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resistencia, capacitación y inductancia, los tres componentes en un solo circuito
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UNIVERSIDAD NACIONAL JOSÉ MARÍA ARGUEDAS
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERÍA AGROINDUSTRIAL
CIRCUITOS Y MÁQUINAS ELÉCTRICAS
TEMA: CIRCUITO RLC .
ESTUDIANTES:
RICRA TITO, Rossel
HERBAS ALHUAY, Henry
BAUTISTA SILVA, Roberth
TALAVERANO DIAS, Abel
PROFESOR: Ing. Guido Nolasco Carvajal.
FECHA: 31 / 06 /20 15
ANDAHUAYLAS – APURÍMAC – PERÚ
ÍNDICEI. INTRODUCCIÓN....................................................................................................................3
II. OBJETIVOS............................................................................................................................4
III. MARCO TEORICO..............................................................................................................4
3.1 Circuito R L C................................................................................................................4
3.2 Circuitos en serie..........................................................................................................4
3.3 Análisis de circuitos RLC en serie..................................................................................6
3.4 Análisis de circuitos RLC en paralelo.............................................................................7
3.5 Relaciones de corriente................................................................................................7
3.6 Ecuación deferencial para circuitos con dos elementos que almacenan energía.........9
3.7 Solución de la ecuación diferencial de segundo orden: respuesta natural.................12
3.8 Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación...................................14
3.9 Respuesta forzada de un circuito RLC.........................................................................16
3.10 Respuesta completa de un circuito RLC......................................................................17
IV. CONCLUSIÓN..................................................................................................................18
V. BIBLIOGRAFÍA.....................................................................................................................19
I. INTRODUCCIÓN
En el presente informe se describe el análisis de circuitos RLC serie y paralelo,
que da respuesta señales de entrada y salida con respecto a la amplitud
(voltaje). Se analizó el comportamiento de la función de transferencia de cada
uno de los circuitos. En el análisis de las señales de circuitos RLC se aplican
diferentes métodos para su estudio de señal de onda impulso y onda cuadrada.
II. OBJETIVOS.
Permitir estudiar el comportamiento de los circuitos RLC.
Encontrar la importancia del estudio del circuito RLC.
III. MARCO TEORICO
3.1Circuito R L C
Es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica,
una bobina (inductancia) y un condensador (capacitancia).
Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la
interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un
circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de
segundo orden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos
de primer orden).
Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el
circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia,
caracterizado por un aumento de la corriente (ya que la señal de entrada
elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la
ecuación diferencial que lo rige). (Floyd, 2007)
3.2Circuitos en serie
Impedancia de circuitos RLC en serie:
Un circuito RLC en serie contiene resistencia, inductancia y capacitancia. Como
la reactancia inductiva y la reactancia capacitiva tienen efectos opuestos en el
ángulo de fase del circuito, la reactancia total es menor que cualquier
reactancia individual. (Floyd, 2007)
En la figura 01 se muestra un circuito RLC en serie. Este circuito contiene
resistencia, inductancia y capacitancia.
Fig. 01. Circuito en serie
Fuente: Floyd, 2007
Como se sabe, la reactancia inductiva (XL) causa que la corriente total se
retrase con respecto al voltaje aplicado. La reactancia capacitiva (XC) tiene el
efecto opuesto: provoca que la corriente se adelante con respecto al voltaje.
Por tanto, XL y XC tienden a contrarrestarse entre sí. Cuando son iguales, se
eliminan y la reactancia total es de cero. En cualquier caso, la magnitud de la
reactancia total en el circuito en serie es:
Xtot=¿XL−XC∨¿
El término |XL- XC| es el valor absoluto de la diferencia de las dos reactancias.
Es decir, el signo del resultado se considera positivo sin que importe cuál
reactancia sea más grande. Por ejemplo, 3 -7 = -4, pero el valor absoluto es:
¿3 –7∨¿4
Cuando XL > XC, el circuito es predominantemente inductivo, y cuando XC >
XL, el circuito es predominantemente capacitivo.
La impedancia total del circuito RLC se establece en forma rectangular en la
ecuación 01, y en forma polar en la ecuación 02
Z=R+Jxl− jXC………………..ec .01
Z=√R2+ (XL−XC )2<∓ tan−1( XtotR
)………………………….....ec. 02
En la ecuación 17-3, √R2+(XL−XC )2 es la magnitud y tan−1( Xtot
R) es el ángulo
de fase entre la corriente total y el voltaje aplicado. Si el circuito es
predominantemente inductivo, el ángulo de fase es positivo; y si es
predominantemente capacitivo, el ángulo de fase es negativo. (Floyd, 2007)
3.3Análisis de circuitos RLC en serie
Recordemos que la reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia
y la reactancia inductiva varía directamente con la frecuencia. En esta sección,
se examinan los efectos combinados de las reactancias como una función de la
frecuencia.
