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Formelsammlung
Formelsammlung Elektrotechnik
Christopher Beck
28. Dezember 2018
Beck
Formelsammlung Elektrotechnik
Christopher Beck
28. Dezember 2018
Diese Formelsammlung ist noch nicht vollendet und steht daher unter ständigerWeiterentwicklung und Verbesserung. Bei Fragen zum aktuellen Stand oder nach einer
neueren Version, einfach per E-Mail melden.
Auflage: 0, Version: 0.1.7 Stand: 28. Dezember 2018Diese Formelsammlung erhebt keinen Anspruch auf Richtigkeit und Vollständigkeit.
Verbesserungsvorschläge sowie gefundene Fehler nehme ich aber gerne entgegen.eMail: beckus@beckus.eu
GPG-Fingerprint: AE1A C931 2BAF C5A1 F0BE 2083 3117 1121 2F9D 4F14
2
VorwortLiebe Leser,
Ihr haltet nun eine (noch unvollständige) Formelsammlung in den Händen, die wäh-rend der Prüfungsvorbereitung in diversen Fächern an der Friedrich-Alexander-UniversitätErlangen-Nürnberg entstanden ist. Die Idee für die Formelsammlung entstand in derVorlesung zu GET1, da zu dieser Prüfung alle Unterlagen erlaubt waren und war an-fangs nur für den Eigengebrauch gedacht. Ein herzlicher Dank geht hier an Anne Sacher,die diese Formelsammlung ebenfalls zur Prüfungsvorbereitung nutzte und viele sinnvolleAnregungen lieferte. Nachdem auch ein Teil für die Folgevorlesung GET2 hinzugefügtwurde und die Formelsammlung auch von anderen Kommilitonen genutzt wurde, lag esauf der Hand, diese weiter zu führen.
Der momentane Stand dieser Formelsammlung ist noch weitab vom Zustand ”Aus-gereift“ entfernt, was bedeutet, dass viele Teile unvollständig sind und sicherlich vieleFehler enthalten sind. Ich bin sehr bemüht, diese Missstände zu beheben, doch reicht dieZeit neben der Arbeit hierfür oft nicht aus. Deswegen bin ich auf Eure Mithilfe angewie-sen: Gebt mir Feedback! Sowohl bei gefundenen Fehlern, als auch bei Wünschen oderÄnderungsvorschlägen. Ich werde mich bemühen, diese einzuarbeiten und diese Formel-sammlung so weiter zu verbessern. Schreibt mir einfach eine E-Mail und gebt dabei bittedie Version und das Datum der Ausgabe an. Vielen Dank!
Christopher Beck
3
DankeFür Feedback, gefundene Fehler und Verbesserungsvorschläge danke ich
Cornelia Speidel, Bastian Bauer
Ein besonders großer Dank geht an ...... Anne Sacher, die, wie im Vorwort bereits erwähnt, in der Anfangszeit viele Verbes-
serungsvorschläge lieferte.... Frau Ingrid Ullmann, die im weiterem Verlauf viel durch Diskussion beigetragen
und einige Fehler gefunden und verbessert hat.... Stefan Walter, der viel zu den Hamiltonzahlen beigetragen hat.
i
Inhaltsverzeichnis
1. Grundlagen der Elektrotechnik 31.1. GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1. Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.2. Stationäres Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3. Einfache elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.4. Das stationäre Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.5. Das zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld . . . . . . . . . 121.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . 141.1.7. Energie und Leistung bei Wechselspannung . . . . . . . . . . . . 16
1.2. GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.1. Quelle und Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.3. Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.2.4. Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.2.5. Mehrpolige Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.6. Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2.7. Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.3. GET3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.1. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.2. Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341.3.3. Einschwingvorgänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351.3.4. Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.5. Operationsverstärker (OpAmps) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.6. Messschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2. Halbleiterbauelemente 392.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.1.1. Intrinsischer Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.2. Dotierter Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.1.3. Ladungsträger im Halbleiter in elektrischem Feld . . . . . . . . . 402.1.4. Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . 412.1.6. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.1.7. Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
iii
Inhaltsverzeichnis
3. Schaltungstechnik 453.1. Grundlegende Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.1. Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1.2. Bipolartransistpr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4. Maxwellsche Gleichungen 474.1. Integrale Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.2. Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494.4. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 504.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen . . . . . . . . . . . . . . . 51
5. Elektromagnetische Felder 535.1. Theorie elektromagnetischer Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.1.1. Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.1.2. Stationäres Strömungsfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.3. Stationäres Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.1.4. Elektrodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
6. Hochfrequenztechnik 616.1. PB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
6.1.1. Wellenausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 626.1.2. Bauteile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.1.3. Leitungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.2. HF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.1. Streuparameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
6.3. Antennen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806.3.1. Antennentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
7. Photonik 817.1. Akives Medium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 817.2. Gauß-Strahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.3. Resonatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 837.4. Gaslaser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.5. Laserdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.6. Lichtwellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857.7. Photonik 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.7.1. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
8. Regelungstechnik 878.1. Regelungstechnik A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1.1. Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.2. Stabilitätskriterien und Systemtheorie . . . . . . . . . . . . . . . 888.1.3. Reglerentwurf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
iv
Inhaltsverzeichnis
8.1.4. Regelkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
A. Anhang 95A.1. Geometrische Zusammenhänge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.2. (Natur)konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.3. Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95A.4. Vektorrechnung und Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.4.1. Allgemeine Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.4.2. Karthesische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.4.3. Zylindrische Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96A.4.4. Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
A.5. Mathematik GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.5.1. Geometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.5.2. Wichtige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97A.5.3. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
A.6. Mathematik GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.6.1. Mathematische Methoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98A.6.2. Diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
A.7. Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.7.1. Laplace-Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99A.7.2. Laplace-Sätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
A.8. Smith-Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101A.9. Mathematik RT-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102A.10.Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
A.10.1. Umformungen grad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.10.2. Umformungen div . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.10.3. Umformungen rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.10.4. Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104A.10.5. Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
v
Abbildungsverzeichnis1.1. Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2. Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3. Kondensator mit Anfangswertgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.4. Spule mit Anfangswertgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.5. Dezibel Werte (20 lg (·)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
6.1. Brechung und Fresnelgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.2. HF-ESB Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.3. HF-ESB Kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.4. HF-ESB Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5. Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
8.1. Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.2. Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928.3. Strecke im Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.4. allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 938.5. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit Störgrößenaufschaltung . . . . . . . . . 938.6. Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
1
1. Grundlagen der ElektrotechnikEs werden Kenntnisse von Vektorrechnung und verschiedenen Koordinatensystemenvorrausgesetzt. Eine Übersicht dazu findet sich in Anhang A.4
1.1. GET1
1.1.1. Elektrostatik
Coulombsches Gesetz ()
~F =QQ14π�0
~r
r3Es gilt für den Ortsvektor ~r: ~r = ~rP −~rQ.
~E-Feld der Punktladung (1-1.3)
~E =Q
4π�
~r
r3
~E =Q
4π�r2~eρ
Q
~E
Bekommt man auch durch In-tegration um eine Punktladung Q heraus(dielektrische Flussdichte)
Kraft auf eine Ladung im ~E-Feld (1-1.2)
~F = Q~E
Linienladungsdichte λ ()
λ =dQ
d l
Q =
ˆ
l
λ d l
3
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Flächenladungsdichte σ ()
σ =dQ
dA
Q =
¨
A
σ dAσ entspricht ~D bei leitenden Oberflächen.
Raumladungsdichte ρ ()
ρ =dQ
dV
Q =
˚
Vk
ρ0 dV
Meist wird die so erhaltene Ladung mir derberechneten Ladung aus dem elektrischemFluss gleichgesetzt. Man betrachte hier dieMaxwellgleichungen. Auf diese Weise erhältman das ~E-Feld.
Permittivität ()
� = �0�r
�r = (1 + χe)
Flussdichte ()
~D = � ~E� = �r�0. �0 ist eine Naturkonstante.
Elektrischer Fluss I ()
ψ =
¨
AK
~D · d ~A ψ bezeichnet den elektrischen Fluss aus derFläche A.
Elektrischer Fluss II ()
Q =
‹
AK
~D · d ~A = ψ
Es wird nun das Hüllflächenintegral berech-net. ψ bezeichnet den elektrischen Fluss ausder Fläche A. Nimmt man Q an, integiert dienur von ρ abhängige Flussdichte über A sokann man nach dem Feld der Punktladungauflösen.
4
1.1. GET1
Elektischer Fluss im Raum ()
‹~D · d ~A = 0
Umläuft man eine geschlossene Fläche (nichtüber einen elektisch geladenen Körper!) soist ψ = 0. Also was reingeht geht auch raus.
Flussdichte auf leitenden Oberflächen ()
Dn = ~n · ~D = �~n · ~E = σ
Heißt auf ner leitenden Oberfläche ent-spricht die Flussdichte der Flächenladungs-dichte
Elektrische Spannung ()
U12 = ϕ12 =
P2ˆ
P1
~E · d~s = ϕ1 − ϕ2
0 =
˛~E · d~s
Aus letzerem folgt die Maschenregel. Dervermeindliche Vorzeichenfehler (Obergrenze- Untergrenze) begründet sich aus der Defi-
nition des Potentials ϕ1 = −P1´P0
~E · d~s.
Kapazität eines Kondensators ()
C =Q
U=
�‚AK
~E · d ~A´s
~E · d~s
~E wird durch den elektrischen Fluss be-stimmt. Danach setzt man C = Q´
s
~E·d~smit
dem zuvorberechneten ~E. Dies setzt aller-dings Kenntniss der Feldverteilung vorraus.
Energie im Kondensator ()
W =1
2CU2 =
1
2QU
=1
2
˚~E ~D dV
Dies folgt durch Integration. Letzteres ausder Energiedichte
Energiedichte (I-1.101)
we =1
2~E · ~D
Kondensatorbauformen
Achtung! Hier finden sich teilweise Näherungsformeln!
5
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Parallelschaltung
Cges =∑
CK
Reihenschaltung1
Cges=∑ 1
Ck
Plattenkondensator
C =�A
d
Kugelkondensator
C = 4π�ba
b− aZylinderkondensator
C =2π�l
ln(
dida
)
Paralleldrahtleitung
C =π�l
ln(
a+√a2−d2d
)
Horizontaler Draht
C =2π�l
ln(4hd
)vertikaler Draht
C =2π�l
ln(
2ld
√4h+l4h+3l
)
1.1.2. Stationäres Strömungsfeld
Elektrischer Strom ()
I =dQ
dt
I = −dQdt
Ladung pro Zeit. Für die Erklärung des Vor-zeichens siehe Anhang ??
Ohmsches Gesetz ()
κ~E = ~J
U = RI
Letztere Form erhällt man durch Integrati-on. κ ist die spezifische Leitfähigkeit
Elektrischer Widerstand ()
R =l
κA
κ ist eine Materialkonstante (die spezfischeLeitfähigkeit)
6
1.1. GET1
Leitwert ()
G =1
R
Spezifischer Widerstand ()
ρR =1
κρR(T ) = ρR,20◦C(1 + α∆T )
ρR(T ) = ρR,20◦C(1 + α∆T + β(∆T )2)
In Letzteren Formeln wird die Änderung vonρ durch die Temperatur approximiert.
Stromdichte ()
¨~J · d ~A = I
‹~J · d ~A = 0
Aus letzterem folgt die Knotenregel (wasreinfließt muss auch wieder raus). Achtung:Es gibt auch die Kontinuitätsgleichung I =‚A
~J · d ~A, welche für Elektroden untersch.
Potentials gilt.
