View
61
Download
1
Category
Preview:
DESCRIPTION
geodezie, topografie, compensarea masuratorilor, metoda celor mai mici patrate (principul patratelor minime), compensare indirecte aceeasi precizie si precizie diferita + corelate, triunghi simplu retea GNSS/GPS
Citation preview
)0., -
COMPENSARE MSURTORILOR I STATISTIC II
PROIECT NUMRUL 5
UTCB, GEODEZIE , AN II , SERIA A , GRUPA 1
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
2|P a g i n a
Compensarea unui triunghi geodezic prin metoda msurtorilor de aceeai precizie, metoda msurtorilor independente de
precizii diferite i metoda msurtorilor corelate ABSTRACT: n msurtorile de precizie, pe lng valorile probabile (mediile) ale mrimilor msurate sau dedus indirect, prin calcule, ne intereseaz i precizia acestora. Asemenea problem se pune, n special, n cazul reelelor geodezice de ndesire i va fi dezbatut aici sub forma unor exemple numerice simplu.
SCOPUL LUCRRII: Este compensarea unei reele geodezice de ndesire, efectuat n figura de mai jos, folosind mai punte modele n analiza datelor brute.
CERINELE LUCRRII:
. .
. .
Tronson Baze msurate MATRICEA DE VARIANA COVARIAN
X 123.23040
1.225 10 9.402 10 7.303 10
9.402 10 1.101 10 9.485 107.303 10 9.485 10 9.373 10
Y -1235.78150 Z -749.10250
X -748.80490
5.624 10 6.673 10 5.925 10
6.673 10 6.854 10 6.589 105.925 10 6.589 10 6.833 10
Y 815.44590 Z 268.4032
X -625.58950
8.884 10 8.107 10 7.935 10
8.107 10 8.164 10 6.922 107.935 10 6.922 10 7.681 10
Y -420.32260 Z -480.71250
F C
D
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
3|P a g i n a
MATRICEA DE VARIANA COVARIAN:
1.225 109.402 107.303 10
000000
9.402 101.101 109.485 10
000000
7.303 109.485 109.373 10
000000
000
5.624 106.673 105.925 10
000
000
6.673 106.854 106.589 100
00
000
5.925 106.589 106.833 10
000
000000
8.884 108.107 107.935 10
000000
8.107 108.164 106.922 10
000000
7.935 106.922 107.681 10
Fiind reeaua geodezic de ndesire, realizat prin tehnologie satelitar metoda static diferenial, n care cunoatem coordonatele punctului de referin , bazele msurate , matricele de variant -covarian i abaterea standard a unitii de pondere , obinute n msurtori preliminare (brute). Se cere s se compenseze reeaua respectiv (pe coordonate relative) utiliznd modelul n urmtoarele ipoteze :
1. Msurtorile sunt independente i de aceeai precizie
2. Msurtorile sunt independente i de precizii diferite
3. Msurtorile sunt corelate
innd cont de rezultatele obinute n urma compensrii reelei n cele 3 ipoteze, s se realizeze un tabel comparativ cu indicatorii cantitativi i calitativi. Pe baza acestui tabel comparativ se vor trage concluzii referitoare la rezultatele compensrii.
Verificarea bazelor msurate pe poligoane independente (poligonul CDF) 123.23040 625.58950 748.80490 .
1235.78150 420.32260 815.44590 .
749.10250 480.7125 268.4032 .
0.01500 0.01300 0.01320 .
Calculul coordonatelor aproximative (provizorii) ale punctelor noi:
,
. . .
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
4|P a g i n a
. . .
Modelul funcional liniarizat sub form matriceal:
Intocmirea sistemului liniar al ecuaiilor de corecie
. . .
Matricea coeficieniilor parametrilor necunoscui sau matricea de design:
,
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
; dim 9 6
. 3 33 9 ecuaii
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
5|P a g i n a
3. 32 6 necunoscute
Vectorul termenilor liberi:
,
000000
000000
30123.23040 30748.80490 625.5895028764.21850 29184.55510 420.3226029250.89750 29731.59680 480.71250
,
00
0000
0.015000.013000.01320
; dim 1 9 1
Vectorul parametrilor necunoscui:
,
,
,
,
; dim 6 1
Vectorul coreciilor:
,
,
,
,
; dim 1 9 1
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
6|P a g i n a
Prezumia I
Msurtorile sunt independente i de aceeai precizie
Forma modelului funcional scris sub form matriceal (MODELUL DETERMINIST):
Modelul stochastic (MODELUL STATISTIC):
0
0
REGULI : ( )
0 0 2 2
0 0 2 2 0 0
,
, ,
,
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
7|P a g i n a
2 0 0 1 0 00 2 0 0 1 00 0 2 0 0 11 0 0 2 0 00 1 0 0 2 00 0 1 0 0 2
1 0 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 1
; dim 6 9
, , , , , ,
2 0 0 1 0 00 2 0 0 1 00 0 2 0 0 11 0 0 2 0 00 1 0 0 2 00 0 1 0 0 2
; dim 6 6
Proprietile matricii sistemului normal: a) este o matrice ptratic (numrul de linii este egal cu numrul de coloane n cazul acestei probleme: 6 * 6); b) este o matrice simetric fa de diagonala principal; c) Din criteriul lui Sylvester care spune c dac urmtoari determinani ai matricei (toi minorii caracteristici sunt mai mari ca zero (0))sunt mai mari ca zero, atunci matricea este pozitiv definit.
