 4.16, se observa que FSV es mayor FSL, entonces cosθ es positivo y el ángulo de contacto está
comprendido entre 0º y 90º, en estas condiciones se dice que el líquido moja a la pared sólida.
FSV > FSL → 0 < θ < 90º (4.45)
En esta situación se observa que la fuerza de adhesión es mayor que la fuerza de cohesión entre las
moléculas del líquido.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
261
Por otro lado, cuando interactúa un fluido como el mercurio con una pared sólida como el vidrio, la
curvatura de la superficie es convexa como lo muestra la figura 4.17.
Figura 4.17 DCL de las láminas sólido-líquido-vapor para el mercurio y el vidrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio al DCL de la porción de láminas en la intersección de la pared
sólida i líquida, se obtiene
0 xF
º180senFA LV (4.46)
0 yF
º180cosLVSLSV FFF (4.47)
En este caso el ángulo de contacto es mayor que 90º y menor que 180º, por tanto la fuerza de tensión
superficial sólido-vapor es menor que la fuerza de tensión superficial sólido-líquido. En estas condiciones
se dice que el fluido no moja al vidrio.
FSV < FSL → 90º < θ < 180º (4.48)
Para esta situación se observa que la fuerza adhesiva es menor que la fuerza cohesiva.
Finalmente, si se pone en contacto una superficie de plata con un fluido líquido como el agua, como se
muestra en figura 4.18, se observa que el ángulo de contacto es aproximadamente 90º. En estas
condiciones las ecuaciones de equilibrio nos dan
0 xF
LVFA (4.49)
0 yF
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262
SLSV FF (4.50)
Figura 4.18 DCL de la intersección de láminas: sólido-líquido-vapor para el agua en contacto
con una pared de plata.
Debe aclararse además que un mismo líquido puede mojar unos sólidos y no mojara a otros, así por
ejemplo, el agua moja perfectamente la pared de vidrio limpio pero no moja a una pared de parafina; en
forma análoga el mercurio no moja el vidrio pero si a una pared de hierro.
Cuando un fluido líquido moja a un sólido en forma de tubo de diámetro pequeño, su superficie libre es
cóncava, mientras que si el fluido no moja al tubo la superficie es convexa. A estas superficies curvas se
le llaman meniscos. Por otro lado el agregado de impurezas a los líquidos modifica considerablemente el
ángulo de contacto como se muestra en la figura 4.19.
Figura 4.19 Efecto del añadido de impurezas a los líquidos sobre la tensión superficial: (a) agua con
detergente, el líquido moja la superficie (θ < 90°); (b) agua con keroseno el líquido
no moja la superficie (θ > 90°)
4.6 CAPILARIDAD.
Uno de los efectos más importantes de la tensión superficial es la elevación de un fluido líquido en un
tubo abierto de radio muy pequeño. Este fenómeno es conocido como capilaridad y a los tubos donde se
presenta este efecto se les llama capilares (análogo a cabello).
En el caso donde el fluido líquido moja a la pared, el ángulo de contacto es menor que 90º, en esta
situación el fluido se eleva una altura h hasta alcanzar el equilibrio tal como se muestra en la figura 4.20.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
263
Figura 4.20 Ascenso de un fluido en un capilar.
Para determinar la altura h en primer lugar se traza el DCL de la masa líquida ABBCD que ascendió,
como se muestra en la figura 4.21, sobre ella se observa que actúan las fuerzas: la tensión superficial (FS),
el peso de la masa líquida (W), la fuerza debido a la presión atmosférica sobre CD y la fuerza debido a
la presión sobre la superficie AB.
Figura 4.21 DCL del fluido que ascendió en el capilar.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
0 yF
WFS (451)
Si el radio interior del tubo es r, el fluido líquido estará en contacto con al pared del capilar a lo largo de
una longitud (2πr), entonces la fuerza debido a la tensión superficial en la dirección vertical será
cos.2 rF LVS (4.52)
Además el peso del líquido que se extiende desde la concavidad hasta la línea AB, será
hrggVW 2. (4.53)
Remplazando la ecuación (4.52) y (453) en la ec. (4.51), resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
264
gr
h LV
cos2 (4.54)
La ecuación anterior muestra que la altura a la que se eleva un fluido líquido será tanto mayor cuanto
menor es el radio r del capilar. Por esta razón se vuelve notorio el ascenso del líquido en tubos de radios
muy pequeños. Por otro lado la elevación será mucho mayor, cuanto más grande sea el coeficiente de
tensión superficial. Además si el líquido moja perfectamente (θ=0º), la ecuación (4.54) puede escribirse
gr
h LV
2 (4.55)
Cuando el líquido no moja la pared del tubo, el menisco es convexo, en este caso la presión
complementaria es positiva y el nivel del líquido en dicho tubo es inferior al de la superficie libre en la
vasija, esta situación se muestra en la figura 422, la altura h que desciende el fluido en el capilar se
determina también con la ecuación (4.54).
Figura 4.22 Descenso de un fluido líquido en un capilar.
Debe recalcarse que los fenómenos capilares son de gran interés en la vida cotidiana, un ejemplo lo
constituye la infiltración del agua en un determinado suelo, otro ejemplo lo constituye el funcionamiento
de las mechas, la absorción del agua por el algodón hidrófilo, etc.
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265
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 1.
Un anillo de 25 mm de diámetro interior y 26 mm
de diámetro exterior está colgado de un resorte,
cuyo coeficiente de deformación es igual a 0,98
N/m, y se encuentra en contacto con la superficie de
un líquido. Al descender la superficie del líquido el
anillo se desprendió de ella en el momento en que
el resorte se había alargado 5,3 mm. Hallar el
coeficiente de tensión superficial del líquido.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;..3,5
;../98,0;..26;..25 21
Smmx
mNKmmdmmd
En la figura se muestra el DCL del anillo, sobre el
actúan las fuerzas: la fuerza elástica (Fe), el peso del
anillo (W) y la fuerza debido a la tensión superficial
(FS).
El valor de la fuerza de tensión superficial es
)1.(....................
.2.2
21
21
ddF
rr
longitudF
SS
S
SS
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)2.......(....................
0
WFF
F
Se
y
Debido a que el peso del anillo es despreciable, la
ecuación anterior se escribe en la forma
............................/10.4,32
102625
10.3,598,0
.
3
3
3
21
21
RtamN
dd
xK
xKdd
FF
S
S
S
eS
Problema 2.