Elektrische Leistung ()
P = I2R =U2
R= UI
Elektrische Energie ()
WE =
ˆ
t
P d t
Verlustleistungsdichte (I-2.53)
P =
˚
V
pv dV =
˚V
~E · ~J dV
7
1. Grundlagen der Elektrotechnik
1.1.3. Einfache elektrische Netzwerke
Maschenregel ()
∑Masche
U = 0 Folgt aus¸C
~E d~s = 0
Knotenregel ()
∑Knoten
I = 0 Folgt aus‚A
~J d ~A = 0
Spannungsteiler ()
U1U2
=R1R2
U = U1 + U2 I = I1 = I2
U1 = UR1
R1 +R2
Stromteiler ()
I1I2
=R2R1
U = U1 = U2 I = I1 + I2
I1 = IR2
R1 +R2
Leistungsanpassung ()
RL = Ri
PLmax =U204Ri
Bei der Spannungsquelle mit U0 mit dem In-nenwiderstand Ri und dem LastwiderstandRL
Wirkungsgrad η ()
η =PLPges
· 100%
8
1.1. GET1
Reihenschaltung von R
Rges =∑
Rk
Parallelschaltung von R
1
Rges=∑ 1
Rk
Parallelschaltung zweier Widerstände ()
Rges =R1R2R1 +R2
1.1.4. Das stationäre Magnetfeld
Magnetische Flussdichte ()
~B = µ ~H
[B] =V s
m2
[H] =A
m
Oersted’sches Gesetz ()
˛~Hd~s = I
Das Gesetz gilt für einen Leiter. Umkreistman mehrere Leiter enthällt man statt Idie Durchflutung Θ. Im Dauermagneten giltin Folge des nicht vorhandenen Stromes¸~Hd~s = 0. Achtung beim Dauermagneten!
Durchflutung Θ ()
˛~H(ρ)d~s = Θ =
¨
A
~Jd ~A
Θ =∑n
In = NI
Bei Spulen: N ist die Wicklungszahl
9
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Kraft auf einen Leiter im Magnetfeld ()
~F = I
ˆ[d~r × ~B(~r)]
• Leiter zeigt in Richtung ~er
• ~B bestimmen
• Kreuzprodukt berechnen
• auf Leiterlänge integrieren
Lorentzkraft ()
~F = q~v × ~B
Magnetischer Fluss ()
Φ =
¨
A
~B · d ~A
Integrieren um einen Magneten ()
‹
A
~B · d ~A = 0Das beweist, dass es keine magnetischen Mo-nopole gibt
magnetische Spannung ()
Vm12 =
P2ˆ
P1
~H · d~s
Vm = RMΦ = Θ
Analoge Behandlung wie im elektrischemFall
magnetischer Widerstand (Reluktanz) ()
Rm =l
µA
10
1.1. GET1
magnetischer Leitwert ()
Λm =1
Rm= AL
L = N2AL, wenn perfekt gekoppelt
Feldstärke eines Linienleiters ()
~H =I
2πρ~eφ außerhalb
~H =Iρ
2πa2~eφ innerhalb
Man erhällt sie durch Anwendung des Oer-stedschen Gesetztes
Durchflutung einer Spule ()
Θ = NI
Induktivität ()
L =
N˜A
~B · d ~A
I=NΦAI
= N2AL
Φ = NΦA. ΦA ist der Fluss in einer Leit-erschleife mit d ~A als Kernquerschnittsfläche.Bei symmetrischen Anordnungen nimmtman I an, berechnet ~H und daraus dannΦ. Letztlich kürzt sich dann I wieder weg(analog zur Kapazität)
Gegeninduktivität ()
M =Φ21i1
= N1N2AL
Analog zur Induktivität, nur dass der Flussder Wicklung 2 der durch die Wicklung 1fließt genommen wird sowie der Strom derWicklung 1.
Induktivität einer Doppelleitung (1-5.68)
L = lµ0π(1
4+ ln
b
a)
Länge l, Abstand b und Leiterradius a
Spulen
Achtung! Hier finden sich teilweise Näherungsformeln!
11
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Toroidspule
~H = ~eϕNi
2πρ
Zylinderspule
~H = ~exNi
l
Induktivitäten versch. Anordnungen
Ringspule
L = µN2A
2πrm
Zylinderspule
L = µN2A
l
Koaxialleitung1
L = µl
2πln
(DaDi
)
Paralleldrahtleitung
L ≈ µ lπln
(2a
D
)
Kreiswindung
L = µ0D
2
[ln
(D
d
)+ 0, 08
]
1.1.5. Das zeitlich veränderliche elektromagnetische Feld
Bewegter Leiter im ~B - Feld ()
E = vxB
U12 = lvxB = −dΦ
dt
Faraday’sches Induktionsgesetz ()
˛
C
~E ′ · d~s = − ddt
¨
A
~B · d ~A
u(t) = Ri(t) = −dΦdt
= −N dΦAd t
Die Fläche A umschließt die Kontur C. ~E ′ =~E bei ruhender Kontur. ~A und C sind rechts-händig miteinander verknüpft
1Achtung, die Innere Induktivität des Innenleiters bleibt hier unberücksichtigt!
12
1.1. GET1
Koppelfaktoren ()
KL =Φ21Φ11
=µ
L11
k =M√L11L22
Gegenindiktivität einer Doeppelleitung (1-6.38)
Φ21r =
¨
A2
~B · d ~A = µ0i12π
l lnb
a
Φ21l = −µ0i12π
l lnd
c
Φ21 =µ0i12π
l lnbc
ad
L21 =Φ21i1
=µ0l
2πlnbc
ad
Seite 255. Erhällt man durch stures ausin-tegrieren mit dem Megnetfeld einer Doppel-leitung ~H = ~eϕ−i12πρ
Energiegehalt des Feldes (6.56)
Wm =1
2L11I
21 +MI1I2 +
1
2L22I
22
Dies gilt für einen Trafo mit 2 Wicklungen.Für eine einfache Spule entfallen die Kom-ponenten mit L22 und M .
Energiedichte (I-6.63 I-6.66)
wm =
B̂
0
H · dB
=1
2~H · ~B
Wm =
˚V
wm dV =1
2
˚V
~H · ~B dV
Daher hat man dann auch die Hysteresever-luste
13
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Das Übersetzungsverhältniss beim idealen Übertrager (I-6.99)
upus
=isip
= ü
ü =NpNs
upip = usis
Dies gilt beim idealem Übertrager.
Die Widerstandstransformation (I-6.100)
Re =upip
= üusü
is= ü2R2
Hier wird der Widerstand R2 der Sekundär-seite als Re ersetzt, also währe Re statt desÜbertragers angeschlossen.
Trafogleichung (1-6.80)
u0 = R1i1 + L11d i1d t
−M d i2d t
u3 = R2i2 −Md i1d t
+ L22d i2d t
Bei Last ohne Quelle an der Sekundärseitegilt u3 = 0.
Trafogleichung mit Ersatzschaltbild (1-6.86)
u0 = R1i1 + (L11 −M)d i1d t
−M d(i2 − i1)d t
0 = R2i2 −Md(i1 − i2)
d t+ (L22 −M)
d i2d t
Da kommt man drauf, wenn man das Induk-tionsgesetz einfach mal anwendet und zu denzwei Gleichungen, die entstehen, ein ESB zubaut.
Zusammenhänge zwischen Strom und Spannung
Bauteil Widerstand Spule KondensatorZeitabhängig u(t) = Ri(t) uL = Ld iLd t iC = C
duCd t
Zeitunabhängig U = RI UL = 0 IC = 0
1.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom
Da dieses Kapitel in [3] und der Vorlesung GET II vertieft wird, ist es ratsam sich Ka-pitel 1.2 ebenfalls anzuschauen.
14
1.1. GET1
Gleichrichtwert (2-1.9)
|u| = 1T
t0+Tˆ
t=t0
|u(t)| d t Mittelwert aus dem Betrag
Effektivwert ()
XEff =
√√√√√ 1T
T̂
0
x2(t) d t
=|X̂|√2
Für eine beliebige Größe x(t). Letztere For-mel gilt für Komplexe Größen
Die Komplexe Spannung ()
u(t) = Re(u(t)) + jIm(u(t))
= û[cos (ωt+ ϕU) + j sin (ωt+ ϕU)]
= ûejϕU ejωt
Die Größe u kann als komplexe Größ u ge-schrieben werden. TODO: Da des Zeigerdia-grambild rein
Schwingkreise ()
ω0 =1√LC
Dies ist die Resonanzfrequenz sowohl für denParallelschwingkreis als auch für den Seri-enschwingkreis. Hier verschwindet beim Se-rienschwingkreis =(Z) und beim Parallel-schwingkreis =(Y )
Schwingkreisgüte ()
Qs =1
R
√L
C
Die Güte taucht ebenfalls in der KomplexenFrequenz s auf.
Bauteil Impedanz AdmittanzWiderstand Z = R Y = 1
R
Spule Z = jωL Y = 1ωL
Kondensator Z = 1jωC
Y = ωC
15
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Allgemeines ()
û = Zî∑m
ûm = 0∑k
îk = 0
Z =1
Y
Es gelten die gleichen Gesetzten wie in Kap.3. Die Phase des Stromes zur Spannung än-dert sich bei Z = R nicht.
Berechnungsschritte
• Gleichung nach Tabelle 2.1 [2, S.33] mit den größen aus obiger Tabelle aufstellen.
• auf gesuchte größe Auflößen
• Größe in Polarform bringen
• Zeitabhängige Phase eωt anmultiplizieren
• Zahl auf |z|(cosωt+ ϕ+ sinωt+ ϕ) bringen
•
1.2. GET2
Wirkleistung ()
P =U2effRL
= I2effRL =1
2ûî cos (ϕu − ϕi)︸ ︷︷ ︸
γ
γ wird Leistungsfaktor genannt und vor al-lem bei Antriebsmaschinen angegeben.
Blindleistung ()
Q =1
2ûî sin (ϕu − ϕi)
1.2. GET2Beachten Sie bitte, dass sich in [3] die verwendeten Symbole geändert haben. Auchbezieht sich dieser Teil noch auf die Vorlesung GET2 von Prof. Schmidt und dessenLehrbuch.
Größe Buch 1-2 Buch 3komplexe Spannung û U
komplexer Strom î I
1.2.1. Quelle und Last
Umrechnung von Quellen ([3], Formel 1.6)
U q = Iq · Zi
Zi =1
Y i
Umrechnung einer realen Spannungs- undStromquelle ineinander.
Leistungsanpassung ([3], Formel 1.14)
Pmax =1
8
|U q|2
Re(Zi)für ZL = Z∗i
Pmax =1
8
|Iq|2
Re(Y i)für Y L = Y ∗i
Dies gilt entsprechend der Leistungsanpa-sung für Gleichstrom und -spannung für dasKomplexe.
17
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Ersatzquellen ([3], Formel 1.18-1.20)
I = 0 → U = ULL = U q =IqY i
U = 0 → I = IKS = Iq =U qZi
Impedanzbestimmung → −UI
= Zi =1
Y i
• Leerlaufspannung bestimmen
• Kurzschlussstrom bestimmen
• Impedanz bestimmen
2 dieser Fälle müssen ausgeführt werden,letzterer klappt nicht bei gesteuertenQuellen. Es langt da die direkt aneinanderleigenden Widerstände zu nehmen.
Wirkungsgrad ()
η =PLPWV
=4RLRi
(Ri +RL)2 + (Xi +XL)2
Damit kann man einiges abürzen
1.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen
Ähnlichkeitssatz ([3], Formel 2.13)
InUq
=InSU qS
In = U qInSU qS
• Annahme eines Stromes InS
• Rückrechnung zur Quellspannung U qS
• Berechnung von In
Achtung: dies gilt nur für linear abhängigeNetzwerke. Bei mehreren Quellen musseinzeln berechnet und überlagert werden.
Zu Quellenversatz und -substitution siehe [3, S. 35ff].
