View
67
Download
0
Category
Preview:
DESCRIPTION
Diskrétní rozdělení. Karel Zvára. Populace - výběr. populace : idealizovaná situace, jako bychom znali všechny možné výsledky pokusu i s jejich pstmi, všechny možné prvky populace i s jejich vlastnostmi číselný výsledek pokusu – náhodná veličina - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Diskreacutetniacute rozděleniacute
Karel Zvaacutera
Populace - vyacuteběr
populace bull idealizovanaacute situace jako bychom znali všechny možneacute
vyacutesledky pokusu i s jejich pstmi všechny možneacute prvky populace i s jejich vlastnostmi
bull čiacuteselnyacute vyacutesledek pokusu ndash naacutehodnaacute veličinabull n v charakterizovaacutena populačniacutemi parametry
naacutehodnyacute vyacuteběrbull vzorek populace kteryacute můžeme měřit bull charakterizovaacuten vyacuteběrovyacutemi parametrybull z naacutehodneacuteho vyacuteběru soudiacuteme na populaci
Populace - vyacuteběr
populačniacute charakteristikybull (populačniacute) průměr (populačniacute) rozptyl pravděpodobnost
naacutehodneacuteho jevu
vyacuteběroveacute charakteristikybull (vyacuteběrovyacute) průměr (vyacuteběrovyacute) rozptyl relativniacute četnost
naacutehodneacuteho jevu
testovanaacute hypoteacuteza ndash tvrzeniacute o populaci rozhodujeme na zaacutekladě naacutehodneacuteho vyacuteběru rozhodnutiacute je naacutehodneacute (naacutehodnyacute jev)
Naacutehodnaacute veličina
bull čiacuteselně vyjaacutedřenyacute vyacutesledek naacutehodneacuteho pokusubull rozděleniacute NV ndash idealizovanaacute představa o možnyacutech hodnotaacutech NV a
frekvenci jejich vyacuteskytundash spojiteacute rozděleniacute (např normaacutelniacute) ndash v principu může nabyacutevat
všech hodnot z daneacuteho rozmeziacute (intervalu) např hmotnost deacutelka koncentrace
ndash diskreacutetniacute rozděleniacute ndash nabyacutevaacute jen od sebe oddělenyacutech hodnot
Diskreacutetniacute rozděleniacute
bull zpravidla počty přiacutepadů kolikraacutet nastal sledovanyacute jev ndash četnosti
bull popsaacuteno (určeno definovaacuteno)
ndash seznam možnyacutech hodnot x1 x2
ndash pravděpodobnosti těchto hodnot P(X = x1)
bull středniacute hodnota teacutež populačniacute průměr (protějšek vyacuteběroveacuteho průměru) vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
)( 2211 xXxxXxX PPE
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Populace - vyacuteběr
populace bull idealizovanaacute situace jako bychom znali všechny možneacute
vyacutesledky pokusu i s jejich pstmi všechny možneacute prvky populace i s jejich vlastnostmi
bull čiacuteselnyacute vyacutesledek pokusu ndash naacutehodnaacute veličinabull n v charakterizovaacutena populačniacutemi parametry
naacutehodnyacute vyacuteběrbull vzorek populace kteryacute můžeme měřit bull charakterizovaacuten vyacuteběrovyacutemi parametrybull z naacutehodneacuteho vyacuteběru soudiacuteme na populaci
Populace - vyacuteběr
populačniacute charakteristikybull (populačniacute) průměr (populačniacute) rozptyl pravděpodobnost
naacutehodneacuteho jevu
vyacuteběroveacute charakteristikybull (vyacuteběrovyacute) průměr (vyacuteběrovyacute) rozptyl relativniacute četnost
naacutehodneacuteho jevu
testovanaacute hypoteacuteza ndash tvrzeniacute o populaci rozhodujeme na zaacutekladě naacutehodneacuteho vyacuteběru rozhodnutiacute je naacutehodneacute (naacutehodnyacute jev)
Naacutehodnaacute veličina
bull čiacuteselně vyjaacutedřenyacute vyacutesledek naacutehodneacuteho pokusubull rozděleniacute NV ndash idealizovanaacute představa o možnyacutech hodnotaacutech NV a
frekvenci jejich vyacuteskytundash spojiteacute rozděleniacute (např normaacutelniacute) ndash v principu může nabyacutevat
všech hodnot z daneacuteho rozmeziacute (intervalu) např hmotnost deacutelka koncentrace
ndash diskreacutetniacute rozděleniacute ndash nabyacutevaacute jen od sebe oddělenyacutech hodnot
Diskreacutetniacute rozděleniacute
bull zpravidla počty přiacutepadů kolikraacutet nastal sledovanyacute jev ndash četnosti
bull popsaacuteno (určeno definovaacuteno)
ndash seznam možnyacutech hodnot x1 x2
ndash pravděpodobnosti těchto hodnot P(X = x1)
bull středniacute hodnota teacutež populačniacute průměr (protějšek vyacuteběroveacuteho průměru) vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
)( 2211 xXxxXxX PPE
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Populace - vyacuteběr
populačniacute charakteristikybull (populačniacute) průměr (populačniacute) rozptyl pravděpodobnost