Sobre un bastidor vertical ABCD mostrado en la
figura, provisto de un travesaño móvil MN, hay
extendida una película de agua jabonosa. (a) ¿Qué
diámetro deberá tener el travesaño de cobre MN
para poder estar en equilibrio?. (b) ¿Qué longitud
tiene este travesaño si sabemos que para
desplazarlo 1 cm hay que realizar un trabajo igual a
4,5.10-5 J? Para el agua jabonosa γS = 0,045N/m.
Solución
Parte (a).
Datos e incógnitas
.??;../8600;../045,0 3 dmkgmN CuS
En la figura se muestra el DCL del travesaño en la
posición de equilibrio, sobre el actúan las fuerzas:
la fuerza de tensión superficial (FS) y el peso (W).
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266
La fuerza debido a la tensión superficial es
)1(....................2
2
SS
S
SS
F
L
longitudF
El peso del travesaño es
)2..(....................4
2
LdgW
gVmgW
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)3....(....................
0
WF
F
S
y
Remplazando las ec. (1) y (2) en (3), resulta
........................17,1
)8,9)(8600(
)045,0(88
42
2
Rtammd
gd
gLdL
S
S
Parte (b)
Datos e incógnitas
JUmNcmyL S 45;../045,0;..1??;..
Se sabe que el trabajo para incrementar el área de la
película jabonosa es proporcional al área, siendo la
constante de proporcionalidad el coeficiente de
tensión superficial, entonces se tiene
....................................5
10045,02
10.45
2
tan
)2(
2
6
RtacmL
y
UL
topor
yLU
AU
S
S
S
Problema 3.
El alcohol que hay en un recipiente aislado sale a
través de un tubo vertical que tiene 2 mm de
diámetro interior. Considerando que cada gota se
desprende 1 segundo después que la anterior, hallar
cuánto tiempo tardará en salir 10 gramos de
alcohol. El diámetro del cuello de la gota en el
momento en que ésta se desprende tómese igual al
diámetro interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas
mN
grmtstmmd
al
alcoholT
/02,0
;10??;..;..1;..2
.
En la figura se muestra el DCL de la gota un
instante antes de desprenderse del tubo, sobre ella
actúan: el peso de la gota (W) y la fuerza de tensión
superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
kgm
g
dm
mgd
mgr
mglongitud
WFF
S
S
S
S
Sy
0128,0
8,9
10.202,0
2.2
.2
0
3
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
267
Para determinar el número de gotas (N), que hay en
10 gramos de alcohol se usa una regla de tres
simple, esto es
gotasN
entonces
kgN
kggota
780
310.10
0128,01
Finalmente se determina el tiempo que demora e
salir 10 gramos de alcohol
.....Rta...........minutos... 13
7801780.
T
T
t
segseggotastNt
Problema 4.
De un tubo vertical cuyo radio interior es 1 mm
gotea agua. Hallar el radio de las gotas en el
momento de desprenderse. Considerar que las gotas
son esféricas. El diámetro del cuello de la gota en el
momento de desprenderse tómese igual al diámetro
interior del tubo.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;..1;../073,0 RmmrmNS
En la figura se muestra el DCL de la gota en un
instante antes de desprenderse del tubo, las fuerzas
que obran son: el peso de la gota (W) y la fuerza de
tensión superficial (FS).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
a.........Rt..........mm........ 23,2
8,910002
10.073,03
2
3
.2
0
3
3
3
3
34
R
g
rR
gRr
mglongitud
WFF
S
S
S
Sy
Problema 5.
¿Cuánto se calentará una gota de mercurio que
resulta de la unión de dos gotas que tienen 1 mm de
radio cada una?
Solución
Datos e incógnitas
RmmrmkgT hg ;..1;../13600??;.. 3
En la figura se muestra las gotas en estado inicial y
final.
En primer lugar se determina el área total de las
gotas pequeñas
)1......(...........8.42 22 rrA
En forma análoga se determina el área de la gota
formada después de la unión de las gotas pequeñas
)2.......(....................4 2RA
La energía liberada al disminuir la superficie, como
consecuencia de la unión de las gotas será
)3.......(..........24
4.8
22
22
0
Hg
Hg
Hgffi
RrE
Rr
AAUE
Como no se conoce el valor de R se determina
teniendo en cuenta que la masa del fluido antes de
la unión de las gotas es igual a la masa del fluido
después de la unión, es decir
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
268
)4.......(....................2
.2
2
2
3
3
3
43
3
4
21
rR
Rr
VV
Mm
Mmm
Rr
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
)5........(....................10.57,2
5,022104
22.4
2.24
6
3
2
232
3
2
3
2
JE
r
rrE
Hg
Hg
La energía de 2,57.10-6 J, se utiliza para el
calentamiento de la gota de mercurio formada.
Según la calorimetría se tiene
13
6 343
36 34
3
4
0, 24 2,57.10 0,033
0, 24 2,57.10 13600 2 .10 (0,033)
1,64.10 º ......... .
Hg e
Hg
E m c T
R T
T
T C Rta
Problema 6.
¿Qué trabajo hay que realizar contra las fuerzas de
tensión superficial para aumentar al doble el
volumen de una pompa de jabón que tiene 1 cm de
radio? El coeficiente de la tensión superficial del
agua jabonosa tómese igual 0,043 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../043,0;..11 UmNcmr S
En primer lugar se determina el nuevo radio de la
pompa debido al aumento de volumen
)1....(....................210
2
.2.
2
3
12
2
312
3
13
43
23
4
12
r
rr
rr
VV
Se procede ahora a determinar el área total de la
superficie de la pompa,
)3....(.....................42
)2.....(.....................42
2
21
2
11
rA
rA
El trabajo se procede a determinar mediante la
ecuación
...Rta.....................J......... 64
1010.2043,08
8
222
2
2
1
2
2
12
3
1
ffi
Hg
Sffi
U
rr
AAU
Problema 7
Determinar la presión del aire (en mm de Hg) que
hay dentro de una burbuja de diámetro d = 0,01 mm
que se encuentra a la profundidad de h = 20 cm
bajo la superficie libre del agua. La presión
atmosférica exterior es p0 =765 mmHg.
Solución
Datos e incógnitas
mmHgpcmhmmdpa 765;..20;..01,0??;.. 0
En la figura se muestra la burbuja ubicada en el
interior del agua.