La figura 02 muestra que en un circuito RLC en serie típico la impedancia total
se comporta como sigue: al empezar a una frecuencia muy baja, XC es alta, XL
es baja, y el circuito es predominantemente capacitivo. Conforme se
incrementa la frecuencia, XC disminuye y XL aumenta hasta que se alcanza un
valor donde XC=XL y las dos reactancias se eliminan, lo cual vuelve al circuito
puramente resistivo. Esta condición se denomina resonancia en serie. A
medida que la frecuencia se incrementa aún más, XL llega a ser mayor que
XC, y el circuito es predominantemente inductivo.
Fig. 02 cómo varía Xc y XL con la frecuencia
Fuente: (Floyd, 2007)
La gráfica de XL es una línea recta y la gráfica de XC es una curva, como se
muestra en la figura 17-3. La ecuación general de una línea recta es y=mx+b,
donde m es la pendiente de la línea y b es el punto de intersección del eje y. La
fórmula XL=2 πfL se ajusta a esta fórmula general de la línea recta, donde
y=XL (una variable), m=2 πL (una constante), x=f (una variable), y b=0 como
sigue: XL=2 πLf +0.La curva XC se llama hipérbola, y su ecuación general es
xy=k. La ecuación de capacitancia reactiva, XC=1/2πfC , puede ser
reordenada como XCf=1/2 πC, donde x=XC (una variable), y=f (una
variable), y k=1/2πC (una constante). (Floyd, 2007)
3.4Análisis de circuitos RLC en paralelo
En un circuito en paralelo domina la reactancia más pequeña porque produce
la mayor corriente de rama
La reactancia capacitiva varía inversamente con la frecuencia, y que la
reactancia inductiva varía directamente con la frecuencia. En circuitos RLC en
paralelo a frecuencias bajas, la reactancia inductiva es menor que la reactancia
capacitiva; por consiguiente, el circuito es inductivo. Conforme se incrementa la
frecuencia, XL aumenta y XC disminuye hasta alcanzar un valor donde XL =
XC. Éste es el punto de resonancia en paralelo. A medida que la frecuencia
aumenta un poco más, XC se vuelve más pequeña que XL, y el circuito se
vuelve capacitivo. (Floyd, 2007)
3.5Relaciones de corriente
En un circuito RLC dispuesto en paralelo, las corrientes que circulan por las
ramas capacitiva e inductiva siempre están desfasadas en 180° entre sí
(omitiendo cualquier resistencia de bobina). Como IC e IL se suman
algebraicamente, la corriente total es en realidad la diferencia de sus
magnitudes. Por tanto, la corriente total que entra a las ramas de L y C en
paralelo siempre es menor que la corriente de rama individual más grande,
como ilustra la figura 03 y el diagrama de forma de onda de la figura 04. Desde
luego, la corriente que circula en la rama resistiva siempre está desfasada en
90° con respecto a ambas corrientes reactivas, según muestra el diagrama
fasorial de la figura 05.
Fig. 03 la corriente que fluye por la combinación en paralelo de C y L es la
diferencia de las dos corrientes de rama
Fuente: Floyd, 2007
Fig. 05 diagrama fasorial de corriente típico para
un circuito RLC en paralelo
Fuente: Floyd, 2007
La corriente total se expresa como
Fig. 04 IC y IL restan efectivamente
Fuente: Floyd, 2007
Itot=√IR2+¿¿
Donde ICL es IC – IL, la corriente total que fluye por las ramas L y C. (Floyd,
2007)
3.6Ecuación deferencial para circuitos con dos elementos que
almacenan energía
En esta sección se hace la descripción de circuitos con dos elementos
irreducibles que almacenan energía; la descripción se hace por medio de una
ecuación de segundo orden. Se usa el término irreducible para indicar que
todas las conexiones en paralelo o en serie, u otras probables combinaciones
de elementos de almacenamiento, se han reducido a su mínima expresión. Así,
por ejemplo todos los capacitores en paralelo se han reducido a un solo Cp.
Véase primero el circuito mostrado en la fig. 06, que consta de un resistor, un
inductor y un capacitor en paralelo. La ecuación nodal en el nodo superior es:
vR
+i+Cdvdt
=if …………………ec .04
La ecuación del inductor es:
v=Ldidt
…………… ..ec .05
Sustituyendo ec. 5 en ec.4
L/R∗di /dt+i+CLd2i /d t2=if
Fig. 06 circuito RLC enparalelo
Fuente: Dorf ,2006
Considere ahora el circuito RLC en serie que se muestra en la fig. 07, y aplique
el método directo para obtener la ecuación diferencial de segundo orden. Se
define X 1=i y X 2=v. Primero se planteara una ecuación para dx 1/dt=di /dt .