naacutehodneacuteho jevu
vyacuteběroveacute charakteristikybull (vyacuteběrovyacute) průměr (vyacuteběrovyacute) rozptyl relativniacute četnost
naacutehodneacuteho jevu
testovanaacute hypoteacuteza ndash tvrzeniacute o populaci rozhodujeme na zaacutekladě naacutehodneacuteho vyacuteběru rozhodnutiacute je naacutehodneacute (naacutehodnyacute jev)
Naacutehodnaacute veličina
bull čiacuteselně vyjaacutedřenyacute vyacutesledek naacutehodneacuteho pokusubull rozděleniacute NV ndash idealizovanaacute představa o možnyacutech hodnotaacutech NV a
frekvenci jejich vyacuteskytundash spojiteacute rozděleniacute (např normaacutelniacute) ndash v principu může nabyacutevat
všech hodnot z daneacuteho rozmeziacute (intervalu) např hmotnost deacutelka koncentrace
ndash diskreacutetniacute rozděleniacute ndash nabyacutevaacute jen od sebe oddělenyacutech hodnot
Diskreacutetniacute rozděleniacute
bull zpravidla počty přiacutepadů kolikraacutet nastal sledovanyacute jev ndash četnosti
bull popsaacuteno (určeno definovaacuteno)
ndash seznam možnyacutech hodnot x1 x2
ndash pravděpodobnosti těchto hodnot P(X = x1)
bull středniacute hodnota teacutež populačniacute průměr (protějšek vyacuteběroveacuteho průměru) vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
)( 2211 xXxxXxX PPE
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Naacutehodnaacute veličina
bull čiacuteselně vyjaacutedřenyacute vyacutesledek naacutehodneacuteho pokusubull rozděleniacute NV ndash idealizovanaacute představa o možnyacutech hodnotaacutech NV a
frekvenci jejich vyacuteskytundash spojiteacute rozděleniacute (např normaacutelniacute) ndash v principu může nabyacutevat
všech hodnot z daneacuteho rozmeziacute (intervalu) např hmotnost deacutelka koncentrace
ndash diskreacutetniacute rozděleniacute ndash nabyacutevaacute jen od sebe oddělenyacutech hodnot
Diskreacutetniacute rozděleniacute
bull zpravidla počty přiacutepadů kolikraacutet nastal sledovanyacute jev ndash četnosti
bull popsaacuteno (určeno definovaacuteno)
ndash seznam možnyacutech hodnot x1 x2
ndash pravděpodobnosti těchto hodnot P(X = x1)
bull středniacute hodnota teacutež populačniacute průměr (protějšek vyacuteběroveacuteho průměru) vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
)( 2211 xXxxXxX PPE
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Diskreacutetniacute rozděleniacute
bull zpravidla počty přiacutepadů kolikraacutet nastal sledovanyacute jev ndash četnosti
bull popsaacuteno (určeno definovaacuteno)
ndash seznam možnyacutech hodnot x1 x2
ndash pravděpodobnosti těchto hodnot P(X = x1)
bull středniacute hodnota teacutež populačniacute průměr (protějšek vyacuteběroveacuteho průměru) vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
)( 2211 xXxxXxX PPE
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Alternativniacute rozděleniacute
bull teacutež Bernoulliovo (nula-jedničkoveacute) rozděleniacute ndash naacutehodnyacute pokus se dvěma možnyacutemi vyacutesledkyndash P(zdar)= P(nezdar) = ndash Bernoulliův pokusndash naacutehodnaacute veličina X = počet zdarů v pokusu
ndash obecnyacute zaacutepis
1)0()1( XX PP
101)( 1 kkX kk P
1
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Alternativniacute rozděleniacute - parametry
bull (populačniacute) průměr středniacute hodnota ndash vaacuteženyacute průměr možnyacutech hodnot
bull (populačniacute) rozptylndash vaacuteženyacute průměr čtverců odchylek od (populačniacuteho) průměru
bull přiacuteklad počet chlapců při jednočetneacutem porodu
)1(01)0(0)1(1 XXX PPE
1)0(0)1(1var 222 XXX PP
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Binomickeacute rozděleniacute
bull n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute Bernoulliova pokusubull v každeacutem zjišťujeme zda sledovanyacute jev nastal či nikolivbull pravděpodobnost zdaru vždy stejnaacutebull X = počet pokusů kdy jev (zdar) nastalbull přiacuteklady počet děvčat v rodině se třemi dětmi nikoliv např
počet potratů u ženy po třech těhotenstviacutech
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull binomickeacute rozděleniacute Bi(n)
ndash X lze chaacutepat jako součet n nezaacutevislyacutech veličin s alternativniacutem rozděleniacutem (počty vyacuteskytů v jednotlivyacutech pokusech)
ndash (populačniacute) průměr roven nπ ndash (populačniacute) rozptyl n π (1- π)ndash n-naacutesobek charakteristiky alternat rozděleniacutendash přiacuteklad pst že ve 12 hodech symetrickou kostkou padne
šestka přesně dvakraacutet
nkknk
nkX knk 10