Siendo la presión interior del aire pa y la presión p
en un punto inmediatamente fuera de la burbuja, la
diferencia de presiones se expresa como
)1....(....................4
2
dpp
Rpp
S
S
a
a
Utilizando la hidrostática se obtiene la presión p
)2....(....................0 ghpp
Remplazando la ec. (2) en (1), se tiene
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
269
)3...(........../31160
10.01,0
073,04)2,0(9800
4
2
0
30
0
mNpp
p
dghpp
a
a
S
En seguida se procede a convertir la presión de
31160 N/m2 a mmHg
)........(4mmHg...... 76,233
/31160
/3,1331
2
2
X
mNX
mNmmHg
Remplazando la ec.(4) en (3), resulta
Rta...........mmHg...... 76,998
75,233765
a
a
p
mmHgmmHgp
Problema 8.
La presión atmosférica que hay dentro de una
pompa de jabón es de 1 mmHg mayor que la
atmosférica. ¿Qué diámetro tiene esta pompa? El
coeficiente de la tensión superficial de la solución
jabonosa tómese igual a 0,043 N/m.
Solución
Datos e incógnitas.
mNdmmHgpp S /073,0??;..;..10
En la figura se muestra la situación descrita en el
enunciado
La diferencia de presión para una pompa de jabón
viene expresada por la relación
0
4S
ap pR
0
8S
ap pd
Entonces el diámetro será
2
0
2
2
8 0,043 /8d
1
8 0,043 /
133,3 /
S
a
N m
p p mmHg
N md
N m
Problema 9.
En un recipiente con agua se introduce un tubo
capilar abierto cuyo diámetro interior es d =1 mm.
La diferencia entre los niveles de agua en el
recipiente y en el tubo capilar es Δh = 2,8 cm. (a)
¿Qué radio de curvatura tendrá el menisco en el
tubo capilar? (b) ¿Cuál es la diferencia entre los
niveles del agua en el recipiente y en el tubo capilar
si este líquido mojara perfectamente?
Solución
Parte (a)
Datos e incógnitas
.??'??;..;..8,2;..1 HRcmhmmd
En la figura se muestra el DCL del agua ubicada
dentro del capilar
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1.(..........
0
CDSAB
y
FWFF
F
Debido a que las fuerzas FAB y FCD son debidas a la
presión atmosférica y actúan en la misma área,
entonces se cancelan y la ec. (1) se escribe
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
270
)2.(...........cos.2
cos.2
cos
2 hrgr
gVr
mgL
WF
S
S
CS
S
Despejando θ se obtiene
)3.......(º.........20
939726,0cos
073,02
10.8,210.5,09800
2
...cos
23
S
hrg
De la geometría del menisco se obtiene
......Rta.mm........ 532,0
939726,0
5,0
939726,0cos
R
R
R
r
Parte (b)
Cuando el fluido moja perfectamente la superficie
el ángulo de contacto es θ =0º, entonces cosθ =1, y
la altura en este caso será
.Rta...........cm........ 98,2'
10.5,09800
073,02
..
º0cos2'
3
h
rgh S
Problema 10
¿Hasta qué altura se elevará el benzol en un tubo
capilar cuyo diámetro interior es 1 mm?. Considere
que el benzol moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2/03,0;..5,0??;.. mNmmrh S
En la figura se muestra el DCL del benzol dentro
del capilar
Del problema anterior se tiene que
...Rta...........mm........ 9,13
10.5,08,9880
º0cos03,02
..
cos2
3
h
h
rgh S
Problema 11
Hallar la diferencia de alturas a la que se encuentra
el mercurio que hay en dos tubos capilares
comunicantes cuyos diámetros respectivos son d1
=1 mm y d2 =2 mm. Considere que el mercurio no
moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.??
/5,0;º180;..1;..2,0 21
h
mNmmrmmr S
En la figura se muestra la ubicación del mercurio en
los capilares comunicantes
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
271
La sobrepresión p1, producida por la superficie
convexa del mercurio en la rama más delgada del
tubo, se equilibra con la debida a la diferencia entre
los nivele de Hg, en ambas ramas y con la
sobrepresión p2 en la rama ancha, esto es
)1....(............21 hgpp
Como el mercurio no moja en absoluto, entonces se
tiene que θ =180º, y las presiones complementarias
será
)3.......(..........2
)2.........(..........2
2
2
1
1
rp
rp
S
S
Remplazando la ec.(2) y (39 en (1), resulta
......Rta...........mm........ 5,7
10.15,08,913600
10.5,010.15,02
...
2
..22
6
33
21
12
21
h
h
rrg
rrh
hgrr
S
SS
Problema 12
¿Qué diámetro máximo pueden tener los poros de la
mecha de una hornilla de petróleo para que este
último suba desde el fondo del depósito hasta el
mechero de la hornilla (esta altura es h = 10 cm)?
Considerar que los poros son tubos cilíndricos y
que el petróleo moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
./03,0
/800;..º0;..10??;.. 3
mN
mkgcmhd
S
P
En la figura se muestra el DCL del petróleo en
capilar formado en la mecha.
La altura del petróleo en el capilar se determina a
partir de la ecuación.
...Rta...........mm........ 15,0
10.108,9800
03,04
..
º0cos4
..
cos2
3
h
dg
rgh
S
S
Problema 13
Un tubo capilar de 2 mm de radio interior se
introduce en un líquido. Hallar el coeficiente de
tensión superficial del líquido sabiendo que la
cantidad de éste que se eleva por el tubo capilar
pesa 88.10-2 N.
Solución
Datos e incógnitas
NWmmr LS
210.2.88??;..;..2
En la figura se muestra el DCL del fluido en el
capilar y las fuerzas que actúan sobre el fluido
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
272
Del equilibrio de fuerzas se tiene
)1..(..........cos.2
cos
0
Wr
WL
F
S
CS
y
Asumiendo que el fluido moja perfectamente el
capilar cosθ = 1, entonces la ec. (1) se escribe
........../10.02,7
10.22
10.2,88
.2
.2
2
3
2
RtamN
r
W
Wr
S
S
S
Problema 14.
Un tubo capilar cuyo radio es r =0,16 mm está
introducido verticalmente en un recipiente con
agua. ¿Qué presión deberá ejercer el aire sobre el
líquido que hay dentro del tubo capilar para que
éste se encuentre al mismo nivel que el agua que
hay en el recipiente ancho? La presión exterior es
p0=760 mmHg. Considere que el agua moja
perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
2
0 /101308760
??;../073,0;..16,0
mNmmHgp
pmNmmr S
Para que el fluido se ubique al mismo nivel que el
agua en el depósito se debe insuflar aire como se
muestra en la figura.