Aplicando la ley de voltaje de Kirchoff en torno al lazo se obtiene.
Fig. 07 circuito RLC en serie
Fuente: Dorf ,2006
Ldidt
+v+Ri=vf ……………ec .06
Donde v es el voltaje del capacitor. Esta ecuación se puede escribir como
sigue:
didt
+ vL+ RL∗i= vf
L………… ..ec .07
Se obtendrá una ecuación en función de dX 2/dt , recordando que v=x2. En
vista de que
Cdvdt
=i……………ec .08
Cdx2dt
=x1………… ..ec .09
Ecuación 07 en 06
Cd2 vdt2
+ vL+ RCL
dvL
= vfL…………ec .10
Esta ecuación se puede transformar en la siguiente
d2 vdt2
+ RLdvdt
+ 1LC
v= vfLC
……………..ec .11
El circuito de la fig. 8 tiene dos inductores y puede describirse por las corrientes
de malla que se indican. Las ecuaciones de malla son:
L1di1dt
+R (i1−i2 )=vf …………… ..ec .12
Y
R ( i2−i1 )+ L2di 2dt
=0……………ec .13
Ahora, usando R=1, L1=1H y L2=2H, se tiene
di 1/dt+ i1−i 2=vf
i2−i1+ 2di2dt
=0…………ec.14
Estas ecuaciones pueden reordenarse en términos de i1 e i2 como sigue:
Di1dt
+i1−i2=vf …………ec .15
Y
Fig. 08 circuito con dos inductores
Fuente: Dorf ,2006
−i1+i 2+2di 2dt
=0…… ..ec .16
Utilizando el método operador s=d /dt. Entonces de las ec. 15 y 16 se obtienen
Si1+i1−i2=vf
−i1+i 2+2 s12=0
Reescribiendo
(s+1)i 1−i 2=vf
−i1+(2 s+1) i2=0
Despejando i2
i2= 1vf(s+1 ) (2 s+1 )−1
En consecuencia
(2 s2+3 s)12=vf
Entonces, la ecuación diferencial es
2d2 i2d t2
+ 3di2dt
=vf ……….ec .17
(Dorf ,2006)
3.7Solución de la ecuación diferencial de segundo orden: respuesta
natural
En el circuito anterior se demostró que un circuito con dos elementos
irreducibles que almacenan energía puede representarse por una ecuación
diferencial de segundo orden de la forma
a2d2 x /d t 2+a1dx /dt+a0 x=f (t )
Donde se conocen las constantes a2, a1, a0 y se especifica la función de
excitación f(t)
La respuesta completa x(t) está dada por
X=xn+xf 0
Donde xnes la respuesta natural y xf 0 la forzada. La repuesta natural satisface
la ecuación diferencial con la función de excitación presente.
La respuesta natural de un circuito, xn, satisfacerá la ecuación
a2d2 x /d t 2+a1dx /dt+a0 x=0
Dado que xn y sus derivadas deben satisfacer la ecuación, se postula la
solución exponencial de la que se deben determinar A y s. la exponencial es la
única función que es proporcional a todas sus derivadas e integrales y, por
tanto, es la elección natural para la solución de una ecuación diferencial con
coeficientes constantes.
Xn=A est
(a2 s2+a1 s+a0)=0…………ec.18
Ecuación característica:
sn=dn/dt n
Esta ecuación se obtiene a partir de una ecuación diferencial que describe a un
circuito, asignado a todas las fuentes independientes el valor cero y
suponiendo una solución exponencial.
La solución de la ecuación cuadrática 18 tiene dos raíces, s1 y s2 donde:
Cuando hay dos raíces distintas, existen dos soluciones tales que
Xn=A1es1 t+A2es2 t
Aunque en efecto hay dos soluciones de la ecuación diferencial de segundo
orden, la suma de ellas también es una solución puesto que la ecuación es
lineal. Además la solución general de constar de la misma cantidad de términos
que orden de la ecuación, cada uno con un coeficiente arbitrario, para
satisfacer el teorema fundamental de las ecuaciones diferenciales. Se
pospondrá el análisis de caso especial cuando S1=S2.
Las raíces de la ecuación característica contienen toda la información
necesaria para determinar el carácter de la respuesta natural. (Dorf ,2006)
3.8Respuesta natural del circuito RLC en paralelo, sin excitación
Se considera respuesta natural (no forzada) del circuito RLC en paralelo que se
muestra en la fig 09, se elige este circuito para ilustrar las tres formas de la
respuesta natural. Podría presentarse una discusión análoga RLC en serie,
pero se omite dado que el propósito no es tener la solución de circuitos
específicos sino ilustrar el método general. (Dorf ,2006)
Se aplica LCK en el nodo para obtener
Cuando s1 y s2 no son iguales, la solución de la ecuación diferencial del
segundo orden ec. 20 para t>0 es:
Fig. 09 circuito RLC en paralelo
Fuente: Dorf ,2006
…………Ec. 19
………..Ec. 20
vn=A1es1 t+A2es2t………….ec.21
Ecuación característica
Donde a=12RC
y ω02= 1
LC . Normalmente, ω0 se llama frecuencia resonante o
frecuencia de resonancia.
