Control 1 Variable Compleja

7/25/2019 Control 1 Variable Compleja

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CONTROL 1 VARIABLE COMPLEJAIngenierıa MatematicaPrimer Semestre 2007

NOMBRE: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Problema 1. Sea Λ un cırculo sobre la esfera   S.  Muestre que si Λ contiene elpolo norte entonces su proyeccion sobre C es una lınea recta. Si no, Λ se proyecta

sobre un cırculo en  C.

Solucion.La ecuacion para un plano tangente a la esfera  S  en el punto (a,b,c) es

a(x − a) + b(y − b) + c(z  − c) ⇒  ax + by + cz  = 1.

Ahora, para asegurarse que el plano

P   : ax + by + cz  + d = 0 (1)

intersecte la esfera unitaria, debemos asumir que la distancia del origen al planoes estrictamente menor que 1,  esto es,  d < 1.

Ahora, un cırculo Λ en   S   es el conjunto de todos los puntos (x , y, z )  ∈   S   talque (x , y , z  ) ∈  P.

Ocupando la proyeccion estereografica, obtenemos

a(  2x

x2 + y2 + 1)b(

  2y

x2 + y2 + 1) + c(

x2 + y2 − 1

x2 + y2 + 1) + d = 0

y ası,

(c + d)(x2 + y2) + 2ax + 2by =  c − d.   (2)

Ahora, si (0, 0, 1) ∈  P, entonces por (1), c + d = 0 y ası por (2),

2ax + 2by = 2c ⇒  ax + by  =  c.

Esto es una ecuacion de una lınea recta en el plano complejo.Ahora, si (0, 0, 1) ∈  P, entonces por (1), c + d  = 0 y ası por (2),

(c + d)(x2 + y2) + 2ax + 2by =  c − d.

Dividiendo por  c + d,  obtenemos

x2 + y2 +  2a

c + dx +

  2b

c + ay  =

  c − d

c + dlo que implica

(x +  a

c + d)2 + (y +

  b

c + d)2 =

  1 − d

(c + d)2.

Esto representa un cırculo si y solo si 1 − d > 0.  Sin embargo, esto es exacta-mente lo que hemos asumido.

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