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Creación de un escenario pedagógico virtual. El caso de Algebra y Geometría Analítica en UTN-FRBA Eje 2: ¿Qué desafíos se plantean para la enseñanza en los ambientes educativos actuales?
Tipo de trabajo: Relato de experiencia
Palabras claves: enseñanza de la matemática, semipresencialidad, virtualidad, educación
universitaria
Resumen En este artículo se relata la experiencia que se viene desarrollando desde el año 2012 en la
Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nacional (UTN-FRBA) al diseñar
la enseñanza semipresencial de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica. Se describe el
contexto institucional que enmarca el proyecto, se presentan algunos elementos del escenario
pedagógico virtual y se enuncian los resultados de dos evaluaciones piloto realizadas para
conocer las opiniones de los alumnos sobre algunos materiales desarrollados. Entendemos que
el “escenario pedagógico virtual” se va construyendo al pensar en: los materiales didácticos, la
elección de las formas de comunicación, la ubicación de los elementos en el aula virtual, y las
nuevas funciones de docentes y estudiantes, entre otros aspectos. Las elecciones y decisiones
tomadas responden a un enfoque pedagógico que valora: el trabajo matemático que desarrolla
cada estudiante al resolver problemas en forma independiente, el trabajo colaborativo entre
estudiantes, el trabajo de los docentes a través de una presencia activa en diversos espacios
de comunicación. El proceso de diseño, desarrollo y puesta en práctica del escenario
pedagógico virtual fue el marco que posibilitó plantear las reflexiones e interrogantes acerca de
la enseñanza semipresencial que exponemos en esta comunicación.
Abstract This article describes the experience that is being developed since 2012 in Buenos Aires
Regional Faculty of the National Technological University (UTN-FRBA) in order to design the
blended learning course of Algebra and Analytic Geometry. It describes the institutional context
that frames the project, shows some of the elements of the virtual pedagogical setting and sets
out the results of two pilot assessments conducted to obtain students’ points of view about some
of the developed teaching materials. We understand that the "virtual pedagogical setting" is
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being built as we thought: teaching materials, forms of communication, the location of the
elements in the virtual room, and teachers and students’ new roles, among others. The choices
and decisions taken respond to an educational approach that values: the mathematical work that
each student develops to solve problems independently, collaborative work among students,
teachers work through an active presence in various areas of communication.
1. Introducción En esta comunicación nos proponemos describir la experiencia que estamos desarrollando
desde el año 2012 en la Facultad Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica
Nacional, la misma se centra en la organización del cursado semipresencial de la materia
Álgebra y Geometría Analítica, focalizando en la relación entre las decisiones que se tomaron al
diseñar un escenario pedagógico virtual y las intenciones educativas de los docentes
responsables del dictado. En el relato presentaremos preguntas y problemas que han surgido
en el proceso así como las conclusiones a las que hemos llegado hasta el momento.
Durante este tiempo hemos realizado algunas experiencias piloto implementando en cursos
tradicionales parte del material preparado. Referiremos también los resultados de estas
experiencias.
2.El contexto institucional: experiencias previas y nuevos horizontes A fines del año 2009, y atendiendo a la Ordenanza N° 1129 “Cursado Intensivo”, la Secretaría
de Gestión Académica de la Regional Buenos Aires de la Universidad Tecnológica Nacional
(UTN-FRBA) desarrolló una propuesta denominada “Mejoramiento de la calidad educativa
favoreciendo la retención estudiantil mediante el uso de las nuevas tecnologías” cuyo objetivo
general era profundizar las acciones de Educación a Distancia en la Carrera de Grado.
Como objetivos específicos se enunciaban:
●Implementar el régimen de cursado intensivo para la aprobación de asignaturas de la
carrera de grado, en el ámbito de la Facultad Regional Buenos Aires.
●Integrar significativamente las nuevas tecnologías a la formación aprovechando las
potencialidades que ofrecen.
●Capacitar a docentes/tutores en el uso de las herramientas de gestión del campus virtual
de la Facultad.