Las raíces reales de la ecuación característica están sujetas a 3 condiciones
posibles:
Dos raíces reales y diferentes cuando a2>ω02
Dos raíces reales iguales cuando a2=ω02
Dos raíces complejas cuando a2<ω02
Cuando las dos raíces son reales y distintas, se dice que el circuito esta sobre
amortiguado.
Cuando son reales e iguales, se dice que el circuito esta críticamente
amortiguado. Cuando las dos raíces son complejas conjugadas, se dice que el
circuito esta sub amortiguado.
Se determinara la respuesta natural del circuito cuando RLC sobre amortiguado
de la fig. 9 cuando las condiciones iniciales son v(0) e i(0) en el capacitor y el
inductor, respectivamente
Nótese que, como ese circuito no tiene señal de entrada, vn(0) y v (0) indican el
mismo voltaje. La ecuación 21 en t=0 es:
v (0)=A1+A 2
Puesto que se desconocen tanto A1 como A2, se necesita una ecuación más
en t=0. Puede reescribirse la ec. 19
………………….Ec. 22
………………Ec.23
V (0 )R
+i (0 )+Cdv (0 )dt
=0
Dado que se conocen i(0) y v(0), se tiene
dv (0 )dt
=−v (0 )RC
−i (0 )C
………………….ec.24
Así se conoce el valor inicial de la derivada de v en términos de las condiciones
iniciales.
Derivando la ecuación 21 y haciendo t = 0, se obtiene
dvn (0 )dt
=s1 A1+s2 A 2………ec.25
Igualando las dos ecuaciones ultimas ec. 24 y 25:
s1 A1+s2 A 2=−v (0 )RC
−i (0 )C
…….ec .26
(Dorf ,2006)
3.9Respuesta forzada de un circuito RLC
La respuesta forzada de un circuito RCL descrito por una ecuación diferencial
de segundo orden debe satisfacer la ecuación diferencial y no se debe
contener constantes arbitrarias.
Se establece la ecuación diferencial de segundo orden
d2 xd t 2
+ a1dxdt
+a0 x=f (t )…….ec .27
La respuesta forzada xf 0 debe satisfacer la ecuación anterior. Sustituyendo
d2 xfod t 2
+ a1dxfodt
+a0 xfo=f (t )……… ..ec .28
Se necesita determinar una xf 0 tal que esta y sus derivadas primera y segunda
satisfacen la ecuación anterior
Su función de excitación es una constante, es de esperarse que la respuesta
forzada sea también constante, dado que las derivadas de una constante son
cero. Si la función de la excitación es de forma f (t)=Be−at, entonces la
derivada de f(t) son todas exponenciales de la forma Qe−at y se espera que
Xfo=De−at
Si la función de excitación es una función senoidal, puede esperarse que la
respuesta forzada sea una función senoidal. Si f (t)=A sinωot, se intentara con
Xfo=M sinωot+N cosωot=Q sin(ωot+ϑ )
En la siguiente tabla se presentan funciones de excitación seleccionadas y sus
soluciones asociadas. (Dorf ,2006)
3.10 Respuesta completa de un circuito RLC
Se ha conseguido las respuestas natural y forzada de un circuito descrito por
una ecuación diferencial de segundo orden. Ahora se procederá a determinar la
respuesta completa del circuito
Se sabe que la respuesta completa es la suma de la respuesta natural y
forzada y, por tato
x=xn+xf 0
Entonces se puede obtener la respuesta completa junto con sus constantes no
especificadas evaluando x(t) en t=0 y dx /dt en t=0, para determinar dichas
constantes. (Dorf ,2006)
Tabla N° 01
Fuente: Dorf ,2006
IV. CONCLUSIÓN
El circuito RLC tiene un gran uso o aplicación en las
telecomunicaciones, ya que es responsable generar frecuencias,
llamados osciladores.
Los circuitos RLC o resonantes son la base de construcción de
osciladores, temporizadores, informática e infinidad de circuitos
electrónicos.
V. BIBLIOGRAFÍA
Thomas L. Floyd (2007), principios de circuitos eléctricos, ed. 8va, edt.
Pearson, México, pag. 727-730 y 742-743
Richard Dorf- James Svoboda (2006) “circuitos eléctricos” ed. 6ta, edt.
Alfaomega, México, pag. 352-373