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Cours RDM IUT GC
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Cours module MS4Organisation du module :
Cours 6hTD 22h (coef 2)
Apprendre autrement 12h (coef 2)DS 2h (coef 5)
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lundi 14 septembre 2009
MS4
BoisBA CM
ST4ST2ST3ST6
ST4ST5ST6ST7
ST8ST7 ST7
S3
S4
240h
2
MS5
lundi 14 septembre 2009
Chapitre 1
Rappels de premire anne Modlisation des structures Modlisation des efforts internes Calcul des dplacements
3
MS1
MS1 MS2
MS3
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
4
!"#! "$! "%!
! &$! &%!
Ligne moyenne : ligne qui joint les centres de gravit des sections
droites successives!
Les efforts sont considrs
comme appliqus sur cette ligne moyenne
'! '!
'! '!
Modle de calcul dun support de couverture
Modle de calcul dun portique
Structures barres
Les sections des barres sont constantes ou lentement variables
Les barres possdent des dimensions transversales petites devant leur longueur
Si les barres sont courbes leur rayon de courbure est grand devant leurs dimensions transversales
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
5
Les structures tudies sont :
Proportionnalit et rversibilitentre cause et effet
On est donc dans un domaine restreint du fonctionnement des matriaux
Mais elles subissent de petits dplacementset des petites dformations
Tous les calculs seront donc raliss sur la structure non dforme
Calcul au premier ordre
Dformables
Elastiques linaires
! F
d
Les efforts appliqus sont constants ou lentement variables : statique pas deffet dynamique
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
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Les sections droites restent planes aprs dformation : hypothse de Navier-Bernoulli
! "#! "$!"#! "$!
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
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!
Forces actives : W, S, G, I,
Interactions entre
sous-structures,
interactions
sol/structure
Actions appliques sur nos structures
Forces : objets mathmatiques : vecteurs
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
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!
x
"!
#!
$!
%!
&!
'!
Moment dune forceSimplification
convention de signe
!
"#!
$%#&!
'! (!)!
#!
Force rpartie
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
Force uniformment rpartie!
"#!
$%#&!
'! (!)!
*!
#!
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P
d
Mp(x)/o = -dP
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
Les liaisons extrieures du GCAppui simple Appui articul Appui encastr
Dplacement(s) empch(s)
Une translation (dirige selon lorientation de
lappui)
La translation dans toute direction
La translation dans toute direction
La rotation autour de lappui
Grandeurs cinmatiquesDplacements
u v=0
u=0v=0
u=0v=0=0
Grandeurs statiquesRactions
Rx=0Ry
z=0
RxRy
z=0
RxRyz
!
x,!"!
M,!!!y,!#!
!
! !
!"#!
! "#!
"$!
! "#!
"$!z
!
"!Lappui simple est le seul appui orient
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
Equilibre des structures : statique
Les liaisons ont pour rle le maintien de la
structure en quilibre statique
Pas de dplacement densemble de la structure
3 quations dans le plan
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1. Modlisationdes
structures
2. Modlisationdes
efforts internes
3. Calculdes
Dplacements
Liaisons
Hypothses
extrieures
PFS
Effortsexternes
Hyperstaticit
hyperstaticit extrieure
On note n le nombre de ractions en dbut de problme. Dans le plan lquilibre tant rgit par 3 quations (celles du PFS) on retiendra que :
Si n-3 = 0 le problme est dit isostatique extrieur. Cette expression traduit un quilibre statique global respect et la possibilit de calculer les ractions uniquement partir du PFS,
Si n-3 < 0 lquilibre statique global nest pas forcment respect et la structure peut constituer un mcanisme ou structure cinmatiquement instable. Si cest le cas aucun calcul raliser (en Gnie Civil !!!),
Si n-3 > 0 la structure est dite hyperstatique extrieur de degr n-3. Cette expression traduit un quilibre statique global respect mais limpossibilit de calculer toutes les ractions partir des seules quations du PFS.
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Sollicitations
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Il existe en RdM deux manires de reprsenter les efforts internes
Modlisation des efforts internesLes actions extrieures (charges appliques et ractions) crent en tout point de la structure des efforts dits internes.
Sollicitations ContraintesRelations
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Sollicitations
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Modlisation des efforts internes
Sollicitations
Il sagit dune reprsentation mathmatique simplifie de leffet des charges extrieures qui conduit la dfinition defforts internes calculs au centre de gravit des sections : les sollicitations N, V et M
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Sollicitations
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Modlisation des efforts internes
Sollicitations
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
! "#!
