Chap. VI : Matricespoinsot/save/Feyder/Transparents du cou… · Chap. VI : Matrices Laurent...

Chap. VI :Matrices

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Chap. VI : Matrices

Laurent Poinsot

18 janvier 2009

Chap. VI :Matrices

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1 Paquetage LinearAlgebra

2 Saisie

3 Affichage

4 Modification

5 Matrices particulieres

6 Operations algebriques

7 Produits de vecteurs

8 Commande map

9 Calculs avances

10 Systemes lineaires

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PaquetageLinearAlge-bra

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Operationsalgebriques

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Commandemap

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Systemeslineaires

Pour manipuler des matrices et des vecteurs et resoudredes problemes d’algebre lineaire avec Maple, il estnecessaire de faire appel a des commandes particulieres,contenues dans le paquetage LinearAlgebra ou lepaquetage linalg (il s’agit d’une librairie plus ancienne).Dans le paquetage LinearAlgebra, les matrices et lesvecteurs sont des objets d’un type plus general, le typeArray. Toutes les commandes de ce paquetagecommencent par une majuscule.

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Pour charger le paquetage LinearAlgebra, oncommence par :> restart;> with(LinearAlgebra) :Toute execution ulterieure d’une ligne ”restart;” effacerade la memoire les commandes d’algebre lineaire. Unenouvelle ligne ”with(LinearAlgebra) :” sera alorsnecessaire.

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Pour construire une matrice ou un vecteur, ou plusgeneralement un tableau de type Array, on utilise deuxseparateurs :”|” pour separer les colonnes ;”,” pour separer les lignes.En outre, chaque ligne ou colonne est entouree par descrochets anguleux ”<” et ”>”.Enfin, une matrice ou un tableau a deux dimensions,compose d’une succession de lignes ou de colonnes, estlui-meme entoure par un second niveau de crochetsanguleux ”<” et ”>”.

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Saisie d’une matrice par colonnes

> A :=< <1,2>|<3,4>|<5,6> >;(1 3 52 4 6

)Saisie d’un vecteur colonne :> v :=<0,1>;

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> A :=< <1,2>|<3,4>|<5,6> >;(1 3 52 4 6

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> A :=< <1,2>|<3,4>|<5,6> >;(1 3 52 4 6

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> A :=< <1,2>|<3,4>|<5,6> >;(1 3 52 4 6

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> A :=< <1,2>|<3,4>|<5,6> >;(1 3 52 4 6

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Saisie d’une matrice par lignes

> B :=< <1|2|3>,<4|5|6> >;

(1 2 34 5 6

)Saisie d’un vecteur ligne :> w :=<0|1|2>;

w := [0,1,2]

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> B :=< <1|2|3>,<4|5|6> >;

(1 2 34 5 6

w := [0,1,2]

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> B :=< <1|2|3>,<4|5|6> >;

(1 2 34 5 6

w := [0,1,2]

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> B :=< <1|2|3>,<4|5|6> >;

(1 2 34 5 6

w := [0,1,2]

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> B :=< <1|2|3>,<4|5|6> >;

(1 2 34 5 6

w := [0,1,2]

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Concatenation de matrices et de vecteurs

On peut facilement rajouter une ligne ou une colonne a unematrice avec les separateurs ”| ” et ”,”. Cette methodeporte le nom de concatenation.> <A|v>; (

1 3 5 02 4 6 1

)> <B,<7|8|9> >; 1 2 3

4 5 67 8 9

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)> <B,<7|8|9> >; 1 2 3

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)> <B,<7|8|9> >; 1 2 3

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Construction par une fonction defininssante

Si l’element (i , j) de la matrice est donne par la valeur f (i , j)d’une fonction f , on utilise la construction suivante :> f :=(i,j)->2*(i+j)-4;

f := (i , j)→ 2i + 2j − 4

> C :=Matrix(3,3,f);

0 1 42 4 64 6 8

La commande Matrix necessite donc trois arguments : lenombre de lignes, le nombre de colonnes et la fonctiondefinissante.

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f := (i , j)→ 2i + 2j − 4

0 1 42 4 64 6 8

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0 1 42 4 64 6 8

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0 1 42 4 64 6 8

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f := (i , j)→ 2i + 2j − 4

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On affiche une matrice ou un vecteur en tapant toutsimplement son nom, comme pour une variablequelconque :> A; (

1 3 52 4 6

)> v; (

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)> v; (

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)> v; (

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)> v; (

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)> v; (

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)> v; (

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Systemeslineaires

Pour afficher (et manipuler) un element d’une matrice, onutilise les crochets ”[” et ”]” :> A[2,3];

> v[1];0

Comme en mathematiques, on commence par indiquer lenumero de la ligne, puis le numero de la colonne.