●Preparar material didáctico apto para la intervención pedagógica en entornos virtuales.
En este marco, se conformó un equipo de trabajo con especialistas en educación a distancia -
desde la Secretaría de Gestión Académica- y, la responsable y docentes de la Cátedra de
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Matemática Discreta -asignatura del Plan de Estudios de la Carrera Ingeniería en Sistemas e
Información-. Así surgió el proyecto “Cursado Intensivo de Matemática Discreta” que desde el
año 2009, lleva seis implementaciones.
En el marco del proceso de evaluación continua de las carreras de grado, la valoración de las
experiencias de proyectos de cursado intensivo decidieron ampliarse. En el año 2012 por
solicitud de la Secretaría Académica y de Planeamiento se conforma otro equipo
interdisciplinario para planificar, diseñar e implementar el cursado intensivo bajo modalidad
semipresencial de la asignatura Álgebra y Geometría Analítica (AGA), asignatura de primer año
que cursan todos los estudiantes de las Carreras de Ingeniería que se dictan en la Facultad.
Durante ese período de tiempo también se realizaron actualizaciones en la plataforma
educativa que incidieron tanto en aspectos técnicos, estéticos y comunicacionales para pensar
el escenario pedagógico virtual que se usaría para AGA. En este contexto, para la Dirección de
Innovación Educativa y Campus Virtual uno de los propósitos era aprovechar pedagógicamente
las nuevas potencialidades que ofrecía el Moodle 2.x.
3.El diseño del escenario pedagógico virtual Entendemos que el “escenario pedagógico virtual” se va construyendo al pensar en: los
materiales didácticos, la elección de las formas de comunicación, la ubicación de los elementos
en el aula virtual, y las nuevas funciones de docentes y estudiantes, entre otros aspectos. Las
elecciones y decisiones tomadas responden a un enfoque pedagógico que valora: el trabajo
matemático que desarrolla cada estudiante al resolver problemas en forma independiente, el
trabajo colaborativo entre estudiantes y la interacción entre los docentes y los estudiantes a
través de una presencia activa en diversos espacios de comunicación.
3.1.Experiencia piloto: una unidad didáctica virtual en el cursado tradicional Con la intención de construir el escenario pedagógico para desarrollar en modalidad
semipresencial la asignatura AGA se inició con el desarrollo de una primera unidad didáctica; el
tema seleccionado fue Autovalores y Autovectores (no es la primera unidad del programa de la
materia).El desarrollo de esta unidad didáctica permitió entablar el diálogo para diseñar y
elaborar: el material didáctico digital con elementos interactivos, las orientaciones para los
trabajos prácticos, la elección de tareas de carácter obligatorio para los estudiantes, las
características de los espacios de tutoría, las autoevaluaciones y otros materiales
complementarios. Entre estos materiales se incluía un audiovisual de acceso libre y gratuito por
Internet, cuyo contenido es la grabación de una clase de Gilbert Strang (en inglés). RU
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La experiencia piloto desarrollada en el cursado intensivo de verano (febrero 2013) se
implementó en dos cursos, con un total de 76 estudiantes. Señalamos que los estudiantes de
estos cursos son recursantes, por lo tanto, tuvieron una primera aproximación conceptual al
tema de estudio.
En el cursado intensivo de verano los estudiantes asisten a clases diariamente durante jornadas
de cuatro horas. Particularmente, el cursado de AGA tiene una carga horaria de 160 horas. En
los cursos que implementaron la experiencia piloto se consensuó el empleo de un aula virtual
para estudiar el tema Autovalores y Autovectores, por lo tanto, ese tema no se desarrolló en las
clases presenciales. Estas particularidades fueron comunicadas a los estudiantes en la primera
clase, dando la posibilidad de cambiar de curso a quienes no quisieran asumir el compromiso
que implicaba acceder y trabajar virtualmente.
Al trabajar en forma virtual, los tiempos didácticos deben considerarse con una lógica diferente
a la que se utiliza en las clases presenciales ¿A cuánto equivalen dos jornadas de trabajo
presencial de cuatro horas cuando se plantea estudiarlo en forma virtual?