2 00 2
2 0 00 2 00 0 2
2001
020000201002
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
8|P a g i n a
20010
02001
0020010020
01002
2 0 0 1 0 00 2 0 0 1 00 0 2 0 0 11 0 0 2 0 00 1 0 0 2 00 0 1 0 0 2
,
, , . .
atunci:
Matricea invers se calculeaz cu relaia:
.
Matricea transpus a sistemului normal:
2 0 0 1 0 00 2 0 0 1 00 0 2 0 0 11 0 0 2 0 00 1 0 0 2 00 0 1 0 0 2
; 6 6.
Matricea adjunct a sistemului normal:
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
9|P a g i n a
; 6 6
unde:
18 0 0 9 0 00 18 0 0 9 00 0 18 0 0 99 0 0 18 0 00 9 0 0 18 00 0 9 0 0 18
.
cu determinantul calculat (cu metoda lui Sarrus):
, iar matricea invers devine:
1 1
18 0 0 9 0 00 18 0 0 9 00 0 18 0 0 99 0 0 18 0 00 9 0 0 18 00 0 9 0 0 18
1
0.66666667 0,00000000 0,00000000 0.33333333 0,00000000 0,000000000,00000000 0.66666667 0,00000000 0,00000000 0.33333333 0,000000000,00000000 0,00000000 0.66666667 0,00000000 0,00000000 0.333333330.33333333 0,00000000 0,00000000 0.66666667 0,00000000 0,000000000,00000000 0.33333333 0,00000000 0,00000000 0.66666667 0,000000000,00000000 0,00000000 0.33333333 0,00000000 0,00000000 0.66666667
dim 6 6.
Verificare:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
10|P a g i n a
0.66666667 0 0 0.33333333 0 0 0.33333333 0 0
0 0.66666667 0 0 0.33333333 0 0 0.33333333 0
0 0 0.66666667 0 0 0.33333333 0 0 0.33333333
0.33333333 0 0 0.66666667 0 0 0.33333333 0 0
0 0.33333333 0 0 0.66666667 0 0 0.33333333 0
0 0 0.33333333 0 0 0.66666667 0 0 0.33333333
Vectorul parametrilor necunoscui
0.005000000.004333330.004400000.005000000.00433333 0.00440000
0.00500 0.00433 0.00440 0.00500 0.00433 0.00440
Valorile cele mai probabile ale coordonatelor punctelor noi i
30123.23040 0.00500 . 28764.21850 0.00433 . 29250.89750 0.00440 .
30748.8049 0.00500 . 29184.5541 0.00433 . 29731.5968 0.00440 .
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
;
0.005000000.004333330.004400000.005000000.004333330.004400000.010000000.008666670.00880000
;
00
0000
0,01500,01300,0132
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
11|P a g i n a
Vectorul coreciilor
0.0050000.0043330.0044000.0050000.0043330.0044000.0050000.0043330.004400
0.00500 0.00433 0.00440 0.00500 0.00433 0.00440 0.00500 0.00433 0.00440
Calculul coordonatelor relative compensate (aplicnd coreciile coordonatelor relative msurate):
123.23040 0.00500 .
1235.78150 0.00433 . 749.10250 0.00440 .
748.80490 0.00500 . 815.44590 0.00433 . 268.40320 0.00440 .
625. 58950 0.00500 . 420.32260 0.00433 . 480.71250 0.00440 .
Verificare: Se nlocuiesc valorile coreciilor n bazele msurate pe poligoane independente (poligonul CDF):
123.22540 625.58450 748.80990 . 1235.77717 420.32693 815.45023 . 749.10690 480.70810 268.39880 .