"$!
%#!
!
'#!
Partie gauche
R
MG1
!
"!
#!
$!
%&!
R
MG1
N
V
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Sollicitations
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Modlisation des efforts internes
Sollicitations
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
"%!
"&!
'#!
(#!
)#!
!
"!
#!
$!
%&!
R
MG1
N
V
!
ND
VD MD
VG
NG
MG
La section est en
quilibre (statique)
!
Ligne moyenne
"#!
"$!
%#!
!
'#!
"(!
")!
%#!
!
'#!
Partie gauche Partie droite
VD=-VGND=-NGMD=-MG
fd=-fg
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
SollicitationsModlisation des efforts internes
!
"#!
"$!
"%!
&'(!)*+!
&'(!)*+!
&'(!)*+!
,'-!).+!
,'-!).+!
,'-!).+!
Conventions de signe : repre local
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
SollicitationsEtats de sollicitations
N seul Compression ou Traction
pure
M seulFlexion pure
M et VFlexion simple
M et V et N Flexion
compose
FonctionsM, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Fonctions
Sollicitations
M, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hypersaticit interne et totale
Hyperstaticit!
Hypersaticit interne
1 coupure = 3 inconnus M, N, V
Calcul des sollicitations
Cas particulier : le cadre ferm
1re coupure = 3 inconnus M,
N, V
2me coupure = 3 inconnus M,
N, V
DH int= 3x nb cadres ferms - nb darticulations internes
Hypersaticit totaleDH tot=DH ext + DH int
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
Signe privilgi dans lcriture des relations :celui des forces droites
Fonctions
Sollicitations
M, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Relations particulires : quilibre dun tronon de poutre
Signe privilgi dans lcriture des relations :celui des forces gauches
Fonctions
Sollicitations
M, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Modlisation des efforts internes : contraintes
Premier niveau de description des efforts internes : sollicitations
!
M
N
V
Une description plus fine des efforts internes dans les sections est base sur lintroduction de la notion de contrainte :
!
M
N
V
!!"!
#!
$! $!
!"!
"#!
Les contraintes portes par laxe Gx sont appeles contraintes normales
Les contraintes portes par laxe Gz sont appeles contraintes tangentielles
Fonctions
Sollicitations
M, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Contraintes normales : conventions de signe
Fonctions
Sollicitations
M, N, V
Contraintes
Relationsparticulires
Hyperstaticit
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
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Dforme
Approchesnergtiques
TFu
Dfinition de la dforme!
"#!
#!
$!
%!
&!
!wz(x) = dforme de la barre "!
#!
barre
$!
wzQ
On cherche calculer les dplacements verticaux (suivant laxe local de la barre z) en chaque point de la barre sous laction du chargement extrieur. Lensemble de ces points dfinissent alors un trac (fonction mathmatique) que lon nommera dforme et que lon notera wz(x).
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Dforme
Approchesnergtiques
TFu
Dfinition de la dforme
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fd
fg
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Dforme
Approchesnergtiques
TFu
Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant
On cherche calculer le dplacement Q, dans une direction donne dun point Q quelconque de la structure, rsultant du chargement extrieur Fi.
Supposons quil existe sur cette structure une force virtuelle unitaire FQ=1 applique au niveau du point Q suivant la direction du dplacement Q recherch.
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Dforme
Approchesnergtiques
TFu
Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant
Remarques :
Un dplacement peut constituer une translation ou une rotation :
- Lorsque le dplacement recherch est une translation, alors la charge virtuelle unitaire applique sur la structure, lendroit o le dplacement est recherch et dans la direction du dplacement recherch, est une force unitaire.
- Lorsque le dplacement recherch est une rotation, alors la charge virtuelle unitaire applique sur la structure, lendroit o le dplacement est recherch et dans la direction du dplacement recherch, est un couple unitaire.
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Modlisationdes
structures
Modlisationdes
efforts internes
Calculdes
Dplacements
Dforme
Approchesnergtiques
TFu
Thorme de la force unitaireou thorme de Bertrand de Fonviolant
Remarques :
Les intgrales sont appeles intgrales de Mohr. Dans ces intgrales les fonctions Nx(x), My(x) et Vz(x) sont des fonctions quelconques, en revanche les fonctions Nux(x), Muy(x) et Vuz(x) tant tablies sous lapplication du charge unitaire sont ncessairement des fonctions linaires.
Dans la majorit des structures flchies, leffet de M est prpondrant devant celui de N et V pour le calcul des dplacements.
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