View
66
Download
5
Category
Preview:
DESCRIPTION
Robotika
Citation preview
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Lagrange-Euler model
Treba zavrtiti robotski £lanak mase m1 oko osi z0, kao ²to je prikazano na slici 1.Lagrange-Eulerovom metodom izra£unajte koliki je moment potreban da bi sezavrtio ²tap. Pri tome obratite pozornost na smjer gravitacijske sile ukoordinatnom sustavu zemlje. Pri ra£unanju, koristite se na slici 1 ozna£enimosima z0 i z1.
Slika : Robotski £lanak
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 1 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Lagrange-Euler model - Rje²enje
Lagrange-Eulerova metoda temelji se na poznavanju kineti£ke i potencijalneenergije tijela:
L (q, q̇) = Ek (q, q̇)− Eg (q, q̇) (1)
Kineti£ka energija - masa-linearna brzina, moment inercije-kutna brzinaPotencijala energija - masa, pozicija tijela
d
dt
∂
∂q̇iL(q, q̇)− ∂
∂qiL(q, q̇) = Fi (2)
�lanak se promatra u njegovom centru mase (CM).
Slika : Robotski £lanak
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 2 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - DH parametri
Poziciju £lanka odre�ujemo pomo¢u matrice transformacije, za koju je potrebnopostaviti koordinatne osi prema DH pravilima. S obzirom da su z osi £lankazadane u zadatku, preostaje postaviti preostale osi (x odnosno y) vode¢i ra£una opravilima DH metode. Jedno od mogu¢ih rje²enja prikazano je na slici. Za takopostavljene koordinatne sustave vrijede DH parametri prikazani u tablici i matricahomogene transformacije(3).
Θ d α aq1 0 π
2 L
T 10 =
c1 0 s1 Lc1s1 0 −c1 Ls10 1 0 00 0 0 1
(3)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 3 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - DH parametri
S obzirom da gravitacija djeluje u centru mase £lanka robota, potrebno je odreditipoziciju centra mase £lanka u odnosu na koordinatni sustav L0. S obzirom datransformacijska matrica T 1
0 preslikava koordinate sustava L1 u koordinatni sustavL0, potrebno je odrediti koordinate centra mase £lanka 1 u koordinatom sustavuL1(4). Potom ih pomo¢u matrice transformacije T 1
0 jednostavno preslikamo ukoordinatni sustav L0(7). Prema slici te koordinate glase:
−−→∆C1 =
[−∆C1 0 0 1
]T=[−L2 0 0 1
]T(4)
C1 = HT 10 ∆C1 =
L
2
[c1 s1 0
]T(5)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 4 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - kineti£ka energija
Kineti£ku energiju £ine masa i moment inercije, zajedno s linearnom i kutnombrzinom tijela. Iz izraza 7 vidljivo je da se pozicija centra mase £lanka mijenjaovisno o zakretu q1. Kako bismo odredili brzinu £lanka, potrebno je derivirati izrazza poziciju 7. Pri tome valja imati na umu kako je pozicija funkcija zakreta.Rje²enje stoga uklju£uje parcijalnu derivaciju pozicije po zakretu, te parcijalnuderivaciju zakreta po vremenu.
C1 = HT 10 ∆C1 =
L
2
[c1 s1 0
]T(6)
dC1
dt=L
2
[∂cos(q1)∂q1
∂q1∂t
∂sin(q1)∂q1
∂q1∂t 0
]T=L
2
∂q1∂t
[−sin (q1) cos (q1) 0
]T (7)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 5 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - kineti£ka energija
Kineti£ku energiju £ine masa i moment inercije, zajedno s linearnom i kutnombrzinom tijela. Iz izraza 7 vidljivo je da se pozicija centra mase £lanka mijenjaovisno o zakretu q1. Kako bismo odredili brzinu £lanka, potrebno je derivirati izrazza poziciju 7. Pri tome valja imati na umu kako je pozicija funkcija zakreta.Rje²enje stoga uklju£uje parcijalnu derivaciju pozicije po zakretu, te parcijalnuderivaciju zakreta po vremenu.
