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FaszinationPrimzahlen
Jurg Kramer
Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
Formeln furPrimzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheZetafunktion
Die Faszinationder Primzahlen
Jurg Kramer
Institut fur MathematikHumboldt-Universitat zu Berlin
27. April 2015
FaszinationPrimzahlen
Jurg Kramer
Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
Formeln furPrimzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheZetafunktion
Grundlegendeszu Primzahlen
FaszinationPrimzahlen
Jurg Kramer
Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
Formeln furPrimzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheZetafunktion
Grundlegendes zu Primzahlen
Die naturlichen Zahlen.
Die Menge der naturlichen Zahlen:
N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Rechenoperationen:
Addition +
n,m ∈ N =⇒ n+m ∈ N.
Multiplikation •
n,m ∈ N =⇒ n•m ∈ N.
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Jurg Kramer
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Grundlegendes zu Primzahlen
Die naturlichen Zahlen.
Die Menge der naturlichen Zahlen:
N = {0, 1, 2, 3, . . . }.
Rechenoperationen:
Addition +
n,m ∈ N =⇒ n+m ∈ N.
Multiplikation •
n,m ∈ N =⇒ n•m ∈ N.
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Jurg Kramer
Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
Formeln furPrimzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheZetafunktion
Grundlegendes zu Primzahlen
Bausteine der naturlichen Zahlen.
Alle naturlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsendarstellen, z.B.
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.
Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?
FaszinationPrimzahlen
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Grundlegendes zu Primzahlen
Bausteine der naturlichen Zahlen.
Alle naturlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsendarstellen, z.B.
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.
Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?
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Zahlen vonPrimzahlen
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Grundlegendes zu Primzahlen
Bausteine der naturlichen Zahlen.
Alle naturlichen Zahlen lassen sich als Summe von Einsendarstellen, z.B.
5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Die Zahl 1 ist der additive Baustein von N.
Welches sind die multiplikativen Bausteine von N?
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Grundlegendes zu Primzahlen
Definition.
Eine naturliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist undp nur die Teiler 1 und p besitzt.
Fundamentalsatz der Arithmetik.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von N.
Mit anderen Worten:
Alle naturlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge)eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.
1 456 848 = 24 · 32 · 67 · 151.
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Grundlegendes zu Primzahlen
Definition.
Eine naturliche Zahl p heißt Primzahl, falls p > 1 ist undp nur die Teiler 1 und p besitzt.
Fundamentalsatz der Arithmetik.
Die Primzahlen sind die multiplikativen Bausteine von N.
Mit anderen Worten:
Alle naturlichen Zahlen lassen sich (bis auf die Reihenfolge)eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen, z.B.
1 456 848 = 24 · 32 · 67 · 151.
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Grundlegendes zu Primzahlen
Liste von Primzahlen.
Beispiel: Die Primzahlen zwischen 1 und 100:
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,
43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97}.
Man erhalt also 25 Primzahlen.
Im Folgenden bezeichne P die Menge der Primzahlen.
FaszinationPrimzahlen
Jurg Kramer
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Grundlegendes zu Primzahlen
Sieb des Eratosthenes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Sieb des Eratosthenes.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Sieb des Eratosthenes.
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 12 13 14 15 16 17 18 19 2021 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 32 33 34 35 36 37 38 39 4041 42 43 44 45 46 47 48 49 5051 52 53 54 55 56 57 58 59 6061 62 63 64 65 66 67 68 69 7071 72 73 74 75 76 77 78 79 8081 82 83 84 85 86 87 88 89 9091 92 93 94 95 96 97 98 99 100
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Grundlegendes zu Primzahlen
Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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Satz (Euklid).
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
Annahme:
Es gibt nur endlich viele Primzahlen p1, p2, . . . , pn.
Sei q = p1 · p2 · . . . · pn das Produkt dieser Primzahlen.
Die Zahl q + 1 ist durch keine der Primzahlen pi teilbar,da bei Division durch pi immer der Rest 1 bleibt.
Damit sind die Primfaktoren von q + 1 nicht in der Mengeder Primzahlen p1, p2, . . . , pn enthalten.
Dies widerspricht unserer Annahme. �
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NutzlichkeitPrimzahlen
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Zahlen vonPrimzahlen
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Nutzlichkeit von Primzahlen
Primzahlen und ihre Eigenschaften finden Anwendung bei:
Verwendung von EC-Karten.
Sicheren Kommunizieren.
Verwendung des Internets.
. . .
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Verwendung von EC-Karten.
Sicheren Kommunizieren.
Verwendung des Internets.
