光の性質 色 スペクトル...

A8 光波　LightWave　　　No.1　光の性質　色　スペクトル　光は質量を　　　　　　　粒子であり、　　　　　　　　　と呼ばれる。真空中での速さは一定で　　　　　　　　　　　　　　である。この速さをこえられるものは原則的にないし、真空や物質中で光りの速さは決まってしまう。光は波としての性質を持ち、振動数や波長を持つ。人間の目が捉えることのできる光を　　　　　　　といい。波長にして次のような表になる。可視光より振動数が大きい領域は　　　　　　といい、低い領域を　　　　　　という。光の振動数をさらに大きく広げたものは　　　　　　　　と呼ばれる。

□　定義と理論　・光とは何か

□　光の色と明るさ　　

人間の感じる色は光の　 　　　によって異なる。　　　　波長の目安　　　　　　　　　　　　　紫　　　　　　　　　　　　　赤　　赤：　　　　　　波長：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　青：　　　　　　　　　　波長【小】振動数【　　】 　　　波長【大】振動数【　　】　

色や明るさは３刺激値などから人間の脳と関係深いので単純ではない。

R

GB

C

MY

R(Red)G(Green)B(Blue)

C(Cyan)M(Magenta)Y(Yellow)

加法混色光を照射 減法混色　光を吸収

○　スペクトル　・分光器

・観察

白熱灯を分光器で見ると　　　　　した色の変化が見られるこれを　　　　　　　　　　　という。しかし、ナトリウムランプやＬＥＤでは　　　　　の　　　　　　　　　が見える。太陽光をよく見ると色が抜けた暗線が見えるこれを　　　　　　　　　　　　　　という。これらは気体に含まれる　　　　　　　　　　　　に原因している。Ｑ　次の光の特徴を示し、分光器で見た様子を図示せよ。

○　電磁波

○　色

　・蛍光灯

・LED

　・レーザー

　・太陽光

　光は波としての性質もあるので同位相の波が重なれば強め合う　　　　　　の性質をもつ。さらに　　　　　　　　の原理に従い、光の波長程度のスリットに入ると　　　　　の性質を示す。一方で光は粒子としての性質もあり水などの物質中に入ると原子や分子と　　　　　　して、光の速さは　　　　　くなる。この粒子として性質は振動数が　　　　ほど大きくなるので振動数によって物質中では光の速さが変化することになる。これを　　　　　　という。Q,　光の粒子性、波動性が振動数や波長でどうかわるか次の表をまとめよ。

□　定義と理論　・干渉　・ホイヘンスの原理　・回折　・分散▽　公式問題

← 振動数　大 色（　　　　）波長　（　　　　）エネルギー（　　　　）粒子性　（　　　　）波動性（　　　　　）

色（　　　　）振動数　小 →波長　（　　　　）エネルギー（　　　）粒子性　（　　　　）波動性（　　　　　）

380nm 770nm

振動数（波長）

可視光

紫　青　　緑　　黄色　　橙　赤紫外線 赤外線 電波 FM,AMγ、ｘ線

750nm400nm

連続 連続スペクトル不連続

吸収スペクトル

１）蛍光灯　位相、波長ともにばらばら。三原色波長のところ

で明るい明線、ややぼけた輝線スペクトルが見える。

２）LED　波長は一定だが、位相は異なる。特定の色のところ

だけが明るく輝線スペクトルが見られる。あとは暗い。

３）レーザー　位相、波長共に一定である。そのため光はひろがっ

ていかない。特定のところのみ輝線スペクトルが見られる。

あとは暗い。４）太陽光　波長、位相ともにばらばらで連続し

た色の変化が全て観測できる。しかし、空気中を長く通過して

くるので特定の波長のみ吸収され暗線が観測できる。

770nm380nm小大

輝線スペクトル

原子の種類

暗線が吸収スペクトルこの波長の光をよく吸収する

物質がある。

輝線スペクト

もたない

赤外線

3.0 × 10 ⁸ [m/s]

紫外線可視光

フォトン

電磁波

干渉

相互作用回折ホイヘンス

高い遅分散

紫青 橙赤小 大 大

大 大小

小小

A8 光波　LightWave　　　No.2　光の性質　回折スリットから出た光波が曲がっていく現象を　　　　　　　という。回折が起きるのにはスリットの幅が　　　　　　に近いこが重要になる。これは　　　　　　　　　　　　の原理により　　　　　　　　　　を用いて説明された。よって白色光の場合、振動数の　　　　　　　、　　　　　　色の波ほど回折は大きくなる。

□　定義と理論　○回折

Q2. 平面波、球面波はどうしてつくればよいか

Q3. スリットを２つ置く場合、2つのスリットははどういう役割か。

▽　公式問題　スリット回折

Q4. 光の波長より十分広いスリットと短いスリットの２つを用意する。ここに光を当てたときの回折の様子はどうなるだろうか。また、レーザー、LED( 単色 ) 光、白色光を単スリットに通すとどうなるか。また、ホイヘンスの原理を作図、説明せよ。スリット大 スリット小