Este es un ejemplo de los interrogantes que permitieron reflexionar sobre la enseñanza
semipresencial.
Yves Chevallard y CarlineLadage (2008) plantean que en la enseñanza presencial tradicional el
tiempo se estructura en segmentos, “segmentos de tiempo”. Incluso dentro de una misma clase
se pueden diseñar “sub-segmentos” de tiempo para organizar el trabajo de los estudiantes. En
la virtualidad, se produce una transformación profunda de los tiempos didácticos, en la medida
que no hace falta que docente y alumno estén simultáneamente presentes para poder
interactuar.
El tiempo didáctico virtual no puede organizarse con la misma lógica que en la presencialidad.
Chevallard y Ladage afirman que deben priorizarse las intenciones didácticas y no las
estructuras organizativas (invisibles pero omnipresentes) para organizar los escenarios
pedagógicos virtuales. Esta organización del tiempo didáctico, sin embargo, no debe
desaparecer, al contrario, debe hacerse consciente y hacerla explícita para que cada estudiante
con las posibilidades de flexibilidad que le brinda la virtualidad pueda asumir el compromiso de
gestionar sus propios tiempos para el aprendizaje.
Para el caso de esta experiencia piloto, se acordó que los estudiantes no asistieran a una clase
presencial. El tiempo para desarrollar el tema Autovalores y Autovectores en forma virtual se
extendió durante dos semanas, priorizando las comunicaciones asincrónicas a través del uso
de foros de discusión. RU
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El 83% de los estudiantes participantes de la experiencia piloto cumplió el compromiso
asumido, es decir, accedió y participó en el aula virtual creada especialmente para esta
experiencia piloto.
Con el fin de contar con elementos para evaluar el escenario pedagógico virtual diseñado para
AGA Virtual, al finalizar el segundo parcial se solicitó a los estudiantes que completaran una
encuesta de opinión. Respondieron la encuesta 58 estudiantes, que representa el 76,3% de los
estudiantes que se presentaron a rendir en el segundo parcial.
El instrumento empleado para realizar la encuesta de opinión era semiestructurado, con
algunas preguntas cerradas y otras abiertas. En el anexo N° 1 presentamos una selección de
opiniones de los estudiantes que da cuenta de algunos asuntos presentados en este trabajo.
3.2.Elementos clave del escenario pedagógico virtual: reflexiones y opinión de los estudiantes Como hemos señalado, la construcción de un escenario pedagógico virtual es mucho más que
la creación técnica de un aula virtual. Detrás de cada elemento seleccionado hay análisis y
discusiones que posibilitan comprender las particularidades de la enseñanza semipresencial, y
a la vez, permiten realizar acuerdos para hacer confluir los marcos teóricos propios de la
educación a distancia con enfoques didácticos de la enseñanza de la matemática. A
continuación describimos algunos de estos elementos que estuvieron presentes durante el
proceso de diseño de la unidad didáctica que fue objeto de estudio en la experiencia piloto. Más
de la mitad (52%) de los estudiantes participantes de la experiencia piloto que respondieron la
encuesta de opinión, valoraron en forma positiva la experiencia virtual en cuanto a la
comprensión del tema Autovalores y Autovectores.
El siguiente gráfico muestra la caracterización del aula:
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Fuente: Elaboración propia a partir de la Encuesta realizada a los estudiantes participantes de la
experiencia piloto del cursado intensivo de verano, febrero 2013.
a. Los materiales didácticos En el cursado intensivo de Matemática Discreta previamente referenciado se habían elaborado
materiales considerando, entre otros aspectos, el perfil de estudiantes que lo emplearían.
Desde el punto de vista técnico estos materiales fueron plasmados en documentos pdf, es
decir, versiones imprimibles de documentos de texto. Como nueva meta en el proceso de
producción de materiales para el cursado intensivo, nos propusimos elaborar materiales
digitales con elementos interactivos justificados por su pertinencia y significatividad para la
enseñanza de cada tema. Cada uno de los elementos interactivos fue realizado por el equipo
docente de AGA con un propósito específico: ejemplificar explicaciones enunciadas, motivar la
conjetura de algunas propiedades o verificar otras.