,
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
12|P a g i n a
Estimarea preciziei (indicatorii preciziei): Matricial
,
0.0050000 0.00433333 0.00400000 0.00500000 0.00433333 0.00440000 0.0050000 0.00433333 0.00440000
,
,
0.0018941
atunci: 1.) Conform teoriei generale n cazul Gauss-Markov, abaterea standard de selecie a unei msurtori
se poate calcula cu relaia (estimatea abaterii standard):
0.00189419 6
0.00189413
0.013762751.73205080
0.00795
n care n reprezint numrul msurtorilor (n = 9) i h numrul necunoscutelor implicate n model (2 (dou) puncte noi 3 = 6 = h). 2.) Abaterea standard (eroarea medie) a unei necunoscute estimarea parametrilor empirici:
0.00795 0.66666667 0.00649
0.00795 0.66666667 0.00649
0.00795 0.66666667 0.00649
0.00795 0.66666667 0.00649
0.00795 0.66666667 0.00649
0.00795 0.66666667 0.00649
unde reprezint coeficienii de pondere ptratici din matricea invers (mat. cofactorilor) , .
Indicator Cantitativ[m] Indicator
Calitativ[m]
30123.22540 0.00649 28764.22283 0.00649 29250.89310 0.00649
30748.80990 0.00649 29184.54977 0.00649 29731.60120 0.00649
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
13|P a g i n a
Prezumia a II - a
Msurtorile sunt independente i de precizii diferite
Forma modelului funcional scris sub form matriceal (MODELUL DETERMINIST):
Modelul stochastic (MODELUL STATISTIC):
0
0
REGULI : ( )
0 0 2 2
0 0 2 2 0 0
,
, ,
,
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
14|P a g i n a
1.651357 0 0 0.200110 0 00 1.832452 0 0 0.217758 00 0 2.128152 0 0 0.231451
0.200110 0 0 0.516216 0 00 0.217758 0 0 0.477136 00 0 0.231451 0 0 0.491627
1.225 10 0 0 0 0 0 0 0 00 1.101 10 0 0 0 0 0 0 00 0 9.373 10 0 0 0 0 0 00 0 0 5.624 10 0 0 0 0 00 0 0 0 6.854 10 0 0 0 00 0 0 0 0 6.833 10 0 0 00 0 0 0 0 0 8.884 10 0 00 0 0 0 0 0 0 8.164 10 00 0 0 0 0 0 0 0 7.681 10
81632.653061 0 0 0 0 0 0 0 00 90826.521344 0 0 0 0 0 0 00 0 106689.427078 0 0 0 0 0 00 0 0 17780.938834 0 0 0 0 00 0 0 0 14590.020426 0 0 0 00 0 0 0 0 14634.860237 0 0 00 0 0 0 0 0 11256.190905 0 00 0 0 0 0 0 0 12248.897599 00 0 0 0 0 0 0 0 13019.138133
Verificare :
1 .
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
15|P a g i n a
1.451247 0 0 0 0 0 0 0 00 1.614694 0 0 0 0 0 0 00 0 1.896701 0 0 0 0 0 00 0 0 0.316106 0 0 0 0 00 0 0 0 0.259378 0 0 0 00 0 0 0 0 0.260175 0 0 00 0 0 0 0 0 0.200110 0 00 0 0 0 0 0 0 0.217758 00 0 0 0 0 0 0 0 0.231451
1 0 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 1
; dim 6 9
1.451247 0 0 0 0 0 0.200110 0 00 1.614694 0 0 0 0 0 0.217758 00 0 1.896701 0 0 0 0 0 0.2314510 0 0 0.316106 0 0 0.200110 0 00 0 0 0 0.259378 0 0 0.217758 00 0 0 0 0 0.260175 0 0 0.231451
Matricea sistemului normal: , , , ,
1.651357 0 0 0.200110 0 00 1.832452 0 0 0.217758 00 0 2.128152 0 0 0.231451
0.200110 0 0 0.516216 0 00 0.217758 0 0 0.477136 00 0 0.231451 0 0 0.491627
; dim 6 6
Proprietile matricii sistemului normal: a) este o matrice ptratic (numrul de linii este egal cu numrul de coloane n cazul acestei probleme: 6 * 6);
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
16|P a g i n a
b) este o matrice simetric fa de diagonala principal; c) Din criteriul lui Sylvester care spune c dac urmtoari determinani ai matricei (toi minorii caracteristici sunt mai mari ca zero (0))sunt mai mari ca zero, atunci matricea este pozitiv definit. 1.651357
1.651357 00 1.832452 .
1.651357 0 0
0 1.832452 00 0 2.128152
.
1.651357
00
0.200110
01.832452
00
00
2.1281520
0.200110
00
0.516216 .
1.651357
00
0.2001100
0
1.83245200
0.217758
00
2.12815200
0.200110
00
0.5162160
0
0.21775800
0.477136 .