波長の大きさ

回折が 回折が

レーザー光　　　　　　　　LED光　　　　　　　白色光　　　

光の強度

光のエネルギー

・光の特徴　　　　　　

ｄa

L

Q6. スリットの数を増やした時、スクリーンの像の明るさとはどういう関係があるか。

Q5. 次の光源の特徴とスリットを通した時のスクリーンの像を示せ。（ｄ <<L)

-2 -1 1 2

2.5

5

7.5

10

12.5

15

U

-2 -1 1 2

2.5

5

7.5

10

12.5

15

U

少スリット

多スリット

Q1. 下図は 2スリットの干渉実験である。光波はどちらか、その違いは何か。A B

・スリットの役割・ホイヘンスの原理

光源

Q7. スリットの数を増やし、上半分を塞いだ、スクリーンの像はどう変化するか。

ホイヘンスの原理

Q8. スリットの光源側に下の穴のある側にガラス板を置くとスリットの像はどうなるか。

平面波は点源を遠くにとる　球面波は単スリットを１つ置く。

光波は A、光は強度が振幅の２乗で効いてくる。従って水面波と比べるとコントラストが強い。

第１スリット：点波源をつくる。第 2 スリット：位相を揃える。

小さい 大きい

位相も波長も揃った波

位相はバラバラだが波長は揃った波

どの場合も中心付近が明るくなる。

光の場合振幅の 2 乗に比例する。

位相も波長もバラバラなので赤ほどよく曲り外側にいく。逆に青は中心側に片寄る。

スリットを増やしても点の数は変わらない、明るくコントラストがはっきりする。

半分にしても点の数は変わらない、全体が暗くなる。

明点が上下に移動する。

回折波長

ホイヘンス 素元波小さい 赤

A8 光波　LightWave　　　No.3　光の性質　分散と屈折

Q　次のようにプリズムを置き、白色光を入射する。スクリーンの色を書きなさい。

白色光白色光

□　定義と理論　○分散　・位相速度　・群速度

光が屈折する角は光の　　　　　　　　によって異なる。これが分散である。分散は物質中の光の　　　　　　　　が高いほど原子と　　　　　　　　　　　　しやすく、速さが　　　　　　なることから起きる。位相速度と群速度が等しいと分散は　　　　　

白色光

Q2. 媒質 I、Ⅱの絶対屈折率は１，√２とする。図のように入射角 45°で光を入射させた。c=3.0 × 10８[m/s] とする。　　　　　　　　　　　　　　ア）　媒質Ⅱでの屈折角、さらに 3枚目の媒質Ⅰ　　　　　　　　　　　　　　　　　の屈折角を求めよ。　　　　　　　　　　　　　　　イ）Ⅰでの波長を４００nm( 青）とすると　　　　　　　　　　　　　　　　　Ⅱでの波長と速さはどれだけか。　　　　　　　　　　　　　　　　　また、外から見ると何色に見えるか。　　　　　　　　　　　　　　　ウ）媒質Ⅱ中で光が５０mm進んだ。　　　　　　　　　　　　　　　　　これは媒質Ⅰ中では何ｍになるか。

Ⅰ

Ⅰ

Ⅱ

□　定義と理論　・絶対屈折率　・相対屈折率　・スネルの法則 媒質 I の波の速さ V ₁ , 波長λ₁媒質Ⅱでの速さ V ₂ , 波長λ₂とすると入射角θ₁と屈折角

θ₂との間の関係式を屈折率 n12 を用いて表わせ。これを　　　　　　　　という。

Q1. 媒質Ⅱのほうが遅い場合についてホイヘンスの原理を用いて作図し、スネルの法則を　　証明せよ。屈折、反射で変化しないものは何か。

媒質Ⅰ

媒質Ⅱ

真空の屈折率を１として真空に対する屈折率を　　　　　　　といい　　　　　で表す。物質Ａに対する物質Ｂの屈折率を　　　　　　　　　　　　　といい　　　　　　で表す。真空中の光の速さはｃで一定であるが、絶対屈折率nの媒質中の速さは　　　　　　　になる。

▽　公式問題

紫　　　　赤

赤　　

紫

射線

スネルの法則

n12 ＝ n2/n1 ＝ V1/V2 ＝ sin i /sin r ＝λ１/ λ２　

λ₁＝ v ₁ T

λ₂＝ v ₂ T

振動数、周期は変化しない！

新波面

C4　ア）スネルの式からⅠ、Ⅱでの屈折角をθ１，θ２とすると

　n12 =√2 =

θ1θ2

　　　これからⅡでの屈折角は 30°、つまり３層目への入射角も 30°

だから次に、 ⅡからⅠでは元の入射線と平行になるはずだから４５°イ）スネルの式からλ＝４００/ √２　２８３nm　紫の領域だが、外からみれば変わらず青ウ）光学距離の式からｎＳ＝√２× 50 × 10 ー３＝ 7.0 × 10 ー２ｍ