Analizando el menisco que forma el fluido se tiene
0 3
2
2'
2'
2 0,073
0,16.10
102220,5 /
767 mmHg................Rta.
S
S
p pR
p pR
p p
p N m
p
Problema 15.
Un tubo capilar está introducido verticalmente en
un recipiente con agua. El extremo de este tubo está
soldado. Para que el nivel del agua fuera igual
dentro del tubo que en el recipiente ancho hubo que
sumergir el tubo en el líquido hasta el 15% de su
longitud. ¿Qué radio interior tendrá el tubo? La
presión exterior es igual a 750 mmHg. Considerar
que el agua moja perfectamente.
Solución
Datos e incógnitas
.750??;..;../073,0 0 mmHgpRmNS
En las figuras se muestran al tubo capilar antes y
después de sumergirlo
(a) antes de sumergir (b) después de sumergir.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
273
Antes de sumergir el tubo, la presión y el volumen
del aire atrapado dentro del tubo son
)1....(..........Vy 00p
Después de sumergir el tubo en el fluido, la presión
y el volumen del aire atrapado serán
y V (2)p
Según la ley de Boyle, debe cumplirse que
)3...(....................00VppV
En la figura se muestra la posición del tubo en el
fluido
La presión se calcula a partir del menisco formado
por el fluido dentro del tubo
)4......(..........2
2
0
0
Rpp
Rpp
S
S
Remplazando la ec. (4) en (3) y teniendo en cuenta
que V0 = A0h0, se tiene
)5...(....................
2
2
2
2
10
10
0
10
00
10
00
0
0000100
hh
hp
R
phh
hp
R
hh
hp
Rp
hApAhhR
p
S
S
S
S
Teniendo en cuenta que h1 =(1.5/100)h0, la
ecuación (5) se escribe
......Rta.mm........ 096,0
3,1337505,1
5,1100073,02
100
5,1
100
5,12
00
00
R
hp
hh
R
S
Problema 16
El tubo barométrico A de la figura está lleno de
mercurio y tiene un diámetro interior d igual a: (a) 5
mm y (b) 1,5 cm. ¿Se puede determinar
directamente la presión atmosférica por la columna
de mercurio de este tubo? Hallar la altura de la
columna en cada uno de los casos antes
mencionados, si la presión atmosférica es p0 = 758
mmHg. Considerar que el mercurio no moja en
absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.758??;..;../5,0
/13600;..5,1;..5
0
3
21
mmHgphmN
mkgcmdmmd
S
Hg
De la hidrostática se tiene
)1..(............0 hgppp BA
Teniendo en cuenta la curvatura del menisco, se
tiene
,
2 SB V Hgp p
R
,
4................(2)S
B V Hgp pd
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
274
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3......(............4
,0 hgd
pp S
HgV
Debido a que la presión del vapor de mercurio es
muy pequeña 0., HgVp , la ec. Anterior se escribe
)3.....(......................4
0 hgd
p S
Caso (a), Remplazando los valores dados resulta
Rta.....................mm........ 755
8,91360010.5
5,04)3,133(758
3
h
h
Caso (b). Remplazando el valor de d =1,5 cm, se
tiene
Rta.....................mm........ 757'
'8,91360010.5,1
5,04)3,133(758
2
h
h
Problema 17.
El diámetro de un tubo barométrico es igual a 0,75
cm. ¿Qué corrección habrá que introducir al medir
la presión atmosférica por la altura de la columna
de mercurio de este tubo? Considerar que el
mercurio no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
.??
/5,0;/13600;..75,0 3
corrección
mNmkgcmd SHg
En la figura se muestra el tubo barométrico sin
considerar la tensión superficial
Aplicando la ley de la hidrostática se tiene
)1........(..............................133280
8,9136000
.
..
0
1
10
1,0
0
ph
hp
hgpp
hgppp
HgHgV
BA
En la figura se muestra el tubo barométrico
teniendo en cuenta los efectos de tensión superficial
Del gráfico se observa que tomando los puntos de
igual presión, resulta
)2........(..........4
.
..4
..
..
2
0
20
2,0
2
'
hgdg
p
hgd
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec.(1) en (2), se tiene
321
10.5,78,913600
5,04
hh
A la altura del menisco hay que añadirle 2 mm
.................... 221 Rtammhh
Problema 18.
¿Qué error relativo cometemos al calcular la
presión atmosférica, igual a 760 mmHg, por la
altura de la columna de mercurio de un tubo
barométrico cuyo diámetro interior es iguala: (a) 5
mm y (b) 10 mm? Considerar que el mercurio no
moja en absoluto.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
275
Solución
Datos e incógnitas
0;../5,0;../13600.
;.10;..5;..760..??
,
3
210
HgVSHg
R
pmNmkg
mmdmmdmmHgpe
Del problema anterior se tiene que cuando no se
tiene en cuenta la tensión superficial, resulta
)1.....(.....................
..
0
0
g
pH
Hgp
Y cuando se tiene en cuenta la tensión superficial,
se obtiene
)2........(..........4
.
..4
..
..
0
0
,0
'
hgdg
p
hgd
p
hgppp
hgppp
S
S
HgVB
BoA
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3....(......................
4h
dgH S
El error relativo viene expresado por
)4..(....................4
4
..
4
.
..
4
..
4
.
..
4
..
0
0
0
00
S
S
R
S
S
S
S
R
dpe
dgg
p
dg
dgg
p
dgg
p
g
p
h
hHe
Caso (a) el error relativo cuando d =5 mm, será
.......................%.........396,0
5,0410.53.133760
5,043
Rtae
e
R
R
Caso (b). El error relativo para d =10 mm, será
.......................%.........197,0
5,0410.103.133760
5,043
Rtae
e
R
R
Problema 19.
Sobre la superficie del agua se depositó
cuidadosamente una aguja de acero grasienta
(suponiendo que el agua no moja en absoluto).
¿Qué diámetro máximo podrá tener esta aguja para
mantenerse a flote?.
Solución
Datos e incógnitas
mN
dmkgmkg
wS
wac
/073,0
??;;../1000;/7700
,
33
En la figura se muestra el DCL de la aguja flotando
en el agua por acción de la tensión superficial, las
fuerzas que actúan son: el peso (W) y la fuerza de
tensión superficial que tiene una dirección vertical
porque el agua no moja en absoluto
Aplicando las ecuaciones de equilibrio se tiene
)1....(....................