Estos elementos interactivos fueron diseñados con el software Geogebra.
En el anexo N° 2 se presenta una imagen que muestra una parte del material didáctico digital
con un elemento interactivo cuyo objetivo es conjeturar una determinada propiedad sobre el
tema Autovalores y Autovectores. RU
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Como se ha mencionado previamente, se desarrollaron materiales para acompañar el estudio
de los diferentes temas de la asignatura AGA. Este proceso implicó pensar qué explicaciones
podrían ser anticipadas y cuáles se abordarían después de la realización de algunas
actividades; qué actividades serían de carácter obligatorio y cuáles optativas; qué espacios de
comunicación tendrían a disposición los estudiantes para comunicarse entre sí y/o con los
docentes del curso.
Respecto a los materiales didácticos diseñados para el escenario pedagógico virtual no
valoramos que el material sea autosuficiente porque consideramos que la presencia docente
activa y contextualizada es fundamental para desarrollar un proceso de enseñanza virtual. En
este sentido, se promueven actividades y espacios de tutoría para que el vínculo entre
estudiantes y docente se vea fortalecido.
¿Qué opinión tuvieron los estudiantes respecto a los materiales?
Fuente: Elaboración propia a partir de la Encuesta realizada a los estudiantes participantes de la
experiencia piloto del cursado intensivo de verano, febrero 2013.
Como se observa en el gráfico, el 80% de los estudiantes opinan que el material teórico
diseñado para desarrollar el tema Autovalores y Autovectores resulta claro.
Las orientaciones de los trabajos prácticos consisten en el desarrollo total o parcial de algunos
de sus ejercicios. La presentación completa de las resoluciones de algunos ejercicios
(aproximadamente el 20% del total de ejercicios que tiene la guía de trabajo práctico) contenía RU
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explicaciones detalladas para mostrar estrategias y técnicas para la resolución de problemas
que se consideraban relevantes para el trabajo matemático que luego tenían que desarrollar.
La mayoría de los ejercicios iban acompañados con algunas pautas que daban indicios para
que los estudiantes, en caso de necesidad, consultaran. La solidez académica del equipo d
ocente y, especialmente, la experiencia en la enseñanza del tema fueron elementos clave para
poder realizar anticipaciones que resultaron suficientes y pertinentes para los estudiantes.
Fuente: Elaboración propia a partir de la Encuesta realizada a los estudiantes participantes de la
experiencia piloto del cursado intensivo de verano, febrero 2013.
Respecto a las explicaciones ofrecidas a través de la presentación de ejercicios resueltos, el
60% los valora en forma positiva.
En las preguntas de carácter abierto que se incluyeron en la encuesta de opinión los
estudiantes expresaron:
“Ejercicios resuelto paso a paso, posibilidad de re-ver cualquier parte de la clase.”
“El material teórico recomendado ayudó significativamente la comprensión del
tema.”
“Una manera simple y clara para entender el tema, con buenos ejemplos y
resoluciones.”
b. Los espacios de comunicación La comunicación e interacción entre docente y alumnos en un contexto de aprendizaje
presencial, combina en primer lugar el lenguaje oral (de forma prioritaria), lenguaje escrito
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(textos, guías de problemas, en el pizarrón), lenguaje no verbal (gestos, miradas, silencios). Es
decir: la presencia física de los sujetos con todas las formas humanas de expresarse en los
contextos de enseñanza tradicionales.