)(
)(
P
296036
5
12
1112
6
5
6
1
102
12)2(
12
10102
XP
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull pro velkaacute n lze použiacutet aproximaci normaacutelniacutem rozděleniacutem se stejnyacutem průměrem a rozptylem (pokud n dost velkeacute např np (1- p) aspoň 9)
bull přiacuteklad pst že v 60 hodech kostkou padne nejvyacuteš 15kraacutet šestka přesně 0966 z aproximace normaacutelniacutem rozděleniacutem 0958
0 10 20 30 40 50 60
000
006
012
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull binomickeacute rozděleniacute ndash odhad pravděpodobnosti pomociacute relativniacute četnosti
ndash přesnost je daacutena odmocninou z rozptylundash směrodatnaacute (středniacute) chyba
ndash nahradiacuteme-li neznaacutemyacute parametr jeho odhadem p dostaneme 95 interval spolehlivosti
nXp
nN
npp
p)1(
961
n
1
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull binomickeacute rozděleniacute ndash šiacuteřka intervalu spol zaacutevisiacute na p a na nndash napřiacuteklad pro n = 1200 a p=15 vyjde
ndash pro n = 12004 = 300 a p = 15 vyjde
0201501200
850150961150
040150300
850150961150
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull Poissonovo rozděleniacute ndash neniacute daacuten počet pokusů v nichž zjišťujeme zda sledovanyacute
jev (udaacutelost) nastal či nikoliv čekaacuteme na jeho vyacuteskyt danou dobu hledaacuteme jej na daneacute ploše
ndash hustotu (intenzitu) vyacuteskytu charakterizuje (průměrnyacute počet na jednotce plochy v jednotkoveacutem čase)
ndash pravděpodobnost vyacuteskytu je uacuteměrnaacute deacutelce intervalu velikosti plochy
ndash počty udaacutelostiacute v disjunktniacutech intervalech (plochaacutech) jsou nezaacutevisleacute
ndash pst současneacuteho vyacuteskytu dvou udaacutelostiacute zanedbatelnaacutendash X = počet udaacutelostiacute kdy jev nastal
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull Poissonovo rozděleniacute
ndash (populačniacute) průměr i rozptyl jsou (totožneacute)ndash lze použiacutet jako aproximaci binomickeacuteho rozděleniacute je-li
pravděpodobnost malaacute pak je n teacuteměř stejneacute jako n (1-) voliacute se = n
ndash přiacuteklad albiacutenů u krys n=100 = 0001 =gt = 100 bull 0001 = 01
10
)( kek
kXk
P
09050110
)1(90480010
)0( 101
100
eXeX PP
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
přiacuteklad počty koloniiacute (72 69 63 59 59 53 51)
interval spolehlivosti
zde 95 interval pro hrubaacute normaacutelniacute aproximace ( aspoň 100)
zde 95 interval pro
960x 1602 xs7n
nxn
nxn
222
2
2 221
22
966255
nxzx 21
6661557960961960
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash zobecněniacute binomickeacuteho rozděleniacutendash m možnyacutech vyacutesledků pokusu (nastaacutevaacute praacutevě jeden z nich)
binomickeacute mělo m = 2ndash n nezaacutevislyacutech opakovaacuteniacute pokusu
ndash 1 hellip m pravděpodobnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash X1 hellip Xm četnosti možnyacutech vyacutesledků
ndash přiacuteklady krevniacute skupiny (počty skupin A B AB 0) hraciacute kostka (počty jedniček hellip šestek)
m1 nm
n
mmm nn
nnXnX
1
111
)( P
knk
knkn
knXkX
1
)( 21P
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
bull multinomickeacute rozděleniacute ndash protože jednotliveacute složky majiacute binomickeacute rozděleniacute je
(popul) průměr Xj roven n j a rozptyl n j (1 - j )
ndash nejpoužiacutevanějšiacute vlastnost
maacute asymptoticky rozděleniacute chiacute-kvadraacutet s m-1 stupni volnosti (mělo by byacutet vždy nj aspoň 5)
ndash přiacuteklad je hraciacute kostka symetrickaacute (155128146)
m
j j
jj2
n
nX
1
2
)5(07119
10105
101015 22
2095
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Přiacuteklad
bull počet alel Se v genotypu 639 potomků heterozygotniacutech rodičů
0140
7515975159159
53195319321
7515975159159 222
2
639159753195015975očekaacutevaneacute četnosti
639159321159empirickeacute četnosti
celkem0 (se se)1 (Se se)2 (Se Se)počet alel Se
H0 pravděpodobnosti genotypů jsou v poměru 121
213 f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Přiacuteklad (Paulingova studie)
bull Pauling (1961) vliv kyseliny askorboveacute na nachlazeniacute (1 g vitaminu resp placebo)
bull kdyby na vitaminu nezaacuteleželo (H0) poměr nastydlinenastydli tj 48231 se zachovaacute v obou skupinaacutech
27923148celkem
14010931placebo
13912217C
celkemnenastydlinastydlileacutečba
140231279=115914048279=241
139231279=115113948279=239
814
91159115109
92392317 22
2
82p1f
Recommended