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UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
Demodulador BPSK Completamente Digital com
Portadora Suprimida para Telecomando de
Satélites
Dissertação de Mestrado
Caio Gomes de Figueredo
FORTALEZA – CEARÁ
ABRIL 2015
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE TELEINFORMÁTICA
Demodulador BPSK Completamente Digital com
Portadora Suprimida para Telecomando de
Satélites
Autor
Caio Gomes de Figueredo
Orientador
Prof. Dr. Carlos Alexandre Rolim Fernandes
Co-orientadores
Prof. Dr. Antônio Macílio Pereira Lucena
Prof. Dr. João César Moura Mota
Dissertação apresentada à Coordenação do
Programa de Pós-graduação em Engenharia
de Teleinformática da Universidade Federal
do Ceará como parte dos requisitos para
obtenção do grau de Mestre em Engenhariade Teleinformática.
FORTALEZA – CEARÁ
ABRIL 2015
Dados Internacionais de Catalogação na PublicaçãoUniversidade Federal do Ceará
Biblioteca de PósGraduação em Engenharia BPGE
F495d Figueredo, Caio Gomes de.Demodulador BPSK completamente digital com portadora suprimida para telecomando de satélites
/ Caio Gomes de Figueredo. – 2015.63 f. : il. color. , enc. ; 30 cm.
Dissertação (mestrado) – Universidade Federal do Ceará, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia de Teleinformática, Programa de PósGraduação em Engenharia de Teleinformática, Fortaleza, 2015.
Área de concentração: Sinais e Sistemas.Orientação: Prof. Dr. Carlos Alexandre Rolim Fernandes.Coorientação: Prof. Dr. Antônio Marcílio Pereira Lucena.Coorientação: Prof. Dr. João César Moura Mota.
1. Teleinformática. 2. Conversores de frequência. I. Título.
CDD 621.38
Resumo
Este trabalho apresenta um modelo de demodulador que realiza simultaneamente a
conversão analógico-digital e a conversão em frequência por amostragem em banda
passante de um sinal com modulação BPSK (Binary Phase Shift Keying) para aplicação em
enlaces espaciais. O aspecto mais importante do trabalho foi o desenvolvimento de uma
nova operação de interpolação para recuperação das amostras perdidas na conversão de
frequência e que simplifica a implementação do demodulador. O interpolador correlaciona
as amostras do sinal de forma que torna-se necessário o projeto de um filtro ótimo apropriado
para processar as amostras corrompidas e mitigar os efeitos do ruído gaussiano e colorido. Os
efeitos deste novo interpolador no ruído são analisados, assim como a forma em que ele afeta
a performance do sistema. Após a filtragem ótima, segue a correção dos erros de sincronismo
de atraso de simbolo e de fase. Para a recuperação do sincronismo de fase foi utilizado um
DPLL (Digital Phase Locked Loop), uma variante digital de uma estrutura bastante conhecida
e utilizada em eletrônica analógica. O DPLL é uma estrutura em malha fechada que estima
e corrige os valores do desvio angular das amostras, o que corresponde ao devio provocado
pela diferença de fase entre os osciladores do transmissor e do receptor. Para a recuperação
do atraso de símbolo foi utilizada, para estimação do tempo de atraso, o estimador de
Oerder&Meyer que é o equivalente digital da conhecida recuperação de temporização em
tempo contínuo com a lei quadrática. Após a estimação ser realizada, é feita a correção
deste atraso nas amostras do sinal recebido através de uma operação de interpolação, onde
novos valores do sinal são calculados para os instantes de tempo corrigidos. Essa operação
é realizada por um filtro interpolador, uma estrutura especial conhecida como estrutura de
Farrow. O sistema proposto foi descrito matematicamente, sendo analisadas as expressões
dos sinais nos diferentes estágios do conversor, bem como as estatísticas dos sinais de ruído.
Apresentam-se os resultados da simulação computacional nos quais se avalia a perda no
desempenho do demodulador, analisando suas causas.
Palavras-chave: Demodulador BPSK, Sincronismo de Fase/Frequência e Símbolo, DPLL,
Estimador de Oerder&Meyer, Estrutura de Farrow.
Abstract
This work presents a new structure for an all-digital BPSK demodulator developed for
space communications that performs simultaneously the sampling and down-conversion
of the the intermediate frequency signal to the baseband signal. The most important aspect
of this work is the design of a new interpolator to retrieve lost samples during the down
conversion process, and also to simplify the demodulator implementation. This interpolator
correlates the samples of the output signal in such way that it was necessary to design a
optimum filter appropriate to process the samples corrupted by gaussian and colored noise.
The effects of the new interpolation at the noise are analyzed as well as the way it affects
the whole demodulator performance. After performing the optimum filtering, the phase and
symbol offsets are estimated and corrected. For the phase, for example, it was used a DPLL
(Digital Phase Locked Loop), a digital variation of the PLL, a well known structure and largely
utilized in analogical electronics. The DPLL is a closed-loop structure that estimates and
corrects the values for the angular which corresponds to the phase deviation caused by the
offset between the transmitter and receiver oscilators. For the timing parameter estimation, it
was used the Oerder&Meyer estimator that is the digital equivalent to the well known square
timing recovery structure. After that, the correction is performed by an interpolation operation
over the samples of the received signal, where a filter, named Farrow filter, is applied to
these samples, calculating the new samples of that signal at the corrected time instants.
This system is mathematically described, all the signals expressions of every stage of the
demodulator are analyzed, including the noise statistics. Some computational simulation
results are shown and the performance degradation is discussed.
Key-words: BPSK demodulator, Frequency/Phase and Timing Synchronization, DPLL,
Oerder&Meyer estimator, Farrow structure.
Agradecimentos
Com grande prazer dedico esta página para expressar a minha gratidão para com todos
aqueles que me acompanharam durante a minha trajetória no mestrado e também me
ajudaram na realização desta dissertação.
A Deus, acima de tudo, por todas as conquistas.
Aos meus pais, por terem me dado condições de estudar e crescer profissionalmente e
socialmente, além do amor e apoio por toda a vida.
A minha namorada, por todo amor, carinho e apoio durante toda a jornada do mestrado.
Aos meus orientadores, pela orientação e ajuda, fundamentais para a realização deste
trabalho.
Lista de Siglas
Siglas
A/D-BP/BB Conversor Analógico/Digital e Banda Passante/Banda Base
AWGN Additive White Gaussian Noise
BER Bit Error Rate
BPSK Binary Phase Shift Keying
CCSDS Consultative Committee for Space Data Systems
DA Data-Aided
DD Decision-Directed
DFT Discrete Fourier Transform
DPLL Digital Phase Locked Loop
FI Frequência Intermediária
FIR Finite Impulse Response
INPE Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais
ISI Intersymbol Interference
LNA Low Noise Amplifier
LO Local Oscilator
LOC Sinais de Localização
ML Maximum Likelihood
NDA Non Data-Aided
NCO Numerical Controller Oscilator
PCM-NRZ-L Pulse Code Modulation/Non-Return-to-Zero-Level
PM Phase Modulation
RF Radio Frequência
SHF Super High Frequency
TEC Total Electron Content
TTC Tracking, Telemetry and Command Stations
VHF Very High Frequency
VCO Voltage Controller Oscilator
iv
Sumário
Lista de Siglas iv
Lista de Figuras vii
1 Introdução 1
1.1 Motivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Descrição do Projeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Produção Científica e Contribuições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Estrutura da Dissertação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Modelo do Sistema 5
2.1 Modelo do Canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Modelo do Demodulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2.1 Pré-processamento Analógico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2.2 Demodulador Digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3 Conversor Banda Passante/Banda Base 13
3.1 Amostragem em Banda Passante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.2 Primeira Técnica de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.1 Análise do Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.3 Segunda Técnica de Interpolação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.3.1 Análise do Ruído . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4 Filtragem Ótima 21
4.1 Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4.1.1 Análise de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2.1 Análise de Desempenho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5 Sincronismo de Símbolo 26
5.1 Estimador de Oerder&Meyr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5.2 Correção da Temporização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
5.3 Cálculo dos Parâmetros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5.4 Estrutura de Farrow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5.5 Análise da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
v
6 Digital Phase Locked Loop 36
6.1 Função de Transferência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.3 Análise da Variância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
7 Resultados 41
7.1 Desempenho dos Interpoladores e Filtros Ótimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
7.2 Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr . . . . . . . . . . 42
7.3 Taxa de Erro de Bits do Demodulador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
7.4 Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.5 Variância dos Estimadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.6 Tempo de Aquisição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
8 Conclusão e Perspectivas 50
Referências Bibliográficas 52
vi
Lista de Figuras
1.1 Sistema de Comunicação via Satélite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.1 Canal de Comunicação Espacial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Regiões de Cintilação Atmosférica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.3 Modelo do Receptor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.4 Espectro de Potência do Pulso em Banda Base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.5 Modelo do Demodulador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3.1 Modelo do Conversor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.1 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 27
5.2 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 28
5.3 Ilustração dos instantes de amostragem e interpolação. . . . . . . . . . . . . . . . 29
5.4 Função dente-de-serra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.5 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 32
5.6 Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo. . . . 33
6.1 Estrutura do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
6.2 Modelo Equivalente do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
6.3 Modelo Linear do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
6.4 Pólo do PLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
6.5 Resposta do PLL ao Degrau Unitário. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
6.6 Medição da Curva-S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
7.1 Densidade Espectral de Potência de v2[n]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.2 Comparação da Taxa de Erro de Bits dos Conversores. . . . . . . . . . . . . . . . 42
7.3 Influência do Tamanho da Janela de Símbolos no Desempenho do Sistema. . . . 43
7.4 Taxa de Erro de Bits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
7.5 Constelação na Entrada do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.6 Constelação na Saída do DPLL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
7.7 Diagrama de Olho na Entrada do Sincronizador de Símbolo. . . . . . . . . . . . . 46
7.8 Diagrama de Olho na Saída do Sincronizador de Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . 46
7.9 Variância da Estimativa de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
7.10Variância da Estimativa do Atraso de Símbolo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
7.11Tempo de Aquisição da Estimativa de Fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7.12Tempo de Aquisição da Estimativa de Atraso. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
vii
Capítulo 1Introdução
1.1 Motivação
Sistemas de comunicação por satélite são o resultado de intensas pesquisas nas áreas
de telecomunicação e tecnologia espacial, cujos objetivos são atingir maiores coberturas e
capacidades de transmissão a um custo cada vez menor. Durante a Segunda Guerra Mundial,
houve um grande estímulo à expansão de duas tecnologias bastante distintas: propulsão a
jato e comunicações por micro-ondas. O conhecimento adquirido no uso combinado destas
duas técnicas favoreceu o início da era das comunicações por satélite.
Podemos dividir um sistema de comunicação por satélite em três partes distintas [1],
conforme ilustrado na Figura 1.1:
i. Segmento espacial: contem um ou mais satélites ativos organizados em uma constelação.
ii. Segmento de controle: consiste em todas as estações terrestres cujo objetivo é o controle
e monitoramento dos satélites, também conhecidas pelo termo em inglês Tracking,
Telemetry and Command Stations (TTC).
iii. Segmento de solo: consiste em todas as estações de comunicação em solo como
celulares, antenas de rádio e TV, etc.
Podemos subdividir os componentes de um satélite em duas partes: a carga útil e
a plataforma. A carga útil é composta pelas antenas de recepção e transmissão e todo
equipamento eletrônico embarcado que dá suporte à transmissão dos sinais em diferentes
faixas de frequência (transponders). A plataforma, por sua vez, consiste em todos os
subsistemas que permitem o funcionamento da carga útil do satélite. Abaixo, enumeramos
estes subsistemas e suas respectivas funções:
i. Controle de atitude: controlar o apontamento do satélite no espaço.
ii. Suprimento de energia: fornecer a energia necessária aos diversos subsistemas.
iii. Telecomunicação de serviço: enviar e receber os dados que permitem o acompanhamento
do funcionamento e comando do satélite.
iv. Gestão de bordo: processar as informações recebidas da ou a serem enviadas para a
Terra e as informações internas ao satélite.
v. Estrutura e mecanismos: fornecer o suporte mecânico e de movimento para as partes
do satélite. Também oferecer proteção contra as vibrações de lançamento e contra a
radiação em órbita.
1.1. Motivação 2
Figura 1.1: Sistema de Comunicação via Satélite.
vi. Controle térmico: manter os equipamentos em suas faixas nominais de temperatura.
vii. Propulsão: fornecer o empuxo necessário para o controle de atitude e da órbita.
O trabalho desenvolvido aqui nesta dissertação concerne ao subsistema de
telecomunicação de serviço, o qual possui importância vital no monitoramento e controle
de um satélite. Ele é responsável pelas funções de telecomando (envio de sinais de controle)
e telemetria (transmissão de resultados de medidas e informações sobre o equipamento e
medições da posição e velocidade do satélite).
Atualmente no Brasil, os satélites utilizados na área de pesquisas espaciais e exploração da
Terra operam com canais de telecomando de baixa velocidade. As mensagens de telecomando
são padrões digitais Pulse Code Modulation/Non-Return-to-Zero-Level (PCM-NRZ-L) (2 kbits/s),
gerados pela estação de controle na Terra, as quais modulam uma subportadora senoidal
de 8 kHz por chaveamento binário de fase, em inglês Binary Phase Shift Keying (BPSK).