Al cambiar el escenario pedagógico seleccionando, por ejemplo, foros de consulta como
espacios de comunicación para hacer preguntas, plantear dudas, brindar aclaraciones y
explicaciones, cambia la importancia relativa que tienen estos componentes de la
comunicación, pasando a ser el lenguaje escrito el de mayor predominio, y por lo tanto
mediante el cual se establece el vínculo estructurante en la comunicación y la construcción del
saber. Se trata de un cambio significativo que representa a la vez una dificultad y una
oportunidad. ¿En qué sentido es una oportunidad? Reiteradamente los profesores observan
serias dificultades en el manejo del lenguaje escrito por parte de los estudiantes. Estas
limitaciones se ponen de manifiesto durante los exámenes (habitualmente escritos). En las
aulas de matemática de la UTN-FRBA, la forma más usual de los procesos de comunicación
entre docentes y alumnos para responder consultas se realiza a través de la oralidad. El aula
virtual daría la oportunidad, entonces, a que los estudiantes escriban y se expresen con claridad
para que docentes y otros estudiantes puedan responder a sus consultas, donde aspectos
semióticos e instrumentales están indisolublemente ligados y al servicio de la enseñanza y del
aprendizaje.
Consideramos que la comunicación escrita constituye una parte importante del desarrollo
profesional y personal de los estudiantes. Además del beneficio académico, la adquisición de
un buen manejo del lenguaje escrito redunda en un beneficio en el campo laboral.
Sin embargo, cabe destacar que estos beneficios no se dan en forma espontánea. Es necesario
generar condiciones propicias para que estas nuevas formas de comunicación se vayan
desarrollando sosteniendo la intencionalidad de la enseñanza. En este sentido, el docente
cumple un rol fundamental.
Además, considerando que los espacios de tutoría planteados podían interpretarse como
“objetos de visualización” existían ciertos resquemores por parte de algunos estudiantes, tal
como se evidencia en las siguientes afirmaciones:
“A la hora de explicar una duda a veces era difícil expresarse y no quedaba claro si
el profesor había entendido o no la duda.”
“Pude leer cosas que a mis compañeros les quedaba en duda que después me
sirvió. Podía hacerlo en cualquier momento del día.” RU
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“Si tengo una duda puntual o se me pasa algo por alto al venir a clases te lo
explican igual, en cambio, en lo virtual hay que verlo.”
Como espacios de tutoría se privilegiaron los foros. Esta herramienta hace públicos los
intercambios y las interacciones entre docentes y alumnos y entre alumnos entre sí. Los
estudiantes que no logran vencer la barrera de la exposición pueden sentirse cohibidos para
participar. El tiempo destinado a la experiencia piloto no posibilitó generar condiciones para que
la mayoría de los estudiantes participaran; sin embargo, los resultados de la experiencia nos
hizo reflexionar acerca de la importancia de realizar un seguimiento inicial de los estudiantes
para promover y animar a participar entendiendo que son nuevos modos para su vida
académica de estudiante.
c. Cambio del rol docente
En el proceso de diseño del escenario pedagógico virtual se piensa en el estilo de docente que
se necesita para llevar adelante una propuesta con estas características. Es teniendo presente
el contrato didáctico que se establece entre el alumno y el docente al iniciar la cursada de una
asignatura que tenemos que dar cuenta de “los cambios fundamentales que supone la
transición de la docencia presencial y una docencia virtual sobre todo por lo que se refiere a la
flexibilidad, participación, interacción, colaboración, uso del tiempo y capacidad de respuesta.”
(Barberá, 2004).
En este contexto, los espacios de tutoría virtuales cumplen un rol fundamental dado que
contribuyen a contextualizar la propuesta prediseñada en el material atendiendo a las
particularidades de cada curso. En este sentido, a partir del material y de la propuesta de
enseñanza diseñada para la asignatura, el docente tiene como función principal acompañar y
orientar el proceso de aprendizaje de los alumnos, promoviendo la participación activa,
proponiendo actividades representativas y relevantes para la asignatura, aclarando dudas,
captando a partir de sus participaciones los obstáculos que tiene para que pueda avanzar en su
aprendizaje y ayudarlo a superarlos, etc.
Durante el desarrollo de cada unidad, serán diversas las intervenciones que podrá realizar:
generar espacios de consultas, proponer actividades en un foro donde todos los alumnos
participen viendo a su vez las producciones de sus compañeros, enviar tareas a los alumnos en
forma particular para luego recibir sus resoluciones, proponer autoevaluaciones de ciertos
temas, proponer actividades para trabajar en grupos, etc.
