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CIRCUITOSMAGNETICAMENTE
ACOPLADOS
Prof. Edinaldo José da Silva Pereira
CIRCUITOS MAGNETICAMENTE ACOPLADOS
dt
tdiL
dt
tdiMLte
dt
tdiM
dt
tdiLte
22
12112
212
111
Para indutores lineares e invariantes no tempo M12 = M21 = M.
As auto-indutâncias são sempre positivas, enquanto que as indutâncias mútuas podem ser positivas ou negativas, dependendo do sentido do enrolamento das bobinas.
REGRA DOS PONTOS: quando ambas as correntes entram ou saem de um par de bobinas acopladas pelos terminais que tem o ponto, os sinais dos termos em M são iguais aos dos termos em L. Seuma das correntes entra e a outra sai, os sinais dos termos em M são opostos aos dos termos em L.
O efeito da mútua indutância é introduzir uma reatância mútua Xm ou uma impedância mútua Zm, onde Zm = jXm = jωM. 2212
2111
ILjMIjE
MIjILjE
CASO 1: DUAS INDUTÂNCIAS SÉRIE
Leq deve ser positivo, pois caso contrário um Leq negativo forneceria uma quantidade infinita de energia para uma fonte de corrente positivamente crescente.
eqLjMLLjI
EZ
MIjILjLjE
2
2
21
21
MLL 221
O sinal da mútua mudaria se apenas um dos pontos mudasse de posição.
CASO 2: INDUTÂNCIAS EM PARALELO
12211
12122122
12112211
20
0
LMLIjLMIj
IILjMIjIIMjILj
LMIjILjMIjIILjE
MjLjLjMjLj
MjLjLjMjLjLj
MjLjE
I
2
20
211
11
21
1
1
2
21
211
2
MLLj
MLLEI
MLL
MLL
I
ELeq 221
221
1
O sinal do denominador muda com a mudança de posição de um dos pontos da mútua.
Para Leq ≥ 0, então:
𝐿1𝐿2−𝑀2≥0
𝑀𝑚𝑎𝑥=√𝐿1𝐿2
já que o denominador foi anteriormente analisado. Esta última é mais restritiva que a primeira. Logo,
defini-se: 𝐾=𝑀
√𝐿1𝐿2Coeficiente de acoplamento
0≤𝐾 ≤1 Em transformadores com núcleo de ferro usados em sistemas de distribuição de potência, K ≈ 1.
REFLEXÃO DE IMPEDÂNCIAS
01222
1211
MIjZIILj
EMIjILj
ZLj
MLj
I
EZ
MZLjLj
ZLjEI
2
22
11
11
2221
211
IMP. REFLETIDA (Zf)
IMP. TOTAL SECUNDÁRIO
2
2
11
2
22
L
MLjZ
ZLj
MZ f
, quando Z 0.
≥0 𝑀 2≤ 𝐿1𝐿2
Se Z = R + jX, então Zf é:
22
22
22
22
2
22
22
22
22
2
22
Im
Re
XLR
XLMZX
XLR
RMZR
XLR
XLjRM
XLjR
MZ
ff
ff
f
Se X for indutiva (X > 0), reflete-se como uma contribuição capacitiva no primário, aumentando assim a corrente, pois cancelará parte da reatância positiva deste.
Resistência refletida
Exemplo: A chave k foi fechada em t = 0, quando o circuito se encontrava relaxado. Determine v(t) para t ≥ 0.
02338
12345
112
221
sIIsIs
sIIsI
0
1
3823
2345
2
1 sI
I
ss
ss
14,323,18
31
8
358
23
31358
23
3823
2345023
145
321
222
s
k
s
k
s
k
sss
s
sss
s
ss
sss
ss
I
07,0
03,0
1,0
3
2
1
k
k
k
Vtueetitv tt 14,323,12 07,003,01,055
Exemplo: Calcular E2 sabendo que K = 1/2.
00100
444
.16
2
121 MLLKM
112
221
484810
4886100
IjIjjjI
IjIjjjI
Vj
j
jj
jjj
j
EI 022 6,1163,22
16328
400
414
4804
1008
TRANSFORMADOR IDEAL
12
2211
12
1I
NI
IEIE
NEE
N – razão de transformação do transformador
21121
11
22
N
ZZI
N
ZE
ZN
INE
ZIE
Transferência da carga do enrolamento secundário para o primário
transferência do enrolamento primário para o secundário
A impedância é sempre modificada pelo quadrado da razão de transformação (N) e a maior impedância acontece no lado com maior número de espiras.
• Não dissipa energia• Não tem fluxo de dispersão (K = 1)• Indutância própria de cada enrolamento é
infinita
Impedância efetiva do primário
Exemplo: Qual o valor de E1 e E2?
Solução: Usando o equivalente do primário.
0010E
1,010
1020010E
AN
II
VNEE
A
N
ZR
EI
VE
11
1011
100
11
1010
11
100
1,01
10
11
1010
1,01
1,0
12
12
2
1
1
Exemplo: Um transformador ideal pode ser usado para representar a conexão de um amplificador estéreo, V1, com um auto-falante, RL. Determine a razão de espiras necessária para que haja máxima transferência de potência para o auto-falante. Solução:
1
2
2
1
2
1
2
1
N
N
I
I
N
N
V
V
6
1
6
1
2
2
2
1
2
2
1
1
1
2
11
1
21
22
N
N
N
N
RRN
N
I
V
RN
NI
N
NV
RIV
sL
L
L
Condição para máxima transferência de potência
BOBINAS COM ACOPLAMENTO UNITÁRIO (L1 L2 = M2)
(I)
ZLj
MLj
I
EZ
2
22
11
1
ZLj
ZLjMjLjLjZ
2
12
21
como (L1 L2 = M2), então:
1211
2
2
1
11
1
LLZLjZLj
ZLjY
ZY
ZLj
ZLjZ
Portanto, Y é a combinação paralela de uma indutância jωL1 e uma impedância ZL1/L2.