Esta subportadora e os Sinais de Localização (LOC), usados para determinar a distância e a
velocidade do satélite, modulam a portadora (2033,2 MHz) em fase (Phase Modulation (PM)) [2].
O Consultative Committee for Space Data Systems (CCSDS), entidade que visa potencializar
a cooperação entre as agências espaciais, nos últimos anos vem recomendando uma
modificação nos padrões de comunicação para os canais de telecomando e telemetria [3].
1.2. Descrição do Projeto 3
No caso do canal de telecomando para missões em que a altura for menor que 2 x 106
km (Categoria A) e para altas taxas de transmissão de até 2048 Mb/s, o CCSDS sugere
a modulação BPSK direta da portadora pelo sinal de banda base formatado por um pulso
retangular.
Como o Brasil não dispõe ou domina plenamente essa tecnologia destinada à comunicação
espacial, este trabalho propõe o desenvolvimento de um demodulador BPSK, para o canal
de telecomando de alta velocidade (1 Mb/s), a ser aplicado em futuros satélites do Instituto
Nacional de Pesquisas Espaciais (INPE). Todo o processamento realizado pelo demodulador
é digital, desde a conversão banda passante para banda base, passando por todos blocos
de recuperação de sincronismo, até a deteção de símbolos. Essa abordagem reduz a
complexidade do sistema, pois dispensa o uso de conversores analógicos de frequência, os
quais estão frequentemente sujeitos a imperfeições.
1.2 Descrição do Projeto
O demodulador descrito neste trabalho é constituído de quatro blocos principais,
projetados separadamentes. São eles, em ordem de processamento:
i. Conversor Analógico/Digital e Banda Passante/Banda Base (A/D-BP/BB): Neste bloco,
o sinal analógico recém filtrado pelo filtro de Frequência Intermediária (FI) é amostrado
simultaneamente à conversão de banda passante para banda base. Logo após, realiza-se
uma operação de interpolação a fim de recuperar amostras que são perdidas neste
processo.
ii. Filtro Ótimo: Após a saída do interpolador, o sinal é filtrado por um filtro ótimo projetado
especificamente para mitigar os efeitos do ruído colorido resultante da operação de
interpolação.
iii. Sincronismo de Símbolo: Aqui a estimativa do atraso de símbolo é realizada por um
estimador de Oerder&Meyr, variante digital do conhecido estimador quadrático, sendo
logo após utilizada para a correção da temporização feita através de uma combinação de
filtros de resposta o impulso finita, em inglês Finite Impulse Response (FIR), conhecido
como estrutura de Farrow.
iv. Digital Phase Locked Loop (DPLL): Este último bloco é um PLL completamente digital
de primeira ordem para a correção do desvio de fase, ajuste fino do sincronismo de
frequência e detecção dos símbolos.
As análises matemáticas detalhadas de cada bloco constituinte do sistema serão feitas nos
capítulos subsequentes de acordo com a ordem aqui apresentada.
1.3 Produção Científica e Contribuições
Este trabalho resultou na aceitação para publicação do artigo “New Interpolator and
Data Detector for Full Digital BPSK Demodulator” [4], nos anais do 2014 International
Telecommunications Symposium (ITS), realizado nos dias 17 a 20 de agosto de 2014, em São
Paulo, SP.
1.4 Estrutura da Dissertação
O presente trabalho está dividido da seguinte forma:
I Capítulo 2: Este capítulo apresenta uma visão geral de um sistema de comunicação
espacial. Dividido em duas partes principais, a primeira trata do canal de comunicação
1.4. Estrutura da Dissertação 4
espacial e os efeitos da atmosfera terrestre sobre a propagação de uma onda
eletromagnética. Na segunda parte, o processamento no receptor é descrito, sendo este
dividido em duas fases: o pré-processamento analógico e o demodulador digital.
I Capítulo 3: Este capítulo apresenta a análise matemática da amostragem em banda
passante e da conversão banda passante para banda base que, como dito anteriormente,
ocorre simultaneamente à amostragem. Logo após, duas opções de interpolação são
apresentadas e, em seguida, a análise do efeito que cada uma delas tem no ruído é feita.
I Capítulo 4: Com base na análise do ruído e das equações dos sinais amostrados e em
banda base, obtidas no capítulo anterior, o filtro ótimo para cada tipo específico de ruído,
resultante das duas interpolações, é descrito. Segue-se a isto a análise de performance
da filtragem utilizada.
I Capítulo 5: Neste capítulo a análise do sincronismo de símbolo é realizada.
Primeiramente, a operação do estimador utilizado para a obtenção do atraso é descrita,
seguido da apresentação do algoritmo para o cálculo dos parâmetros, obtidos a partir
da estimativa de atraso, utilizados para controlar a estrutura que efetua a correção
propriamente dita. Esta estrutura também tem seu funcionamento descrito e o capítulo
finaliza com a análise da variância de estimação da fase.
I Capítulo 6: Aqui a operação do DPLL é apresentada, bem como as análises de tempo de
aquisição, estabilidade e variância do estimador.
I Capítulo 7: Neste capítulo são apresentados os parâmetros utilizados e os resultados
da simulação computacional. Estes últimos são: taxa de erro de bits, variância dos
estimadores de fase e símbolo e seus respectivos tempos de aquisição.
I Capítulo 8: Finalmente, as conclusões sobre o trabalho são apresentadas e, a partir dos
resultados obtidos, as perspectivas futuras são discutidas.
Capítulo 2Modelo do Sistema
2.1 Modelo do Canal
Um sistema de comunicação pode ser dividido em três partes principais: o transmissor,
o canal de comunicação e o receptor. No modelo que utilizamos neste trabalho considera-se
que o transmissor é uma estação de controle terrestre, o canal de comunicação é composto
pela atmosfera terrestre, onde consideramos relevantes os efeitos Doppler e a adição de ruído
branco gaussiano, e o receptor é embarcado em um veículo espacial em órbita baixa, na
qual funciona o demodulador proposto. A Figura 2.1 mostra o diagrama do sistema de
comunicação aqui estudado.
Figura 2.1: Canal de Comunicação Espacial.
O efeito da atmosfera terrestre sobre a propagação de ondas eletromagnéticas entre a terra
e o espaço é uma preocupação constante no projeto de sistemas de comunicação espaciais.
Esses efeitos podem causar variações indesejáveis na amplitude, na fase e na polarização
do sinal, o que resulta na redução da qualidade do enlace radioelétrico com o consequente
crescimento da taxa de erro de bits. A relevância desses fenômenos depende da frequência
de operação, do clima, da geografia local, do tipo de transmissão e do ângulo de elevação do
satélite.
A frequência de operação é o fator determinante nas imperfeições introduzidas pela
atmosfera terrestre nos sistemas de comunicação espacial. Dependendo da aplicação para
qual foram projetados, estes sistemas exploram bandas de frequência que variam desde a
2.1. Modelo do Canal 6
faixa Very High Frequency (VHF), em torno de 140 MHz, a Super High Frequency (SHF),
atingindo até 30 GHz (banda Ku) [1]. Para essas faixas de frequências, duas regiões da
atmosfera têm uma grande influência sobre o sinal eletromagnético: a troposfera e a ionosfera.
A troposfera se estende da superfície terrestre até uma altitude de 15 km e a ionosfera situa-se
entre 70 e 1000 km. A influência destas regiões sobre o sinal eletromagnético é máxima
nas proximidades do solo, para a troposfera, e a uma altitude em torno de 400 km, para a
ionosfera.
Alguns dos efeitos predominantes da troposfera são aqueles causados pela absorção e
despolarização devido à precipitação (chuva e neve). Esses efeitos são particularmente
significantes para frequências maiores que 10 GHz. Para canais de telemetria e telecomando,
no entanto, cuja faixa de operação situa-se abaixo desta frequência, estes fenômenos
troposféricos são de pequena importância.
A ionosfera reflete, refrata ou absorve as ondas eletromagnéticas com frequências abaixo
de 30 MHz, impossibilitando a comunicação espacial nessa faixa. À medida que se aumenta
a frequência, os efeitos da ionosfera perdem intensidade, e acima de 3 GHz a ionosfera é
praticamente transparente para a comunicação espacial. Essa clareza ionosférica se mantém
até as frequências nas quais os gases constituintes da troposfera, basicamente o oxigênio e o
vapor de água, absorvem a energia do sinal eletromagnético [5].
A ionização e as irregularidades da ionosfera são as causas da degradação dos sinais na
faixa de frequência de 30 MHz a 3 GHz. Rotação de polarização, atraso de grupo, dispersão,
desvio Doppler de frequência, mudança da direção da chegada do sinal e absorção são as
degradações relacionadas a efeitos sob a influência da ionização, nos quais estão associados
ao conteúdo total de elétrons encontrados no percurso do sinal (do inglês Total Electron
Content (TEC)). De outro lado, o principal efeito atribuído às irregularidades ionosféricas é a
cintilação, a qual provoca rápidas flutuações na amplitude e fase do sinal recebido, causadas
por irregularidades de pequena escala no percurso.
Mais especificamente, cintilação é a variação da amplitude da portadora causada pelas
variações do índice de refração da ionosfera, o qual depende diretamente da frequência e do
TEC. A amplitude pico-a-pico dessas variações, na banda Ku a latitudes médias, pode exceder
1 dB para 0,01% do tempo. A cintilação ionosférica é mais severa nas regiões equatoriais e
polares, e nos períodos do nascer e do pôr do sol, como pode ser observado na Figura 2.2.
Nesta figura, são mostradas as áreas de incidência de cintilação na banda L (1 – 2 GHz) para
períodos de máxima e de mínima atividade solar, bem como o efeito diurno da cintilação. As
zonas mais intensas ocorrem por volta de meia-noite nas regiões equatoriais. Contudo as
regiões temperadas, que abrangem grande parte do território brasileiro, não são afetadas por
esse efeito.
A imperfeição do canal mais significativa e considerada neste estudo sobre comunicação
espacial é a dispersão da faixa de frequência do sinal provocada pelo efeito Doppler, o qual é
devido à velocidade relativa entre o transmissor e o receptor. No que diz respeito à frequência
da portadora, seu desvio de frequência pode ser calculado pela expressão:
fDoppler =v cos θ
cfc (2.1)
em que v é velocidade relativa entre o satélite e o solo, θ é o ângulo entre o vetor velocidade
e a reta que une o satélite à estação base, c é a velocidade da luz e fc é a frequência da
portadora. Em satélites de órbita baixa, em que as velocidades podem chegar a 28.000 km/h,
pela Equação (2.1), encontra-se que o desvio Doppler alcança valores na faixa de -150 kHz à
2.2. Modelo do Demodulador 7
Figura 2.2: Regiões de Cintilação Atmosférica.
150 kHz em sistemas cuja frequência da portadora é fc = 8 GHz [3].
A não linearidade do receptor é outra imperfeição relevante do canal espacial. Devido
às limitações de recursos energéticos em um satélite, para aumentar a sua eficiência,
o amplificador de potência do receptor opera próximo da região de saturação. Essa
característica pode distorcer o sinal, e dentre outros efeitos, levar ao reforço dos lóbulos
laterais do espectro de frequências do sinal. Entretanto, o demodulador em estudo
destina-se a satélites de órbita baixa, cuja potência necessária para transmissão no canal
de telecomando permite o uso de amplificadores de potência na faixa linear. Portanto, neste
trabalho, não se considera qualquer não linearidade na modelagem do canal.
2.2 Modelo do Demodulador
Começaremos a descrever agora, em linhas gerais, os blocos que constituem um
receptor clássico para comunicações espaciais, especificando em seguida, as funcionalidades
implementadas no nosso demodulador. Nosso objetivo aqui é conceder ao leitor um panorama
de todo processamento que é realizado, desde a recepção do sinal, pela antena, até a detecção
dos símbolos transmitidos, no último estágio de processamento do demodulador, de forma
que ao final desta seção tenhamos uma visão geral desta cadeia de operações efetuadas sobre
o sinal recebido e que será aprofundada nos capítulos subsequentes deste trabalho.
Podemos dividir esta cadeia de processamento em duas etapas distintas: a primeira,
um pré-processamento analógico, que consiste basicamente de operações de amplificação
e filtragem analógica do sinal recebido; a segunda, completamente digital, realiza-se no
demodulador e é exatamente a etapa a que concerne este trabalho e que realmente
nos interessa. É importante ressaltar, antes de entrarmos nas análises em si, que
existem outras arquiteturas possíveis para este tipo de sistema, dependendo da proporção
entre processamento analógico e digital [6]. As arquiteturas mais antigas possuem um
processamento completamente analógico; a conversão para o digital só é realizada após a
detecção dos símbolos. No nosso caso, o demodulador é completamente digital, porém,
conforme mencionado acima, ainda há algum tratamento analógico a ser realizado antes que
o sinal chegue ao demodulador, e é deste pré-processamento que começaremos a tratar agora.
2.2. Modelo do Demodulador 8
Figura 2.3: Modelo do Receptor.