1.651357 0 0 0.200110 0 0
0 1.832452 0 0 0.217758 00 0 2.128152 0 0 0.231451
0.200110 0 0 0.516216 0 00 0.217758 0 0 0.477136 00 0 0.231451 0 0 0.491627
.
, ,
, , , , . .
atunci:
Matricea invers se calculeaz cu relaia:
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
17|P a g i n a
.
Matricea transpus a sistemului normal:
1.651357 0 0 0.200110 0 0
0 1.832452 0 0 0.217758 00 0 2.128152 0 0 0.231451
0.200110 0 0 0.516216 0 00 0.217758 0 0 0.477136 00 0 0.231451 0 0 0.491627
; 6 6.
Matricea adjunct a sistemului normal:
; 6 6
unde:
1.101256 0 0 0.133449 0 00 1.222025 0 0 0.145218 00 0 1.419221 0 0 0.154350
0.133449 0 0 0.344254 0 00 0.145218 0 0 0.318192 00 0 0.154350 0 0 0.327856
.
cu determinantul calculat (cu metoda lui Sarrus):
. , iar matricea invers devine:
1 1.
1.101256 0 0 0.133449 0 00 1.222025 0 0 0.145218 00 0 1.419221 0 0 0.154350
0.133449 0 0 0.344254 0 00 0.145218 0 0 0.318192 00 0 0.154350 0 0 0.327856
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
18|P a g i n a
1
0.635411 0,000000 0,000000 0.246316 0,000000 0,0000000,000000 0.577011 0,000000 0,000000 0.263339 0,0000000,000000 0,000000 0.495249 0,000000 0,000000 0.2331570.246316 0,000000 0,000000 2.032659 0,000000 0,0000000,000000 0.263339 0,000000 0,000000 2.216021 0,0000000,000000 0,000000 0.233157 0,000000 0,000000 2.143831
dim 6 6.
Verificare:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.635411 0 0 0.246319 0 0 0.389095 0 00 0.577011 0 0 0.263339 0 0 0.313671 00 0 0.495249 0 0 0.233157 0 0 0.262092
0.246316 0 0 2.032659 0 0 1.786343 0 00 0.263339 0 0 2.216021 0 0 1.952682 00 0 0.233157 0 0 2.143831 0 0 1.910674
0.922138 0 0 0.077862 0 0 0.077862 0 00 0.931696 0 0 0.060662 0 0 0.068304 00 0 0.939338 0 0 0.060505 0 0 0.060662
0.357465 0 0 0.642535 0 0 0.357465 0 00 0.425212 0 0 0.574788 0 0 0.425212 00 0 0.442228 0 0 0.557772 0 0 0.442228
Vectorul parametrilor necunoscui
0.0011680.0008880.0008010.0053620.0055280.005837
0.00117 0.00089 0.00080 0.00536 0.00553 0.00584
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
19|P a g i n a
Valorile cele mai probabile ale coordonatelor punctelor noi i
30123.23040 0.00117 . 28764.21850 0.00089 . 29250.89750 0.00080 .
30748.8049 0.00536 . 29184.5541 0.00553 . 29731.5968 0.00584 .
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
;
0.001167930.000887960.000800730.005361980.005527760.005837410.006529910.006415720.00663814
;
00
0000
0,015000,013000,01320
Vectorul coreciilor
0.0011680.0008880.0008010.0053620.0055280.0058370.0084700.0065840.006562
0.00117 0.00089 0.00080 0.00536 0.00553 0.00584 0.00847 0.00658 0.00656
Calculul coordonatelor relative compensate (aplicnd coreciile coordonatelor relative msurate):
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
20|P a g i n a
123.23040 0.00117 .
1235.78150 0.00089 . 749.10250 0.00080 .
748.80490 0.00536 . 815.44590 0.00553 . 268.40320 0.00584 .
625. 58950 0.00847 . 420.32260 0.00658 . 480.71250 0.00656 .