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Garrison y Anderson (2005) para estudiar las interacciones y procesos de aprendizaje en línea
consideran tres dimensiones relacionadas entre sí: presencia cognitiva, presencia docente y
presencia social.
La presencia cognitiva es entendida “como el punto hasta el cual los estudiantes son capaces
de construir significado mediante la reflexión continua en una comunidad de investigación.”
(Garrison Anderson y Archer, 2001, citado en Garrison y Anderson. 2005: 50).
La presencia docente es definida como “la acción de diseñar, facilitar y orientar los procesos
cognitivo y social con el objetivo de obtener resultados educativos personalmente significativos
y de valor docente.” (Anderson et al. 2001, citado en Garrison y Anderson. 2005:51)
Con presencia social hace referencia a “la capacidad de los participantes en una comunidad de
investigación de proyectarse a sí mismos social y emocionalmente, como personas reales (es
decir, su personalidad plena), mediante los medios de comunicación en uso.” (Garrison,
Anderson y Archer. 2000, citado en Garrison y Anderson. 2005: 50).
Las últimas dos dimensiones -presencia docente y presencia social- nos permiten pensar en el
rol docente, entendiendo que además de focalizar en cuestiones específicas de la enseñanza
de un contenido disciplinar, el afecto, el humor, la cohesión que se puede lograr nombrando a
los aportes de otros estudiantes, etc. también son elementos importantes para esta modalidad
de enseñanza. Sería deseable que la distancia geográfica no se transforme en distancia
afectiva.
Los estudiantes expresan estas sensaciones de diferentes formas: algunos habiendo captado
estas sensaciones dicen:
“Los docentes contestan siempre en todo momento. Se puede evacuar una duda
en cualquier momento.”
“Servían las preguntas de compañeros. Los profesores respondieron rápidamente.”
Otros, expresan sus miedos y prejuicios diciendo:
“Creo que no puede igualarse con la explicación del tema presencial.”
“Es más difícil aprender un tema sin la explicación de un profesor.”
“Es más sencillo la forma oral y más rica, más con respecto a una materia
complicada como es AGA. Es difícil escribir las fórmulas.”
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d. Cambio del rol del estudiante
La cursada a distancia requiere que el estudiante universitario tenga un rol más activo que el
que se espera de él en una cursada tradicional. En la clase presencial se genera la ilusión de
que la presencia física del alumno conlleva o garantiza un cierto grado de implicación en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Y en cierta forma es cierto que basta con que estén
presentes, se sienten, escuchen la clase, para cumplir en forma mínima con lo que se espera.
La cursada en forma virtual requiere romper una inercia inicial para acceder a la experiencia;
barrera que no está presente en la cursada presencial. Cursar en forma virtual obliga a un
esfuerzo personal para acceder al contenido. Requiere leer más, buscar más, escribir para
expresarse y hacer consultas. La comunicación oral es muy diferente de la escrita. La escritura
requiere que se expresen con mayor precisión que en la oralidad para lograr darse a entender.
En este aspecto hemos encontrado en las encuestas realizadas que muchos alumnos
manifestaron:
“El planteo es bueno. Creo que la problemática es el lenguaje de los alumnos.
Es decir, presencialmente es más fácil entender y ser entendido a la hora de
pensar en el marco de la materia. No presencialmente cuesta más pero obliga
a utilizar el lenguaje a la larga y con paciencia.”
“El hecho de hacerlo obligatorio me hizo leerlo por completo (si no hubiese
sido obligatorio no lo hubiese hecho)y me sirvió mucho con respecto a lo
teórico.”
Reflexión final La integración de las TIC en los procesos de enseñanza y de aprendizaje dentro de la
universidad requiere de una política explícita y del compromiso y esfuerzo de los actores de la
comunidad educativa. Por otro lado, generar las condiciones para desarrollar una propuesta en
modalidad semipresencial requiere, como históricamente se hizo, la constitución de un equipo
de trabajo interdisciplinario con apoyo institucional. El diseño y la creación de un escenario
pedagógico virtual hace confluir los dos propósitos: promover la integración de las TIC y generar
las condiciones para la semipresencialidad.
