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Condições com vectores no plano e no espaço
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Escola Básica e Secundária Mouzinho da Silveira
Matemática A – 11.º AnoCondições com Vectores
Circunferência de diâmetro [AB]
A circunferência de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos do plano tais que
ExemploDetermine-se a equação cartesiana de uma circunferência a partir da sua condição vetorial.
Por exemplo, num referencial o.n. do plano, dada a circunferência de centro na origem e diâmetro , com e , um ponto pertence à circunferência sse satisfaz a condição
Assim, se tem-se:
E
�⃗�𝑃 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔ (𝑥+1 ; 𝑦−1 ) ⋅ (𝑥−1 ;𝑦+1 )=0
⇔ (𝑥+1 ) (𝑥−1 )+( 𝑦−1 ) ( 𝑦+1 )=0
⇔𝑥2−1+𝑦 2−1=0
⇔𝑥2+𝑦2=2
A equação obtida é a equação da circunferência com centro em e raio
Superfície esférica de diâmetro [AB]
A superfície esférica de diâmetro [AB] é o conjunto dos pontos do espaço tais que
ExemploDetermine-se uma equação da superfície esférica da qual o segmento de reta é um diâmetro, sendo ) e
Sendo um ponto qualquer da superfície esférica, sabe-se que ocorrerá
Então:
E
�⃗�𝑃 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔ (𝑥−1 ;𝑦−2 ; 𝑧+3 )⋅ (𝑥−4 ;𝑦 ; 𝑧+1 )=0
⇔ (𝑥−1 ) (𝑥−4 )+( 𝑦−2 ) 𝑦+(𝑧+3)(𝑧+1 )=0
⇔𝑥2−5 𝑥+ 𝑦2−2 𝑦+𝑧 2+2𝑧+7=0
Esta última é uma condição que define a superfície esférica de diâmetro .
é uma condição que define a esfera com o mesmo diâmetro.
Reta tangente a uma circunferência num dado ponto.Consideremos uma circunferência de centro no ponto e uma reta tangente à circunferência no ponto .
Sendo um ponto da reta tangente, temos , pelo que (condição que se verifica ainda que ). Então:
A reta tangente a uma circunferência de centro , no ponto , é o conjunto dos pontos do plano que satisfazem a condição
ExemploVejamos, agora, como determinar uma equação da reta tangente a um circunferência num dos seus pontos, conhecida a equação da circunferência.
Por exemplo, num referencial o.n. se considerarmos a circunferência centrada em e raio , a sua equação é
Por exemplo, as coordenadas de um ponto satisfazem a equação, pelo que pertence à circunferência. Determinemos uma equação da reta tangente à circunferência nesse ponto.
Ora, dado um ponto genérico da reta tangente, :
�⃗� 𝑃=𝑃−𝑇¿ (𝑥 ; 𝑦 )−(−1;7)¿ (𝑥+1; 𝑦−7 )
�⃗�𝑇=𝑇 −𝐶¿ (−1 ;7 )−(−4 ;3)¿ (3 ; 4 )
E
�⃗�𝑇 ⋅ �⃗�𝑃=0⇔3 (𝑥+1 )+4 ( 𝑦−7 )=0
⇔3𝑥+3+4 𝑦−28=0⇔4 𝑦=−3 𝑥+25
⇔ 𝑦=− 34 𝑥+254
Em conclusão, a equação reduzida da reta tangente à circunferência de equação no ponto de coordenadas é:
Plano tangente a uma superfície esférica num dado pontoO plano tangente a uma superfície esférica de centro no ponto é o conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a condição
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