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> v[1];0

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> v[1];0

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> v[1];0

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> v[1];0

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> v[1];0

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Systemeslineaires

Pour modifier un element de la matrice ou du vecteur, onutilise encore les crochets ”[” et ”]” :> A[2,3] :=-10;

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

A2,3 := −10

> A; (1 3 52 4 −10

)> v[1] :=-8;

v1 := −8

> v; (−81

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Systemeslineaires

Pour definir une matrice constante, on donne enpremier argument la valeur commune des elements de lamatrice, en deuxieme argument le nombre de lignes et entroisieme argument le nombre de colonnes :> ConstantMatrix(6,2,4);(

6 6 6 66 6 6 6

)Pour definir la matrice identite, on donne sa taille :> IdentityMatrix(3);1 0 0

0 1 00 0 1

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6 6 6 66 6 6 6

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0 1 00 0 1

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0 1 00 0 1

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0 1 00 0 1

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0 1 00 0 1

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6 6 6 66 6 6 6

0 1 00 0 1

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6 6 6 66 6 6 6

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Systemeslineaires

Pour definir une matrice diagonale, on donne une listecontenant les elements diagonaux :> DiagonalMatrix([1,2,7]);1 0 0

0 2 00 0 7

On peut definir une matrice aleatoire, en donnant lesnombres de lignes et de colonnes. L’optiongenerator=a..b indique l’intervalle dans lequel seronttires les nombres entiers aleatoires :> R :=RandomMatrix(4,2,generator=0..20);

11 204 20

19 1917 3

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0 2 00 0 7

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19 1917 3

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0 2 00 0 7

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0 2 00 0 7

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0 2 00 0 7

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0 2 00 0 7

11 204 20

19 1917 3

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0 2 00 0 7

11 204 20

19 1917 3

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Systemeslineaires

0 2 00 0 7

11 204 20

19 1917 3

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Systemeslineaires

0 2 00 0 7

11 204 20

19 1917 3

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Commencons par definir quelques matrices et vecteurs :> E := < <1,2,3>|<4,5,6> >;

1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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Systemeslineaires

1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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Calculsavances

Systemeslineaires

1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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Systemeslineaires

1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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Systemeslineaires

1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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1 42 53 6

> F := < <7,8,9>|<10,11,12> >;

7 108 119 12

> G := < <0,1,1>|<3,-1,0>|<-1,2,1> >;

0 3 −11 −1 21 0 1

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Puis :> v :=<1,2>;

)> w :=<3|4|5>;

w := [3,4,5]

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Puis :> v :=<1,2>;

)> w :=<3|4|5>;

w := [3,4,5]

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Puis :> v :=<1,2>;

)> w :=<3|4|5>;

w := [3,4,5]

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Puis :> v :=<1,2>;

)> w :=<3|4|5>;

w := [3,4,5]

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Puis :> v :=<1,2>;

)> w :=<3|4|5>;

w := [3,4,5]

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Les operations algebriques s’effectuent alors tressimplement. L’addition s’ecrit :> E+F; 8 14

10 1612 18

La multiplication par un scalaire utilise le symbole ”*” :> 2*E; 2 8

4 106 12

ou bien par le symbole ”.” du produit matriciel :> 2.E; 2 8

4 106 12

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10 1612 18

4 106 12

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10 1612 18

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10 1612 18

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10 1612 18

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10 1612 18

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10 1612 18

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10 1612 18

4 106 12

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10 1612 18

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10 1612 18

4 106 12

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La multiplication matricielle s’ecrit donc avec le symbole ”.” :> G.E; 3 9

5 114 10

On peut de meme multiplier une matrice par un vecteur, parla droite ou par la gauche, du moment que les dimensionsconcordent :> E.v; 9

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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5 114 10

> w.F; (

[98,134])

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La puissance se note :> G ˆ 3; 2 9 −3

3 −1 63 0 5

En particulier, l’inverse - lorsqu’il existe - s’obtient par :> G (-1); −1

2−32

Finalement, on peut ecrire une expression algebriqueentiere grace a ces symboles :> (1/3).G (-1).(E+F).v;13

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Systemeslineaires

3 −1 63 0 5

2−32

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3 −1 63 0 5

2−32

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3 −1 63 0 5

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3 −1 63 0 5

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3 −1 63 0 5

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3 −1 63 0 5

2−32

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3 −1 63 0 5

2−32

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3 −1 63 0 5

2−32

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Commencons par definir quelques vecteurs :> u := <1,1,0>;

> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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> v :=<1,2,3>;

> w :=<9,8,7>;

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Le produit scalaire est :> DotProduct(v,w);

Le produit vectoriel s’ecrit :> CrossProduct(v,w);−10

20−10

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20−10

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Quant au produit ”mixte” ou determinant d’une matricecarree :> M :=<u|v|w>;

1 1 91 2 80 3 7

On calcule alors le determinant de M :> Determinant(M);

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1 1 91 2 80 3 7

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Systemeslineaires

1 1 91 2 80 3 7

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1 1 91 2 80 3 7

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1 1 91 2 80 3 7

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1 1 91 2 80 3 7

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Systemeslineaires

La norme p d’un vecteur v , ‖v‖p, se note (pour p = 1,2 ou∞) :> Norm(v,1);

La norme euclidienne est donc donnee par :> Norm(v,2); √

Et la norme infinie :> Norm(v,infinity);

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Calculsavances

Systemeslineaires

Quand on souhaite appliquer une meme fonction a chaqueelement d’une matrice, on utilise la commande map :> P :=< <1,2>|<3,4> >;

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Calculsavances

Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Calculsavances

Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

(1 32 4

)> carre := x->x 2 ;

carre := x → x2

> map(carre,P); (1 94 16

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Systemeslineaires

On peut effectuer des calculs plus sophistiques sur lesmatrices, par exemple :> M :=< <18,3,-9>|<42,-9,-21>|<12,6,-6> >;

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

La transposee est donnee par> Transpose(M);18 3 −9

42 −9 −2112 6 −6

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Systemeslineaires

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

42 −9 −2112 6 −6

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Systemeslineaires

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

42 −9 −2112 6 −6

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Systemeslineaires

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

42 −9 −2112 6 −6

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Systemeslineaires

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

42 −9 −2112 6 −6

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Systemeslineaires

18 42 123 −9 6−9 −21 −6

42 −9 −2112 6 −6

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La trace :> Trace(M);

Le rang :> Rank(M);

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Le rang :> Rank(M);

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Le rang :> Rank(M);

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Le rang :> Rank(M);

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Le rang :> Rank(M);

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Systemeslineaires

Le rang :> Rank(M);

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Soit le systeme lineaire ecrit sous forme matricielle

Ax = b

ou A est la matrice des coefficients, x est le vecteur colonnedes inconnues et b est le vecteur colonne du secondmembre.Nous allons voir comment resoudre un tel systeme avecLinearSolve.Il est conseille de toujours rajouter l’optionfree=’lambda’. Dans le cas ou il y aurait une infinite desolutions, les noms des parametres seront alors λ1, λ2, etc.,et non pas des noms compliques attribuesautomatiquement par Maple.

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Ax = b

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Ax = b

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Ax = b

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Ax = b

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Ax = b

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Ax = b

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Systemeslineaires

Soit la matrice suivante :> A :=<<1,1,1,4>|<1,1,-2,1>|<3,1,1,8>|<-1,1,-1,-1>>;

1 1 3 −11 1 1 11 −2 1 −14 1 8 −1

> b :=<0,1,1,0>;

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Systemeslineaires

1 1 3 −11 1 1 11 −2 1 −14 1 8 −1

> b :=<0,1,1,0>;

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Systemeslineaires

1 1 3 −11 1 1 11 −2 1 −14 1 8 −1

> b :=<0,1,1,0>;

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Systemeslineaires

1 1 3 −11 1 1 11 −2 1 −14 1 8 −1

> b :=<0,1,1,0>;

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Calculsavances

Systemeslineaires

1 1 3 −11 1 1 11 −2 1 −14 1 8 −1

> b :=<0,1,1,0>;

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Systemeslineaires

On peut ensuite resoudre le systeme Ax = b :> x :=LinearSolve(A,b,free=’lambda’);

25643−52−2

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Systemeslineaires

25643−52−2

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Systemeslineaires

25643−52−2

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Calculsavances

Systemeslineaires

On peut voir un autre exemple avec une infinite desolutions :> A :=< <1,0,0>|<2,1,0>|<1,0,0>|<-1,-1,-3>>;

1 2 1 −10 1 0 −10 0 0 −3

> b :=<2,-1,-9>;

2−1−9

x :=LinearSolve(A,b,free=’lambda’);

1− λ3

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Systemeslineaires

1 2 1 −10 1 0 −10 0 0 −3

> b :=<2,-1,-9>;

2−1−9

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