En esta comunicación hemos dado cuenta de algunos aspectos distintivos que nos permitieron
reflexionar sobre la forma de integrar las TIC en la modalidad semipresencial sin restringir su
empleo a un uso elemental del aula virtual. Durante la experiencia, hemos podido reflexionar RU
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sobre las características que adoptan los materiales en escenarios virtuales, las
transformaciones del tiempo didáctico, la importancia que adquiere el lenguaje escrito, las
diferentes funciones del docente para crear un clima de confianza y solidaridad entre los
estudiantes, la flexibilidad necesaria para pensar en nuevas modalidades de trabajo, entre otras
cuestiones. Algunas de estas discusiones y reflexiones dieron la posibilidad de tomar
decisiones para armar el escenario pedagógico virtual y, también, surgieron y surgirán muchas
incertidumbres que nos invitan a concebir los escenarios pedagógicos virtuales en continuo
proceso de construcción, atendiendo a la mejora y a la innovación.
Bibliografía
Área Moreira, M., San Nicolás Santos, Mª B. y Fariña Vargas, E. (2010) Buenas prácticas de
aulas virtuales en la docencia universitaria presencial. En De Pablos Pons, J. (Coord.) Buenas
prácticas de enseñanza con TIC [monográfico]. Revista Teoría de la Educación: Educación y
Cultura en la Sociedad de la Información. Vol. 11, nº 1. Universidad de Salamanca, 2010, pp. 7-
31. ISSN: 1138-9737. [Fecha de consulta: 20/07/2013].
http://revistatesi.usal.es/~revistas_trabajo/index.php/revistatesi/article/view/5787/5817
Barberá, E. y Badia, A. (2004) Educar con aulas virtuales. Orientaciones para la innovación en
el proceso de enseñanza y aprendizaje. Madrid, MachadosLibros.
Chevallard, Y. y Ladage, C. (2008) E-learning as a touchstone for didactic theory, and
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171) [Fecha de consulta: 23/07/2013]. http://editlib.org/d/ 0
Duart, J. M. (2011 La Red en los procesos de enseñanza en la Universidad. Comunicar N° 37,
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Garrison, D.R., y Anderson, T. (2005). El e-learning en el siglo XXI. Barcelona: Octaedro.
Rourke, L., Anderson, T., Garrison, D.R., Archer, W.(2001). Assessing Social Presence In
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l'enseignement á distance. Canadian Network for Innovation in Education (CNIE), Vol 11, 4.(2).
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Anexo N° 1
A continuación ofrecemos una selección de algunas respuestas de los alumnos que participaron
en la prueba piloto realizada en un curso de la Escuela de Verano de 2013. Hemos elegido
aquellas respuestas que creemos que expresan elocuentemente algunos de los beneficios y
problemas relevantes de la experiencia:
Aspectos Positivos
● El hecho de no tener que ir a cursar. La comodidad de poder estudiar en el momento
que se quiere.
● Ejercicios resueltos paso a paso, posibilidad de re-ver cualquier parte de la clase
fácilmente.
● Uno regula el tiempo de aprendizaje según su capacidad y es más cómodo que una
clase presencial.
● Me permitió desarrollarlo a mi ritmo. Las preguntas en el foro fueron útiles.
Aspectos Negativos
● Es más difícil aprender un tema sin la explicación de un profesor.
● Es más sencillo la forma oral y más rica, más con respecto a una materia complicada
como es AGA. Es difícil escribir las fórmulas.
● Cuesta juntar ganas para leerlo, no es como ir a clases, tenes que esperar la respuesta
del profesor.
● Me resultó incómodo tener que leer todo desde la PC.
● Genera desorganización en alumnos irresponsables.