2.2.1 Pré-processamento Analógico
Observando a Figura 2.3, que mostra o diagrama de blocos do receptor, vemos que o
primeiro estágio de processamento logo após o sinal passar pelo amplificador de baixo ruído
(em inglês Low Noise Amplifier (LNA)) é a correção do desvio de frequência, em consequência
do efeito Doppler, através da multiplicação do sinal amplificado por uma senóide gerada
por um PLL [7]. Simultaneamente, ocorre a conversão de Radio Frequência (RF) para FI;
especificamente neste caso, a frequência de FI (fFI ) é igual a 70 MHz. O PLL, através de um
sinal de referência de um oscilador local (em inglês Local Oscilator (LO)) gera o batimento que
realiza essa conversão; logo em seguida o sinal é entregue a um filtro, centrado em fFI , cuja
resposta em frequência é considerada ideal e descrita pela equação:
HFI(f) =
1, se |f − fFI | ≤W,0, se |f − fFI | > W,
(2.2)
onde W é a largura de banda do sinal em banda base, neste caso igual a 10 MHz e o valor
escolhido para a largura de banda do filtro será 20 MHz.
O sinal s(t), na saída do filtro de FI, pode ser modelado pela seguinte equação:
s(t) = A(t) cos[2π(fFI + fd)t+ ϕ] + w(t), (2.3)
onde o sinal de banda base A(t) é dado por
A(t) =∑i
aigT (t− iT − εT ), (2.4)
ai são o símbolos BPSK transmitidos, T é o período de símbolo, fd, ϕ e ε são, respectivamente,
o erro residual de frequência decorrente da imprecisão do oscilador analógico, o erro de fase
e o atraso de símbolo e gT (t) é o pulso de banda base, neste caso uma janela retangular,
definida da seguinte forma:
gT (t) =
√TsTrect(
t− T/2T
), (2.5)
rect(t/T ) =
1, se |t| ≤ T
2 ,
0, se |t| > T2 ,
onde Ts é o período em que a onda será amostrada. O ruído de banda estreita w(t) possui a
2.2. Modelo do Demodulador 9
Figura 2.4: Espectro de Potência do Pulso em Banda Base.
seguinte densidade espectral de potência:
Sw(f) =
No/2, se |f − fFI | ≤W,
0, se |f − fFI | > W.(2.6)
Conforme mencionado acima, o pulso de banda base é uma janela retangular, o que nos
obriga a fazer algumas considerações a respeito. Como bem sabemos, e conforme pode
ser visualizado na Figura 2.4, este tipo de pulso possui uma representação no domínio
da frequência que se estende infinitamente e cujas amplitudes dos lóbulos laterais são
bem maiores que as apresentadas por outros tipos de pulsos mais comumente utilizados,
como o cosseno levantado [8]. Isso significa que pulsos desta natureza podem causar
interferências em canais de comunicação adjacentes; um problema que é resolvido realizando
uma filtragem no transmissor que mantém o sinal dentro de uma faixa de frequência segura
pré-determinada.
Se o problema da interferência em canais adjacentes é resolvido com uma filtragem no
transmissor, temos agora um novo questionamento: o ato da filtragem, tanto a realizada
no transmissor antes do envio do sinal quanto a filtragem em FI no receptor, elimina uma
parte do conteúdo de frequência do sinal, cuja consequência no domínio do tempo será a de
prolongar o pulso, podendo resultar em interferência intersimbólica. Porém, observa-se que
as larguras de banda dos filtros utilizados, especialmente a do filtro de FI que é 2W = 20 MHz,
são suficientemente grandes a fim de não provocarem distorções significativas no sinal.
Conforme mencionado acima, devido à imprecisão dos osciladores analógicos, o desvio de
frequência não é completamente corrigido no processo de conversão para FI. No entanto,
2.2. Modelo do Demodulador 10
Figura 2.5: Modelo do Demodulador.
à
esse erro residual é muito pequeno, da ordem de 7 Hz, e será facilmente corrigido quando
tratarmos do erro de fase.
2.2.2 Demodulador Digital
Seguindo a conversão de RF para FI e filtragem analógica em FI, temos a conversão
de frequência para banda base. Normalmente em demoduladores digitais ela é realizada
através de dispositivos analógicos, para logo em seguida, efetuar-se a discretização dos
sinais convertidos. Esse arranjo possibilita a utilização de dispositivos digitais mais simples
devido à taxa de operação reduzida, mas por outro lado, está sujeita a eventuais imperfeições
decorrentes do uso de dispositivos analógicos na conversão de frequência sem a recuperação
de sincronismo nesse estágio.
No demodulador proposto, a operação de amostragem do sinal recebido é realizada no
conversor A/D-BP/BB logo após a filtragem em FI, de forma que a conversão da frequência
intermediária para banda base ocorra simultaneamente a este processo [9]. Isto é alcançado
amostrando-se o sinal recebido através da multiplicação por uma sequência de pulsos
específica e a uma taxa inferior a da frequência da onda portadora [10]; as amostras
resultantes desta operação estão dispersas de tal forma que o sinal discretizado já encontra-se
convertido para banda base. Esta configuração dispensa o uso de componentes analógicos
como o oscilador controlado por tensão (em inglês Voltage Controller Oscilator (VCO)) e o
misturador, além de possuir uma estrutura simplificada por técnicas de processamento digital
de sinais.
A amostragem realizada em FI descrita acima apresenta um inconveniente: como o
período de amostragem, como veremos em detalhes no Capítulo 3, é múltiplo de k π2 , o sinal
será amostrado em instantes de tempo em que sua amplitude é nula. Em consequência,
metade de suas amostras serão nulas, resultando em uma enorme queda de desempenho
do demodulador. Este problema foi resolvido através de uma operação de interpolação sobre
estas amostras; neste trabalho apresentaremos duas opções de interpolador a ser utilizado.
As interpolações usadas para corrigir o problema da perda das amostras são operações
não-lineares. Através da análise da função de autocorrelação do ruído veremos que umas
das opções apresentadas colore o ruído e, portanto, necessita de uma filtragem específica
para mitigar seus efeitos sobre o sinal recebido. No Capítulo 4, utilizando as informações que
obtemos no Capítulo 3 sobre a autocorrelação do ruído, faremos o projeto do filtro ótimo para
cada tipo de ruído resultante de cada interpolador.
Ao sair do filtro ótimo, o sinal recebido passará pelo bloco responsável pela recuperação do
atraso de símbolo. Devido a um atraso entre os relógios do transmissor e do receptor, a i-ésima
amostra do sinal chega no receptor em um instante de tempo t = kT + εT , relembrando que ε é
2.2. Modelo do Demodulador 11
o atraso de símbolo e T é o período de símbolo. Em um receptor analógico a solução para este
problema é o controle do instante de amostragem do sinal recebido, ou seja, o processo de
amostragem deve ser sincronizado com a temporização do símbolo. Uma modificação dessa
solução seria obter a informação da temporização do símbolo das amostras no receptor e
controlar o instante de amostragem, obtendo assim, uma solução híbrida para o problema do
sincronismo.
No nosso caso completamente digital, só existem amostras em instantes de tempo
múltiplos do período de amostragem Ts, diferente da taxa de símbolos 1T . As amostras sem o
atraso de símbolo devem ser obtidas então a partir de um algoritmo operando apenas sobre
o sinal amostrado a cada instante de tempo kTs. Temos aqui dois problemas a solucionar:
como, a partir do sinal proveniente do filtro ótimo sC [n], identificar o instante ótimo em que
a energia do símbolo é maximizada e, com esse resultado em mãos, como calcular o valor do
sinal recebido nestes instantes.
Lembrando que precisamos ter amostras no instante de tempo t = kT + εT , escrevemos:
kT + εT = Ts[kT
Ts+ ε
T
Ts], (2.7)
que pode ser reescrita da seguinte forma:
[kT
Ts+ ε
T
Ts] = int(k
T
Ts+ ε
T
Ts) + µkTs = lkTs + µkTs, (2.8)
onde int(.) significa o maior inteiro imediatamente menor ou igual ao número real no
argumento e, portanto, lkTs representa a parte inteira do instante de amostragem e µkTs
representa a parte fracionária. De posse destas equações, podemos dividir o processo da
recuperação do sincronismo de símbolo em duas partes: a estimação do atraso, onde o tempo
de atraso ε é estimado e os parâmetros (lk, µk) são calculados a partir dele e a correção do
atraso, onde a partir das amostras sC [n] é obtido um conjunto de novas amostras, através de
um processo de interpolação que será detalhado posteriormente [11].
Finalmente chegamos à última etapa do processamento do sinal recebido, a recuperação
do sincronismo de fase e detecção dos símbolos. Existem inúmeras técnicas na literatura
para a realização do sincronismo e para detecção dos dados, porém escolhemos utilizar
um Phase-Locked Loop (PLL). O PLL é encontrado em incontáveis aplicações na área de
telecomunicações, as quais envolvem modulação, síntese de frequências e especialmente
nosso problema, o da sincronização em sistemas analógicos e digitais. Devido à sua vasta
utilização, é possível encontrá-lo em forma de circuitos integrados, onde alguns poucos
componentes externos precisam ser adicionados.
Neste trabalho, utilizamos uma variante digital do PLL, o DPLL, conhecido também como
Costas Loop digital. O DPLL é basicamente constituído por: um comparador de fase, um filtro
passa-baixa também conhecido como filtro de loop e um oscilador númerico controlado por
tensão (em inglês Numerical Controller Oscilator (NCO)). O comparador de fase proporciona
uma saída proporcional à diferença de fase entre a onda de entrada e a onda de saída do
NCO; para isto usa a estimativa do símbolo transmitido que será a saída do DPLL. Esta saída
é suavizada e limitada em banda por um filtro de loop, amplificada e realimentada ao controle
do NCO. Quando o circuito encontra-se estabilizado, as variações de fase da forma de onda de
entrada serão seguidas pela forma de onda da saída, mesmo quando a entrada é perturbada
por ruído ou tremor de fase. Assim, o DPLL é basicamente um filtro rastreador, capaz de
gerar uma versão mais “limpa” do sinal aplicado na entrada como o PLL analógico, mas com
2.2. Modelo do Demodulador 12
a diferença de realizar a detecção dos símbolos paralelamente à correção do erro de fase.
Nos próximos capítulos detalharemos cada etapa descrita acima, fazendo uma análise
matemática de cada um desses blocos que compõem a estrutura do demodulador digital
proposto.
Capítulo 3Conversor Banda Passante/Banda
Base
Neste ponto do trabalho, faremos a análise matemática detalhada do conversor utilizado no
demodulador. Durante o decorrer do projeto foram desenvolvidas e testadas duas arquiteturas
diferentes, as quais realizam as mesmas três operações fundamentais no sinal recebido; são
elas: a amostragem, conversão para banda base e a interpolação das amostras em cada
componente de fase e quadratura do sinal.
A diferença entre as duas arquiteturas está na operação de interpolação das amostras
e, por este motivo, serão analisadas separadamente. Para cada técnica de interpolação,
descreveremos o funcionamento do algoritmo utilizado e, em seguida, faremos a análise das
estatísticas do ruído. Mais especificamente, faremos uma análise da função de autocorrelação
do ruído, a qual será utilizada no capítulo seguinte para o projeto do filtro ótimo.
Prosseguiremos nas próximas seções com o estudo de cada uma das etapas de
processamento mencionadas acima. Começando pela amostragem do sinal e pela conversão
de FI para banda base, depois será tratado cada interpolador separadamente, o que inclui
a análise do ruído na saída de cada um deles. Toda análise será feita determinando-se as
expressões para os sinais e os diagramas de bloco de cada componente do conversor para, ao
final, obtermos a função de autocorrelação para o ruído.
3.1 Amostragem em Banda Passante
Como dito anteriormente, a primeira operação no conversor é a amostragem, que será
realizada enquanto o sinal se encontra ainda no estágio de FI, onde a frequência da portadora
será igual a fFI = 70 MHz. Essa técnica de amostragem permite que, simultaneamente,
ocorra a conversão de banda passante para banda base, através da multiplicação do sinal s(t)
por uma sequência de impulsos ponderados por valores pré-determinados. Neste trabalho,
porém, apenas para fins de análise, consideraremos amostragem e conversão BP/BB como
duas operações separadas.
A frequência de amostragem deve ser maior que a taxa de Nyquist, caso contrário haverá
ocorrência de aliasing. No entanto, neste caso, a largura de banda do sinal recebido s(t)
é muito menor que a frequência da portadora, logo a influência do aliasing é reduzida,
possibilitando que taxas menores que a de Nyquist sejam utilizadas desde que algumas
condições sejam satisfeitas. A relação entre a largura de banda do sinal recebido e a taxa
de amostragem, se definirmos a frequência de amostragem como fs, a frequência mais alta do
3.1. Amostragem em Banda Passante 14
espectro positivo do sinal como fu e a mais baixa como fl, é dada pela seguinte fórmula [6,12]:
2fuq≤ fs ≤
2flq − 1
, (3.1)
onde q é um inteiro satisfazendo a seguinte condição:
1 ≤ q ≤ int( fufu − fl
). (3.2)
O sinal amostrado s[n] pode ser escrito da seguinte forma:
s[n] = <A[n]ej[2π(fFI+fdfs
)n+ϕ]+ w[n], (3.3)
onde A[n] e w[n] são versões discretas dos sinais A(t) e w(t). Neste trabalho, demos preferência
a usar uma variante mais específica da equação (3.1), onde fs = 4fFI2K+1 , K ∈ N. A onda
senoidal será amostrada de tal forma que os valores serão tomados a cada kπ2 , ou seja, caso
pudéssemos visualizar apenas a portadora amostrada não-modulada, obteríamos a sequência
0, 1, 0,−1, 0, .... Após substituirmos a equação anterior da taxa de amostragem em (3.3) e
lembrando que ωd = 2πfdTs, o sinal sn[n] fica:
s[n] = <A[n]ej(ωdn+ϕ)ej(Kπ+π2 )n+ w[n]. (3.4)
No nosso caso específico temos K = 3 e consequentemente fs = 40 MHz. Substituindo esses
valores na equação acima, teremos:
s[n] = <A[n]ej(ωdn+ϕ)ej(7π2 )n+ w[n]. (3.5)
Reescrevendo em termos da função cosseno:
s[n] = A[n] cos[(7π
2+ ωd)n+ ϕ] + w[n]. (3.6)
Figura 3.1: Modelo do Conversor.