18
1.2. GET2
Satz von Miller (Admittanz) ([3], Formel 2.16)
V U =U2U1
Y p1 =I ′1U1
= Y p(1− V U)
Y p2 =I ′2U2
= Y p(1−1
V U)
Siehe [3, S. 38f], dort wird das durch die Bil-der klar
Satz von Miller (Impedanz) ([3], Formel 2.16)
V U =I2I1
Zs1 =U ′1I1
= Zs(1 + V I)
Zs2 =U ′2I2
= Zs(1 +1
V I)
Siehe [3, S. 39f], dort wird das durch die Bil-der klar
Stern-Dreieck-Umwandlung ([3], Abb. 2.17)
Y 12 =Y 10Y 20∑
Y
Y 13 =Y 10Y 30∑
Y
Y 23 =Y 20Y 30∑
Y
Y10
Y30
Y20
Y12Y13
Y23
Abbildung 1.1.: Stern-Dreieck-Umwandlung
Gilt nur bei konstanter Frequenz!
19
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Dreieck-Stern-Umwandlung ([3], Abb. 2.18)
Z10 =Z12Z13∑
Z
Z20 =Z12Z23∑
Z
Z30 =Z13Z23∑
Z
Z10
Z30
Z20
Z12 Z13
Z23
Abbildung 1.2.: Stern-Dreieck-Umwandlung
Gilt nur bei konstanter Frequenz!
Theorem von Tellegen ([3, S. 51])
UT · I = IT ·U = 0UT · I∗ = (I∗)T ·U = 0
Dies besagt, dass die Summe aller Zweiglei-stungen im eingeschwungenen stationäremZustand im zeitlichen Mittel null sind.
Reziprozitäts-Theorem ([3], Formel 2.46)
U1bI1a + U2bI2a = U1aI1b + U2aI2bDes heißt auch Umkehrsatz. Siehe [3, S. 53].
1.2.3. Netzwerkanalyse
Maschenstromverfahren
Achtung: Das Maschenstromverfahren funktioniert nur bei Spannungsquellen, Strom-quellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen!
20
1.2. GET2
Vorgehensweise
• Maschen und Maschenströme wählen
• Beziehungen zw. Maschen- und Zweigströmen aufstellen (Inzidenzmatrix)
• Maschenregel anwenden (Gleichung mit Impedanzmatrix, [3], Formel 3.8)
• Gleichungssystem lösen
• Zweigströme mit Inzidenzmatrix berechnen
• Zweigspannungen ermitteln
Inzidenzmatrix ([3], Formel 3.3)
A
Jedes Element aij enthällt das Vorzeichendes die Impedanz i durchfließenden Ma-schenstromes (Spalte j).
Impedanzmatrix ()
∑ZM1 · · ·
∑ZM1|Mn
... . . . ...∑ZMn|M1 · · ·
∑ZMn
= ZM
• In den Hauptdiagonalen die Summeder in der Masche Mn vorkommendenImpedanzen.
• Die Elemente außerhalb werden durchdie Summe der Impedanzen gebildetdie von den angrenzenden Maschen-strömen gemeinsam durchflossen wer-den.
Impedanzmatrix-Gleichung ([3], Formel 3.8)
ZM ·
IM1...IMn
=∑U qM1...∑U qMn
Das Vorzeichen der in einer Masche vorhan-denen Spannungsquellen UqMn ist entspre-chend des Zählpfeilsystems zu wählen.
21
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Zweigströme ([3], Formel 3.3)
I1...In
= A ·IM1...IMn
I = A · IM
IMn sind die Maschenströme.
Knotenpotentialverfahren
Achtung: Das Knotenpotentialverfahren funktioniert nur bei Stromquellen, Spannungs-quellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen!
Vorgehensweise
• Referenzknoten und K − 1 Knotenspannungen festlegen
• Beziehungen zwischen Knoten- und Zweigspannungen aufstellen (Inzidenzmatrix)
• Kirchhoffsche Knotenregel auf K − 1 Knoten anwenden mit Knotenspannungenals Variablen
• Lineares Gleichungssystem lösen
• Zweigspannungen über Inzidenzmatrix aus den Knotenspannungen berechnen
• Zweigströme ermitteln
Inzidenzmatrix ()
Vom Knoten weg: −1, zum Knoten hin +1.
Admittanzmatrix ()
∑Y K1 · · · −
∑Y K1|Kn
... . . . ...−∑Y Kn|K1 · · ·
∑Y Kn
= YK
• In den Hauptdiagonalen stehen dieSummen der an den jeweiligen Knotenangrenzenden Admittanzen
• In die anderen Elemente wird die ne-gative Summe der sich zwischen denjeweiligen Knoten befindenden Admit-tanzen eingetragen
22
1.2. GET2
Admittanzmatrix-Gleichung ()
YK ·
UK1...UKn
=∑IqK1...∑IqKn
Vorzeichen der Quelle: Zum Knoten +, vomKnotrn −Knotenspannungen ()
1.2.4. Zweipole
Komplexe Frequenz ([3], Formel 4.9)
s = σ + ω
σ = − ω02Q0
σ bezeichnet die Dämpfungskonstante.
Mithilfe der komplexen Frequenz lassen sich Impedanz und Admittanz nach folgenderTabelle schreiben:
R L CImpedanz R sL 1
sC
Admittanz 1R
1sL
sC
23
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Komplexe Impedanzfunktion
Man Bildet von einer Schaltung am einfachsten die Kettenbruchfunktion. Aus dieserlässt sich der Aufbau der Schaltung auch leicht ablesen.
Realisierbarkeit einer Impedanzfunktion als Schaltung
• Pol- und Nullstellen wechseln sich ab
• Alle koeffizienten sind positiv und reel
• Die Grade des Zählers und Nenners unterscheiden sich um maximal ±1
• Polstellen müssen einfach sein
Normierung ([3], Formel 4.71)
sn =s
ω0
Ln =ω0L
R0Cn = ω0CR0
Diese Normierung führt man als Rechen-erleichterung bei der Anwendung des Fo-ster’schen Theorems durch
Normierte Impedanzfunktion durch Partialbruchzerlegung Z(s) ()
Zn(s) = a∞s+n∑
i=1
Ais
s2 + p2i+A0s
nachdem man die Impedanzfunktion auf die-se Form gebracht hat kürzt man die Mittel-teile mit deren Zähler und erhällt eine Formaus der man den Schaltungsaufbau heraus-lesen kann
24
1.2. GET2
Beispiel zur Impedanzfunktion ()
Z(s) =1
as+
11ds
+ 11bs+ 1
cs
Dies stellt die normierte komplexe Impe-danzfunktion zu folgender Schaltung dar:
1.2.5. Mehrpolige Netzwerke
1.2.6. Zweitore
Tabellen für die Matrizen finden sich in [3, S. 126-132 / 144-146].
Betriebsverhalten von Zweitoren
Transmittanz / Betriebsübertragungsfaktor ([3], Formel 6.131)
S21 = 2 ·√R1R2
· U2U q1
Betriebsdämpfung ([3], Formel 6.137)
adBB = 20 log1
|S21|dB
= 10 log
(PWVPraus
)dB
25
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Symmetrisches Zweitor ([3], Formel 6.39)
Z11 = Z22 =1
2(Za + Zb)
Z12 = Z21 =1
2(Za − Zb)
Za ermittelt man durch die Gleichtaktanre-gung (Leerlauf hinten)Zb ermittelt man durch die Gegentaktanre-gung (Kurzschluss hinten)S. 139
Weitere Bedingungen: Y 11 = Y 22, Y 12 = Y 21 und A11 = A22, detA = 1.
Rückwirkungsfreies Zweitor ([3], Formel 6.24, 6.25)
Y 21 6= Y 12; Z21 6= Z12; H12 6= −H21Y 12 = 0; Z12 = 0; H12 = 0
S. 135
Spannungsübertragungsfaktor ([3], Formel 6.143)
U1U2
=1
ÜU= A11 +
A12R2
Stromübertragungsfaktor ([3], Formel 6.145)
I1I2
=1
Ü I= −A22 − A21 ·R2
Serienschaltung ()
Zges = Z1 + Z2Schaltbild S. 155 Abb 6.26
Parallelschaltung ()
Yges = Y1 +Y2Schaltbild S. 158 Abb 6.30
Kettenschaltung ()
Ages = A1 ·A2Schaltbild S. 164 Abb 6.39
26
1.2. GET2
1.2.7. Fourier-Reihen
Sinus-Cosinus-Darstellung ()
f(t) = a0 +∞∑k=1
(âk cos (kωt) + b̂k sin (kωt))Dies ist die Sinus-Cosinus-Darstellung einerFourier-Reihe
Amplituden-Phasen-Darstellung ()
f(t) = c0 +∞∑k=1
ĉk cos (kωt− ϕk)Dies ist die Amplituden-Phasen-Darstellungeiner Fourier-Reihe
Komplexe Darstellung ()
f(t) =∞∑
k=−∞
dkejkωt
Dies ist die Komplexe Darstellung einerFourier-Reihe
Fourier-Koeffizienten ()
a0 =1
T
t+Tˆ
t
f(t′) d t′
âk =2
T
t+Tˆ
t
f(t′) cos (kωt′) d t′
b̂k =2
T
t+Tˆ
t
f(t′) sin (kωt′) d t′
dk =1
T
t+Tˆ
t
f(t′) · e−jkωt′ d t′
Mit k = 1, 2, 3, ...
27
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Umrechnung Trigonometrisch - Amplituden/Phasendarstellung ()
c0 = a0
ĉk =
√â2k + b̂
2k
ϕk =
{arctan ( b̂k
âk), für âk > 0
arctan ( b̂kâk) + π, für âk < 0
âk = ĉk cosϕk
b̂k = ĉk sinϕk
Umrechnung Komplex - Amplituden/Phasendarstellung ()
ĉk = 2|dk|ϕk = arg(d
∗k)
d−k = d∗k
Sollte rel. fix gehn
Umrechnung Komplex - Trigonometrisch ()
a0 = d0âk = 2
1.2. GET2
Scheitelfaktor ()
ξ =Û√
∞∑k=1
U2k,eff
Formfaktor ()
F =
√∞∑k=1
U2k,eff
|U |
|U | ist der Gleichrichtwert
Klirrfaktor ()
k =
√√√√√√√∞∑k=2
U2k,eff
∞∑k=1
U2k,eff
Eigentlich haut man oben den ersten Vor-kommenden Koeffizienten weg und untennicht.
Klirrkoeffizient ()
kµ =Uµ,eff√∞∑k=1
U2k,eff
Grundschwingungsgehalt ()
g = k1 =U1,eff√∞∑k=1
U2k,eff
29
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Welligkeit ()
w =
√∞∑k=1
U2k,eff
U0
Momentanleistung ()
p(t) = u(t) · i(t)Wenn das gefragt ist ausrechnen. Additions-theoreme sind dann meist gegeben
Wirkleistung in Amplituden-Phasen-Darstellung ()
Pw = U0I0 +∞∑k=1
1
2ÛkÎk cos (ϕu − ϕi)
= U0I0 +∞∑k=1
Uk,effIk,effk cos (ϕu − ϕi)
Scheinleistung ()
PS = UeffIeff =
√√√√U20 + ∞∑k=1
U2k,eff ·
√√√√I20 + ∞∑k=1
I2k,eff
Sonderfälle und Symmetrien
Gerade Funktion Eine Funktion f(t) ist gerade, wenn gilt: f(t) = f(−t). Einfachstegerade Funktion ist der Kosinus. Ein Gleichanteil kann ebenfalls vorhanden sein.
Ungerade Funktion Eine Funktion f(t) ist ungerade, wenn gilt: f(t) = −f(−t). Ein-fachste ungerade Funktion ist der Sinus. Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden.
Alternierende Funktion Eine Funktion f(t) ist alternierend, wenn gilt: f(t) = −f(t+T/2). Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden.
30
1.3. GET3
T/2-periodische Funktion Eine Funktion f(t) ist T/2-periodisch, wenn gilt: f(t) =f(t+ T/2).