0
WF
F
S
y
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)2(....................2LF
longitudF
SS
SS
El peso de la aguja será
)3.(..........4
....
...
2
2
gLdW
gLrgVW
ac
acac
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
276
...Rta.....................mm........ 57,1
8,97700.
073,08
.
8
4
....2
2
d
gd
gLdL
ac
S
ac
S
Problema 20.
¿Flotará en la superficie del agua un alambre
grasiento de platino de 1 mm de diámetro?.
Suponga que el agua no moja en absoluto.
Solución
Datos e incógnitas
3/21400;.../073.0;..1 mkgmNmmd ptS
Para verificar si flota o no el alambre de platino, se
calculan las fuerzas de tensión superficial y el peso
del alambre y se aplican las ecuaciones de
equilibrio al DCL mostrado en la figura
La fuerza debido a la tensión superficial se expresa
)1(....................2LF
longitudF
SS
SS
El peso de la aguja será
)2.(..........4
....
...
2
2
gLdW
gLrgVmgW
pt
ptpt
Para que exista equilibrio debe cumplirse que
2
,
23
4
0
0
. .2 0
4
2 0,073 21400 9,8 1.10 0
0,146 0.1647 0
0,0187 0..........................(3)
Y
S
PtS w
F
F W
L g dL
De la ec. (3) se concluye que, el alambre no flota
puesto que no existe equilibrio ya que el peso es
mayor que la fuerza de tensión superficial.
Problema 21.
En el fondo de un depósito que contiene mercurio
hay un orificio. ¿Qué diámetro máximo puede tener
este orificio para que cuando la altura de la
columna de mercurio sea de 3 cm éste último no
pueda salir de él?.
Solución
Datos e incógnitas
3
max
/13600
;./5,0;..3??;..
mkg
mNcmhd
Hg
S
En la figura se muestra la situación planteada en el
problema
Del menisco debe observarse que la diferencia de
presiones está dado por
)1.(....................4
0d
pp S
Aplicando la ecuación de la hidrostática se tiene
)2.......(............0 hgpp Hg
Comparando las ec. (1) y (2) resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
277
a.........Rt....................mm........ 5,0
10.38,913600
5,04
..
42
d
hgd
Hg
S
Problema 22.
Del fondo de una laguna se separó una pompa de
gas de diámetro d. Durante su ascenso a la
superficie su diámetro aumentó, η veces. Si la
presión atmosférica es normal p0 y la densidad del
agua es ρ, y considerando que el proceso de
expansión del gas es isotermo.
(a) Calcular la profundidad de la laguna en dicho
lugar en función de d, η, γS; p0 y ρ.
(b) ¿Cuál es el valor de la profundidad si d= 4
μm; η =1,1; ρ =1000kg/m3; γS =0,073 N7m y
p0 =101300 N/m2?.
Solución
El la figura se muestra a la burbuja en el fondo del
lago
La diferencia de presiones debido a la tensión
superficial es
)1...(..........4
4
dpp
dpp
S
a
S
a
Aplicando la hidrostática se determina la presión p
)2......(............ hgpp o
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.........(4
..0d
hgpp S
a
En la figura se muestra el diagrama de la burbuja
cuando está llegando a la superficie del lago
La diferencia de presiones en esta posición será
)4...(..........4
4
0
'
'0
'
dpp
dpp
S
a
S
a
Como el proceso es isotérmico, la ley de Boyle nos
da
)5.......(....................
82
3
'
3
3
4'
3
3
4
''
a
a
aa
aaaa
pp
dp
dp
VpVp
Al remplazar la ec. (5) en (4), resulta
)6..(..........4
0
3
dpp S
a
Comparando las ec. (3) y (6), se obtiene
dp
dhgp SS
2
3
00
44..
Despejando el valor de h, se tiene
......
.
14
1 23
0
Rtag
dp
h
S
Remplazando los valores del enunciado del
problema resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
278
..Rta............................... m 5
8,91000
11,110.4
)073,0(411,1101300 2
6
3
h
h
Problema 23.
Un capilar de longitud L, que tiene el extremo
superior soldado, se puso en contacto con la
superficie de un líquido, después de lo cual éste
ascendió por el capilar hasta alcanzar una altura h.
La densidad del líquido es ρ; el diámetro de la
sección interna del canal del capilar es d; el ángulo
de contacto es φ, y la presión atmosférica es po.
Hallar el coeficiente de tensión superficial del
líquido.
Solución
Datos e incógnitas
L; h; ρ; d; φ; p0; γS =??
En la figura se muestran los diagramas del tubo
antes y después de colocarlo en contacto con el
fluido
(a) Estado inicial (b) Estado final
Como el proceso es isotérmico la ley de Boyle
establece
)1...(....................
44
0
22
0
00
hLpLp
hLd
pLd
p
pVVp
Para evaluar la presión del aire atrapado en el tubo
cuando éste se coloca en contacto con el agua, se
traza el DCL del fluido que ascendió, como se
muestra en la figura.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
4
....
4
.
4
.cos..
cos
0
222
0
0
dhgdp
dpd
WpAApF
F
S
S
y
Despejando la presión, p, se tiene
)2.......(...cos4
0 hdgpd
p S
Remplazando la ec. (2) en (1), resulta
)3.......()...cos4
( 00 hLhdgpd
Lp S
Despejando el coeficiente de tensión superficial,
resulta
.........cos4
.. 0
Rta
dhl
hphg
S
Problema 24.
En un capilar de vidrio cuyo canal interno tiene un
diámetro d2 =2 mm se colocó concéntricamente,
una barra de vidrio de diámetro d1 = 1,5 mm. Luego
el sistema se estableció verticalmente y se puso, en
contacto con la superficie del agua. ¿A qué altura
ascenderá el agua en este capilar?.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;../1000
/073,0;..2;..5,1
3
21
hmkg
mNmmdmmd
w
S
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
279
En la fig.(a), se muestra la disposición de los tubos
colocados en el agua y en la fig (b), se muestra el
DCL del fluido que ascendió en el capilar formado.
(a) Disposición de tubos (b) DCL del fluido
Debido a que el fluido que ascendió en el capilar
está en equilibrio, se tiene
)1.....(....................
0
00
gmF
WApFAp
F
fS
S
y
La fuerza de tensión superficial es
)2......(..........21 ddF
LongitudF
SS
SS
El peso del fluido que asciende por el capilar es
)3(..........44
.