Observando a Figura 3.1, vemos a sequência de operações realizadas no conversor. Após
a amostragem, é realizada a conversão de banda passante para banda base através da
multiplicação do sinal s[n] pela sequência p[n] = 1, 1,−1,−1, .... Esta operação em tempo
discreto equivale, em sistemas analógicos, à demodulação coerente realizada através do
3.1. Amostragem em Banda Passante 15
produto do sinal recebido por duas ondas portadoras locais (um seno e um cosseno) na mesma
frequência da portadora do sinal, cujo resultado são as componentes em fase e quadratura
deste. Esta sequência pode ser modelada matematicamente como:
p[n] = cos(7πn
2)− sin(
7πn
2).
Procedendo com a análise, escrevemos o sinal em banda base sA[n] da seguinte forma:
sA[n] = s[n] · p[n]
= A[n] cos[(7π
2+ ωd)n+ ϕ] + w[n] · cos
7π
2n− sin
7π
2n
= A[n] cos[(7π
2+ ωd)n+ ϕ] cos(
7πn
2)−A[n] cos[(
7π
2+ ωd)n+ ϕ] sin(
7πn
2) + z[n], (3.7)
onde z[n] é o processo aleatório resultante da multiplicação de w[n] por p[n]. Utilizando as
identidades trigonométricas de produto entre cossenos e senos, desenvolvemos a expressão
do sinal sA[n]:
sA[n] =A[n]
2cos(ωdn+ 7πn+ ϕ) + cos(ωdn+ ϕ) − A[n]
2sin(ωdn+ 7πn+ ϕ)− sin(ωdn+ ϕ)+ z[n]
=A[n]
2cos(ωdn+ ϕ) cos 7πn− sin(ωdn+ ϕ) sin 7πn+ cos(ωdn+ ϕ)
− A[n]
2sin(ωdn+ ϕ) cos 7πn+ cos(ωdn+ ϕ) sin 7πn− sin(ωdn+ ϕ)+ z[n].
Como sin 7πn = 0 e cos 7πn = cosπn, reorganizando a expressão:
sA[n] =A[n]
2cos(ωdn+ ϕ)(cos 7πn+ 1)− sin(ωdn+ ϕ)(cos 7πn− 1)+ z[n]
=A[n]
2cos(ωdn+ ϕ)(cosπn+ 1)− sin(ωdn+ ϕ)(cosπn− 1)+ z[n]
=A[n]
2cos(ωdn+ ϕ)((−1)n + 1)− sin(ωdn+ ϕ)((−1)n − 1)+ z[n], (3.8)
onde a identidade cos 7πn = (−1)n é facilmente demonstrável. Finalmente, podemos reescrever
mais uma vez a expressão do sinal sA[n] a fim de obter uma maior compreensão do seu
comportamento em relação às suas componentes em fase e em quadratura:
sA[n] =
A[n] cos(ωdn+ ϕ) + z[n], se n par,
A[n] sin(ωdn+ ϕ) + z[n], se n ímpar.(3.9)
Pela última equação podemos ver que o valor de sA[n] será o sinal de banda base A[n] ora
modulado por um cosseno, quando n for par, ora modulado por um seno, quando n for ímpar.
A frequência e a fase destas senóides são: o erro residual de frequência ωd e o erro de fase
ϕ. Multiplexando cada um desses sinais em tempos pares e ímpares, temos as componentes
em fase e quadratura do sinal sA[n]; no entanto, ao fazer isso, teremos apenas metade das
amostras por símbolo em cada componente, o que nos obriga a realizar uma interpolação das
amostras do sinal.
Esta operação de interpolação sobre sA[n] é realizada separadamente em dois
interpoladores, cada um responsável por recuperar as amostras perdidas das componentes
em fase e em quadratura, gerando os sinais sBI [n] e sBQ[n]. É importante ressaltar que os
dois ramos, que geram esses dois sinais, usam a mesma técnica de interpolação, difererindo
apenas em qual amostra, par ou ímpar, será recuperada, de acordo com o que está descrito
3.2. Primeira Técnica de Interpolação 16
na Equação (3.9). Baseado nisto, será suficiente fazermos a análise para apenas um dos
interpoladores, que será o que atua sobre a componente em fase; uma escolha óbvia, uma vez
que a modulação utilizada neste projeto é o BPSK.
Como nosso principal objetivo neste capítulo é o estudo do efeito do conversor sobre o
sinal recebido, podemos ignorar os problemas de sincronismo nas análises matemáticas que
se seguem e assumir que a sincronização do sinal está perfeita. Logo, fazendo ωd = ϕ = 0, a
Equação (3.9) reduz-se a:
sA[n] =
A[n] + z[n], se n par,
z[n], se n ímpar.(3.10)
Portanto, nosso problema imediato é descobrir como recuperar a amostra ímpar do sinal A[n].
Existem várias possibilidade de resolver esta questão, incluindo interpolações lineares e não
lineares. Na próxima seção, apresentaremos a primeira técnica de interpolação proposta e
analisaremos as propriedades estatísticas do ruído no sinal de saída sBI [n].
3.2 Primeira Técnica de Interpolação
Lembrando que o pulso de banda base é retangular, dado pela Equação (2.5), as amostras
do sinal A[n] são, para cada símbolo transmitido, contantes e iguais a√
TsT ou −
√TsT ,
dependendo da informação enviada. Portanto, uma técnica de interpolação bastante simples
e elementar é dar à amostra perdida o mesmo valor da anterior [4]. Esta operação pode ser
descrita pela equação:
sBI,1[n] =
A[n] + z[n], se n par,
A[n− 1] + z[n− 1], se n ímpar,(3.11)
onde utilizamos o subscrito 1 para diferenciar do resultado da segunda técnica de
interpolação. Para um dado simbolo, o sinal sBI,1[n] pode ser expresso de uma maneira mais
simplificada:
sBI,1[n] = A[n] + v1[n], (3.12)
onde A[n] é uma estimativa do sinal de banda base transmitido A[n] na saída do interpolador,
e é dado pela expressão:
A[n] =
A[n], se n par,
A[n− 1], se n ímpar,(3.13)
e v1[n] é o ruído colorido, representado por:
v1[n] =
z[n], if n par,
z[n− 1], if n ímpar.(3.14)
A análise da função de autocorrelação do ruído v1[n] será realizada na subseção seguinte.
3.2.1 Análise do Ruído
Para chegarmos à função de autocorrelação de v1[n], começaremos pela expressão do ruído
analógico de banda estreita w(t), aplicando a mesma cadeia de processamento mostrado
na Figura 3.1, obtendo a autocorrelação em cada estágio do processamento até a saída do
interpolador. A partir da densidade espectral de potência de w(t), dada pela Equação (2.2),
podemos obter, através da transformada inversa de Fourier, sua função de autocorrelação
3.2. Primeira Técnica de Interpolação 17
[13]:
Rw(∆t) =
∫ ∞−∞
Sw(f)e2πf∆tdf. (3.15)
Portanto, substituindo (2.2) em (3.15) e resolvendo a integral, teremos:
Rw(∆t) =No
j4π∆t[e2π(−fFI+W )∆t − e2π(−fFI−W )∆t] +
Noj4π∆t
[e2π(fFI+W )∆t − e2π(−fFI−W )∆t]. (3.16)
Reorganizando a expressão acima e colocando-a em termos de funções trigonométricas, ao
invés de exponenciais complexas, chegamos a:
Rw(τ) = 2NoWsinc(2Wτ)cos(2πfFI∆t). (3.17)
Temos assim, a função de autocorrelação para o ruído w(t) na entrada do demodulador. Logo
após, o ruído é amostrado a uma taxa fs, cuja relação com a largura de banda do filtro de FI
é 2W = 12Ts
; colocando W em função de Ts e substituindo na função de autocorrelação para o
ruído discretizado, teremos:
Rw[m] = Rw(mTs)
= 2No(1
4Ts)sinc[2(
1
4Ts)mTs] cos[2π(
7
4Ts)mTs]
=No2Ts
sinc(m
2) cos(
7π
2)
=No2Ts
δ[m]. (3.18)
Da Equação (3.18), podemos concluir que o ruído discreto w[n] é branco. Nosso próximo passo
é provar que, após a multiplicação do sinal recebido por p[n], o processo ruidoso resultante
z[n] = w[n]p[n] também é branco e que sua função de autocorrelação é idêntica à de w[n].
Utilizando a definição de função de autocorrelação, temos:
Rz[n, n+m] = Ez[n]z[n+m]
= Ew[n]p[n]w[n+m]p[n+m]
= Ew[n]w[n+m]p[n]p[n+m]
= Rw[m]p[n]p[n+m], (3.19)
onde Ex é o operador esperança matemática de x e o produto de p[n] por p[n + m] pode
ser retirado do operador, uma vez que este é um sinal determinístico. Desenvolvendo este
produto:
p[n]p[n+m] = cos(7πn
2)− sin(
7πn
2) · cos[
7π
2(n+m)]− sin[
7π
2(n+m)]
= cos(7πn
2) · cos[
7π
2(n+m)]− cos(
7πn
2) · sin[
7π
2(n+m)]
− sin(7πn
2) · cos[
7π
2(n+m)] + sin(
7πn
2) · sin[
7π
2(n+m)].
Aplicando identidades trigonométricas à expressão acima, obtemos:
p[n]p[n+m] = cos(7πn
2)− sin(7πn+
7πm
2). (3.20)
3.2. Primeira Técnica de Interpolação 18
Substituindo (3.20) em (3.19), chegamos a:
Rz[n, n+m] = Rw[m] · [cos(7πn
2)− sin(7πn+
7πm
2)] = Rw[m],
Rz[m] =No2Ts
δ[m]. (3.21)
Obtemos assim que z[n] também é branco e que Rw[m] = Rz[m], o resultado previsto acima. A
saída do interpolador, levando em consideração apenas o termo relativo ao ruído, é dada pela
Equação (3.14), e pode ser reescrita de uma forma mais simples, em uma única expressão:
v1[n] =z[n]
2[1 + cos(πn)] +
z[n− 1]
2[1− cos(πn)]. (3.22)
A função de autocorrelação de v1[n] é:
Rv1 [n,m] = Ev1[n]v1[n+m]. (3.23)
Desenvolvendo (3.23) usando a representação de v1[n] em (3.22), a expressão para Rv[n,m]
fica:
Rv1 [n,m] =1
4Ez[n]z[n+m][1 + cos(πn)][1 + cosπ(n+m)]
+1
4Ez[n]z[n+m− 1][1 + cos(πn)][1− cosπ(n+m)]
+1
4Ez[n− 1]z[n+m][1− cos(πn)][1 + cosπ(n+m)]
+1
4Ez[n− 1]z[n+m− 1][1− cos(πn)][1− cosπ(n+m)].
Observando a equação acima, vemos que Rv1 [n,m] consiste na soma de quatro esperanças
matemáticas ponderadas por cossenos, onde cada um destes termos pode ser simplificado
usando identidades trigonométricas. Tomemos a parte determinística do primeiro termo, ou
seja o produto dos cossenos, e vamos desenvolvê-lo usando algumas identidades:
1 + cos(πn) · 1 + cos[π(n+m)] = 1 + cos[π(n+m)] + cos(πn) + cos(πn) cos[π(n+m)]
= 1 + cos(πn)cos(πm)− sin(πn) sin(πm) + cos(πn)
+ cos(πn)[cos(πn) cos(πm)− sin(πn) sin(πm)].