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Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
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Zahlen vonPrimzahlen
RiemannscheZetafunktion
Nutzlichkeit von Primzahlen
Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.
Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp(b) den Rest vonb ∈ N nach Division durch p. Dann besteht fur a ∈ N mitp 6 |a die Beziehung
Rp(ap−1) = 1 ⇐⇒ Rp(ap) = a.
Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4:
R5(21) = 2, R5(22) = 4, R5(23) = 3, R5(24) = 1.
R5(31) = 3, R5(32) = 4, R5(33) = 2, R5(34) = 1.
R5(41) = 4, R5(42) = 1, R5(43) = 4, R5(44) = 1.
FaszinationPrimzahlen
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NutzlichkeitPrimzahlen
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Nutzlichkeit von Primzahlen
Mathematische Grundlage: Kleiner Satz von Fermat.
Es sei p eine Primzahl und es bedeute Rp(b) den Rest vonb ∈ N nach Division durch p. Dann besteht fur a ∈ N mitp 6 |a die Beziehung
Rp(ap−1) = 1 ⇐⇒ Rp(ap) = a.
Beispiele: p = 5 und a = 2, 3, 4:
R5(21) = 2, R5(22) = 4, R5(23) = 3, R5(24) = 1.
R5(31) = 3, R5(32) = 4, R5(33) = 2, R5(34) = 1.
R5(41) = 4, R5(42) = 1, R5(43) = 4, R5(44) = 1.
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Nutzlichkeit von Primzahlen
Die”Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:
Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Prim-zahlen und m = p · q. Dann besteht fur zu m teilerfrem-de a ∈ N die Beziehung
Rm
(a(p−1)(q−1)
)= 1⇐⇒ Rm
(a(p−1)(q−1)+1
)= a.
Sicherheit der Verschlusselung:
Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in diePrimfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stelligsind.
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Die”Public Key Cryptography“ verwendet allgemeiner:
Satz von Euler. Es seien p, q zwei verschiedene Prim-zahlen und m = p · q. Dann besteht fur zu m teilerfrem-de a ∈ N die Beziehung
Rm
(a(p−1)(q−1)
)= 1⇐⇒ Rm
(a(p−1)(q−1)+1
)= a.
Sicherheit der Verschlusselung:
Schwierigkeit der schnellen Faktorisierung von m in diePrimfaktoren p und q, falls p, q jeweils etwa 200-stelligsind.
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Nutzlichkeit von Primzahlen
Ein”
bescheidenes“ Beispiel:
m = 11438162575788886766923577997614
66120102182967212423625625618429
35706935245733897830597123563958
705058989075147599290026879543541.
p = 34905295108476509491478496199038
98133417764638493387843990820577,
q = 32769132993266709549961988190834
461413177642967992942539798288533.
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Ein”
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m = 11438162575788886766923577997614
66120102182967212423625625618429
35706935245733897830597123563958
705058989075147599290026879543541.
p = 34905295108476509491478496199038
98133417764638493387843990820577,
q = 32769132993266709549961988190834
461413177642967992942539798288533.
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Formeln fur Primzahlen
Mersennesche Primzahlen:
p = 2n − 1,
wobei notwendigerweise n selbstauch eine Primzahl ist.
n = 2: 22 − 1 = 3.
n = 3: 23 − 1 = 7.
n = 5: 25 − 1 = 31.
Gegenbeispiel: 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.
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Mersennesche Primzahlen:
p = 2n − 1,
wobei notwendigerweise n selbstauch eine Primzahl ist.
n = 2: 22 − 1 = 3.
n = 3: 23 − 1 = 7.
n = 5: 25 − 1 = 31.
Gegenbeispiel: 211 − 1 = 2047 = 23 · 89.
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Fermatsche Primzahlen:
p = 2n + 1,
wobei n = 2m mit m ∈ N ist.
n = 20: p = 21 + 1 = 3.
n = 21: p = 22 + 1 = 5.
n = 22: p = 24 + 1 = 17.
n = 23: p = 28 + 1 = 257.
n = 24: p = 216 + 1 = 65 537.
Gegenbeispiel (Euler):p = 22
5+ 1 = 4 294 967 297 hat den Teiler 641.
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Fermatsche Primzahlen:
p = 2n + 1,
wobei n = 2m mit m ∈ N ist.
n = 20: p = 21 + 1 = 3.
n = 21: p = 22 + 1 = 5.
n = 22: p = 24 + 1 = 17.
n = 23: p = 28 + 1 = 257.
n = 24: p = 216 + 1 = 65 537.
Gegenbeispiel (Euler):p = 22
5+ 1 = 4 294 967 297 hat den Teiler 641.