Verificare: Se nlocuiesc valorile coreciilor n bazele msurate pe poligoane independente (poligonul CDF):
123.22923 625.58103 748.81026 , 1235.78061 420.32918 815.45143 , 749.10330 480.70594 268.39736 ,
,
Estimarea preciziei (indicatorii preciziei): Matricial
,
0.00116793 0.00088796 0.00080073 0.00536198 0.00552776 0.00583741 0.00847009 0.00658428 0.00656186
0.00169494 0.00143378 0.00151875 0.00169495 0.00143378 0.00151875 0.00169495 0.001433784 0.00151875 0,00006411
atunci: 1.) Conform teoriei generale n cazul Gauss-Markov, abaterea standard de selecie a unitii
depondere se poate calcula cu relaia (estimatea abaterii standard):
0.000064119 6
0.000064113
0.008006931.73205080
0.00462
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
21|P a g i n a
n care n reprezint numrul msurtorilor (n = 9) i h numrul necunoscutelor implicate n model (2 (dou) puncte noi 3 = 6 = h). 2.) Abaterea standard (eroarea medie) a unei necunoscute estimarea parametrilor empirici:
0.00462 0.63541084 0.00368
0.00462 0.57701068 0.00351
0.00462 0.49524858 0.00325
0.00462 2.03265884 0.00659
0.00462 2.21602143 0.00688
0.00462 2.14383092 0.00677
unde reprezint coeficienii de pondere ptratici din matricea invers (mat. cofactorilor) , .
Indicator Cantitativ[m] Indicator
Calitativ[m]
30123.22923 0.00368 28764.21939 0.00351 29250.89670 0.00325
30748.81026 0.00659 29184.54857 0.00688 29731.60264 0.00677
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
22|P a g i n a
Prezumia a III - a
Msurtorile sunt corelate
Forma modelului funcional scris sub form matriceal (MODELUL DETERMINIST):
Modelul stochastic (MODELUL STATISTIC):
0
0
REGULI : ( )
0 0 2 2
0
0 2 2 0 0
,
, ,
,
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
23|P a g i n a
1.651555 0.014268 0.009133 0.200146 0.001970 0.0020500.014268 1.832733 0.014304 0.001970 0.217794 0.0019420.009133 0.014304 2.128442 0.002050 0.001942 0.2314900.200146 0.001970 0.002050 0.516317 0.005022 0.0006620.001970 0.217794 0.001942 0.005022 0.477226 0.0005330.002050 0.001942 0.231490 0.000662 0.000533 0.491713
1.225 105 9.402 108 7.303 108 0 0 0 0 0 09.402 108 1.097 105 9.485 108 0 0 0 0 0 07.303 108 9.485 108 9.373 106 0 0 0 0 0 0
0 0 0 5.624 105 6.673 107 5.925 107 0 0 00 0 0 6.673 107 6.854 105 6.589 107 0 0 00 0 0 5.925 107 6.589 107 6.833 105 0 0 00 0 0 0 0 0 8.884 105 8.107 107 7.935 107
0 0 0 0 0 0 8.107 107 8.164 105 6.922 1070 0 0 0 0 0 7.935 107 6.922 107 7.681 105
81641.712937 691.760439 629.113498 0 0 0 0 0 0691.760439 90840.301515 913.867847 0 0 0 0 0 0629.113498 913.867847 106703.576712 0 0 0 0 0 0
0 0 0 17784.583110 171.682700 152.557351 0 0 00 0 0 171.682700 14593.030390 139.230583 0 0 00 0 0 152.557351 139.230583 14637.525673 0 0 00 0 0 0 0 0 11258.232063 110.818637 115.3065810 0 0 0 0 0 110.818637 12250.924418 109.2586290 0 0 0 0 0 115.306581 109.258629 13021.313951
Verificare :
1 .
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
24|P a g i n a
1.451408 0.012298 0.011184 0 0 0 0 0 00.012298 1.614939 0.016247 0 0 0 0 0 00.011184 0.016247 1.896952 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0.316170 0.003052 0.002712 0 0 00 0 0 0.003052 0.259432 0.002475 0 0 00 0 0 0.002712 0.002475 0.260223 0 0 00 0 0 0 0 0 0.201046 0.001970 0.0020500 0 0 0 0 0 0.001970 0.217794 0.0019420 0 0 0 0 0 0.002050 0.001942 0.231490
1 0 0 0 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 1 00 0 1 0 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0 00 0 0 0 1 0 0 1 00 0 0 0 0 1 0 0 1
; dim 6 9
1
1.451408 0.012298 0.011184 0 0 0 0.200146 0.001970 0.0020500.012298 1.614939 0.016247 0 0 0 0.001970 0.217794 0.0019420.011184 0.016247 1.896952 0 0 0 0.002050 0.001942 0.231490
0 0 0 0.316170 0.003052 0.002712 0.200146 0.001970 0.0020500 0 0 0.003052 0.259432 0.002475 0.001970 0.217794 0.0019420 0 0 0.002712 0.002475 0.260223 0.002050 0.001942 0.231490
Matricea sistemului normal: , ,
,
,
1.651555 0.014268 0.009134 0.200146 0.001970 0.0020500.014268 1.832733 0.014304 0.001970 0.217794 0.0019420.009134 0.014304 2.128443 0.002050 0.001942 0.2314900.200146 0.001970 0.002050 0.516317 0.005022 0.0006620.001970 0.217794 0.001942 0.005022 0.477226 0.0005330.002050 0.001942 0.231490 0.000662 0.000533 0.491713
; dim 6 6
Proprietile matricii sistemului normal: a) este o matrice ptratic (numrul de linii este egal cu numrul de coloane n cazul acestei probleme: 6 * 6);
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
25|P a g i n a
b) este o matrice simetric fa de diagonala principal; c) Din criteriul lui Sylvester care spune c dac urmtoari determinani ai matricei (toi minorii caracteristici sunt mai mari ca zero (0))sunt mai mari ca zero, atunci matricea este pozitiv definit. 1.651555
1.651555 0.0142680.014268 1.832452 .