Esta última pode ser vista como uma impedância que foi refletida por um transformador em paralelo com a impedância da bobina do primário.
1:NI1 I2
ZjωL1
Circuito com transformador ideal
ZL1/L2
I1
jωL1
Circuito equivalente primário
1
2L
LN
Para a obtenção do correto circuito circuito equivalente do primário é necessário, somente, que .
A impedância refletida através do transformador é2
12 L
LZ
N
Z
Para a situação (I), escreve-se:
2212
2111
ILjMIjE
MIjILjE
21
1
22
1
1211
221
1
2
ILMI
IMLI
L
M
MIIL
ILMI
E
E
Eq. geral
No caso de K = 1 ou
**1
22
1 L
LN
M
L
L
M
Considerando as equações (*) e (**), vem N
L
M
E
E
11
2
então para acoplamento unitário, a tensão de saída, E2, é N vezes a de entrada, E1, onde
O valor de N é idêntico àquele assumido pelo transformador ideal, concluindo-se que o comportamento das bobinas acopladas com K = 1 é similar ao do transformador ideal.
Em resumo, um par de bobinas acopladas com K = 1 é equivalente a um transformador ideal com razão de espiras igual a raiz quadrada da razão das indutâncias próprias do secundário pelo primário, e a uma indutância shunt no primário do transformador, de mesmo valor da indutância própria do primário.
Um transformador ideal não teria esta indutância. Por isso, pode-se dizer que um transformador ideal age como um par de bobinas com acoplamento unitário cujos valores destas indutâncias próprias são INFINITOS.
BOBINAS COM L1, L2 E M ARBITRÁRIOS
IILjMIjE
MIjILjE
2212
2111
jωM
jωL2jωL1
+E2
-
+E1
-
I1 I2Em geral, < 1
Diminuindo-se o valor de L1 e/ou L2, pode-se obter K = 1.
jωM
jωLb
jω(L1 – La) +E2
-
+E1
-
I1 I2
jω(L2 – Lb)
jωLa
K=1
Neste caso,
jωLb
jωLm+E2
-
+E1
-
I1 I2
jωLa
+EX
-
NI2
+NEX
-
1:N
22
22
11
LLLNLjLLNj
MNLNLjMj
LLLLjLLj
bmbm
mm
mama
MNLLN
ML
N
MLL
b
m
a
2
1
M
LN
L
M
L
MN
M
L
2
1
1
2
22
12
22122
211
2121
21111
log,)(,
ILjLjNNILjE
ILjLjNIINILjNEE
NILjILjLjE
oELjNIINILjILjmas
NILjILjILjEILjE
bmm
bmbx
mma
xmmm
mmaxa
(II)
Comparando (I) com (II),
L1, L2 e M são
conhecidos
Com quatro incógnitas e três equações, deve-se arbitrar uma das incógnitas, por exemplo, N. Assim,
Entretanto, como deseja-se indutâncias positivas, limita-se N. Neste caso,
Em geral, escolhe-se a média geométrica destes valores extremos para arbitrar N.
1. 2.
Exercício: Monte o circuito equivalente com transformador para as bobinas acopladas apresentadas.
Solução:
3H
50H2H
Neste caso,
HNML
HMNLL
HN
MLL
L
LN
m
b
a
53
355350
57
5
32
52
50
2
1
1
2
Como o K foi baixo, , então as indutâncias La e Lb foram altas.
EXERCÍCIOS
1. O circuito abaixo manteve a chave k fechada até t = 5 s, quando, tendo alcançado o regime, a mesma abriu. Determine v(t) para .
t = 5 s
1H
1H
1Ω
1Ω10A
2. O circuito abaixo estava em regime com a chave k conectada em a, quando em t = 0 a mesma conectou em b. Determine a corrente sobre R2 para .
V1
V2
a
b
t = 0
k
R1
R2 R3
L2L1
V1 = 10 VV2 = 20 VR1 = 1 Ω
R2 = R3 = 2 ΩL1 = L2 = 1 H
3. O circuito abaixo estava em regime com a chave k aberta. Em t = 0 a mesma fechou. Determine a tensão sobre R3 para .
V1
t = 0k
R1 R2
R3
L2L1
V1 = 100 VR1 = R2 = R3 = 10 Ω
L1 = L2 = 1 HR4
4. Determine a corrente sobre R2 para . Supor circuito inicialmente relaxado.
V1 = 10 VR1 = R2 = 1 Ω
R3 = 2 ΩL1 = 1 HL2 = 6 HM = 2 H
R2 R3
L2
V1 ..
R1
L1
5. Determine a corrente sobre R2 para . Supor circuito inicialmente relaxado.
e(t)
R1
L3
L2L1
R2
. e(t) = e-t u(t) VR1 = R2 = 1 Ω
L3 = 8 HL1 = 10 HL2 = 2 H
M12 = 1 HM13 = 2 HM23 = 3 H
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