Sugerencias
● El planteo es bueno. Creo que la problemática es el lenguaje de los alumnos. Es decir,
presencialmente es más fácil entender y ser entendido a la hora de pensar en el marco
de la materia. No presencialmente cuesta más pero obliga a utilizar el lenguaje a la larga
y con paciencia.
● No tengo sugerencias ya que aunque sea perfecto seguiría prefiriendo cursos
personales.
● Conversaciones por chat en tiempo real para aclarar dudas.
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Anexo N° 2
A continuación se transcribe una parte del material que sirvió cómo introducción a la unidad de
autovalores y autovectores.
Introducción a la Unidad 6 En la última unidad hemos estudiado transformaciones lineales y su representación matricial. Uno de los
enfoques más poderosos para analizar la conducta de ciertos sistemas del mundo real, es determinar los
llamados autovalores (eigenvalores) y autovectores (eigenvectores) de las matrices que modelan dichos
sistemas.
Los autovalores y autovectores nos permitirán simplificar el estudio de transformaciones lineales
definidas como , con , encontrando una base conveniente para que la
representación matricial sea más sencilla.
Además, podremos factorizar matrices cuadradas y obtener fácilmente sus potencias, que se aplican
para estudiar el comportamiento de sistemas dinámicos (sistemas cuyo estado evoluciona con el
tiempo).
Objetivos o Hallar los autovalores y autovectores de una matriz.
o Comprender el significado geométrico de los autovectores en R2 y R3.
o Analizar si una matriz es diagonalizable y si fuera posible, obtener la matriz que la
diagonaliza.
o Relacionar autovalores y autovectores de una transformación lineal con los de su matriz
asociada en una base dada.
Actividad exploratoria Retomando la idea de que los autovalores y los autovectores son útiles para estudiar las formas
cuadráticas, introduciremos el tema presentando un problema de deformaciones:
Consideremos una membrana elástica circular, de radio 1, de modo que si elegimos un sistema de
coordenadas cartesianas cuyo centro coincida con el centro de la membrana, la ecuación de los puntos
de la membrana es:
Tenemos una membrana circular como la de la figura:
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¿Cuál es la ecuación cartesiana que define al conjunto de puntos que están en la frontera o borde de la
membrana?
La membrana es sometida a una deformación dada por la siguiente transformación lineal
((
)) (
) (
)
O sea:
(
) (
) (
) (
) (
) {
¿Cómo se transformará la membrana bajo el efecto de la transformación lineal?
Para ayudarnos en este problema vamos a usar un programa que permite hacer la transformación lineal
punto por punto. En la siguiente aplicación de GeoGebra podemos verlo:
RU
EDA
- 6°
Sem
inar
io In
tern
acio
nal
Men
doza
- O
ctub
re 2
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A partir de la deformación de la membrana que permite visualizar la aplicación, surgen algunos
interrogantes.
a) ¿En qué tipo de cónica parece haberse transformado la membrana después de la transformación lineal?
b) ¿Hay puntos de la membrana que no roten durante la deformación? Es decir,
(
) ((
)) (
)
(Para responder esto pueden mover con el cursor el punto sobre la circunferencia en el applet y
fijarse cómo se transforma en cada caso)
c) Escriban las coordenadas de los puntos que no rotan en la transformación, que están en los cuadrantes 1 y 2.
d) Escriban las coordenadas de sus transformados respectivos:
RU
EDA
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Sem
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io In
tern
acio
nal
Men
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- O
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e) Queremos saber si estos puntos se “expanden” o se “contraen”, y según que factor. Si ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es el
vector posición del punto , y ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗ es el vector posición del punto
, ¿Cuánto vale la razón entre las longitudes de estos vectores? Es decir, ¿cuál es el valor de cada
‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
‖ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗‖
Después de responder todas las preguntas anteriores deberíamos estar en condiciones de conocer dos
soluciones de la siguiente ecuación en la cual :
(
) (
) (
)
(
) (
√
√
) (
√
√
) (
√
√
)
(
) (
√
√
) (
√
√
) (
√
√
)
Los números reales y se denominan autovalores y los vectores y son los
autovectores de la matriz .
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