Fourier-Koeffizienten bei geraden Funktionen ()
b̂k = 0
ĉk = |âk|, ϕ
1.3. GET3
1.3.1. Laplace-Transformation
Es sei hier auf die Korrespondenztabellen aus Anhang A.7 sowie in [4, S. 35 / 38] und[2, S. 253ff] verwiesen.
Einseitige Laplace-Transformation ([4], Formel 3.39)
F (s) = L{f(t)} =∞̂
0
f(t) · e−st d t
Dies ist die Definitionsgleichung der einsei-tigen Laplace-Transformation. Sie kann fürkausale Signale anstalle der beidseitigen ver-werndet werden.
Widerstandsgleichung ([4], Formel 3.145)
UR(s) = RIR(s)
31
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Kondensatorgleichung ([4], Formel 3.149)
IC(s) = sC
[UC(s)−
uC(0−)
s
]UC(s) =
IC(s)
sC+uC(0
−)
s
[IC(s)] =A
Hz[UC(s)] =
V
Hz
Abbildung 1.3.: Kondensator mit Anfangs-wertgenerator
Spulengleichung ([4], Formel 3.153)
UL(s) = sL
[IL(s)−
iL(0−)
s
]IL(s) =
UL(s)
sL+iL(0
−)
s
[UL(s)] =V
Hz[IL(s)] =
A
Hz
Abbildung 1.4.: Spule mit Anfangswertge-nerator
Anfangswerttheorem ([4], Formel 3.107)
limt→0
f(t) = f(0+) = lim
1.3. GET3
Berechnung des Amplitudenbetrags in dB ([4], Formel 3.235)
|G(jω)| = 20 · lg |G(jω)|dB
Residuensatz ()
lims→s0
(s− s0)F (s) = Res
Das Residuum entsprich hier dem Koffizi-enten A bei der Partialbruchzerlegung derForm A
s−s0
Wert dB2 6
Wert dB0, 5 −6
Wert dB Wert dB
Abbildung 1.5.: Dezibel Werte (20 lg (·))
Bode-Diagramme
Amplitudengang
1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen
2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen
3. Bei ω → 0 beginnen:(a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Steigung 0dB / Dekade(b) pro Pol bei s = 0: Steigung −20dB / Dekade(c) pro Nullstelle bei s = 0: Steigung +20dB / Dekade
4. Gerade Linie bis zu nächsten Eckfrequenzen
5. Für jeden Pol Steigung um 20dB/Dekade verringern, für jede Nullstelle erhöhen.
6. Beschriftung der Vertikalen Achse durch ausrechnen von |G(jω)| in einem waag-rechten Bereiches des Bode-Diagramms
7. Ecken um 3dB pro Pol/Nullstelle abrunden
[4, S. 65]
33
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Phasengang Man Beachte: Ein negatives Vorzeichen dreht die Phase um π!
1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen
2. Bei ω → 0 beginnen:(a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: Phase 0◦
(b) pro Pol bei s = 0: Phase −90◦
(c) pro Nullstelle bei s = 0: Phase +90◦
3. Gerade Linie bis 0, 1· nächste Eckfrequenz
4. Jeder Pol subtrahiert 90◦, jede nullstelle addiert 90◦ über einen Bereich von 0, 1·Eckfrequenz bis 10· Eckfrequenz verteilt. A schwach gedämpfter Komplexer Polhüpft direkt um 180◦.
5. Phasenskizze Glätten, so dass arctan-Verläufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ proPol bzw. Nullstelle bei 0, 1· Eckfrequenz und 10· Eckfrequenz.
1.3.2. Nichtlineare Bauelemente
Es ist hier zu beachten, dass hier einige Prinzipien wie man sie von Linearen Netzwerkenher kennt nicht mehr gelten.
Berechnung mit Ersatzquellen
Diese Methode funktioniert gut wenn keine Einschwingvorgänge untersucht werden undbis auf das Nichtlineare Bauelement die restliche Schaltung zu einer Ersatzquelle um-transformiert werden kann. Man beachten hierzu auch das Kapitel 1.2.1.
34
1.3. GET3
Berechnung durch Ersatzspannungsquelle
1. Übriges Netzwerk zu einer Ersatzspannungsquelle umtransformieren
2. Zwischen den Anschlussklemmen des Nichlinearen Bauelements eine Hilfsspannungeinführen
3. Die Gleichung des Bauelements auf die i(u) auflösen
4. Einen Maschenumlauf über die Hilfsspannung bilden
5. i(u) des Bauelements in die Gleichung einsetzten
6. Lösen
1.3.3. Einschwingvorgänge
Kondensator ()
i(t) = Cdu
d t
Bei der Lösung von DGLs ist nach Trennungder Variablen von u(t = 0) bist u(t) zu inte-grieren.Beim Kondensator ist die Spannung immerstetig, der Strom kann springen.
Spule ()
u(t) = Ld i
d t
Bei der Lösung von DGLs ist nach Trennungder Variablen von i(t = 0) bist i(t) zu inte-grieren.Bei der Spule ist der Strom immer stetig, dieSpannung kann springen.
Anfangswerte
Bauteil Mit Quelle verbunden Von Quelle getrenntKondensator uC(0) = uc uC(0) = 0
Spule iL(0) = iL iL(0) = 0
35
1. Grundlagen der Elektrotechnik
Vorgegensweisen
Vorgehen im Zeitbereich
1. Differentialgleichung aufstellen (durch Maschenumläufe o.Ä.)
2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3)
3. DGL lösen
Vorgehen im Laplacebereich
1. Gleichung aufstellen (durch Maschenumläufe o.Ä. wie in Kapitel 1.3.1)
2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3)
3. Auf gesuchte Größe auflösen
4. Rücktransformieren in den Zeitbereich
1.3.4. Fehlerrechnung
Absoluter Fehler ([4], Formel 5.1)
F = A−WHier bezeichnet F den Fehler, A den ange-zeigten Wert und W den wahren Wert
Relativer Fehler ([4], Formel 5.2)
f =A−WW
· 100%
=F
W· 100%
Hier bezeichnet f den relativen Fehler, Fden absoluten Fehler, A den angezeigtenWert und W den wahren Wert
Fortpflanzung des Systematischen Absoluten Fehlers ([4], Formel 5.11)
∆y =n∑
i=1
∣∣∣∣ ∂y∂xi∆xi∣∣∣∣ Die zu messende Größe wird hier nach denfehlerhaften Größen abgeleitet
36
1.3. GET3
1.3.5. Operationsverstärker (OpAmps)
Idealer Opamp ([4], Formel 7.1, 7.2)
uA = V0uD = V0(uP − uN︸ ︷︷ ︸uD
)
uD = 0 ∧ uP = uN , für V0 → ∞iN = iP = 0
1.3.6. Messschaltungen
Abgleichbedingung Brücke ([4], Formel 9.46)
Z2Z3 = Z1Z4 ⇒ UD = 0Bild...
äquivalente Abgleichbedingungen einer Brücke ([4], Formel 9.50, 9.51)
Zi = Ri + jXi
R2R3 −X2X3 = R1R4 −X1X4X2R3 +R2X3 = X1R4 +R1X4
Bei unteren Gleichungen müssen erfüllt sein.Es müssen somit 2 unabhängig voneinanderabgleichbare Elemente vorhanden sein.
Diagonalspannung bei der Brücke ([4], Formel 9.21)
UD = UE
(R2
R1 +R2− R4R3 +R4
)= UE
R2R3 −R1R4(R1 +R2)(R3 +R4)
Das Schaltbild ist in [4, S. 242]
37
2. Halbleiterbauelemente
2.1. Grundlagen
2.1.1. Intrinsischer Halbleiter
Intrinsische Ladungsträgerkonzentration ()
ni =√NC ·NV exp
(− Eg2kT
)n2i = n0 · p0
Intrinsisches Ferminiveau ()
EFi =EC + EV
2+
1
2kT · ln
(NVNC
)Effektive Zustandsdichten Elektronen/Löcher ()
NC = 2
(2πm∗ekT
h2
); NV = 2
(2πm∗hkT
h2
)
2.1.2. Dotierter Halbleiter
Ladungsträgerkonzentrationen ()
n = NC · exp(EF − EC
kT
)= ni · exp
(EF − EFi
kT
)p = NV · exp
(EV − EF
kT
)= ni · exp
(−EF − EFi
kT
)
39
2. Halbleiterbauelemente
Ferminiveau ()
EF = EFi + kT ln
(n
ni
)bzw. EF = EFi − kT ln
(p
ni
)
2.1.3. Ladungsträger im Halbleiter in elektrischem Feld
Driftstromdichte ()
JDrift = q(pµp + nµn)E = σE
Elektrischer Widerstand ()
R =l
σA
Diffusionskonstante ()
Dn/p =kT
qµn/p
Dielektrische Relaxation ()
τd =�0�rσ
Diffusionslänge ()
Lp/n =√Dp/nτp/n
Debye-Länge ()
LD =
√�0�rkT
q2p
40
2.1. Grundlagen
2.1.4. Halbleiterdioden
Diffusionsspannung ()
UDiff =kT
qln
(NANDn2i
)
Weite der Raumladungszone ()
wRL = xn + xp =
√2�0�HLUDiff
q
(1
NA+
1
ND
)mit xpNA = xnND und x2pNA + x2nND =2�0�HLUDiff
q
Weite der Raumladungszone bei abruptem pn-Übergang ()
wRL = xn + xp =
√2�0�HLUDiffqNA/D
Sperrschichtkapazität ()
CS =�0�HLwRL
· A
Sperrsättigungsstromdichte ()
JS = qn2i
(DnLnNA
+Dp
LpND
)= qn2i
(LnτnNA
+LpτpND
)
2.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator
Bulkpotential ()
ΦB =EFi − EF
q= kT · ln
(NAni
)bzw. kT · ln
(niND
)
41
2. Halbleiterbauelemente
Austrittsarbeit des Halbleiters ()
qΦHL = qχHL +Eg2
+ qΦB
Austrittsarbeitsdifferenz ()
qΦMHL = q(ΦM − ΦHL)
Flachbandspannung ()
UFB = ΦMHL −QIsCIs
Weite der Raumladungszone ()
wRL =
√−2�0�HL
qNDΦS bzw.
√2�0�HLqNA
ΦS
Maximale Weite der Raumladungszone ()
wRL,max =
√−4�0�HL
qNΦB
Einsatzspannung ()
UTh = UFB + 2ΦB −QHLCIs
Ladung im Halbleiter(flächenbezogen!) ()
QHL = ±√
4�0�HLqN |ΦB| (+ : n− HL;− : p− HL)
Isolatorkapazität (flächenbezogen!) ()
CIs =�0�IsxIs
42
2.1. Grundlagen
Gesamtkapazität des Kondensators ()
Cges =CIsCHLCIs + CHL
2.1.6. MOSFET
Kanalwiderstand ()
RC = ρl
xCW
Drainstrom (n-Kanal: + ; p-Kanal: -) ()
ID = ±β(UG − UTh)UD linearer Bereich
ID = ±β((UG − UTh)UD −
UD2
)Triodenbereich
ID = ±β(UG − UTh)2 Sättigungsbereich
Transkonduktanz ()
β = µp/nCIsW
L
Substratstreufaktor ()
γ = ∓√2�0�HLqN
CIs(p-Kanal: -, N = ND; n-Kanal: +, N = NA)
Ladung im Halbleiter bei angelegter Sperrspannung ()
QHL,Sp. = ±√2�0�HLqN |2ΦB − UB| (p-Kanal: +; n-Kanal: -)
Durchbruchspannung bei angelegter Sperrspannung ()
UTh,Sp. = UFB + 2ΦB + γ√
|2ΦB| − UB
43
2. Halbleiterbauelemente
2.1.7. Optoelektronik
Wellenlänge ()
λ =c
ν
Energie ()
Eph = h · ν
Absorptionsbedingung ()
Eph ≥ Eg
Impuls ()
pph =h
ν
44
3. SchaltungstechnikDieses Kapitel befasst sich mit analogen Schaltungen der Elektrotechnik und derenGrundlagen
3.1. Grundlegende Bauelemente3.1.1. DiodeSchaltbild...
Stromkennlinie ()
ID = IS
(e
UDn·UT − 1
)ID: Strom durch die DiodeIS:UD:n:UT :Hierbei ist der Bahnwiderstand nicht be-rücksichtigt, denn die Gleichung wäre sonstnicht auf den Diodenstrom auflösbar.