Considerando que sin(πn) = sin(πm) = 0, a expressão acima reduz-se a:
1 + cos(πn) · 1 + cos[π(n+m)] = 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm), (3.24)
então, a primeira esperança matemática na expressão de Rv1 [n,m], que chamaremos aqui de
E1, fica:
E1 =1
4· Ez[n]z[n+m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm)
=1
4·Rz[m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm)
=1
4· No
2Ts· δ[m] · 1 + cos(πn) cos(πm) + cos(πn) + cos(πm). (3.25)
3.3. Segunda Técnica de Interpolação 19
Pela expressão acima, vemos que E1 6= 0 quando m = 0. Portanto:
E1 =No4Ts
δ[m]1 + cos(πn). (3.26)
Aplicando o mesmo raciocínio aos outros termos, temos:
E2 =No4Ts
δ[m− 1]1 + cos(πn), (3.27)
E3 =No4Ts
δ[m+ 1]1− cos(πn), (3.28)
E4 =No4Ts
δ[m]1− cos(πn). (3.29)
A expressão simplificada para a função de autocorrelação de v1[n], portanto, é:
Rv1 [n,m] = E1 + E2 + E3 + E4 =No4Ts
δ[m](1 + cosπn)+
+No4Ts
δ[m− 1](1 + cosπn) +No4Ts
δ[m+ 1](1− cosπn) +No4Ts
δ[m](1− cosπn). (3.30)
Reorganizando os termos mais uma vez, a expressão final fica:
Rv1 [n,m] =No2Ts
δ[m] +No4Ts
δ[m− 1](1 + cosπn) +No4Ts
δ[m+ 1](1− cosπn). (3.31)
Examinando esta equação, podemos concluir que o processo aleatório v1[n] é cicloestacionário,
ou seja, ele é periodicamente estacionário, com um período discreto de duas amostras.
Tendo em mente isto, com a finalidade de facilitar os cálculos nas análises posteriores, nós
escolhemos trabalhar com a função de autocorrelação média, uma prática usual quando
estamos tratando de processos cicloestacionários [8, 14]. A autocorrelação média é definida
como a média aritmética da função de autocorrelação em um único período. Aplicando este
procedimento, a Equação (3.31) se reduz a:
Rv1 [m] =No2Ts
δ[m] +No4Ts
δ[m− 1] +No4Ts
δ[m+ 1]. (3.32)
Podemos facilmente concluir, das duas expressões acima, que o ruído v1[n] é colorido. A
consequência imediata desta conclusão é a necessidade do projeto de um novo filtro de
recepção, baseado no critério de máxima verossimilhança, que otimize a relação sinal-ruído
após a filtragem. Trateremos deste assunto no capítulo seguinte.
3.3 Segunda Técnica de Interpolação
Apresentamos nesta seção a segunda técnica de interpolação que pode ser utilizada para
a recuperação das amostras no conversor. Esta operação consiste simplesmente em, ao invés
de repetir a amostra de sinal ruidoso, eliminar a amostra ímpar ruidosa tornando-a nula.
Portanto sBI,2[n] fica:
sBI,2[n] =
A[n] + z[n], se n par,
0, se n ímpar.(3.33)
3.3. Segunda Técnica de Interpolação 20
Representando sBI,2[n] como em (3.12), temos que A[n] fica:
A[n] =
A[n], se n par,
0, se n ímpar,(3.34)
e v2[n]:
v2[n] =
z[n], se n par,
0, se n ímpar.(3.35)
3.3.1 Análise do Ruído
Façamos agora a análise do novo ruído v2[n]. Escrevendo-o em uma única expressão, como
em (3.22), temos:
v2[n] =z[n]
2[1 + cos(πn)]. (3.36)
Aplicando o mesmo raciocínio do caso anterior, substuindo (3.37) na equação similar a (3.24),
facilmente chegamos a expressão para a função de autocorrelação:
Rv2 [n, n+m] =No4Ts
δ[m][1 + cos(πn)], (3.37)
ou para melhor visualização:
Rv2 [n, n+m] =
No2Ts
δ[m], se n par,
0, se n ímpar,(3.38)
de onde concluímos que o ruído v2[n] também é cicloestacionário com um período de duas
amostras. Assim como fizemos nas seções anteriores, será útil para a análise seguinte,
referente ao filtro ótimo, utilizarmos a função de autocorrelação média:
Rv2 [m] =No4Ts
δ[m]. (3.39)
Capítulo 4Filtragem Ótima
Finalizamos o capítulo anterior fazendo uma análise do efeito das duas interpolações sobre
o ruído. Neste capítulo, aplicando o critério de máxima verossimilhança (do inglês Maximum
Likelihood (ML)) ao problema de detecção de simbolos, procuramos obter os coeficientes
do filtro ótimo para mitigar os efeitos dos dois tipos de ruído encontrados anteriormente.
Apesar de que nosso objetivo agora não é realizar a detecção propriamente dita, a qual só é
realizada no estágio final do demodulador, desejamos encontrar uma estrutura que otimize a
probabilidade de detectar corretamente o símbolo transmitido.
Podemos imaginar que, como as interpolações utilizadas são diferentes, os filtros ótimos
usados após cada interpolador também serão diferentes, exigindo para cada caso um projeto
específico de acordo com as características do ruído. Porém ao realizarmos as duas análises,
veremos que apesar das características espectrais do ruído serem diferentes para cada caso,
o filtro ótimo será um filtro casado com o pulso de transmissão para ambos os conversores.
4.1 Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador
As amostras de sBI,1[n] contêm a informação de qual símbolo foi transmitido, portanto é
essencial projetar um filtro que, conforme dito anteriormente, maximize a probabilidade de
recuperar os simbolos transmitidos a partir da observação destas amostras. O número de
amostras por símbolo é igual a int( TTs ), porém como em nosso projeto TTs
já é um número
inteiro, o símbolo int será omitido a fim de simplificar a notação.
Nosso problema da detecção consiste em, após observar TTs
amostras de sBI,1[n], escolher
entre duas hipóteses: H0, se o símbolo transmitido foi ai = −1, e H1, se o símbolo transmitido
foi ai = 1. Começaremos definindo o vetor s:
s =[sBI,1[n] sBI,1[n− 1] · · · sBI,1[n− T
Ts+ 1]
]T, (4.1)
que é o vetor das amostras correspondentes a um dado símbolo. Considerando um ruído
gaussiano e colorido, as funções densidade de probabilidade conjunta, com respeito a cada
hipótese, são:
ps(s|H0) =exp− 1
2 (s−m0)TR−1(s−m0)(2π)T/2Ts |R|1/2
, (4.2)
ps(s|H1) =exp− 1
2 (s−m1)TR−1(s−m1)(2π)T/2Ts |R|1/2
, (4.3)
4.1. Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador 22
onde:
m0 =[−1 −1 · · · −1
]T, (4.4)
m1 =[
1 1 · · · 1]T, (4.5)
R =
No2Ts
No4Ts
0 0 · · · 0No4Ts
No2Ts
No4Ts
0 · · · 0
0 No4Ts
No2Ts
No4Ts
· · · 0
0 0 No4Ts
No2Ts
· · · 0...
......
.... . .
...
0 0 0 0 · · · No2Ts
, (4.6)
e |R| é o determinante da matriz de covariância. As dimensões dos vetores média m0 e m1 sãoTTs× 1, idêntico a s, e R é uma matriz T
Ts× T
Ts.
A detecção dos símbolos transmitidos consiste em escolher H1, se ps(s|H1) > ps(s|H0), ou
H0, se ps(s|H1) < ps(s|H0); este é o critério de máxima verossimilhança, que pode ser descrito
da seguinte forma:
ps(s|H1)H1
RH0
ps(s|H0). (4.7)
Na prática, é mais fácil trabalhar com a função densidade de probabilidade logarítimica [15,
16]. Portanto, aplicando a função logaritmo dos dois lados da equação acima e reorganizando
os termos, temos:
(s−m1)TR−1(s−m1)− (s−m0)TR−1(s−m0)H1
RH0
0. (4.8)
Desenvolvendo (4.8), após algumas manipulações algébricas, obtemos a Equação (4.9) dada
pela expressão seguinte, a qual pode ser confirmada utilizando o recurso das expressões
simbólicas no MATLAB:TTs−1∑
k=0
sBI,1[n− k]H1
RH0
0. (4.9)
Este é um resultado bastante interessante, pois sugere que, apesar do ruído ser colorido, a
filtragem ótima é a média sobre todas as amostras de cada símbolo, e uma vez que o pulso de
banda base é retangular, o filtro ótimo é claramente um filtro casado. Portanto, este filtro tem
mesma resposta ao impulso do filtro modulador de pulso, usado no transmissor:
h[n] = gR(nTs) = gT (nTs), (4.10)
onde gT (t) é dado pela Equação (2.5). Este resultado leva a uma grande simplificação nas
análises seguintes.
4.1.1 Análise de Desempenho
Uma vez escolhida a filtragem ótima, é possível calcular a relação sinal-ruído na saída do
filtro. A componente em fase do sinal de saída do filtro casado sC [n] é:
sCI [n] =
∞∑k=−∞
sBI,1[n]h[n− k], (4.11)
4.1. Projeto do Filtro Referente ao Primeiro Interpolador 23
onde h[n] é a resposta ao impulso e pode ser modelada como:
h[n] =
Ns∑k=0
δ[n− k], (4.12)
Ns = TTs−1 é o número de amostras do pulso retangular e sBI,1[n] é o sinal de entrada no filtro
ótimo dado por (3.12). Substituindo (3.12) em (4.11), sCI [n] torna-se:
sCI [n] =
∞∑k=−∞
A[k]h[n− k] +
∞∑k=−∞
v1[k]h[n− k]. (4.13)
A detecção de símbolo é realizada sobre a soma das amostras de cada pulso. Para efeito de
simplificação, tomaremos essa soma apenas sobre o primeiro pulso recebido e amostraremos
no instante final de tempo de duração do pulso n = Ns. A expressão acima reduz-se a:
sCI [Ns] =
Ns∑k=0
A[k]h[Ns − k] +
Ns∑k=0
v1[k]h[Ns − k] = M +N, (4.14)
onde M refere-se ao primeiro termo, a soma sobre o sinal determinístico A[n], e N ao segundo
termo, sobre o ruído. Agora, calcularemos a potência do ruído, a qual é igual à variância de
N :
σ2N = EN2 =
Ns∑k=0
Ns∑i=0
Rv1 [k − i]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.15)
Substituindo (3.33) em (4.15), temos:
σ2N =
No2Ts
Ns∑k=0
Ns∑i=0
δ[k − i]h[Ns − k]h[Ns − i] +No4Ts
Ns∑k=0
Ns∑i=0
δ[k − i− 1]h[Ns − k]h[Ns − i]
+No4Ts
Ns∑k=0
Ns∑i=0
δ[k − i+ 1]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.16)
Observando os três termos que compõem a expressão acima da variância do ruído, concluímos
que o primeiro somatório será não nulo apenas para k = i, o segundo para k − i = 1 e terceiro
para k − i = −1. Como modelamos h[n] com uma amplitude unitária, é fácil observar que a
expressão acima reduz-se a:
σ2N =
No2Ts
(T
Ts) +
No4Ts
(T
Ts− 1) +
No4Ts
(T
Ts− 1). (4.17)
Reorganizando, a potência do ruído fica:
σ2N =
No2Ts
(2T
Ts− 1). (4.18)
Neste caso particular, temos um grande número de amostras por pulso (T >> Ts), significando
que TTs≈ T
Ts− 1. Portanto, simplificando, a variância reduz-se a:
σ2N =
No2Ts
(2T
Ts− 1) ≈ NoT
T 2s
. (4.19)
4.2. Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador 24
A taxa de erro de bits (em inglês Bit Error Rate (BER)) de um demodulador BPSK é [8]:
BER = Q
√M2
σ2N
, (4.20)
onde M2
σ2N
é a relação sinal-ruído do sistema. Considerando que o primeiro símbolo transmitido
foi ao = 1 e lembrando que a amplitude de A[n] é igual a√
TsT , o valor de M2 é:
M2 = Ns∑k=0
A[k]h[Ns − k]2 = √TsT
T
Ts2 =
T
Ts. (4.21)
Substituindo (4.19) e (4.21) na expressão anterior:
BER = Q
√TsNo
. (4.22)
A energia de bit Eb do pulso demodulado é Ts2 , logo:
BER = Q
√2EbNo
, (4.23)
que é o resultado clássico para um demodulador BPSK em um canal com ruído branco
(Additive White Gaussian Noise (AWGN)). A conclusão que podemos tirar desta análise é que,
mesmo que o ruído seja colorido pelo interpolador, o desempenho do sistema continua tão
boa quanto no caso onde o ruído é branco.
4.2 Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador
Utilizamos para o projeto deste filtro ótimo as mesmas definições e os mesmos
procedimentos que foram usados no caso anterior, com exceção da matriz de covariância
R que agora está definida como:
R =
No4Ts
0 0 0 · · · 0
0 No4Ts
0 0 · · · 0
0 0 No4Ts
0 · · · 0
0 0 0 No4Ts
· · · 0...
......
.... . .
...
0 0 0 0 · · · No4Ts
=
No4Ts
I, (4.24)
onde I é matriz identidade e verificamos que R agora é uma matriz diagonal, o que facilitará
bastante nossa análise. Substituindo (4.24) em (4.8), obtemos:
(s−m1)T (s−m1)− (s−m0)T (s−m0)H1
RH0
0. (4.25)
Desenvolvendo a expressão acima, facilmente obteremos o mesmo resultado do caso anterior,
a Equação (4.9) :TTs−1∑
k=0
sBI,2[n− k]H1
RH0
0.
Portanto, o filtro ótimo continua sendo o filtro casado.