2
1
2
2 hdd
gW
Remplazando la ec. (2) y (3) en (1), resulta
)4(..........44
.
2
1
2
2
21 hdd
gddS
Despejando h resulta
)5......(..........
.
4
12 ddgh S
Remplazando valores del enunciado, se tiene
....Rta...........cm........ 96,5
10.5,110.28,91000
073,0433
h
h
Problema 25.
Entre dos láminas de vidrio horizontales se
encuentra una gota de mercurio en forma de torta
cuyo radio es R y el grosor h. Considerando que
h << R, calcular la masa de la carga que debe
ponerse sobre la lámina superior para que la
distancia entre las láminas disminuya η veces. El
ángulo de contacto es φ. Calcular m si R= 2 cm; h =
0,38 mm; η =2; φ =135º.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../13600;../5,0
º135;..2;..38,0;..2
3
mmNmN
mmhcmR
HgS
En la figura se muestra a la gota de mercurio entre
las placas paralelas
De la figura puede observarse que las fuerzas
debido a la tensión superficial se equilibran con las
fuerzas debido a la diferencia de presiones, es decir
)1.....(..........cos2
2cos22
cos
0
0
0
0
hpp
RhppR
AppF
F
S
S
proyS
x
Para determinar la masa de la placa superior se
traza el DCL de la placa superior tal como se
muestra en la figura
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
280
)2.....(..........
0
0 gmApp
F
P
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3.........(
.
cos2
..cos2
2
2
hg
Rm
gmRh
S
P
P
S
En la figura se muestra la disposición cuando se
coloca un bloque de masa m, sobre la placa
En la dirección horizontal se equilibran las fuerzas
debido a la diferencia de presiones y el debido a la
tensión superficial
)4...(..........cos2
..2cos.22
cos
0
'0
'
0
'
0
hpp
hrppr
AppF
F
S
S
proyS
x
Por condición del problema
hh
' .............................(5)
Entonces la ec. (4) se escribe
)6...(..........cos.2
0
hpp S
En la figura se muestra el DCL de la placa superior
más el bloque de masa desconocida
Aplicando las ecuaciones de equilibrio obtenemos
)7(..........)(.
0
2
0 gmmrpp
F
P
y
Remplazando la ec. (6) en (7) nos da
)8.......(..cos.2 2
gmmrh
P
S
Debido a que la masa del mercurio no varía, se
tiene
)9..(....................
.
22
22
'22
Rr
hrhR
hrhR
mm
HgHg
fi
Remplazando la ec. (9) en (8), resulta
)10........(1cos.
2 2
2
hg
Rm S
Teniendo en cuenta los valores del enunciado, se
tiene
....Rta...........kg........ 7,0
12º135cos10.38,08,9
10.25,02 2
3
22
m
m
Problema 26.
Dos discos de vidrio de radio R = 5 cm se mojaron
con agua y se colocaron juntos de modo que el
grosor de la capa de agua entre estos es h = 1,9 µm.
Considerando que la humectación es total,
determinar la fuerza adicional que debe aplicarse
perpendicularmente al plano de los discos, para
separarlos.
Solución
Datos e incógnitas.
:??;../1000
;º0;../073,0;9,1;..5
3
Fmkg
mNmhcmR S
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
281
En la figura se muestra el DCL de las placas con el
agua en su interior.
Debido a que la humectación es total, entonces la
fuerza debido a la tensión superficial actúan sobre
el borde de las láminas y paralelas a su área, estas
equilibran a las fuerzas debido a la diferencia de
presiones, es decir
)1......(....................2
222
0
0
0
0
hpp
RhppRR
AppF
F
S
S
proyS
x
Para determinar la fuerza necesaria para separar los
discos se traza el DCL del disco superior, en él se
observa aplicado las fuerzas: fuerza (pA) debido al
fluido líquido entre las placas y la fuerza (p0A)
debido a la presión del aire.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
)2..(..............................
0
0 AppF
F
R
y
Remplazando la ec. (1) en (2), resulta
)3........(..............................2
2
2
2
h
RF
Rh
F
S
R
S
R
Sustituyendo los valores del enunciado del
problema, resulta
.....................................10.035,6
10.9.1
10.25/073,02
2
6
24
RtaF
m
mmNF
R
R
Problema 27.
Un cubo de hierro cuya densidad es 7900 kg/m3,
engrasado con parafina, flota en el agua de manera
que su cara superior se encuentra a nivel del agua,
como se ve en la figura. El agua no moja en
absoluto a la parafina. Hallara la longitud de la
arista del cubo si la tensión superficial del agua es
0,073 N/m.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../073,0
;/1000;../7900 33
amN
mkgmkg
S
wacero
En la figura se muestra el DCL del cubo, las fuerzas
que actúan son: el peso del cubo (W); la fuerza de
tensión superficial (FS) y el empuje hidrostático
debido al agua.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
0y
S
F
F E W
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
282
3 3
2
4
4
4
S w acero
s ac w
S
ac w
a g a g a
a g
ag
Remplazando los valores consignados en el
problema, resulta.
..Rta...............................mm........ 08,2
/10007900/8,9
/073,0432
a
mkgsm
mNa
Problema 28
Un tubo de sección transversal circular y radio
exterior R está cerrado por su extremo. Este
extremo está lastrado y el tubo flota verticalmente
en un fluido de densidad ρ y coeficiente de tensión
superficial γS con el extremo pesado hacia abajo
como se muestra en la figura. La masa total del
tubo y el lastre es m. Si el ángulo de contacto es θ.
¿A qué distancia se encuentra el fondo del tubo de
la superficie libre del fluido.
Solución
Datos e incógnitas.
.??;..;..;..;..;.. hgmR S
En la figura se muestra el DCL del tubo lastrado en
la posición de equilibrio.
Aplicando las ecuaciones de equilibrio. Resulta
.......
cos.2.
cos.2....
cos2
cos
0
2
2
RtagR
Rgmh
RgmghR
Rmggm
FWE
F
S
S
Sf
S
y
Problema 28.
Sobre cuatro bolas de mercurio, yacentes en el
plano horizontal, se pone con cuidado una placa
cuadrada de la manera expuesta en la figura. El
radio de las bolas es R =1 mm, la masa de la placa
es m = 80 g y el coeficiente de tensión superficial
es γS = 0,045N/m. Asumiendo que el mercurio no
moja en absoluto. ¿Cuánto distará del plano
horizontal a la superficie inferior de la placa?.