Spannungskennlinie ()
UD = n · UT lnIDIS
+ IDRB
Vereinfachtes Modell ()
Dies stellt eine sehr stark vereinfachte Nä-herung dar. Für analytische Lösungen wirddiese gerne verwendet, da durch die e-Funktion nichtlineare Gleichungen entste-hend, die nur noch numerisch gelöst werdenkönnen.
3.1.2. Bipolartransistpr
45
4. Maxwellsche Gleichungen
Zur Übersicht sind hier die Maxwellschen Gleichungen mit ihrer prinzipiellen Bedeutungin verschiedenen Formen angegeben.
4.1. Integrale Darstellung
Maxwell 1 (Induktionsgesetz) (Schmidt 3.1)
˛
C
~E(t) d~s = − ∂∂t
¨
A
~B(t) d ~A� +
˛
C
(~v × ~B) d~s
Dies ist auch als Induktionsgesetz bekannt.Zu beachten ist, dass die Kurve C auch imVakuum / in irgend einem Medium umlau-fen werden kann. Somit besagt diese Glei-chung dass ein Zeitlich veränderliches Ma-gnetfeld immer mit einem zeitlich veränder-lichen E-Feld in Verbindung ist und gemein-sam auftritt.
Maxwell 2 (Amperesches Gesetz) (Schmidt 3.2)
˛
C
~H(t) d~s =
¨
A
~J(t) d ~A� +∂
∂t
¨
A
~D(t) d ~A�︸ ︷︷ ︸Verschiebungsstrom
Dies ist aus GET1 bekannt. Allerdings isthier noch der sog. Verschiebungsstrom zufinden. Seine Bedeutung ist leicht am Bei-spiel des Kondensators zu erkennen: Lässtman einen Kondensator von einer Wechsel-stromquelle speißen, so fließt Strom obwohlder Ideale Kondensator perfekt Isoliert. Die-ser Stromfluss geschiet durch das ~E-Feld inForm des Verschiebungsstroms.
Maxwell 3 (Coulombsches Gesetz) (Schmidt 3.3)
‹
A
~D(t) d ~A� =
˚
V
ρ(t) dV
47
4. Maxwellsche Gleichungen
Maxwell 4 (Schmidt 3.4)
‹
A
~B(t) d ~A� = 0
Da sich der magnetische Fluss schließt, istdas Hüllflächenintegral über diesen 0. Diesbedeutet, dass das Magnetfeld ein Quellen-freies Feld ist.
Kontinuitätsgleichung ()
‹~J d ~A� = −
∂Q
∂t
I = −∂Q∂t
Fließt ein Strom von einem geladenen Kör-per weg, so verschwinden auf diesem La-dungen. Mann kan sich dies vorstellen, dassder geladene Körper ein voller Eimer Was-ser ist und die Wassermolekühle Ladungenrepräsentieren. Schüttet man den Eimer aus,entsteht ein Wasserstrom und das Wasserim Eimer verschwindet. Achtung: Da hier-bei Ladungen vom Körper wegtransportiertwerden, ist das Hüllflächenintegral über ~Jnicht 0!
4.2. Differentielle FormDiese Darstellung erhällt man durch Anwendung des Satzes von Stokes und Gauß
Maxwell 1 (Schmidt 3.5)
rot ~E(t) = − ∂∂t~B(t)
= − ∂∂t
rot ~A(t)
~A bezeichnet das magnetische Vektorpoten-tial. Es gilt: ~B = rot ~A.
Maxwell 2 (Schmidt 3.6)
rot ~H(t) = ~J(t) +∂
∂t~D(t)︸ ︷︷ ︸
Verschiebungsstromdichte
Maxwell 3 (Schmidt 3.7)
div ~D(t) = ρ(t)
Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. DieQuellen des elektrischen Felds sind Ladun-gen.
48
4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich
Maxwell 4 (Schmidt 3.8)
div ~B(t) = 0Das magnetische Feld ist ein Quellen freiesFeld.
Kontinuitätsgleichung ()
div ~J = − ∂∂tρ
Sagt aus, dass bei einem fließenden Strom,Ladungen bewegt werden.
4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich
Dies gilt nur allerdings nur für zeitharmonische Größen! Für allgemein zeitabhängigeGrößen, sind die integralen und differentiellen Formen zu verwenden.
Maxwell 1 (Schmidt 3.33)
rot ~E(ω) = −jω~B(ω)
Maxwell 2 (Schmidt 3.34)
rot ~H(ω) = ~J(ω) + jω~D(ω)︸ ︷︷ ︸Verschiebungsstromdichte
Maxwell 3 (Schmidt 3.35)
div ~D(ω) = ρ(ω)
Maxwell 4 (Schmidt 3.36)
div ~B(ω) = 0
49
4. Maxwellsche Gleichungen
4.4. Randbedingungen
~E-Feld an der Grenzfläche ()
~n · (~E2 − ~E1) =σ
�
~n · (~D1 − ~D2) = 0~n× (~E2 − ~E1) = 0
Man beachte die Entsprechenden kompo-nenten (tangential und normal) der Feld-stärke / Flussdichte.
~H-Feld an der Grenzfläche ()
~n · (~B2 − ~B1) = 0~n× (~H2 − ~H1) = ~K
Achtung: Einheitsvektoren beachten durchdas Kreuzprodukt!
Dirichlet Randbedingung Als Dirichlet Randbedingung werden Randbedingungen be-zeichnet, bei denen der Randwert direkt als Potentialgröße gegeben ist.
ϕe = Wert (4.1)~A = Wert (4.2)
Von Neumann Randbedingung Als Von Neumann Randbedingung werden Randbe-dingungen bezeichnet, bei denen der Randwert als Ableitung der Potentialgröße gegebenist.
∂ϕe∂n
= Wert (4.3)
Dies entspricht der Vorgabe von ~D oder ~E bzw. ~H oder ~B. Man beachte, dass dies eineAbleitung nach der Normalen n ist.
50
4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen
4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen
Magnetisches Vektorpotential ()
~B = rot ~A
Allerdings ist ~A nicht eindeutig definiert:~A′ = ~A+ grad(ψ) würde wegen rot grad(ψ)genau das selbe liefern. Also ist ψ als Frei-heitsgrad vorhanden.
Coulomb-Eichung ()
div ~A = 0
Lorenz-Eichung ()
div ~A+ �µ∂
∂tΦ = 0
Eichtransformation ()
~A′ = ~A+ grad(V )
Φ′ = Φ− ∂V∂t
V bezeichnet hierbei die Eichfunktion. Je-des beliebige V , welches diese Bedingungenerfüllt, kann zur Eichung des magnetischenVektorpotentials verwendet werden.
51
5. Elektromagnetische Felder
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
5.1.1. Elektrostatik
Es empfiehlt sich hier in GET1 nachzulesen.Die elektrische Feldstärke (2.11)
~E = − gradϕe
⇒˛
C
~E d~s = 0
rot ~E = 0
Feld und Potential einer Raumladung (2.18, 2.19)
ϕr(~rP ) =1
4π�0
˚
V
1
rρ(~rQ) dVQ
~E(~rP ) =1
4π�0
˚
V
~r
r3ρ(~rQ) dVQ
Man geht hier von bekannter Raumladungρ aus. Am Punkt ~rP kann man dann dasPotential / die Feldstärke berechnen indemmal ρ stur über das Volumen aufintegriert.
Ergibigkeit (Divergenz) des E-Feldes (2.13)
‹
A
~D d ~A =
˚
V
div ~D dV =
˚
V
ρ dV
⇒ div ~D = ρ‹
A
(−�∇ϕe) d ~A = 0
Dies ist das Coulombsche Gesetz
53
5. Elektromagnetische Felder
Poisson- / Laplace-Gleichung (2.14, 2.15)
∆ϕe = −ρ
�0, Poisson-Gleichung
∆ϕe = 0, Laplace-Gleichung
Die Poisson-Gleichung findet Anwendungbei vorhandener Raumladung. Ist man au-ßerhalb dieses Bereichs, so verwendet mandie Laplace-Gleichung als Sonderfall. Siewird oft auch einfach als Feldgleichung be-zeichnet.
Feld / Potential eines Dipols (2.54-2.56)
~Me = ~eMe = ~eQs
ϕe(~rP ) =1
4π�0r2P
~rPrP
· (~rQ1Q1 +~rQ2Q2)
=~eQs
4π�0r2P
~rPrP
=1
4π�0~Me ·
~rPrP
~E = − grad(ϕe)
Hierbei zeigt ~e von der negativen Ladungzur positiven Ladung. Man kann es fürräumlich dicht beieinanderliegenden Ladun-gen anwenden.
Komplexes Feld / Potential einer Linienladung ()
~E = ~eρλ02π�0
l
ρ, Reelles Feld
~E = ~eρλ02π�0
1
ρe−jϕ︸ ︷︷ ︸1/z∗
, Komplexes Feld
ϕe(ρ) = −λ02π�0
ln(ρc
), Reelles Potential
p(z) = − λ02π�0
ln
(ρejϕ
c
)︸ ︷︷ ︸
z/c
, Komplexes Potential
= ϕe − jψ
�0l
54
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
Lösungsverfahren
Verfahren I Felder bei symmetrischen LadungsverteilungenDieses Verfahren ist bereits aus GET1 bekannt. Man kann es immer bei symmetrischenGeometrien verwenden. Bedingung hierfür ist u.A., dass die Flussdichte auf einer ent-sprechenden Oberfläche, welche die Anordnung vollständig umschließt, einen konstantenWert haben muss (z.B. Kugel: Hier ist ~D unabhängig von ρ, es kann also ~D angegebenwerden, wenn man Q annimmt). Auch bei symmetrischen Ladungsverteilungen ist esmöglich.
1. Über den Fluss das elektrische Feld allg. bestimmten
2. Falls Raumladungen vorhanden: Aus diesen allg. die Ladung bestimmen
3. Ladung und Fluss gleichsetzen und auf das Feld auflösen
Verfahren II Integration über die LadungsverteilungDieses Verfahren kann genuttz werden, wenn die Ortsverteilung der Ladungsträger be-kannt ist und der Raum überall gleiche Materialeigenschaften besitzt.
1. ~r = ~rP −~rQ angeben
2. r angeben
3. Integrationsgrenzen bestimmen
4. In die entsprechende Formel für ~E oder ϕ einsetzen
Verfahren III Vergleich mit bekannten FeldbildernHierfür werden Äquipotentialflächen benötigt. Man geht von einer einfachen Anordnungaus, z.B. eine Linienladung, setzt Äquipotentialflächen dran und kann so z.B. das Feldeines dicken Drahtes berechnen.
Verfahren IV SpiegelungsverfahrenHierfür wird eine Ebene benötigt, auf der das Potential den Wert 0 (jaja, ich weiß, esgeht nur im Bezug auf irgendwas, aber ihr wisst schon, wie ichs meine ;)) hat. Dann kannman die Anordnung spiegeln, so dass diese Bedingung erfüllt ist und die Feldverteilungangeben.