C1 = HT 10 ∆C1 =
L
2
[c1 s1 0
]T(6)
dC1
dt=L
2
[∂cos(q1)∂q1
∂q1∂t
∂sin(q1)∂q1
∂q1∂t 0
]T=L
2
∂q1∂t
[−sin (q1) cos (q1) 0
]T (7)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 5 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - kineti£ka energija
S druge strane kutna brzina £lanka o£ito je povezana sa zakretom q1 oko zadaneosi z0, tj. s njegovom brzinom ω = ∂q1
∂t . Preostaje jo² postaviti smjer vektorakutne brzine u smjeru osi z0 oko koje se £lanak rotira. Vektor kutne brzine stogaglasi:
ω̂1 =∂q1∂t
[0 0 1
]T(8)
Vektori ²to mnoºe brzinu zakreta £lanka ∂q1∂t dio su Jacobian matrice. Jacobian
matrica op¢enito preslikava brzine zakreta zglobova robota u linijske i kutne brzine£lanka. U ovom slu£aju, Jacobian matrica glasi:
J1 =[−L2 s1
L2 c1 0 0 0 1
]TAT = −L
2
[−s1 c1 0
];B =
[0 0 1
]T (9)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 6 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - kineti£ka energija
U odre�ivanju kineti£ke energije preostaje jo² samo odrediti moment tromosti£lanka. Moment tromosti £lanka odre�uje se s obzirom na njegov centar mase. Utu svrhu koordinatni sustav L1 translatiramo po x1 u centar mase prvog (ijedinog) £lanka Lc1. Potom ra£unamo tenzor momenta tromosti, vode¢i ra£una oin�tezimalnoj ²irini i visini ²tapa u odnosu na njegovu duljinu:
Dck|k=1 = Dc1 = mL2
12
0 0 00 1 00 0 1
(10)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 7 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - kineti£ka energija
Kako bi izra£unali moment kojim je potrebno zavrtiti £lanak, potrebno je tenzorinercija £lanka transformirati iz koordinatnog sustava centra mase u koordinatnisustav hvati²ta, tj. baze L0. Izdvojimo li rotacijski dio R1
0 matrice transformacijeT 10 , moºemo pisati izraz za transformaciju momenta tromosti £lanka:
D1 = R10Dc1R
10T
= mL2
12
s21 −s1c1 0−s1c1 c21 0
0 0 1
(11)
Kineti£ku energiju ²tapa £ine rotacijska i translacijska kineti£ka energija zajedno.Ukupnu kineti£ku energiju ra£unamo izrazom:
Ek =1
2ω̂1
T ·D1 · ω̂1 +1
2m1v1
T · v1
=1
2q̇1[BT ·D1 ·B
]q̇1 +
1
2m1q̇1
[AT ·A
]q̇1 =
L2
6m1q̇
21
(12)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 8 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - potencijalna energija
Gravitacijski vektor u koordinatnom sustavu L0 glasi −→g =[0 g0 0
]T.Kona£no
pi²emo izraz za gravitacijsku potencijalnu energiju £lanka:
Eg = −m−→g T−→c = −mg0L
2
[0 1 0
] c1s10
= −mg0L
2s1 (13)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 9 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - potencijalna energija
Gravitacijski vektor u koordinatnom sustavu L0 glasi −→g =[0 g0 0
]T.Kona£no
pi²emo izraz za gravitacijsku potencijalnu energiju £lanka:
Eg = −m−→g T−→c = −mg0L
2
[0 1 0
] c1s10
= −mg0L
2s1 (13)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 9 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Robotski £lanak - rezultat
Lagrangeova funkcija de�nira se kao razlika izme�u kineti£ke i potencijalneenergije. Prema tome, Lagrangeova jednadºba za dani zadatak glasi:
L (q1, q̇1) = Ek (q1, q̇1)− Eg (q1, q̇1)
=L2
6m1q̇
21 +m1g0
L
2s1
(14)
Primjenom Lagrange-Eulerove metode moment M1 kojim Ivica mora zavrtiti ²tapglasi:
M1 =d
dt
∂
∂q̇1L (q1, q̇1)− ∂
∂q1L (q1, q̇1) =
m1L2
3q̈ − g0m1c1
L
2(15)
DZ: izra£unati zadatak kori²tenjem "kuharice" iz knjige
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 10 / 22
Zadatak: Dinami£ki model £lanka
Dinami£ka jednadºba gibanja manipulatora
n∑j=1
[Dij(q)q̈j ] +
n∑k=1
n∑j=1
[Cikj(q)q̇kq̇j
]+ hi(q) + bi(q̇) = τi (16)
D(q) - tenzor inercije manipulatora n× nC(q) - matrica povezivanja brzina n× nh(q) - vektor gravitacijskog djelovanja n× 1
b(q) - trenje
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 11 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Dvoosni manipulator (L-E model)
Izra£unajte dinami£ke jednadºbe gibanja RT manipulatora sa slike! Pri tome sumase £lanaka m1 i m2, a ²irina i visina £lanka je zanemariva u odnosu na duljinu.