Solución
Datos e incógnitas
.??;../465,0;..80;..1 HmNgrmmmR SP
En la figura se muestra el DCL de una de las gotas,
las fuerzas que actúan son la tensión superficial (FS)
y la fuerza debido a la diferencia de presiones
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, se tiene
0
02 . 2 . 2 . .
S P
S proy
S
F F
Longitud p p A
r r p p r H
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
283
0
0
4 . . 2 . .
2.........................(1)
S
S
r r H p p
p pH
La fuerza que ejercerá la gota de mercurio sobre la
placa superior será
)2.......(...............................2
.2
2
1
2
01
H
rF
rH
AppF
S
S
Debido a que en el sistema hay cuatro gotas la
fuerza neta será
)3.......(.....................8
4
2
1H
rFF S
N
El radio se determina a partir del principio de
conservación de la masa
)4........(....................3
4
.
32
23
3
4
H
Rr
HrR
mm
HgHg
gotafgotai
Remplazando la ec. (4) en la ec. (3), resulta
)5.....(..............................3
32
3
48
2
3
3
H
RF
H
R
HF
S
N
S
N
En la figura se muestra el DCL de la placa en donde
se observa que actúan el peos de la misma y la
fuerza neta resultante debido a la diferencia de
presiones
Esta fuerza es la que equilibra al peso de la placa,
es decir
gm
RH
H
RgmF
P
S
S
PN
3
32
3
32
3
2
·
Remplazando los valores consignados en el
problema, resulta.
Rta. mm. 14,0
8,910.803
10.10465,0323
33
H
H
Problema 29.
Un capilar vertical de radio interno r se puso en
contacto con la superficie del agua. ¿Qué cantidad
de calor se desprenderá durante el ascenso del agua
por el capilar?. Considere que la humectación es
total, el coeficiente de tensión γS y la densidad del
agua es ρw.
Solución
Datos e incógnitas
.??;...;...;... Qr wS
En la figura se muestra el DCL de la masa de agua
que ascendió en el capilar, las fuerzas que actúan
son: La fuerza de tensión superficial (FS) y el peso
del fluido (W).
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
284
)1.....(..........................................
2
....2
....2
2
rgh
hrgr
gVgmr
WF
S
S
S
S
La energía potencial de la columna del líquido será
)3.(..............................2
...
2.
2..
2.
22
2
hgrE
hghr
hgV
hgmE
Pg
pg
Remplazando la ec, (1) en (2), resulta
)3.......(...............................
2
2
4..
2
222
2
2
gE
rggrE
S
Pg
S
Pg
La fuerza de tensión superficial realiza un trabajo
dado por
)4.......(...............................
4
..
2..2
..2
2
1
1
gW
rgr
hr
hFW
SF
f
S
S
S
S
F
f
S
S
De esta energía irá para aumentar la energía
potencial y la otra mitad se disipará en forma de
calor.
..........................................
.2
.
.2
.
.4
2
22
Rtag
Q
ggQ
EWQ
S
SS
Pg
F
fiS
Problema 30.
Dos láminas de vidrio verticales paralelas entre sí,
se sumergen parcialmente en agua. La distancia
entre estás es d = 0,10 mm, su anchura L = 12 cm.
Considerando que el agua no llega hasta los bordes
superiores de las láminas y que la humectación es
total, calcular la fuerza de atracción mutua que
existe entre estas.
Solución
Datos e incógnitas.
.??,../1000
;/073,0;..12;..10,0
3
Fmkg
mNcmLmmd S
En la figura se muestra es DCL de la porción de
fluido que ascendió entre las láminas
Aplicando las ecuaciones de equilibrio, resulta
)1....(......................
2
...2
..2
.
0
dgh
ghdLL
gVL
gmlongitud
WF
F
S
S
S
S
S
y
Par calcular la fuerza de atracción mutua, se traza el
DCL de la placa izquierda tal como se muestra en la
figura.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
285
La fuerza será
)2(...............................10
0
dLppF
AppF
Analizando la curvatura del menisco, se tiene
)3........(....................2
0dr
pp SS
Despejando la presión p, resulta
)4.........(..............................2
0d
pp S
La presión en la mitad del área mojada será
)5..(..............................2
..1
hgpp
Remplazando la ec. (4) en (5), resulta
)6......(....................2
.2
01
hg
dpP S
Remplazando la ec. (1) en (6), resulta
)7....(..............................
..2
2.
2
01
01
dpp
dgg
dpp
S
SS
Remplazando la ec (7) en la ec. (2), resulta.
)8(..........................................
2
..
2
2
2
00
dg
LF
dgL
dppF
S
SS
Remplazando los valores dados en el problema
resulta
.....Rta...............................N......... 13
10.10,08,91000
12,0073,023
2
F
F
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
286
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. En el fondo de un recipiente que contiene
mercurio hay un orificio circular de diámetro d
= 70 μm. ¿Cuál será el grosor máximo de la
capa de mercurio con el que este no saldrá por
el orificio?.
Rta. 21 cm
2. En un recipiente que contiene aire bajo una
presión p0 see encuentra una pompa de jabón de
diámetro d. La presión del aire se disminuyó
isotérmicamente en η veces y como resultado de
esto el diámetro de la pompa aumentó N veces.
Determinar el coeficiente de tensión superficial
del agua jabonosa.
Rta. 18
1
2
3
0
N
Ndp
S
3. ¿Cuál es la presión en una pompa de jabón de
diámetro d = 4 μm, que se encuentra a la
profundidad h = 5 m en el seno del agua. La
presión atmosférica p0 es normal.
Rta. 2,2 atm.
4. Hallar la diferencia de niveles del mercurio
contenido en dos capilares verticales que se
comunican entre sí y cuyos diámetros son d1
=0,5 mm y d2 = 1 mm, si el ángulo de contacto
es φ = 138º
Rta. 11 mm
5. Un capilar vertical cuyo diámetro interno es de
0,5 mm se sumergió en el agua de modo que la
longitud de la parte que no se sumió en ésta
resultó ser h = 25 mm. Determinar el radio de
curvatura del menisco.
Rta. mmhg
R S 6,0..
2
6. Una gota de agua cae uniformemente en el aire.
Determinar la diferencia entre los radios de
curvatura de la superficie de la gota en sus
puntos superior e inferior, la distancia entre los
cuales es h = 2,3 mm.
Rta. S
hgRR
8
.. 3
12
7. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas que se encuentran a una
distancia de h = 0,1 mm, una vez que entre ellas
se introdujo una gota de agua de masa m = 70
mg. Considerar que la humectación es total.