1.651555 0.014268 0.0091340.014268 1.832452 0.0143040.009134 0.014304 2.128152
.
1.6515550.0142680.0091340.200146
0.0142681.8324520.0143040.001970
0.0091340.0143042.1281520.002050
0.2001460.0019700.0020500.516317
.
1.6515550.0142680.0091340.2001460.001970
0.0142681.8324520.0143040.0019700.217794
0.0091340.0143042.1281520.0020500.001942
0.2001460.0019700.0020500.5163170.005022
0.0019700.2177940.0019420.0050220.477226
.
1.651555 0.014268 0.009134 0.200146 0.001970 0.0020500.014268 1.832733 0.014304 0.001970 0.217794 0.0019420.009134 0.014304 2.128443 0.002050 0.001942 0.2314900.200146 0.001970 0.002050 0.516317 0.005022 0.0006620.001970 0.217794 0.001942 0.005022 0.477226 0.0005330.002050 0.001942 0.231490 0.000662 0.000533 0.491713
.
, ,
, , , , . .
atunci:
Matricea invers se calculeaz cu relaia:
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
26|P a g i n a
.
Matricea transpus a sistemului normal:
1.651555 0.014268 0.009134 0.200146 0.001970 0.0020500.014268 1.832733 0.014304 0.001970 0.217794 0.0019420.009134 0.014304 2.128443 0.002050 0.001942 0.2314900.200146 0.001970 0.002050 0.516317 0.005022 0.0006620.001970 0.217794 0.001942 0.005022 0.477226 0.0005330.002050 0.001942 0.231490 0.000662 0.000533 0.491713
; 6 6.
Matricea adjunct a sistemului normal:
; 6 6
unde:
1.102110 0.009521 0.006095 0.133561 0.001315 0.0013680.009521 1.223013 0.009545 0.001315 0.145338 0.0012960.006095 0.009545 1.420345 0.001368 0.001296 0.1544770.133561 0.001315 0.001368 0.344547 0.003351 0.0004420.001315 0.145338 0.001296 0.003351 0.318461 0.0003560.001368 0.001296 0.154477 0.000442 0.000356 0.328128
.
cu determinantul calculat (cu metoda lui Sarrus):
. , iar matricea invers devine:
1 1.
1.102110 0.009521 0.006095 0.133561 0.001315 0.0013680.009521 1.223013 0.009545 0.001315 0.145338 0.0012960.006095 0.009545 1.420345 0.001368 0.001296 0.1544770.133561 0.001315 0.001368 0.344547 0.003351 0.0004420.001315 0.145338 0.001296 0.003351 0.318461 0.0003560.001368 0.001296 0.154477 0.000442 0.000356 0.328128
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
27|P a g i n a
1
0.635408 0.004983 0.003506 0.246334 0.002263 0.0046530.004983 0.577008 0.004662 0.002316 0.263360 0.0047830.003506 0.004662 0.495243 0.003650 0.004428 0.2331950.246334 0.002316 0.003650 2.032507 0.021451 0.0055150.002263 0.263360 0.004428 0.021451 2.215876 0.0055640.004653 0.004783 0.233195 0.005515 0.005564 2.143544
dim 6 6.