4.2. Projeto do Filtro Referente ao Segundo Interpolador 25
4.2.1 Análise de Desempenho
A análise de desempenho para esta nova estrutura do conversor é realizada de maneira
idêntica ao caso anterior; a única mudança agora é a variância do ruído, uma vez que
a segunda técnica de interpolação produz um processo aleatório com uma função de
autocorrelação diferente da primeira. Portanto, a expressão para o cálculo da variância é:
σ2N = EN2 =
Ns∑k=0
Ns∑i=0
Rv2 [k − i]h[Ns − k]h[Ns − i].
Desenvolvendo a expressão acima, substituindo (3.39) nela, temos:
σ2N =
No4Ts
Ns∑k=0
Ns∑i=0
δ[k − i]h[Ns − k]h[Ns − i]. (4.26)
Assim como no primeiro termo da Equação (4.16), o somatório duplo somente será não-nulo
para k = i. Considerando isto e que a amplitude de h[n] aqui também é unitária, facilmente
chegamos ao valor da variância do ruído:
σ2N =
NoT
4T 2s
. (4.27)
O cálculo de M2 também segue o mesmo raciocínio do caso anterior, com a única diferença
que agora consideraremos apenas metade das amostras:
M2 = Ns−1∑k=0
A[k]h[Ns − k]2 = √TsT
T
2Ts2 =
T
4Ts, (4.28)
onde realizamos o somatório acima apenas para os valores pares de k. Substituindo (4.27) e
(4.28) em (4.22), finalmente obtemos:
BER = Q
√TsNo
= Q
√2EbNo
. (4.29)
Portanto, concluímos que as duas configurações do conversor produzem a mesma relação
sinal-ruído na saída do filtro casado, ou seja, as duas arquiteturas apresentadas possuem o
mesmo desempenho.
Capítulo 5Sincronismo de Símbolo
Começaremos a tratar agora do problema da sincronização de símbolo, também conhecido
como sincronização de relógio. É comum na maioria dos sistemas de telecomunicações que a
correção do sincronismo de fase e frequência seja realizada antes da de símbolo, porém neste
trabalho, optamos por fazer este último primeiro.
As técnicas de recuperação da temporização podem dividir-se em dois grupos consoante
o tipo de amostragem que usam: síncrona ou assíncrona. No primeiro grupo a amostragem
está ligada ao sinal enviado e é comandada por um NCO; no segundo a amostragem não está
solidária com os impulsos recebidos, é independente deles, e o relógio local está fixo. Em
nosso caso, evidentemente, utilizamos amostragem assíncrona, que é a única que permite
uma implementação completamente digital do temporizador e pode ser usada em esquemas
de malha aberta ou malha fechada.
Uma outra forma de classificar as técnicas de sincronismo, tanto as de símbolo quanto
as de fase e frequência, é quanto ao uso, por parte do sincronizador, de dados adicionais
enviados pelo transmissor com a finalidade de auxiliar a tarefa da sincronização no receptor
[6]. As técnicas de sincronismo que utilizam este artifício são denominadas pela literatura
anglófona de técnicas Data-Aided (DA). Há também aquelas em que o receptor utiliza os
próprios símbolos decididos, através de um esquema com realimentação, como auxílio no
processo de sincronização, as quais são conhecidas como técnicas Decision-Directed (DD). E
por fim, se não houver qualquer ajuda à sincronização são classificadas como Non Data-Aided
(NDA).
Neste trabalho utilizamos um método de sincronização assíncrono, de malha aberta e
NDA, cujo esquema encontra-se mostrado na Figura 5.1. Pelo diagrama de blocos podemos
claramente perceber que a recuperação da temporização se distingue em três operações
distintas:
i. Medição da temporização, no Estimador, onde se obtém a estimativa ε da “fase de
temporização” ε.
ii. Cálculo dos parâmetros (ln, µn), a partir da estimativa do atraso ε.
iii. Ajuste da temporização, no Corretor, composto pelo Interpolador e pelo Decimador,
quando se aplicam os parâmetros (ln, µn) ao processo de obtenção das amostras para
o decisor.
A implementação destas três partes contêm alguns detalhes que serão explicados a seguir.
Iniciaremos explicando como é feita a estimação do atraso de símbolo e, logo em seguida,
5.1. Estimador de Oerder&Meyr 27
Figura 5.1: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.
trataremos de uma forma geral sobre a correção deste atraso. Após isto, aprofundaremos nos
algoritmos para o cálculo dos parâmetros e na estrutura específica utilizada nestre trabalho
para o ajuste da temporização dos símbolos. Finalizaremos o capítulo com a análise da
variância da estimador.
5.1 Estimador de Oerder&Meyr
Este estimador é o equivalente digital da conhecida recuperação de temporização em tempo
contínuo com lei quadrática [6]. O método é aplicado a um bloco de símbolos de tamanho L,
que origina um valor estimado de ε. Como vimos anteriormente, o sinal discreto sC [n] na
entrada do estimador, pode ser descrito matematicamente da seguinte forma:
sC [n] = sB [n] ∗ h[n], (5.1)
onde aqui omitiremos o subscrito utilizado no capítulo anterior no sinal sB [n], uma vez que os
dois interpoladores possuem desempenho semelhante, e h[n] é a resposta ao impulso do filtro
casado. Conforme vimos anteriormente, podemos escrever o sinal sB [n] como:
sB [n] = A[n]ej(ωdn+ϕ) + v[n]. (5.2)
Para efeito de simplificação da notação, desprezaremos os efeitos do erro residual de
frequência e do desvio de fase, uma vez que eles não influenciam no desempenho e do
estimador de símbolo, e representaremos o sinal sB [n] apenas em função do sinal de banda
base e do ruído:
sB [n] = A[n] + v[n] =
∞∑i=−∞
aigT (nTs − iT − εT ) + v(nTs). (5.3)
Aqui lembramos que a resposta ao impulso do filtro casado relaciona-se com o pulso de banda
base transmitido de acordo com a Equação (4.10):
h[n] = gR(nTs),
gR(t) = gT (T − t).
5.2. Correção da Temporização 28
Conforme dito no Capítulo 3, pela simetria da janela retangular, temos gR(t) = gT (t).
Desenvolvendo a Equação (5.1), utilizando (5.3):
sC [n] = [
∞∑i=−∞
aigT (nTs − iT − εT ) + v(nTs)] ∗ gT (nTs), (5.4)
sC [n] =
∞∑i=−∞
aigT (nTs − iT − εT ) ∗ gT (nTs) + v(nTs) ∗ gT (nTs), (5.5)
sC [n] =
∞∑i=−∞
aig(nTs − iT − εT ) + v(nTs), (5.6)
onde g(t) = gT (t) ∗ gR(t), usamos aqui também a propriedade do deslocamento no tempo da
operação de convolução, e v(t) = v(t) ∗ gT (t).
A Figura 5.2 ilustra o processamento realizado no estimador [17]. A primeira operação
realizada é a elevação ao quadrado do módulo do sinal sC [n]. A aplicação desta não-linearidade
ao sinal de entrada tem por finalidade gerar uma componente espectral na frequência ω =2πTsT = 2π
Ns, ou seja, na mesma frequência da taxa de símbolos.
Figura 5.2: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.
O sinal xn, após a aplicação da não-linearidade, fica:
xn = |sC [n]|2 = |sC(nTs)|2 = |∞∑
i=−∞aig(nT − iT − εT ) + v(nTs)|2. (5.7)
Após esse procedimento, devemos obter a componente espectral desejada calculando o
coeficiente da Transformada de Fourier Discreta (do inglês Discrete Fourier Transform (DFT))
de xn na frequência ω = 2πNs
para cada bloco de amostras de tamanho LNs, ou seja, efetuando
o cálculo do somatório da Transformada para cada L símbolos:
Xm =
(m+1)LNs+1∑n=mLNs
xne−j 2π
Nsn. (5.8)
Finalmente, do coeficiente Xm de cada vetor de L símbolos, é extraída a fase, a qual é a
estimativa do atraso de simbolo ε que desejávamos.
5.2 Correção da Temporização
A correção da temporização é realizada através de uma interpolação; a estimativa do atraso
de símbolo será utilizada para a obtenção de amostras interpolantes, ou seja, amostras que
não mais se encontrarão em instantes de tempo nTs, mas sim entre estes instantes, por isso
5.2. Correção da Temporização 29
Figura 5.3: Ilustração dos instantes de amostragem e interpolação.
são chamadas de interpolantes, e seus valores serão iguais aos valores que o sinal sC(t), sinal
analógico correspondente a sC [n], teria se amostrado neste novo padrão de amostragem.
O sinal sC(t) pode ser obtido a partir de sC [n] através da seguinte expressão [11]:
sC(t) =
∞∑n=−∞
sinc(t− nTsTs
)sC(nTs), (5.9)
que é a conhecida expressao para a recuperação de um sinal analógico desde sua versão
discreta. A função sinc, como sabemos, se estende de −∞ a ∞ e portanto, torna-se pouco
prática. Ao invés dela, é comum o uso de outros tipos de funções limitadas no tempo
resultando em um somatório com um número finito de parcelas, fazendo aparecer um fator
de erro à recuperação do sinal, uma vez que ela será realizada de forma imperfeita [11].
Reescrevendo a equação anterior:
sC(t) =
∞∑n=−∞
hI(t− nTs)sC(nTs), (5.10)
e portanto nosso objetivo será encontrar hI . Entretanto, não nos interessa conhecer o sinal
sC(t) em qualquer instante de tempo t, mas somente nos novos instantes de amostragem tk,
conforme ilustrado na Figura 5.3. Podemos observar que as amostras nos instantes (lk +p)Ts,
onde p é um número inteiro qualquer, são aquelas relativas ao sinal sC [n] = sC(nTs). O
instante de tempo tk é definido como:
tk = lkTs + µkTs, (5.11)
onde:
lk = int(tk).
O número lk é chamado de índice de ponto base e µk é chamado de intervalo fracionário, e
ambos são obtidos a partir da estimativa do atraso de símbolo, como veremos mais à frente.
Substituindo (5.11) em (5.10):
s′C(tk) =
∞∑n=−∞
hI(lkTs + µkTs − nTs)sC(nTs),
5.3. Cálculo dos Parâmetros 30
s′C(tk) =
∞∑n=−∞
hI [(lk − n)Ts + µkTs]sC(nTs), (5.12)
onde s′C(tk) é a versão discreta de sC(t) nos novos instantes de amostragem tk. Como dissemos
anteriormente, pretendemos utilizar um filtro hI de resposta ao impulso finita (FIR), portanto
iremos limitar a duração temporal de hI ao intervalo −I1Ts ≤ t ≤ (I2 + 1), de forma que
utilizaremos I1 + I2 + 1 amostras de sC(nTs), com lk − I2 ≤ n ≤ lk + I1. Substituindo esses
limites no somatório de (5.12):
s′C(tk) =
lk+I1∑n=lk−I2
hI [(lk − n)Ts + µkTs]sC(nTs). (5.13)
Fazendo i = lk − n:
s′C(tk) =
I2∑i=−I1
hI(iTs + µkTs)sC [(lk − i)Ts], (5.14)
e se chamarmos ci(µk) = hI(iTs + µkTs), temos:
s′C(tk) =
I2∑i=−I1
ci(µk)sC [(lk − i)Ts]. (5.15)
Desta forma obtemos a expressão geral para o interpolador, também conhecida como fórmula
fundamental do interpolador. Em [18] e [19] chegou-se à conclusão de que se obtêm excelentes
interpoladores práticos se os coeficientes ci(µk) forem certas funções polinomiais de curta
duração (dois ou quatro intervalos de amostragem). Estes coeficientes só dependem dos
intervalos fracionários µk e cada um deles é usado em cada um dos I1 + I2 + 1 intervalos
de amostragem.
Antes de falarmos da técnica de interpolação específica utilizada em nosso trabalho, a
estrutura de Farrow, trataremos antes de como é efetuado o cálculos dos parâmetros de
temporização (lk, µk).
5.3 Cálculo dos Parâmetros
O tempo de atraso τ = εT , estimado para cada bloco de símbolos de tamanho L, é utilizado
para calcular os instantes de temporização tk através da expressão:
tk = kT +T
2+ τ , (5.16)
onde τ é o atraso respectivo a um dado bloco qualquer e a parcela T2 aparece porque −T2 ≤ τ ≤
T2 . A Equação (5.11) também nos indica outra forma de obter tk em função dos parâmetros lke µk. Igualando essa expressão com a anterior, temos:
lk + µk = kT
Ts+
T
2Ts+
τ
Ts. (5.17)
Para k + 1:
lk+1 + µk+1 = (k + 1)T
Ts+
T
2Ts+
τ
Ts.
Então, podemos chegar a uma expressão iterativa que não depende de τ :
lk+1 + µk+1 = lk + µk +T
Ts. (5.18)
5.3. Cálculo dos Parâmetros 31
Figura 5.4: Função dente-de-serra.
Tomando a parte inteira na equação anterior, chegamos a:
lk+1 = lk + int(µk +T
Ts). (5.19)
Substituindo a expressão (5.19) em (5.18) e reorganizando:
µk+1 = µk +T
Ts− int(µk +
T
Ts). (5.20)
Portanto, obtemos duas fórmulas iterativas para cálculo dos instantes tk dentro de cada bloco
de L símbolos.