Slika : Opis slike.Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 12 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Θ d α aq1 L1
π2 0
0 L2 + q2 0 0
T 10 =
c1 0 s1 0s1 0 −c1 00 1 0 L1
0 0 0 1
(17)
T 20 =
c1 0 s1 (L2 + q2) s1s1 0 −c1 − (L2 + q2) c10 1 0 L1
0 0 0 1
(18)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 13 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Centar mase n-tog £lanka dobije se translatiranjem koordinatnog sustava Ln unjegov centar mase. Vektori translacije koordinatnog sustava Ln u centar masen-tog £lanka ∆Cn promatraju se u koordinanom sustavu Ln.
∆c1 =[0 −L1
2 0 1]T
(19)
∆c2 =[0 0 −L2
2 1]T
(20)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 14 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Ra£unanje koordinata centra mase £lanka u odnosu prema koordinatnom sustavubaze:
c1 = HT 20 ∆c1 =
[0 0 L1
2
]T(21)
c2 = HT 20 ∆c2 =
[(q2 + L2
2
)s1 −
(q2 + L2
2
)c1 L1
]T(22)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 15 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Izra£unavanje tenzora intercije i-tog £lanka oko njegova centra mase u odnosuprema koordinatnom sustavu Lci:
D′
1 =m1L1
2
12dijag (1, 0, 1) (23)
D′
2 =m2L2
2
12dijag (1, 1, 0) (24)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 16 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Dobivene momente inercije, pomo¢u matrica R10 i R2
0, transformiramo ukoordinatni sustav baze L0:
D1 = R10DC1R
10T
=L21 ·m1
12
1 0 00 1 00 0 0
(25)
D2 = R20DC2R
20T
=L22 ·m2
12
c21 s1 · c1 0s1 · c1 s21 0
0 0 1
(26)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 17 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Izra£unavanje Jacobijevih matrica
Izra£unavanje Jacobijevih matrice £lanka 1 i 2:
J1(q) =
[A1(q)
B1(q)
]=
∂C1∂q1
0
ξ1z1 0
=
0 00 00 00 00 01 0
(27)
J2(q) =
[A2(q)
B2(q)
]=
∂C2∂q1
∂C2∂q2
ξ1z1 ξ2z2
=
(L22
+ q2
)c1 s1(
L22
+ q2
)s1 −c1
0 00 00 01 0
(28)
zi−1
(q) = Ri−10 (q) · i3 (29)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 18 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Izra£unavanje tenzora inercije manipulatora
D(q) = d1(q) + d
2(q) =
n∑k=1
[Ak(q)]T·mk · A
k(q) +
[Bk(q)]T·Dk(q) · Bk(q) (30)
d1(q) =
[A
1(q)]T ·mi · A1
(q) +[B
1(q)]T ·Dk(q) · B1
(q)
=
[0 0 00 0 0
]·m1
0 00 00 0
+
[0 0 10 0 0
] s12 + c12 −s1c1 0
−s1c1 s12 + c1
2 00 0 0
0 00 01 0
=
[0 00 0
]
d2(q) =
−(L22
+ q2
)s1
(L22
+ q2
)c1 0
c1 s1 0
·m1
−(L22
+ q2
)s1 c1(
L22
+ q2
)c1 s1
0 0
+
[0 0 10 0 0
] L22
12·m2 · s
21 −
L22
12·m2 · c1 · s1 0
−L22
12·m2 · c1 · s1
L22
12·m2 · c
21 0
0 0L2·m2
12
0 00 01 0
=
[m23
(L22 + 3 · L2 · q2 + 3 · q22) 0
0 m2
]= D(q)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 19 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Izra£un matrice povezivanja brzina C:
Cikj =∂Dij(q)
∂qk− 1
2
∂Dkj(q)
∂qi, 1 ≤ i, j, k ≤ n (31)
C1 =
[0 0
m2(L2 + 2 · q2) 0
](32)
C2 =
[−0.5 ·m2(L2 + 2 · q2) 0
0 0
](33)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 20 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Rje²enje
Izra£un vektora gravitacijskog djelovanja:
hi(j) = −3∑k=1
3∑j=i
[gk ·mj ·Ajki(q)
](34)
~g =[0 0 −g0
]T(35)
h1(q) = h2(q) = 0 (36)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 21 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
Zavr²ni rezultat
τ1 =m2
3(L2
2 + 3 · L2 · q2 + 3 · q22)q̈1 +m2(L2 + 2 · q2) · q̇2q̇1 + b1(q̇) (37)
τ2 = m2 · q̈2 − 0.5 ·m2(L2 + 2 · q2) · q̇1q̇1 + b2(q̇) (38)
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 22 / 22
Zadatak: Dvoosni manipulator (L-E model)
====================================
Orsag, Mikli¢, Mutka (LARICS) Dinamika manipulatora 22 / 22
Recommended