55
5. Elektromagnetische Felder
Teilkapazitäten
Maxwellsche Potentialkoeffizienten (2.160)
ϕe1ϕe2...ϕen
=p11 p12 . . . p1np21 p22 . . . p2n... ... . . . ...pn1 pn2 . . . pnn
·Q1Q2...Qn
Nachdem ϕe ∼ Q gilt, kann man die Max-wellchen Potentialkoeffizienten pik einfüh-ren. Dieses Gleichungssystem kann man nunnach den den Ladungen auflösen
Maxwellsche Kapazitätskoeffizienten (2.165)
Q1Q2...Qn
=k11 k12 . . . k1nk21 k22 . . . k2n... ... . . . ...kn1 kn2 . . . knn
·ϕe1ϕe2...ϕen
Dies ist das nach den Ladungen aufgelösteGleichungssysten von oben mit k = p−1
Teilkapazitäten (2.168)
Cii =n∑
k=1
kik
Cik = −kik
Da noch a Bildle nei
Bestimmung der Teilkapazitäten Man kann entweder die Potentiale annehmen oderdie Ladungen und dann rumrechnen. Über die Ladungen ist es meist einfacher.
Ladungen (Achtung!! Hierbei wird der Abstand der Teile zueinander als sehr groß ange-nommen, da so das Potential des Körpers alleine näherungsweise gilt!):
1. Q annehmen
2. ϕei berechnen (wie üblich)
3. Jetzt hat man schon die Potentialkoeffizienten
4. Gleichungssystem auf Q auflösen
5. Die Kapazitätskoeffizienten durch Vergleichen oder Lösen des LGS bestimmen
6. Die Teilkapazitäten ausrechnen
56
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
5.1.2. Stationäres Strömungsfeld
Ohmsches Gesetz (3.9)
− gradϕe = ~E =1
κ~J
Dies ist aus GET1 bekannt
Randbedingungen (3.18)
0 = ~n×(
1
κ2~J2 −
1
κ1~J1
)0 = ~n ·
(~J2 − ~J1
) Folgt direkt aus den Randbedingungen deselektrischen FeldsFeldgleichung ([5], Formel 3.11, 3.12)
div ~J = 0
∆ϕe +1
κgradκ · gradϕe = 0, für κ = κ(~r)
∆ϕe = 0, für κ = const.
5.1.3. Stationäres Magnetfeld
Oersted’sches Gesetz ()
˛
C
~H · d~s = I
rot ~H = ~J
An Stellen nicht veschwindende Stromdichteweißt das Magnetfeld Wirbel auf (zur Veran-schaulichung betrachte man sich den Strom-durchflossenen Draht mit dem in ϕ gerich-teten Magnetfeld)
57
5. Elektromagnetische Felder
magnetische Flussdichte (4.93)
Φ =
¨
A
~B · d ~A =˛
C
~A d~s
div ~B = 0‹
A
~B · d ~A =˚
V
div ~B dV = 0
Magnetische Flussdichte ist Quellenfrei (imGegensatz zur elektrischen Flussdichte)
magnetisches Vektorpotential (4.8, 4.23)
~B = rot ~A
∆~A = −µ0~J
~A(~rP ) =µ
4π
˚
V
1
r~J(~rQ) dVQ
~A(~rP ) =µ
4π
¨
A
1
r~K(~rQ) dAQ
Nicht mit der Fläche ~A verwechseln! ~K isthierbei der Strombelag
magnetisches Skalarpotential (4.15)
~H = − gradVm
Dies ist das analogon zum elektrostatischenPotential ϕe und ist auch aus GET1 bereitsbekannt.
Biot-Savart ([5], Formel 4.22, 4.26)
~H(~rP ) =1
4π
˚
V
~J(~rQ)×~r
r3
~H(~rP ) =I
4π
˛
C
(d~sQ ×
~r
r3
)~H(~rP ) =
1
4π
¨
A
~K(~rQ)×~r
r3dAQ
• ~r für die Kurve allg. bestimmen
• ~s entlang der Kurve allg. bestimmen
• r bestimmen (geht aus ~r)
• Ausrechnen (wird oft mathematischhässlich)
58
5.1. Theorie elektromagnetischer Felder
Feld einer dünnen Leiterschleife (4.25, 4.26)
~A(~rP ) =µI
4π
˛
C
1
rd~sQ
~H(~rP ) =I
4π
˛
C
(d~sQ ×
~r
r3
)
Vm(~rP ) =I
4π
¨
A
~r
r3· d ~AQ
magnetischer Dipol (4.49, 4.50)
~Mm = ~nMm = ~nIA
Vm(~rP ) =1
4π~Mm ·
~rPr3P
~A(~rP ) =µ04π
(~Mm ×
~rPr3
)~H(~rP ) = −
1
4π
(~Mm · grad
) ~rPr3P
letzteres Folg als Spezialfall aus der kreisför-migen, sehr dünnen und kleinen Leiterschlei-fe (also so ne gaaaanz putzige). Des vom Di-pol hervorgerufene Feld hängt nur von derumschlossenen Fläche, nicht von der Geome-trie der Stromschleife ab. Man kann auch beieiner gegebenen Stromdichte die Fläche pa-rametriesieren und I durch Integration derStromdichte bestimmen.
komplexes magnetisches Potential (4.76)
Pm(z) = −µI
2πlnz
c
= −µI2π
lnρ
c︸ ︷︷ ︸=A(ρ)
+j(−µI ϕ
2π
)︸ ︷︷ ︸
=Pmi
Die Herleitung erfolgt analog wie im elek-trostatischen Fall. Man sieht hier sehr gut,dass das alles das selbe ist, nur anders ;).Pmi = µVm
Energie des Magnetfelds ([5], Formel 4.119)
wm =1
2~H · ~B
Wm =
˚
V
wm dV =1
2
˚
V
~Am · ~J(~rQ) dVQMuss über V = V∞ integriert werden
59
5. Elektromagnetische Felder
Induktivitäten räumlicher Massivleiter ([5], Formel 4.136, 4.138)
Lik =
˚
V
~JiIi
·~AikIk
dV
=µ04π
˚
V
˚
V
1
rik
~JiIi
·~JkIk
dV dV
Induktivität einer dünnen Leiterschleife ([5], Formel 4.145)
Li =µl
8π
Im Üblichen nur proportional zu l, nicht vonwas andrem Abhängig. Daher kann das auchfür andere Leiterschleifen und Leiteranord-nungne, die entsprechend lang sind übertra-gen werden.
Induktivitätsmatrix ([5], Formel 4.147)
Φ1Φ2...Φn
=L11 L12 . . . L1nL21 L22 . . . L2n
... ... . . . ...Ln1 Ln2 . . . Lnn
·I1I2...In
Lik wird oft auch als Mik geschrieben.
5.1.4. ElektrodynamikBisher waren alle Größen von der Zeit unabhängig, d. h. es galt, dass alle zeitlichenAbleitungen zu 0 werden.
Elektrisches Feld ()
~E = − grad(ϕe)−∂
∂t~A
Jetzt muss zusätzlich ein Feldanteil durchInduktion berücksichtigen.
60
6. Hochfrequenztechnik
6.1. PB
Leistungsbilanz im EM-Feld
Energiedichte im E/M-Feld ()
we(t) =dWe(t)
dV=
1
2�0E
2(t)
wm(t) =dWm(t)
dV=
1
2µ0H
2(t)
Leistungsbilanz im Frequenzbereich ()
‹
A
1
2(~E× ~H∗) d ~A
︸ ︷︷ ︸Pps+jPps
− jω∗˚
V
�0�∗r
2
∣∣∣~E∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
Ppe+jPpe
+ jω
˚
V
µ0µr2
∣∣∣~H∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
Ppm+jPpm
+
˚
V
1
2σ∣∣∣~E∣∣∣2 dV
︸ ︷︷ ︸Pv
+
˚
V
1
2~E · ~J∗Q dV︸ ︷︷ ︸
PpQ+jPpQ
= 0
61
6. Hochfrequenztechnik
Frequenzabhähnige Leistungsanteile ()
Pe + Pm = (�′′
rω′ − �′rω
′′)
˚
V
�02
∣∣∣~E∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
dielektrische Verluste
+ (µ′′
rω′ − µ′rω
′′)
˚
V
µ02
∣∣∣~H∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
magnetische Verluste
− j�′rω′˚
V
�02
∣∣∣~E∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
elektrische Feldleistung
+ jµ′
rω′˚
V
µ02
∣∣∣~H∣∣∣2 dV︸ ︷︷ ︸
magnetische Feldleistung
Man erhällt diese Leistungsanteile durcheinsetzten der komplexen Materialparame-ter µr und �r ind die frequenzabhähnigenLeistungsanteile der Leistungsbilanz.Die elektrische und magnetische Feldlei-stung pendelt (sie geht gegenseitig ineinan-der über). Die dielektrischen Verluste entste-hen z.B. dadurch, dass Dipole bei der Um-polung umkippen (Mikrowellenherd!).
6.1.1. Wellenausbreitung
Helmholtz-Gleichung ()
∇2~E− µ� ∂2
∂t2~E = 0
∇2 ~H− µ� ∂2
∂t2~H = 0
Dies folt aus den Maxwellgleichungen. Be-schrieben ist das auf Seite 18 im Skript.
Wellezahl k ([6], Formel 4.27)
k =ω√�µ
Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle ()
vPh =1
√�µ
ω
k
µ wurde experimentell bestimmt und legtzusammen mit c0 den Wer von �0 fest. Hier-mit ist auch die Wellenzahl verknüpft.
62
6.1. PB
Skintiefe ([6], Formel 4.86)
δ =1√
πfµ(ω)σ(ω)
Wellenlänge ()
λ0 = wπf =c0f
Gilt im Vakuum.
Wellenlänge ()
λ =λ0√�r
=λ0n
Gilt im Medium. Hiebei bezeichnet n denBrechungsindex.
Flächenwiderstand ([6], Formel 4.93)
R� =l
σ(ω) δ(ω)l︸ ︷︷ ︸A
=1
σ(ω)δ(ω)
Hochfrequenzwiderstand ()
RHF =l
σδb
=l
σδπd, Draht m. Durchmesser d
Feldwellenwiderstand ([6], Formel 4.02)
ZF = (1 + j)R�, leitendes Medium
=
õ
�, nichtleitendes Medium
Man muss also aufpassen wo sich die Welleausbreitet. Im Vakuum gilt Z0 = 120πΩ
63
6. Hochfrequenztechnik
Snellius’sches Brechungsgesetz ()
sinα
sin β=n2n1
=
√�2�1
= nFür die Bezeichnungen betrachte man Abb.6.1.
Winkel der Totalreflexion ()
sin (αT ) =n2n1
=
√�r1�r2
Tritt nur auf, wenn die Welle vom optischdichten ins optisch dünne Medium fällt. An-gewendet wird dies u.A. in Glasfasern.
Brewsterwinkel ()
αB = arctann2n1
=
√�r1�r2
Das paralell polarisierte Licht wird unterdiesem Winkel nicht reflektiert
E-Feld einer linear polarisierten EM-Welle ()
Ex(t) =
6.1. PB
Magnetfeld einer EM-Welle Um das Magnetfeld einer EM-Welle zu berechnen, be-dient man sich der Maxwellgleichungen:Aus
−∂~B
∂t= ∇× ~E
folgt im Frequenzbereich
~H(ω) =j
ωµ
[(∂Ez∂y
− ∂Ey∂z
)~ex +
(∂Ex∂z
− ∂Ez∂x
)~ey +
(∂Ey∂x
− ∂Ex∂y
)~ez
]Nun folgt die Berechnung des H-Feldes (hier am Beispiel einer sich in ~ez-Richtung aus-breitenden linear polarisierten EM-Welle, deren E-Feld in richtung ~ex zeigt).
~H(ω) =j
ωµ
[(∂Ex∂z
)~ey +
(−∂Ex∂y
)~ez
]=
j
ωµ
[(∂(E+0xe
−jkz + E−0xe+jkz)
∂z
)~ey +
(−∂(E
+0xe
−jkz + E−0xe+jkz)
∂y
)~ez
]= ~ey
k
ωµ(E+0xe
−jkz + E−0xe+jkz)
mit kωµ
= 1ZF
folgt z.B. für die Hinlaufende Welle:
~H+ = ~eyE+0xe
−jkz
ZF
Hierraus lässt sich der Pointing-Vektor berechnen.