Verificare:
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.635408 0.004983 0.003506 0.246334 0.002263 0.004653 0.389074 0.002720 0.0011480.004983 0.577008 0.004662 0.002316 0.263360 0.004783 0.002667 0.313647 0.0001210.003506 0.004662 0.495243 0.003650 0.004428 0.233195 0.000144 0.000234 0.2620480.246334 0.002316 0.004650 2.032507 0.021451 0.005515 1.786173 0.019135 0.0018650.002263 0.263360 0.004428 0.021451 2.215876 0.005564 0.019188 1.952515 0.0011370.004653 0.004783 0.233195 0.005515 0.005564 2.143544 0.000862 0.000781 1.910349
1
0.922136 0.000176 0.000537 0.077864 0.000176 0.000537 0.077864 0.000176 0.0005370.000084 0.931695 0.000587 0.000084 0.068305 0.000587 0.000084 0.068305 0.0005870.000508 0.000560 0.939338 0.000508 0.000560 0.060662 0.000508 0.000560 0.0606620.357462 0.000652 0.004130 0.642538 0.000652 0.004130 0.357462 0.000652 0.0041300.000004 0.425211 0.004095 0.000004 0.574789 0.004095 0.000004 0.425211 0.0040950.004087 0.003879 0.442230 0.004087 0.003879 0.557770 0.004087 0.003879 0.442230
Vectorul parametrilor necunoscui
1
0.0011730.0008940.0008160.0054250.0055820.005949
0.00117 0.00089 0.00082 0.00542 0.00558 0.00595
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
28|P a g i n a
Valorile cele mai probabile ale coordonatelor punctelor noi i
30123.23040 0.00117 . 28764.21850 0.00089 . 29250.89750 0.00082 .
30748.8049 0.00542 . 29184.5541 0.00558 . 29731.5968 0.00595 .
1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 0 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 11 0 0 1 0 00 1 0 0 1 00 0 1 0 0 1
;
0.001172760.000894440.000815640.005424930.005581740.005949170.006597690.006476180.00676481
;
00
0000
0,015000,013000,01320
Vectorul coreciilor
0.0011730.0008940.0008160.0054250.0055820.0059490.0084020.0065240.006435
0.00117 0.00089 0.00082 0.00542 0.00558 0.00595 0.00840 0.00652 0.00644
Calculul coordonatelor relative compensate (aplicnd coreciile coordonatelor relative msurate):
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
29|P a g i n a
123.23040 0.00117 .
1235.78150 0.00089 . 749.10250 0.00082 .
748.80490 0.00542 . 815.44590 0.00558 . 268.40320 0.00595 .
625. 58950 0.00840 . 420.32260 0.00652 . 480.71250 0.00644 .
Verificare: Se nlocuiesc valorile coreciilor n bazele msurate pe poligoane independente (poligonul CDF):
123.22923 625.58110 748.81032 , 1235.78061 420.32912 815.45148 , 749.10332 480.70606 268.39725 ,
,
Estimarea preciziei (indicatorii preciziei): Matricial
,
0.00117276 0.00089444 0.00081564 0.00542493 0.00558174 0.00594917 0.00840231 0.00652382 0.00643519
1 0.00168203 0.00141680 0.00151958 0.00168203 0.00141680 0.00151958 0.00168203 0.00141680 0.00151958
0.00006371atunci: 1.) Conform teoriei generale n cazul Gauss-Markov, abaterea standard de selecie a unitii
depondere se poate calcula cu relaia (estimatea abaterii standard):
0.00006371
3 0.007981681.73205080
0.00461
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
30|P a g i n a
n care n reprezint numrul msurtorilor (n = 9) i h numrul necunoscutelor implicate n model (2 (dou) puncte noi 3 = 6 = h). 2.) Abaterea standard (eroarea medie) a unei necunoscute estimarea parametrilor empirici:
0.00461 0.63540805 0.00367
0.00461 0.57700762 0.00350
0.00461 0.49524340 0.00324
0.00462 2.03250669 0.00657
0.00462 2.21587568 0.00686
0.00462 2.14354387 0.00675
unde reprezint coeficienii de pondere ptratici din matricea invers (mat. cofactorilor) , .
Indicator Cantitativ[m] Indicator
Calitativ[m]
30123.22923 0.00367 28764.21939 0.00350 29250.89668 0.00324
30748.81032 0.00657 29184.54852 0.00686 29731.60275 0.00675
Silviu tefan BENC
IU
Proiect com
pesarea msuratorilor i statistic II
Tabel comparativ cu rezultatele compensrii n cele 3 (trei) ipoteze
Msurtori independente de aceeai precizie
Msurtori independente de precizii diferite
Msurtori corelate
Indicator cantitativ Abaterea standard de selecie a unei msurtori
Indicator cantitativ Abaterea standard de selecie a unitii de pondere
Indicator cantitativ Abaterea standard de selecie a unitii de pondere
0.00795
0.00462
0.00461
Indicator calitativ Estimarea preciziei
parametrilor necunoscui Indicator calitativ Estimarea preciziei
parametrilor necunoscui Indicator calitativ Estimarea preciziei
parametrilor necunoscui
0.00649
0.00649
0.00649
0.00649
0.00649
0.00649
0.00368
0.00351
0.00325
0.00659
0.00688
0.00677
0.00367
0.00350
0.00324
0.00657
0.00686
0.00675
Din Tabel comparativ, n care se prezint valorile obinute prin compensare n cele 3 (trei) prezumii se poate observa c indiferent de ipoteza avut n vedere: msurtori independente de aceeai precizie, msurtori independente de precizii diferite, respectiv msurtori corelate, dac avem n vedere indicatorii calitativi, se estimeaz precizii ale parametrilor necunoscui care variaz foarte puin de la o prezumie la cealalt.