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Die Formel von Matjasevich. Wir betrachten das folgendePolynom P = P(A,B, . . . ,Y ,Z ) mit den 26 Buchstaben desAlphabets als Variablen:
(K + 2)(1− [WZ + H + J − Q]2 − [(GK + 2G + K + 1)·
(H + J) + H − Z ]2 − [16(K + 1)3(K + 2)(N + 1)2 + 1− F 2]2−[2N + P + Q + Z − E ]2 − [E 3(E + 2)(A + 1)2 + 1− O2]2−[(A2 − 1)Y 2 + 1− X 2]2 − [16R2Y 4(A2 − 1) + 1− U2]2−[N + L + V − Y ]2 − [(A2 − 1)L2 + 1−M2]2 − [AI + K + 1−L− I ]2 − [((A + U2(U2 − A))2 − 1)(N + 4DY )2 + 1−(X + CU)2]2 − [P + L(A− N − 1) + B(2AN + 2A− N2−2N − 2)−M]2 − [Q + Y (A− P − 1) + S(2AP + 2A− P2−2P − 2)− X ]2 − [Z + PL(A− P) + T (2AP − P2 − 1)− PM]2
).
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Satz von Matjasevich. Fur jede Primzahl p ∈ P gibt esa, b, . . . , y , z ∈ N mit der Eigenschaft
p = P(a, b, . . . , y , z).
Das ist naturlich nicht sehr nutzlich!
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Die derzeit großte bekannte Primzahl (gefunden: 2013):
p = 257 885 161 − 1.
Dies ist eine Zahl mit 17 425 170 Stellen.
http://primes.utm.edu/largest.html
Etwa 4900 eng bedruckte DIN-A4 Seiten, beginnend mit
581887266232246442175100212113232368636370852325421589325781704480584492761707442316428281349423376942979071335489886655517752224731316967316601101080371457923021838436917492197333394648729851218665756323673512565202964097437803696250542088744968273344617858384022131920787583935917496283612402707082209797985800006635414921583881775901 . . .
FaszinationPrimzahlen
Jurg Kramer
Grundlegendeszu Primzahlen
NutzlichkeitPrimzahlen
Formeln furPrimzahlen
Zahlen vonPrimzahlen
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Zahlen von Primzahlen
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Zahlen von Primzahlen
Die Primzahlfunktion. Fur x ∈ R>0, definieren wir dieTreppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.
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Die Primzahlfunktion. Fur x ∈ R>0, definieren wir dieTreppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
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π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
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Die Primzahlfunktion. Fur x ∈ R>0, definieren wir dieTreppenfunktion
π(x) := Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich x
= ]{p ∈ P | p ≤ x}.
π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168.
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Primzahllucken: Primzahllucke der Lange 5.
Sei q = 2 · 3 · 5 = 30.
Dann sind die 5 Zahlen
30 + 2, . . . , 30 + 6
keine Primzahlen!
Allgemein: Primzahllucke der Lange k ∈ N.
Sei q das Produkt aller Primzahlen ≤ k + 1.
Dann sind die k Zahlen
q + 2, . . . , q + k + 1
keine Primzahlen!
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Primzahllucken: Primzahllucke der Lange 5.
Sei q = 2 · 3 · 5 = 30.
Dann sind die 5 Zahlen
30 + 2, . . . , 30 + 6
keine Primzahlen!
Allgemein: Primzahllucke der Lange k ∈ N.
Sei q das Produkt aller Primzahlen ≤ k + 1.
Dann sind die k Zahlen
q + 2, . . . , q + k + 1
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Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten Primzahlen.
Kleinste Primzahlzwillinge:
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
Großter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011):
(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).
Offene Frage:
Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
Yitang Zhang (Mai 2013), James Maynard (Nov. 2013):Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand,der hochstens 272 betragt!
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Kleinste Primzahlzwillinge:
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
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(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).
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Yitang Zhang (Mai 2013), James Maynard (Nov. 2013):Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand,der hochstens 272 betragt!
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Primzahlzwillinge: Paare von benachbarten Primzahlen.
Kleinste Primzahlzwillinge:
(2, 3), (5, 7), (11, 13), . . .
Großter bekannter Primzahlzwilling (Stand: Dez. 2011):
(3756801695685 · 2666669 − 1, 3756801695685 · 2666669 + 1).
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Gibt es unendlich viele Primzahlzwillinge?
Yitang Zhang (Mai 2013), James Maynard (Nov. 2013):Es gibt unendlich viele Primzahlpaare mit einem Abstand,der hochstens 272 betragt!
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Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallee-Poussin).