Nas transições entre os blocos pode ocorrer um problema conhecido como unwrapping:
quando da mudança do bloco i para o bloco i+ 1, o valor médio de τi+1 acaba ficando fora do
intervalo [−T2 ,T2 ]. Por exemplo, se tivermos τi = 0, 48T e τi+1 = 0, 51T , as estimativas de atraso
em cada intervalo de observação serão τi ≈ 0, 48T e τi+1 ≈ −0, 49T , ou seja, houve um salto de
cerca de T segundos que leva a perder ou duplicar instante de temporização. Para contornar
esse problema, adota-se o seguinte procedimento:
i. A partir de τi obtém-se uma nova estimativa τ(u)i de acordo com:
τ(u)i = τ
(u)i−1 + αSAW (τi − τ (u)
i−1),
onde α é um parâmetro de projeto e SAW (x) é a função dente de serra definida por:
SAW (x) = x− T · int( xT
+1
2),
e liustrada na Figura 5.4.
ii. Ao mudar do bloco i para o bloco i + 1 (ver Figura 5.5), o índice de ponto-base liL+1 e o
intervalo fracionário µiL+1 calculam-se através das expressões:
liL+1 = liL + int(µiL +T
Ts+τi+1 − τi
Ts), (5.21)
5.4. Estrutura de Farrow 32
Figura 5.5: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.
µiL+1 = µiL +T
Ts+τi+1 − τi
Ts− int(µiL +
T
Ts+τi+1 − τi
Ts). (5.22)
5.4 Estrutura de Farrow
Trataremos agora da estrutra responsável pela correção do atraso de símbolo. Dois
métodos podem ser utilizados para a operação descrita em (5.15). O primeiro consiste do
armazenamento de valores previamente calculados da resposta impulsiva do filtro ci(µk) e, a
cada interpolação, extraem-se da memória os valores armazenados (coeficientes do filtro) e
os carrega em uma estrutura de filtro transversal. O segundo método consiste do cálculo do
valor interpolado diretamente sem a necessidade de se armazenar os coeficientes ou mesmo
calculá-los explicitamente, através da estrutura proposta por Farrow, que descreveremos a
seguir.
A fórmula fundamental do interpolador apresenta uma dificuldade de aspecto prático:
dado que o intervalo fracionário µk varia de instante para instante de interpolação, o filtro
FIR tem coeficientes ci(µk) variáveis. Entretanto, podemos rearranjar (5.15) de modo a
conseguimos determinar os interpolantes usando filtros de coeficientes fixos. Primeiramente,
definindo ci(µk) como:
ci(µk) =
M∑l=0
bl(i)µlk, (5.23)
onde M é o grau do polinômio consoante ao tipo de interpolação. Agora, reescrevemos:
s′C(tk) =
I2∑i=−I1
M∑l=0
bl(i)µlksC [(lk − i)Ts]
=
M∑l=0
µlk
I2∑i=−I1
bl(i)sC [(lk − i)Ts]
=
M∑l=0
µlkν(l), (5.24)
em que:
ν(l) =
I2∑i=−I1
bl(i)sC [(lk − i)Ts], (5.25)
pode ser interpretado como a saída de um filtro de coeficientes fixos bl(i). O filtro interpolador
5.5. Análise da Variância 33
Figura 5.6: Diagrama de blocos da estrutura recuperadora de sincronismo de símbolo.
pode, portanto, ser realizado por um banco de filtros de M+1 filtros paralelos, cujas saídas dos
l-ésimos filtros são multiplicadas por µlk e então somadas. O diagrama de blocos apresentado
na Figura 5.6 mostra a implementação de um interpolador cúbico. Essa estrutura de Farrow
consiste de 4 colunas de filtros FIR com I2 − I1 + 1 coeficientes fixos. Os interpolantes são
dados por:
s′C(tk) =
M∑l=0
µlkν(l) = ν(0) + µkν(1) + µk[ν(2) + µkν(3)]. (5.26)
Essa foi a estrutura adotada para a implementação do filtro interpolador neste trabalho,
representada no diagrama de blocos da Figura 5.6.
Finalmente, após a correção do atraso de símbolo, s′C(tk) é decimado e o sinal resultante
fica:
r[i] = s′C(tk)|tk= iTTs, (5.27)
onde i é um inteiro não-negativo qualquer.
5.5 Análise da Variância
Vamos agora determinar a variância da variável aleatória ε. Na realidade, o que nós
buscaremos calcular aqui será o erro médio quadrático da estimação, uma vez que vamos
considerar que a média do estimador é igual a zero, ou seja ε = E[ε] = 0, a fim de simplificar
a notação. Pode ser provado que para ε 6= 0 os resultados que serão aqui obtidos ainda são
válidos [17]. Desenvolvendo a expressão da variância:
σ2ε = E[ε] =
1
(2π)2E[(arg(X))2] ≈ 1
(2π)2
E[(ImX)2]
(E[ReX])2. (5.28)
A aproximação é válida desde que a parte imaginária de X tenha média nula e que as
variâncias das partes real e imaginária são pequenas comparadas ao valor médio quadrático
de ε. Desenvolvendo a esperança da parte real, temos:
E[ReX] = E[X] =
LNs−1∑n=0
E[xn]e−j2πNsn. (5.29)
5.5. Análise da Variância 34
Vamos calcular E[xn], substituindo (5.7) na expressão anterior:
E[xn] = E[(
∞∑i=−∞
aig(nTs − iT − εT ) + v(nTs))2]. (5.30)
Desenvolvendo a expressão acima, sabendo que os símbolos e o ruído são descorrelacionados
e que E[v(t)] = 0:
E[xn] = E[(
∞∑i=−∞
aig(nTs − iT − εT ))2] + E[v2(nTs)]
=
∞∑i=−∞
∞∑k=−∞
E[aiak]g(nTs − iT − εT )g(nTs − kT − εT ) + E[v2(nTs)]. (5.31)
Como os simbolos são indenpentes entre si e E[ai] = 0, i qualquer, então:
E[xn] =
∞∑i=−∞
g2(nTs − iT − εT ) + σ2v . (5.32)
De acordo com a identidade apresentada em [17], obtemos a expressão para E[X]:
E[X] =
LNs−1∑n=0
E[xn]e−j2πNsn =
LNsTF [g2(t− εT )]f= 1
T, (5.33)
onde:
F [x(t)] =
∫ ∞−∞
x(t)e−j2πftdt.
Agora, introduziremos as seguintes funções para simplificar a notação:
pn(t) = g(t)g∗(t− nT ), (5.34)
Pn(f) = F [pn(t)]. (5.35)
Então, temos:
E[X] =LNsTF [po(t− εT )]f= 1
t=LNsT
Po(1
T)e−j2πε. (5.36)
Como assumimos no início que ε = 0, então:
E[X] =LNsT
Po(1
T). (5.37)
A variância da parte imaginária é:
E[(ImX)2] = E[Im(
LNs−1∑n=0
xne−j 2π
Nsn)]2.
Desenvolvendo a expressão acima:
E[(ImX)2] =
LNs−1∑n=0
LNs−1∑n′=0
E[xnxn′ ] sin(2πn
Ns) sin(
2πn′
Ns). (5.38)
5.5. Análise da Variância 35
Usando alguma aproximações que são válidas quando L for grande [17], a expressão acima
pode ser calculada. Substituindo os resultados desta aproximação em (5.28), temos:
σ2ε = σ2
sxs + σ2sxn + σ2
nxn, (5.39)
onde:
σ2sxs =
1
(2π)2
1
L
∑m(Im[Pm(1/T )])2
(Po(1/T ))2, (5.40)
σ2sxn =
1
(2π)2
1
LNo
2I3(Po(1/T ))2
, (5.41)
σ2nxn =
1
(2π)2
1
LN2o
T2Re[Ψ(1/T )]
(Po(1/T ))2, (5.42)
I3 =
∫ ∞−∞
∫ ∞−∞
g(t)g∗(t′)ψ(t− t′) sin(2πt/T ) sin(2πt′/T )dtdt′, (5.43)
Ψ(f) = F [ψ2(t)], (5.44)
ψ(τ) =
∫ ∞−∞
gR(t)g∗R(t+ τ)dt. (5.45)
Os três termos (5.40), (5.41) e (5.42) representam as componentes do jitter geradas pelas
interações (sinal x sinal), (sinal x ruído) e (ruído x ruído).
Capítulo 6Digital Phase Locked Loop
6.1 Função de Transferência
Nesta parte final do processamento, trataremos da correção do sincronismo de fase, do
erro residual de frequência e da detecção final dos dados. Para este fim, utilizamos a variante
digital de uma estrutura conhecida como Digital Phase-Locked Loop. O modelo esquemático
do DPLL é mostrado na Figura 6.1, apresentada abaixo. O comparador de fase é composto
pelo decisor de símbolos e pelo multiplicador da saída do decisor pela parte imaginária do
sinal di. Em seguida, o sinal passa pelo filtro de loop, cuja função de transferência F (z) será
calculada adiante, e pelo NCO, composto somente de um integrador digital, logo sua função
de transferência é igual a 1/(z − 1).
Figura 6.1: Estrutura do DPLL.
Faremos agora a análise matemática do DPLL. Neste caso específico, como o erro residual
de frequência é muito pequeno (na ordem dos 7 Hz), um sistema de 1a ordem é suficiente
para realizar a correção desse erro e do erro de fase, este último bem mais significativo.
Consideremos como entrada do PLL o seguinte sinal complexo:
r[i] = ri = aiejθi + vi, (6.1)
onde θi é dado por:
θi = ωdi+ ϕ. (6.2)
6.1. Função de Transferência 37
A primeira etapa do processamento, como descrito anteriormente, é o comparador de fase,
onde o sinal recebido é subtraído da estimativa do seu desvio de fase e−jθi , calculada no
loop, ou seja, o sinal de realimentação do loop é multiplicado pelo sinal de entrada do PLL.
Matematicamente, podemos expressar o sinal de saída di do comparador de fase, como:
di = aiej(θi−θi) + vie
−jθi . (6.3)
Se definirmos δi como:
δi = θi − θi,
então (6.3) fica:
di = aiejδi + vie
−jθi (6.4)
Em seguida, o cálculo do sinal de erro é feito multiplicando-se a estimativa da parte real de dipela sua parte imaginária:
ei = aiIm[di], (6.5)
onde a parte imaginária é:
Im[di] = Im[aiejδi ] + Im[vie
−jθi ] = ai sin δi + Im[vie−jθi ]. (6.6)
Logo, ei fica:
ei = aiai sin δi + aiIm[vie−jθi ]. (6.7)
Figura 6.2: Modelo Equivalente do DPLL.
Como em estado de regime permanente o ângulo δi é muito pequeno, podemos fazer uma
aproximação dizendo que sin δi ≈ δi. Substituindo a parte correspondente ao ruído por ni,
temos:
ei ≈ aiaiδi + ni. (6.8)
A partir desse resultado, podemos desenvolver o modelo linear do DPLL [20], bem mais simples
que o original, para a análise de sua função de transferência. Neste novo modelo, apresentado
na Figura 6.3, omitiremos a componente do ruído para efeito de simplificação. Calculemos
agora a expressão para a função de transferência do sistema:
∆(z) = Θ(z)− Θ(z). (6.9)
6.2. Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL 38
Figura 6.3: Modelo Linear do DPLL.
Sabendo que:
Θ(z) = ∆(z)F (z)
z − 1, (6.10)
e substituindo (6.10) em (6.9), desenvolvendo a expressão, chegamos ao resultado:
Θ(z)
Θ(z)=
F (z)
(z − 1) + F (z). (6.11)
O PLL utilizado em nosso trabalho é do tipo I e de 1a ordem [21]. Faremos então F (z) = α, onde
α é um número real. Como escolhemos, neste trabalho, α = 0.1, a função de transferência do
PLL fica:
H(z) =Θ(z)
Θ(z)=
0.1z−1
1− 0.9z−1, (6.12)
onde a região de convergência está em |z| > 0.9.
6.2 Estabilidade e Tempo de Aquisição do PLL
A estabilidade de um sistema, seja ele contínuo ou discreto, é determinada pela posição
dos pólos no plano complexo; no caso discreto, para que o sistema seja estável é necessário
que a região de convergência inclua o círculo de raio unitário. Portanto, é fácil concluir que
este PLL é estável, uma vez que sua região de convergência, |z| > 0.9, inclui o círculo de raio
unitário, como mostra a Figura 6.4.
O tempo de aquisição pode ser definido como o instante de tempo em que, considerando
que a entrada do sistema é um degrau unitário, ocorre a transição da resposta transitória
para a permanente; em outras palavras, a resposta do PLL tende a um valor constante. Para
obtermos este valor, vamos analisar a respota do sistema a uma função degrau da seguinte
forma:
θ[i] = Kθu[i], (6.13)
onde Kθ é uma constante e representa o valor da fase de referência na entrada do PLL. No
domínio Z, temos:
Θ(z) =Kθ
1− z−1, (6.14)
que converge para |z| > 1. Para obter a transformada z do sinal de saída do PLL, substituímos
6.3. Análise da Variância 39
Figura 6.4: Pólo do PLL.