Rta. Nh
mF S 1
.
22
8. Calcular el incremento de energía libre de la
capa superficial durante la fusión isotérmica de
dos gotas de mercurio idénticas de diámetro d =
1,5 mm cada una.
Rta. .5,112.2 3/12 JdE S
9. Estime el tamaño máximo de las gotas de agua
que pueden estar “suspendidas” en el techo. La
tensión superficial del agua es de 0,073 N/m.
Rta. R = 0,5 cm.
10. Hállese la tensión superficial de un líquido, si el
lazo de un hilo de goma con longitud L y
sección A, puesto sobre la película de líquido,
se extiende formando una circunferencia de
radio R después de que la película fue pinchada
dentro del lazo. El módulo elástico de la goma
es E.
Rta.
RLEA
12
2
1
11. Determínese la masa máxima de la unidad de
área de una placa que no se “hunde”, si se le
pone con cuidado sobre la superficie del agua.
La placa no es mojada por el agua
Rta. m = 0,546 gr/cm2.
12. Un areómetro flota en un líquido cuya densidad
es ρ = 800 kg/m3 y cuyo coeficiente de tensión
superficial es γS =30 dinas/cm. El líquido moja
perfectamente las paredes del areómetro. El
diámetro del tubo cilíndrico vertical de éste
último es de d = 9 mm. ¿Cuánto variará la
profundidad a que se sumerge el areómetro si,
por estar grasiento, el líquido no moja en
absoluto sus paredes?.
Rta.
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
287
13. Las películas de dos líquidos se dividen por un
tabique de longitud L. Los coeficientes de
tensión superficial de los líquidos son γ1 y γ2 ¿
Qué fuerza actúa sobre el tabique?.
Rta.
14. ¿En cuántas veces la densidad de la sustancia de
que está hecho un palito largo de sección
cuadrada supera la densidad del líquido, si el
palito flota en la superficie tal como se muestra
en la figura?.
Rta.
15. El radio de curvatura de una gota en su punto
superior es R. ¿Cuál será la masa de la gota, si
su altura es h y el radio de contacto de la misma
con el plano horizontal en el que “está sentada”
es igual a r?. La densidad del líquido es ρ, la
tensión superficial es γS. El líquido no moja al
plano.
Rta.
16. Dos láminas verticales, sumergidas
parcialmente en un líquido humectante, forman
una cuña con un ángulo muy pequeño, δφ. La
arista de la cuña se encuentra en Posición
vertical. La densidad del fluido es ρ, su
coeficiente de tensión superficial es γst y el
ángulo de contacto es θ. Calcule la altura h de
ascenso del líquido como función de la distancia
z medida desde la superficie libre del fluido
hasta el vértice de la cuña.
17. ¿Qué trabajo contra las fuerzas de tensión
superficial es necesario realizar con el fin de: (a)
dividir una gota esférica de mercurio con radio
de 3 mm en dos gotas idénticas; (b) aumentar
dos veces el volumen de una pompa de jabón
que tiene el radio de 1 cm?
Rta.
18. Obtenga una expresión para el ascenso capilar h
de un fluido en función de la densidad , el
coeficiente de tensión superficial γS , el ancho L
y ángulo de contacto θ entre dos placas paralelas
verticales separadas una distancia W, como se
muestra en la figura. ¿Cuál será el valor de h si
el fluido es agua con = 1000 kg/m3, γst = 0,073
N/m, W = 0,5 mm; L = 10 cm y la humectación
es total?. ¿Qué cantidad de calor se desprenderá
durante el ascenso del agua entre las placas?
19. Sobre cuatro esferas de mercurio, yacentes en el
plano horizontal, se ponen con cuidado una
placa cuadrada de la manera expuesta en la
figura. El radio de cada una de las esferas es de
1 mm, la masa de la placa es de 80 g y el
coeficiente de tensión superficial del mercurio
es 0,465 N/m. Suponiendo que el mercurio no
moja en absoluto, determine la distancia entre la
superficie horizontal y la superficie inferior de
la placa.
20. Hallar la fuerza de atracción de dos láminas de
vidrio paralelas y horizontales que se
encuentran separadas una distancia h = 0,10
mm, una vez que entre ellas se introdujo una
gota de agua de masa m = 70.10-6 kg. Considere
que el coeficiente de tensión superficial del agua
es 0,073 N/m, la densidad del agua es 1000
kg/m3 y que la humectación es total ( = 00)
Rta.
21. El mercurio forma un ángulo de 130° cuando
está en contacto con vidrio limpio. ¿A qué
distancia bajará el mercurio en un tubo capilar
vertical de 0,4 mm de radio?
Rta
Física General II Tensión Superficial y Capilaridad Optaciano Vásquez García
288
22. Obtenga una expresión para la fuerza vertical
máxima requerida para levantar lentamente un
anillo de radio R desde un líquido cuyo
coeficiente de tensión superficial es γ.
Rta.
23. Dos placas planas se coloca como se muestra en
la figura con un ángulo pequeño α en un
recipiente abierto que contiene un poco de
líquido. La placas son verticales sube entre las
placas. Obtenga una expresión para la ubicación
h(x). de la superficie del líquido suponiendo que
la humectación es total.
Rta.
24. ¿Qué error relativo admitimos al medir la
presión atmosférica atendiéndonos a la altura de
la columna de mercurio, si el diámetro interior
del tubo barométrico es de 5 mm y el
coeficiente de tensión superficial del mercurio
es 0,465 N/m?.
Rta.
25. ¿ A qué altura ascenderá el líquido por un tubo
capilar cónico vertical con un ángulo en el
vértice α << 1?. La densidad del líquido es ρ y
el coeficiente de tensión superficial el γs. El
líquido moja por completo al capilar. La altura
del tubo capilar es H.
Rta.
26. ¿A qué altura ascenderá un líquido entre dos
placas verticales, que distan Δ, si el ángulo de
contacto para la primera es θ1 y para la segunda
es θ2?. La densidad de líquido es ρ y el
coeficiente de tensión superficial del líquido es
γs.
Rta.
27. Determínese las presiones mínima y máxima
dentro de una gota esférica de líquido que flota
en otro líquido. El centro de la gota dista de la
superficie libre del líquido h, el radio de la gota
es R, las densidades de los líquidos es ρ y la
tensión superficial en la superficie de separación
es γs.
Rta.
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