Fur x � 0, d.h. fur sehr große x , gilt die Asymptotik:
π(x) ∼ x
ln(x).
x
y
exp(x) x
y
ln(x)
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Fur x � 0, d.h. fur sehr große x , gilt die Asymptotik:
π(x) ∼ x
ln(x).
x
y
exp(x)
x
y
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Primzahlsatz (Hadamard, de la Vallee-Poussin).
Fur x � 0, d.h. fur sehr große x , gilt die Asymptotik:
π(x) ∼ x
ln(x).
x
y
exp(x) x
y
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D.h. es gilt:
limx→∞
(π(x)
x/ ln(x)
)= 1.
M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich fur x →∞immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.
D.h. die Funktion
π(x)− x
ln(x)
wachst fur x →∞ von niedriger Ordnung als x/ ln(x).
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D.h. es gilt:
limx→∞
(π(x)
x/ ln(x)
)= 1.
M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich fur x →∞immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.
D.h. die Funktion
π(x)− x
ln(x)
wachst fur x →∞ von niedriger Ordnung als x/ ln(x).
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D.h. es gilt:
limx→∞
(π(x)
x/ ln(x)
)= 1.
M.a.W. die Funktion π(x) schmiegt sich fur x →∞immer mehr an die Funktion x/ ln(x) an.
D.h. die Funktion
π(x)− x
ln(x)
wachst fur x →∞ von niedriger Ordnung als x/ ln(x).
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Restgliedabschatzung.
Vermutung.
Es existiert eine Konstante C > 0,so dass die Ungleichung∣∣∣∣π(x)− x
ln(x)
∣∣∣∣ < C ·√x · ln(x)
fur x →∞ besteht.
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Die Riemannsche Zetafunktion
Definition. Die Riemannsche Zetafunktionist gegeben durch
ζ(s) =∞∑n=1
1
ns
= 1 +1
2s+
1
3s+ · · ·
ζ(s) definiert eine glatte Funktion fur s > 1.
ζ(s) wird singular fur s = 1 (harmonische Reihe).
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Es besteht die Eulersche Produktentwicklung
ζ(s) =∏p∈P
(1− 1
ps
)−1=
1
1− 2−s· 1
1− 3−s· 1
1− 5−s· 1
1− 7−s· · ·
Beweisidee. Mit Hilfe der geometrischen Reihenentwicklung
1
1− p−s=∞∑
m=0
p−ms ,
erhalt man
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∏p∈P
(1− 1
ps
)−1=
(1 +
1
2s+
1
22s+ . . .
)(1 +
1
3s+
1
32s+ . . .
)· · · =
1 +1
2s+
1
3s+
1
(22)s+
1
5s+
1
(2 · 3)s+ . . .
Die Behauptung ergibt sich nun sofort unter Verwendung desFundamentalsatzes der Arithmetik. �
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Die Riemannsche Zetafunktion
Zusammenfassung. Wir haben folgende Aquivalenzen:
Eulersche Pro-duktentwicklung
⇐⇒ Fundamentalsatzder Arithmetik
Da ζ(1) divergiert, haben wir weiter
ζ(s) divergiertbei s = 1
⇐⇒ Satz vonEuklid
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Eulersche Pro-duktentwicklung
⇐⇒ Fundamentalsatzder Arithmetik
Da ζ(1) divergiert, haben wir weiter
ζ(s) divergiertbei s = 1
⇐⇒ Satz vonEuklid
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Man kann ζ(s) auch als komplexwertige Funktion derkomplexen Variablen
s = (Re(s), Im(s)) ⇐⇒ s = Re(s) + i Im(s)
auffassen. Sowohl Definitions- als auch Wertebereich sinddann reell 2-dimensional.
//Re(s)
OOIm(s)
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Ein Millenniumsproblem.
Die Riemannsche Vermutung.
ζ(s) besitzt alle ihre (komplexen) Nullstellenbei s = (1/2, Im(s)),
mit Ausnahme der”trivialen“ Nullstellen
bei s = −2,−4,−6, . . .
Die Riemannsche Vermutung ist aquiva-lent mit der Vermutung uber die Rest-gliedabschatzung des Primzahlsatzes!
//Re(s)
OOIm(s)
_10i
_-10i
_20i
_-20i
_30i
_-30i
_40i
_-40i
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Graph des Betrags der Riemannschen Zetafunktion aufder
”kritischen Geraden“ Re(s) = 1/2, d.h. der Funktion
|ζ(1/2 + it)| fur 0 ≤ t ≤ 50:
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Herzlichen Dank fur
Ihre Aufmerksamkeit!
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