(6.14) em (6.12) e reorganizamos os termos:
Θ(z) =0, 1z−1
1− 0.9z−1
Kθ
1− z−1=
0.1Kθz−1
(1− 0.9z−1)(1− z−1), (6.15)
onde a região de convergência é |z| > 1. Para obtermos a resposta ao degrau no domínio
do tempo, primeiramente, aplicamos o método das fracões parciais a fim de obter uma
representação mais simples da equação acima:
Θ(z) =−0.9Kθz
−1
1− 0.9z−1+
Kθz−1
1− z−1, (6.16)
onde agora temos a representação de Θ(z) como a soma de dois termos de primeira ordem.
Finalmente, calculando a transformada Z inversa e organizando os termos da equação,
obtemos:
θ[i] = Kθ(1− 0.9i)u[i− 1]. (6.17)
Observando a Figura 6.5, podemos afirmar que o tempo de aquisição do PLL é da ordem
de 40 a 50 símbolos.
6.3 Análise da Variância
A variância da estimativa de fase é dada por [22]:
σθ = BLT1
Eb/No, (6.18)
onde BL é a largura de banda de ruído do DPLL, a qual pode ser obtida pela seguinte expressão
[22]:
BLT =αA
2(2− αA)=
0, 1A
2(2− 0, 1A), (6.19)
6.3. Análise da Variância 40
Figura 6.5: Resposta do PLL ao Degrau Unitário.
em que A é a inclinação da curva-S na origem. A curva-S é definida como [22]:
S(δi) = S(θi − θi) = Eei|δi, (6.20)
e pode ser obtida experimentalmente abrindo o loop do DPLL e realizando a medição da média
temporal do sinal de erro, conforme ilustrado na Figura 6.6 abaixo.
Figura 6.6: Medição da Curva-S.
Capítulo 7Resultados
Implementou-se em Matlab o protótipo do demodulador BPSK proposto nesse trabalho
e descrito nos capítulos anteriores. Através de simulação computacional foi avaliado o
desempenho do sistema em termos da taxa de erro de bits, visualização da constelação de
símbolos, diagrama de olho, variância dos estimadores e tempo de aquisição [12, 23]. No
modelo implementado, utilizaram-se os seguintes valores para os diversos parâmetros do
sistema:
I A frequência da portadora no estágio de FI é fFI = 70 MHz.
I A largura de banda do filtro em FI é 2W = 20 MHz.
I A taxa de símbolos é 1T = 1 Mbaud.
I A formatação do pulso em banda básica é a de uma janela retangular.
I A taxa de amostragem é fs = 40 MHz.
I A razão energia de bit por densidade de potência de ruído EbNo
varia de 6 dB a 11 dB, para
o cálculo da taxa de erro de bits, e de 6 dB a 20 dB, para o cálculo da variância dos
estimadores.
I O desvio de frequência residual situa-se na casa dos 7 Hz.
I O atraso de símbolos ε varia de −12 a 1
2 .
I A fase do sinal recebido θ ∈ [0, 2π).
7.1 Desempenho dos Interpoladores e Filtros Ótimos
Nesta seção observaremos o desempenho do sistema considerando perfeito o sincronismo,
a fim de visualizarmos o desempenho dos dois interpoladores e suas respectivas filtragens.
Começamos a analisar os resultados observando a densidade espectral de potência de v2[n]
na Figura 7.1. É imediata a conclusão de que realmente trata-se de um ruído colorido devido
ao seu formato curvo, a qual indica uma atenuação nas frequências mais altas do espectro
do sinal recebido.
Na Figura 7.2 temos o gráfico da taxa de erro de bits para os dois sistemas descritos nos
capítulos 3 e 4. Conforme o resultado obtido analiticamente, ambas arquiteturas possuem
o mesmo desempenho em termos de taxa de erro de bits, com algumas pequenas diferenças
que podem ser explicadas por imprecisões do simulador.
7.2. Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr 42
Figura 7.1: Densidade Espectral de Potência de v2[n].
Figura 7.2: Comparação da Taxa de Erro de Bits dos Conversores.
7.2 Tamanho da Janela de Sìmbolos do Estimador de Oerder&Meyr
Aqui começamos a considerar os problemas de sincronismo. Na Figura 7.3 podemos
observar a taxa de erro de bits para três diferentes valores do tamanho da janela de
7.3. Taxa de Erro de Bits do Demodulador 43
Figura 7.3: Influência do Tamanho da Janela de Símbolos no Desempenho do Sistema.
símbolos do estimador de atraso. Fica claro que não há uma diferença muito significativa de
desempenho, principalmente entre as curvas para uma janela de 50 e 60 símbolos; podemos
observar até uma leve piora de desempenho para uma Eb/No = 10 quando o valor de 60. Para
as simulações seguintes, utilizaremos 50 para o tamanho da janela do estimador.
7.3 Taxa de Erro de Bits do Demodulador
A taxa de erros de bits do demodulador BPSK, medida levando em consideração o desvio
de fase e atraso de símbolo, pode ser visualizada na Figura 7.4. Para obtenção deste gráfico
usamos a arquitetura composta pelo primeiro interpolador e seu respectivo filtro de detecção
ótima e os seguintes valores para os parâmetros de sincronismo:
I Atraso de símbolo de 10 amostras.
I Desvio residual de frequência de 7 Hz.
I Desvio de fase de 60o.
Devemos aqui levar em consideração o desvio residual de frequência, da ordem de 10%
da frequência intermediária, o qual surge da imprecisão dos componentes analógicos no
processamento que antecede o demodulador digital, necessitando que façamos em um estágio
posterior um ajuste fino da correção deste desvio. Felizmente, o DPLL mostra-se eficaz na
correção deste problema, e não apenas para o valor considerado aqui neste trabalho, mas
inclusive para taxas de erro bem maiores, chegando a corrigir satisfatoriamente desvios de
mais 100 Hz.
7.4. Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho 44
Figura 7.4: Taxa de Erro de Bits.
O sistema descrito no trabalho apresenta taxas de erro de bits um pouco maiores que as
ideais, chegando a uma diferença de somente 1 dB entre as duas curvas para uma Eb/No de
11 dB. É importante também observar que os sincronizadores funcionam satisfatoriamente
mesmo para valores de Eb/No considerados baixos para comunicação espacial (menor que 8
dB).
7.4 Constelação de Símbolos e Diagrama de Olho
Nas Figuras 7.5 e 7.6 podemos visualizar a constelação de simbolos na entrada e na saída
do DPLL, para uma Eb/No = 12 dB e um desvio de fase de 60o; em (7.6) verficamos que a
constelação está sobre a circunferência de raio unitário, devido a normalização realizada na
entrada no DPLL, e que ela oscila agora em torno do eixo horizontal, sem desvio na fase.
Nas Figuras 7.7 e 7.8 observamos o diagrama de olho antes de depois do sincronizador
de símbolo; percebemos que, em 7.7, a abertura do olho a cada 1 µs, que é o período de
amostragem, é bem menor que em 7.8, o que indica que o sinal na entrada do sincronizador
de símbolos está amostrado nos instantes de tempo incorretos e, portanto, com déficit de
energia em suas amostras. Na Figura 7.8 vemos que este problema está corrigido.
7.5 Variância dos Estimadores
Através da simulação computacional mediu-se a variância do erro dos estimadores
propostos para a estimação dos desvios de frequência, fase e atraso. Os valores medidos
da variância do erro são comparados aos limites teóricos de Cramer-Rao para a variância dos
erros do Estimador de Fase e Atraso, que são dados pelas seguintes expressões [22,24]:
CRB(θ) =(Eb/No)
−1
2Lo, (7.1)
7.5. Variância dos Estimadores 45
Figura 7.5: Constelação na Entrada do DPLL.
Figura 7.6: Constelação na Saída do DPLL.
7.5. Variância dos Estimadores 46
Figura 7.7: Diagrama de Olho na Entrada do Sincronizador de Símbolo.
Figura 7.8: Diagrama de Olho na Saída do Sincronizador de Símbolo.
7.6. Tempo de Aquisição 47
Figura 7.9: Variância da Estimativa de Fase.
CRB(ε) =(Eb/No)
−1
8(π)2ξLo, (7.2)
em que:
ξ = T 2
∫∞−∞ f2|G(f)|df∫∞−∞ |G(f)|df
, (7.3)
onde G(f) é a transformada de Fourier do pulso em banda base e Lo é o tamanho da janela de
observação do Estimador de Atraso. É importante ressaltar que, como o desvio de frequência
é muito pequeno, na ordem de 7 Hz, a variação da velocidade angular da constelação será
muito lenta e por isso, foi considerada como uma pequena variação, sempre constante, na
fase.
7.6 Tempo de Aquisição
Neste item obteve-se o tempo de aquisição do sincronismo através da medida do número
de símbolos necessário para que ocorra a aquisição de frequência, fase e atraso. Para um
dado estimador, considera-se que a aquisição está completa quando a curva de aprendizado
se estabiliza.
Para a avaliação do tempo de aquisição do sistema, utilizou-se a relação de EbNo
= 15
dB. Observa-se das curvas apresentadas que a aquisição do Estimador de Atraso corre em
aproximadamente 0.05× 10−3 segundos, o que dá exatamente 50 símbolos, algo esperado pois
trata-se de um sistema de malha aberta que calcula o tempo de atraso através de uma janela
de 50 símbolos.
O PLL, colocado em série logo após o Recuperador do Sincronismo de Símbolo, também
7.6. Tempo de Aquisição 48
Figura 7.10: Variância da Estimativa do Atraso de Símbolo.
leva aproximadamente um tempo de 50 símbolos para estabilizar na fase correspondente ao
desvio provocado pelo canal de comunicação.
7.6. Tempo de Aquisição 49
Figura 7.11: Tempo de Aquisição da Estimativa de Fase.
Figura 7.12: Tempo de Aquisição da Estimativa de Atraso.
Capítulo 8Conclusão e Perspectivas
O demodulador BPSK completamente digital foi desenvolvido neste trabalho visando uma
modernização no atual sistema de demodulação de sinais de telecomando de satélites do INPE.
O demodulador é constituído de quatro blocos principais que são: o conversor A/D-BP/BB,
que discretiza, converte para banda base e recupera as amostras perdidas no processo
anterior; a filtragem ótima, que melhora a relação sinal-ruído após a saída do conversor;
o sincronizador de símbolo, que corrige o atraso provocado pela defasagem entre os relógios
do transmissor e do receptor e o DPLL, que corrige o erro de fase e realiza a detecção dos
símbolos. A proposta representa um avanço tecnológico no cenário nacional, pois além de
propor um novo paradigma em termos de implementação, funciona a uma taxa de símbolos
bem superior aos sistemas que o INPE opera atualmente.
A grande contribuição deste trabalho foi o desenvolvimento de técnicas simples de
interpolação para contornar o sério problema de perda de amostras em uma amostragem
em banda passante. Quando utilizada a primeira técnica de interpolação, demonstrou-se que
mesmo o ruído sendo colorido, a filtragem ótima é feita por um filtro casado; um resultado
bastante contra-intuitivo pois sabemos que o filtro casado é ótimo apenas para ruído branco.
Analiticamente, através de um teste de hipóteses aplicado às amostras do sinal na saída
dos interpoladores e utilizando o critério de máxima verossimilhança, ficou bastante claro o
porquê do uso do filtro casado.
Podemos, porém, refletir sobre este resultado de uma outra maneira. O primeiro
interpolador apenas realiza uma operação de substituição de amostras, ou seja, ele apenas
troca uma amostra contendo apenas ruído pela anterior que contém informação útil e ruído.
Este caso é bastante diferente, por exemplo, daqueles que exigem o uso de um equalizador
para descolorir o ruído, pois neste caso o processo resultante geralmente é fruto de uma
combinação linear das amostras de um ruído branco. Como o que acontece no conversor é
apenas a troca de uma amostra por outra, a potência do ruído presente em um período de
simbolo aumenta na mesma proporção da energia do símbolo e portanto, o desempenho é
semelhante ao do segundo interpolador.
Outro ponto importante deste trabalho foi o estudo de várias técnicas de sincronismo,
aplicadas a diferentes situações, que resultou na concepção de uma arquitetura funcional
que aproveita as várias soluções isoladas propostas na literatura para resolver em conjunto o
problema específico de demodulação BPSK para o canal de telecomando espacial.
Os resultados mostram que o sistema proposto apresenta muito bom desempenho em
termos de taxa de erro de bits, estimadores relativamente precisos e um tempo de aquisição
51
total razoável de aproximadamente 100 símbolos. Como mencionado anteriormente, a taxa
de erros apresenta um pequeno aumento quando temos um atraso de símbolo muito baixo,
devido ao aumento da interferência intersimbólica (em inglês Intersymbol Interference (ISI)),
mas nada que comprometa o bom desempenho do demodulador.
Trabalhos futuros serão focados na continuidade do projeto de um sistema de telecomando
espacial que utilize modulação BPSK. Primeiramente, é essencial que se consiga embarcar
o código VHDL sintetizado em uma FPGA, utilizando um kit de desenvolvimento robusto e
especializado em processamento digital de sinais. Outro ponto interessante a ser considerado
são os efeitos da não linearidade do canal espacial sobre o sistema, algo que não foi estudado
neste trabalho. Portanto, seria interessante o desenvolvimento de uma linha de pesquisa
para verificar o desempenho desse sistema quando a não linearidade dos amplificadores de
potência não poderem ser desconsideradas.
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