Pointing-Vektor ()
~S± =1
2~E± ×
(~H±)∗
= ±~ezE±0,z(H±0,z
)∗= ±1
2~ez
∣∣E±0,z∣∣2ZF
= ±12~ezZF
∣∣H±0,z∣∣2Der Pointing-Vektor zeigt in Ausbreitungs-richtung der EM-Welle und ist ein Maß fürdie transportierte Leistung. Er stellt eineFlächenleistungsdichte dar.
65
6. Hochfrequenztechnik
Fresnelgesetze ()
Er||Ee||
=tan (α− β)tan (α + β)
Er⊥Ee⊥
= −sin (α− β)sin (α + β)
Eg||Ee||
=2 cosα sin β
sin (α + β) cos (α− β)Eg⊥Ee⊥
=2 cosα sin β
sin (α + β)
αα
β
Abbildung 6.1.: Brechung und Fresnelgeset-ze
senkrechter Einfall ([6], Formel 4.61 4.62)
Er||Ee||
= −Er⊥Ee⊥
=n2 − n1n2 + n1
= r
Eg||Ee||
= −Eg⊥Ee⊥
=2n1
n2 + n1= g
Dies stellt den Sonderfall der Fresnelgesetzefür α = 0 dar. Bei Leistungsverhältnissen istdies zu quadrieren.
Antireflexschicht ()
�AF =√�r1 · �r2 =
√n1 · n2
d =λ
4=
λ04√�AR
=λ0
4nAR
66
6.1. PB
6.1.2. Bauteile
Widerstand
CK
CW
LZ LW RN
Abbildung 6.2.: Ersatzschaltbild des Widerstands mit allen Verlusten [6, S. 47 Abb. 5.7]
Hierbei gilt:LZ : Induktivität des ZuleitungsdrahtesLW : Induktivität der WicklungenCK : Kapazität der KontaktkappenCW : Kapazität der WicklungenRN : Nennwiderstand
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 5.8 - 5.10)
R(T ) =RN +dR(T )
dT|T=TN + · · ·
≈RN [1 + TKR(T − TN)]
TKR =dR(T )
RN dT|T=TN
Der Temperaturkoeffizient TKR hat die oftdie Einheit [TKR] = ppmK .
67
6. Hochfrequenztechnik
Kondensator
LZ RZ RK
C
RD Riso
Abbildung 6.3.: Ersatzschaltbild des Kondensators mit allen Verlusten [6, S. 69 Abb.6.15]
Hierbei gilt:LZ : Induktivität des ZuleitungsdrahtesRZ : Widerstand des ZuleitungsdrahtesRK : Widerstand der KontakteRD, Riso: Widerstände im DielektrikumC: Nennkapazität
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 6.55 - 6.57)
C(T ) =CN +dC(T )
dT|T=TN + · · ·
≈CN [1 + TKC(T − TN)]
TKC =dC(T )
CN dT|T=TN
Der Temperaturkoeffizient TKC hat die oftdie Einheit [TKR] = ppmK .
Verlustwinkel d. Dielektrikums ()
tan δ� =�′′r
�′r=GPBP
=GPωC ′
Komplexwertige Dielektrizitätszahl ()
�r = �r(1− j tan (δ�))
68
6.1. PB
Güte des Dielektrikums ()
Q� =
∣∣∣∣PqPv∣∣∣∣ = �′r�′′r = 1tan δ�
Güte des Kondensators ()
QC =
∣∣∣∣PqPv∣∣∣∣ = 1R1ωC ′(1 + tan2 δ�) + tan δ�
Spule
RH RW RCu RWW L
CW
RD
Abbildung 6.4.: Ersatzschaltbild der Spule mit allen Verlusten [6, S. 102 Abb. 7.24]
Hierbei gilt:RH : HystereseverlusteRW : WirbelstromverlusteRCu: Widerstand des ZuleitungsdrahtesRWW : Wirbelstromverluste in der WicklungCW : WicklungskapazitätRD: Verschiebungsstromverluste der WicklungskapazitätL : Nenninduktivität
69
6. Hochfrequenztechnik
Temperaturabhähngigkeit ([6], Formel 7.61 - 7.64)
µA(T ) =µA,N +dµA(T )
dT|T=TN + · · ·
≈µA,N [1 + TKµ(T − TN)]
TKµ =dµA(T )
µA,N dT|T=TN
L(T ) =LN +dL(T )
dT|T=TN + · · ·
≈LN [1 + TKL(T − TN)]
TKL =dL(T )
LN dT|T=TN
Der Temperaturkoeffizient TKL hat oft dieEinheit [TKR] = ppmK .
Verlustwinkel und Güte der Spule ()
tan δL =tan δH + tan δW︸ ︷︷ ︸tan δµ
+
tan δWW + tan δC︸ ︷︷ ︸=0 ohne Streufelder
+tan δCu
QL =1
tan δL
Man beachte für diese ganzen Verlustwinkel[6, S. 101ff].
Permeabler Verlustwinkel δµ ([6], Formel 7.75)
tan δµ =µ
′′r
µ′r=RSXS
=RSωL′
δµ beinhalltet die Hystereseverluste (RH)sowie die Wirbelstromverluste (RW ). Alsohauptsächlich die Verluste im Spulenkern.
Hystereseverlustfaktor ([6], Formel 7.78)
tan δH =
∣∣∣∣Pv,HPq∣∣∣∣ = RHωL
70
6.1. PB
Wirbelstromverlustfaktor ([6], Formel 7.79)
tan δW =µ
′′A
µ′A
=sinhx− sinxsinhx+ sinx
mit x = s
√f
fw
Zuleitungsverlustfaktor ([6], Formel 7.81)
tan δCu =RCuωL
Man beachte, dass bei hohen Frequenzen derSkineffekt bei der Bestimmung von RCu zubeachten ist.
Flussverdrängung und Wirbelströme Wenn ein elektrisch leitfähiges Medium voneinem magnetischen Wechselfeld durchflossen wird, bilden sich Wirbelströme aus.Grundlegend gilt:
Wirbelströme ()
∇× ~E(t) = − ∂∂t~B(t)
~E(t) = ρ~J(t)
∇× ~J(t) = −1ρ
∂
∂t~B(t)
Hier besagt das Induktionsgesetz nichts an-deres als dass ein zeitlich veränderliches Ma-gnetfeld die Rotation einer Stromdichte her-vorruft.
6.1.3. Leitungstheorie
Reflexionsfaktor ([6], Formel 9.30, 9.31)
rx =Rx − Z`Rx + Z`
rL bezeichnet den Reflexionsfaktor an derLeitung, ri den an der Quelle und rA den ander Last. Anstatt der Resistanzen könnenauch Impedanzen stehen.
Wellenwiderstand ([6], Formel 9.57)
Z` =
√R′ + jωL′
G′ + jωC ′
Man kann also einen bestimmten Wellenwi-derstand einer Leitung durch die entspre-chenden, eig. nur von der Geometrie abhän-gigen Größen auslegen.
71
6. Hochfrequenztechnik
Dämpfungsmaß ([6], Formel 9.59)
α =
(R
′
2√L′/C ′
+G
′
2
√L′
C ′
)· 1cosh
(δR−δG
2
)Phasenmaß ([6], Formel 9.60)
β = ω√L′C ′ cosh
(δR − δG
2
)
Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.61)
v =ω
β=
1√L′C ′
· 1cosh
(δR−δG
2
)Wellenwiderstand ([6], Formel 9.62)
Z` =
√L′/C ′
cosh δG·[cosh
(δR + δG
2
)− j sinh
(δR − δG
2
)]
Leistungstransport der allg. Leitung ()
P (`) = P (0)e−2α`Für hin und rücklaufende Welle.
Reflexionsfaktor ([6], Formel 10.21)
r(d) = rAe−2γd
r(l − z) = rAe−2α(l−z)e−j2β(l−z)Mit d = l − z.
72
6.1. PB
Verlustarme Leitung Hier gelten mit der Näherung cosh(δR−δG
2
)≈ 1 folgende
Formeln:
Dämpfungsmaß ([6], Formel 9.63)
α ≈ R′
2√L′/C ′
+G
′
2
√L′
C ′
Phasenmaß ([6], Formel 9.64)
β ≈ ω√L′C ′
Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.65)
v =ω
β≈ 1√
L′C ′
Wellenwiderstand ([6], Formel 9.66)
Z` ≈√L′
C ′
Die Lecherleitung
Die Lecherleitung stellt ein wirkungsvolles Instrument zur Impedanzanpassung dar undkann bei sehr hohen Frequenzen als reaktives Bauelement fungieren.
73
6. Hochfrequenztechnik
(a) Schema der LecherleitungI1 R
′dz L
′dz
G′dz C
′dz
I2
U1 U2
(b) ESB der inifinitesimal kurzen Lecherleitung
Abbildung 6.5.: Lecherleitung
Wellenwiderstand ()
Z` =
√R′ + jωL′
G′ + jωC ′
Eingangsimpedanz ([6], Formel 10.24)
ZE =U1I1
=ZA + Z` tanh γ`
Z` + ZA tanh γ`Z`
ZA: Abschlussimpedanz (Lastimpedanz)Z`: Leitungsimpedanz`: Leitungslänge
Stehwellenverhälltnis ([6], Formel 11.24)
VSWR =|Umax||Umin|
=1 + |rA|1− |rA|
Das Stehwellenverhältnis kann gemessenwerden.
Reflexionsfaktor und Eingangsimpedanz bei lmin ()
Die Abkürzug steht für Voltage StandingWave Ratio.
74
6.1. PB
Berechnung der Abschlussimpedanz einer Leitung Aufgrund der Messung vonVSWR kann man die Abschlussimpedanz an einer Messleitung bestimmen.
1. VSWR bestimmen
2. rE(lmin) eintragen (geht über ZE(lmin))
3. um lminλ
zurückdrehen.
Strom- und Spannungsextrema einer Leitung ()
Imax =Uminm · Z`
Imin =Umax
VSWR · Z`
Aus U = RI (ab Diagramm veranschaulich-ten!) folgt Imax aus Umin und umgekehrt. Be-achtet man nun mal die Achsenbeschriftungdes SD, welche ja VSWR wiederspiegeln, sowird deutlich dass diese Formeln nichts an-deres sind als die Entnormierung von R usw.
Leistung an der Lastimpedanz ()
PW =1
2
|Umax|2
VSWR · Z`
=1
2
|Umin|2
m · Z`, mit m = 1
VSWR
So benötigt man ZA nicht bestimmen um dieLeistung daran zu berechnen.
Der Rechteckhohlleiter
cutoff-Frequenz ()
fc =c0
2π√µr�r
qH
qH = π
√(ma
)2+(nb
)2Für den Hmn Feldtyp. Die E-Feld Moden be-rechnen sich analog. Es gibt hier aber keineEm0 und E0n Moden.
Dämpfungsmaß des verlustlosen Hohlleiters ()
αH = qH√1− Ω2 , mit Ω = f
fc
Dies gilt im Fall er Wellenausbreitung, nichtim Dämpfungsfall!!
75
6. Hochfrequenztechnik
H10-Welle im Rechteckhohlleiter ([6], Formel 12.129ff, S. 185)
λH10λ
=1√
1−(
λ2a
) Am besten dortn nachschaun. Die Wellen-länge wird halt oft gebraucht.Wirkleistung der H10-Welle ([6], Formel 12.141f)
P10 =ab
4
∣∣∣Ey (x = a2
)∣∣∣2 1ZFH10
=ab
4
∣∣∣Hx (x = a2
)∣∣∣2 ZFH10An der Stelle x = a
2ist das Maximum des
Feldes.
Dämpfung durch Wandverluste ([6], Formel 12.152)
αWand,H10 =R�ZF
·Ω2 + 2 b
a
bΩ√Ω2 − 1
Mit Ω = ffc,H10
. Sack mühsam zu tippen...grml.