31|P
agin
a
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
Dup compensarea reelei geodezice de ndesire prin cele 3 prezumii, putem observa c ipotezele II i III, care presupun c msurtorile sunt de precizii diferite (ponderate), compeseaz cel mai bine reeaua respectiv.
Din punct de vedere cantitativ, cele 3 prezumii, nu prezint mari diferene n determinarea valorilor cele mai probabile ale coordonatelor punctelor noi, ns putem observa din nou efectul msurtorilor ponderate (ncrederea pe care o acord acestora), prezumiile II i III determinnd aproximativ aceleai valori ale punctelor noi.
Din punct de vedere calitativ, prezumia I (prin definiie) ofer aceeai ncredere tuturor msurtorilor. prezumiile II i III determin valorile cele mai probabile ale coordonatelor punctelor noi cu o precizie mai bun, observndu-se iar asemnarea dintre aceste dou ipoteze, datorat efectului ponderii care influeneaz reeaua respectiv.
Dintre toate ipotezele, putem spune c acurateea cea mai mare n compensarea reelei geodezice de ndesire o ofer prezumia III, datorit dependenei fizice dintre mrimile msurate de care ine cont.
X Y Z
[ m ] DIAGRAMA COMPARATIV D [X, Y, Z]
Prezumtia1Prezumtia2Prezumtia3
32|P a g i n a
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
33|P a g i n a
Interpretarea privind elipsa erorilor i elipsoidul erorilor Cu erorile (abaterile) i se poate determina elipsa erorilor, care este un domeniu de ncredere (plan), astfel:
2
Dac se cere abaterea standard pe o direcie oarecare, se folosete elipsa erorilor n spaiul cu dou dimensiuni (2-D), respentiv elipsaodul erorilor, n spaiul cu trei dimensiuni (3-D). Se mai poate determina i eroarea total (sau eroarea Helmert) astfel:
unde:
i reprezint erorile medii ale necunoscutelor.
X Y Z
[ m ] DIAGRAMA COMPARATIV F [X, Y, Z]
Prezumtia1Prezumtia2Prezumtia3
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
34|P a g i n a
Elipsa erorilor reprezentare practic general.
CLASIFICAREA REELELOR GEODEZICE (n funcie de elipsa erorilor)
1.) Reele omogene: acele reele pentru care elipsele erorilor au aceeai form, orientare i dimensiune n punctele noi.
2.) Reele izotrope: acele reele n cadrul crora eroarea pe orice direcie ntr-un punct este aceei (atunci elipsa poate deveni cerc). Domeniu de studiu n anul 4 la msurtori GNSS (Global Navigation Satellite System).
3.) Cazul ideal: cnd avea de-a face cu ambele tipuri de reele (omogene i izotrope), atunci cnd elipsele devin cercuri de raze egale.
Silviu tefan BENCIU Proiect compesarea msuratorilor i statistic II
35|P a g i n a
Dac avem o reea geodezic format din p - puncte noi , atunci elementele matricei de covarian se calculeaz cu ajutorul blocurilor bidimensionale dup diagonala principal a matricei inverse a sistemului normal .
Interpretarea statistic Din punctul de vedere al indicatorilor cantitativi, prin prisma rezultatelor obinute, de 0.00795 m (n ipoteza msurtorilor independente de aceeai precizie), 0.00462 (n ipoteza msurtorilor independente de precizii diferite), respectiv 0.00461 (n ipoteza msurtorilor corelate) i avnd n vedere faptul c dispersia (abaterea standard) msoar gradul de mprtiere al variabilei fa de medie (abaterea standard tinde ctre dispersie ntre 30 de msurtori directe), se poate considera evoluia acestor indicatori ca respectnd legea distrbuiei normale, cu valori ale probabilitilor de 68%, 95%, respectiv 99%.
Aceste valori arat c probabilitile ca o variabil aleatoare X , s nu devieze de la media cu mai mult de , 2 , respectiv 3 sunt respectiv 68%, 95%, respectiv 99% n funcie de acurateea (precizia) presupus, deci p = 0,95 (vrem s fim 95% siguri de corectitudinea concluziei rezultate n urma testului). n acest caz vom folosi un nivel de semnificatie " risc " care se calculeaz n modul devenit deja cunoscut:
, %
Pr5 _sem2Pr5 _sem2
Recommended