Koaxialleitung
[6, S. 192ff].Transportierte Wirkleistung ([6], Formel 13.111)
P =1
2Û Î =
1
2
Û2
Z`=
1
2Î2Z`
Phasengeschwindigkeit ()
vPh =c0√�rµr
Ganz normal wie im Dielektrikum
Phasenmaß ([6], Formel 13.14)
β =2π
λ=ω
c0
√�rµr
76
6.1. PB
Induktivitätsbelag ([6], Formel 13.15)
L′=µ0µr2π
lna
b
Kapazitätsbelag ([6], Formel 13.16)
C′=
2π�r�0ln a
b
Leitungswellenwiderstand ([6], Formel 13.17)
Z` = 60Ω
√µr�r
lna
bFolgt aus Z` =
√L′
C′.
Dämpfungsmaß ([6], Formel 13.20)
α ≈ R′
2Z`+G
′Z`2
= αL + αD
Gilt für geringe Verluste.αL: LeitungsverlusteαD: dielektrische Verluste
Das Smith-Diagramm
Ein paar Grundregeln Sozusagen die Verkehrsregeln, wie man da mit dem Zirkel drauf-rumschrubben darf.
• Alle Impedanzen und Admittanzen werden normiert!
• Durch Spiegelung am Ursprung wandelt man eine Impedanz in eine Admittanzum (und umgedreht)
• Umaufrichtung füerLeitungen is von Last zur Quelle im Uhrzeigersinn
• Beim Impedanzdiagramm wird I von rechts aufgetragen, U von links. Entspre-chend umgedreht gilt das beim Admittanzdiagramm
• VSWR wird vom 0-Punkt aus gemessen und oben angetragen.
• Die Reflexionsfaktoren werden vom Mittelpunkt des SD gemessen und oben ange-tragen
77
6. Hochfrequenztechnik
6.2. HF
6.2.1. Streuparameter
Wellengrößen ()
ai =1
2
(Ui√ZLi
+√ZLiIi
)bi =
1
2
(Ui√ZLi
−√ZLiIi
) ai: hinlaufende Wellebi: zurücklaufende WelleStreuparametermatrix ()
(b1b2
)=
(S11 S12S21 S22
)·(a1a2
)=
(T12T22
det(T )T22
1T22
−T21T22
)·(a1a2
) für Zweitor
Transmissionsparametermatrix ()
(b1a1
)=
(T11 T12T21 T22
)·(a2b2
)=
(− det(S)
S21
S11S21
−S22S21
1S21
)·(a2b2
) Achtung: a und b kann jeweils auch ver-tauscht werden, dann müssen die Indicesebenfalls vertauscht werden.
Reflexionskoeffizient ()
Sii =ZiE − ZLiZiE + ZLi
= riE
Abschluss eines Zweitores mit angepasstemAbschlusswiderstand. Das gibt dann an, wasdas Zweitor an und für sich reflektiert
Reflexionsfaktortransformation ()
r1E = S11 + r2S12S21
1− r2S22r2 =
Z2 − ZL2Z2 + ZL2
Wenn das Zweitor mit Z2 statt ZL2 abge-schlossen ist, gibt sich eine Reflexion amEnde mit dem Reflexionsfaktor r2. DieserTransformiert sich über das Zweitor als r1E.
78
6.2. HF
Transmissionsparameter ()
Streuparameter einiger HF-Komponenten
Wellenquelle ()
Leitung ()
S =
(0 e−γl
e−γl 0
)Dämpfungsglied ()
S =
(0 s12s21 0
)|s21| = |s12| ≤ 0
a = 20 lg1
|221|dB
Phasenschieber ()
S =
(0 ejβl
ejβl 0
)Richtungsleitung ()
S =
(0 0ejϕ 0
)Asymmetrischer Phasenschieber ()
79
6. Hochfrequenztechnik
Dreitorzirkulator ()
Richtkoppler ()
Wilkinson-Leistungsteiler ()
6.3. Antennen
Feldstärkerichtcharakteristik ()
CE,H(ϑ, ϕ) =
∣∣∣∣Et(ϑ, ϕ)Et,max∣∣∣∣ = ∣∣∣∣Ht(ϑ, ϕ)Ht,max
∣∣∣∣Leistungsdichterichtcharakteristik ()
CS(ϑ, ϕ) =
∣∣∣∣S(ϑ, ϕ)Smax∣∣∣∣
6.3.1. AntennentypenPatchantennen
Inset feed und so kram...
80
7. Photonik
Energie ()
E = hν = hc
λ= h · f
Kennt mer ja. Die Energier von Photonenist hier gequantelt, d. h. es ist hier jeweilsdie Energie eines einzelnen Photons.
Phasenmaß ()
β =2π
λ
7.1. Akives Medium
Besetzungsdichtenverhältnis ()
NνNµ
= e−Wν−Wµ
kT
Das ist im Endeffekt die Boltzmann-Verteilung
Natürliche Linienbreite ()
∆fn =1
2π
(1
τ1+
1
τ2
) τ bezeichnet hier die Lebensdauer der Zu-stände
Druckverbreiterung ()
∆fn =1
2π
(1
τ1+
1
τ2
)=
1
πτs
∆fn =
√3
4mkTd2p
Hierbei ist τs = τ1 = τ2 als mittlere Zeitzwischen zwei Stößend: Durchmesser des Mikrosystemsp: Gasdruck / Partialdruckm: Masse des Mikrosystems
81
7. Photonik
Lorenzprofil ()
γL(t) =2
π∆fL
(∆fL/2)2
(f − f0)2 + (∆fL/2)2∆fL: Linienbreite
Dopplerverbreiterung ()
∆fD =2fcc
√2kT ln 2
m
m: Masse des Mikrosystemsfc: Mittenfrequenz
Gauß-Profil ()
γG(t) =2√
ln(2)√π∆fG
e− (f−f0)
2
(∆fG/2)2 ln(2) ∆fG: Linienbreite
Ratengleichung ()
− dd t
[N2(t)−N20] = A12 [N2(t)−N20]
N10:N1:N20:N2:A12 =
1τ12
:
Absorbtion ()
dN1d t
= R21N1 = −σ21N1φ
dN1d t
=dΦ
d t=
dφ
dxmit Φ = φ
c
Φ: Photonen pro Volumenφ: Photononen pro Zeit und Fläche. Photo-nenflussdichte
Optische Leistungsdichte ()
I = hfφ
Beer-Lambertsches Absorbtionsgesetz ()
d I
dx|Abs. = −σ21N1I = −aI
α = 2a muss ich nochmal nachschaun...
82
7.2. Gauß-Strahl
7.2. Gauß-Strahl
Divergenzwinkel ()
Θ =λ
πw0=w0zR
Einheit mrad
Krümmungsradius ()
R(z) = zR,x,y
(z
zR,x,y+zR,x,yz
)Rayleight-Länge ()
zR =2πw20x,0y
λ
Strahlparameterprodukt ()
SPP = w0Θ =λ
π
Gilt für den Grundmode.[SPP ] = mm mrad
SPP höherer Moden ()
w0x,m = w0x√2m+ 1
Θx,m = Θx√2m+ 1
w0y,n = w0y√2n+ 1
Θy,n = Θy√2n+ 1
Und dann ins SPP des Grundmodes einset-zen
7.3. ResonatorenBei sphärischen Spiegeln gilt:
L: Länge des Resonatorsρ1, ρ2: Krümmungsradien der Spiegelz1, z2: Spiegelabstände zum Tallienortw0, w1, w2: Tallienradius, Radius der Spiegel
83
7. Photonik
g-Parameter ()
g1 = 1−L
ρ1
g2 = 1−L
ρ2
Strahlweite ()
w21 =
√(λρ1π
)2ρ2 − Lρ1 − L
(L
ρ1 + ρ2 − L
)=Lλ
π
√g2
g1(1− g1g2)
Andersrum einfach Idices vertauschen. Giltfür Strahlradius am Ort vom Spielgel 1
Taillenradius ()
w20 =Lλ
π
√g1g2(1− g1g2)
(g1 + g2 − 2g1g2)2
Kleinsignalverstärkung ()
gks = (N20 −N10)λ2
8πτspontγ(t)
γ(t): LinienprofilfunktionN20−N10: anfängliche Besetzugsdichtediffe-renz
()
Gks = egks2La
Anschwingbedingung ()
GksV = R1R2T egks2La ≥ 1
Da kann mit Kleinsignalverstärkung gerech-net werden
Stabilitätsbedingung ()
0 ≤ g1 · g2 ≤ 1Ansonsten kommt in der Wurzel was nega-tives
84
7.4. Gaslaser
7.4. Gaslaser
Puh...
7.5. Laserdioden
So funktionsweise und Aufbauten...DFB. Also mit dem lambda / 2... Schaff ich jetzt nur nimmer... Sorry!
7.6. Lichtwellenleiter
Maximaler Einkopplungswinkel ()
Θi,c = arcsin1
n0
√n2k − n2M
Numerische Apertur ()
NA = sinΘi,c =1
n0
√n2k − n2M
Faserparameter V ()
V =2πρ
λNA
Multimodig ab V ≥ 2, 405. Anzahl der Mo-den M ≈ V 2
2
Dispersion und Dispersionskonstante ()
∆T = D · L ·∆λ
D =d β1dλ
= −2πcλ2
β2
[D] = ps/nmkm
85
7. Photonik
7.7. Photonik 27.7.1. Polarisation
Stokes-Vektor ()
~S =
S0S1S2S3
=
2P02P1 − 2P02P2 − 2P02P3 − 2P0
S0: GesamtleistungS1: Linear H-VS2: Linear ±45◦S3: RZP - LZPBildung der Leistungen: Die Leistung wirdauf vier Pfade aufgeteilt. P0 ist 50% ge-dämpfte Gesamtleistung, P1 ist die Leistungdes linear horizontal Polarisierten Lichts, P2die des um +45circ polarisierten und P3 diedes rechtszirkular polarisierten.Wird meist auf S0 normiert.
Polarisationsgrad ()
DOP =√S21 + S
22 + S
23
S0
Poincare-Kugel ()
Fasst man den Stokes Vektor auf als ~S3D =~exS1 + ~eyS2 + ~ezS3 und spannt damit einKoordinatensystem auf, so entsteht diesePoincare-Kugel.
86
8. Regelungstechnik
8.1. Regelungstechnik A
Es empfiehlt sich, SiSy und GET3 nochmal anzuschauen. Die Beiblätter ( ) sind eben-falls nützlich.
Prinzipielles Vorgehen:
1. Beschreibung des Systems im Frequenzbereich
2. Darstellen als System und Linearisierung gemäß Kapitel 8.1.1
3. Untersuchung auf Stabilität gemäß Kapitel 8.1.2
4. Herauslesen von Anforderungen an den Regler aus den Stabilitätsbedingungen
5. Wahl eines Reglers und Auslegung gemäß Kapitel 8.1.3
8.1.1. ModellbildungEs sind grob folgende Schritte zu tun:
1. Bestimmen der beschreibenden Gleichungen und Zeichnen des Struckturbildes
2. Bestimmung des Betriebspunktes
3. Angeben der Betriebspunktabweichungen in der Form ∆x = x(t)− xB
4. Linearisierung aller nichtlinearen Gleider (also alles wie multiplizierer und nichtli-neare Fkts) des Systems im Betriebspunkt (Taylorreihe)
5. Zeichnen des neuen, linearisierten StruckturbildesEinfaches ersetzen der Funktionalen Glieder durch die linearisierten Funktio-
nenBeachten der linearisiert Gleichung der Multiplizierer: Diese werden zu Sum-
men. Hierzu die Gleichungen vergleichen
87
Universität Erlangen-Nürnberg Lehrstuhl für Regelungstechnik
Prof. Dr.-Ing. Günter Roppenecker
Regelungstechnik A
Beiblatt 1/1
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