θ₁入射角

θ₂屈折角 屈折では位相も変化しない！

ｄとおく

図から dsin, θ₁ = λ₁＝ V ₁ T、　　　 dsin θ₂ = λ₂＝ V ₂ T片々割ればスネルの式

波長振動数 相互作用

遅く 起きない

絶対屈折率 ｎ相対屈折率 ｎ AB

c/n

A8 光波　LightWave　　　No.4　参考資料

＆世界の教科書から＆University Physics with Modern Physics 14ed.　　大学教養程度の著名な教科書

A8 光波　LightWave　　　No.5

波は素元波という考え方で現象を説明したのは　　　　　　　　　　　　であった。光の屈折に関して、　　　　　　　　　は次の重要な定理が成り立つことをしめした。（1650 年）

▽公式問題　　Q1　

フェルマーの原理を利用して光の反射と屈折および干渉を図を描いて説明せよ。ただし光は A点から B点に至るものとする。光速は cとする。A　　反射　　　　　B

屈折率 nA

B

　　　　　　　Q2

これは量子論への橋渡しか

も！

ここで１つの疑問が生じる？。光は膨大な経路の中から時間最短の経路をどうやって知るのだろうか。しかも、瞬間的に判断する。光に最短の経路を選べなくするためにはどうしたらよいだろうか。

□定義と理論

○フェルマーの原理 フェルマーの原理：光は点 Aから点 Bまで　　　　　　　　　　　の経路を通る。

屈折率 nB

A

h

h θ₁

θ₂x

1-x

よく出る微分d

dx

√f(x) =

f ′(x)

2√f(x)

光は　　　　　　　であり、　　という性質をもつ。これは進行方向から見て光は　　　　　　の自由度を持っているからである。遠くの反射した光が　　　　　　　　　　などを通すと偏光が揃い、よく見えるのはこのせいである。応用例　　　　　　　　　　　　　Q1．実際に偏光板を観察し、光の偏光の偏光を説明せよ。2枚の偏向版を 90°ずらして重ねると光は通さないが間に 45°の偏向版を入れると明るくなくことを考慮すること。

Q2.　２つの自由度ｘ、ｙ成分が次のように与えられた時光の進行方向側から観測するとどん　　なパターンが考えられるか。( θ、δは位相 )１）x=sin( ω t)2）x=sin( ω t)　　　　　　　３）x=sin( ω t+ θ )　　y=cos( ω t)y=0　　　　　　　　　　　y=sin( ω t+ δ )

□　定義と理論○　偏光

▽公式問題

x

y

x

y

x

y

●偏光板の不思議？

　偏光とフェルマーの原理

光は中点で反射した時がもっ

とも短時間で B 点につく

下の媒質のほうの屈折率が小さ

いと図のようになるべく長くし

たの媒質を通過したほうが短時

間で B 点に到着する。

境界を通る領域をせまくして、スリットのようにしてしまうと、そこからは光は広がり、B 点にいくとは限らなくなる。

領域 A の距離 SA= √ {h²+x²} 領域 A の時間 tA=SA/(c/nA)=nA・√ {h²+x²}/c同様に B の時間 tB=SB/(c/nB)=nB・√ {h²+(1-x)²}/c全 T=tA+tB= 1

c

(nA

√h2 + x2 + nB

√h2 + (1 − x)2

) T が極値をとる条件から

nAx√

h2 + x2=

nB(1 − x)√

h2 + (1 − x)2 つまりこれはnB

nA=

sin θ1sin θ2 のスネルの法則である。

横波 偏光2 つ サングラス

3D 映像

円偏光　　　　　　　　　　　直線偏光　　　　　　　　　　　楕円偏光

ある角度θの射影成分を偏光は通過させる。よって 90 度偏光版をずらすと透過光は 0 になるが、間に 45 度にして入れると 0 ではなくなるので 3 枚目を入れたほうが明るくなる。

最短時間

ホイヘンスフェルマー

A8 光波　LightWave　　　No.6　プリズムとレンズ□　定義と理論　・焦点　・逆行性原理▽　公式問題 Q1　媒質Ⅰは空気、媒質Ⅱはガラスである次の絶対屈折率を参考に屈折の様子を下に描け。

　空気の絶対屈折率　　1.00Ⅰ　　　　Ⅱ　　　　　Ⅰ　水の絶対屈折率1.33　ガラスの絶対屈折率1.46　ダイヤの絶対屈折率2.42平面ガラスでは光線は入射と出射で　　　　　　　　　　になる。

　　○平面ガラス

　○プリズム　　　・偏角

□　定義と理論　　　・凸レンズ

　　・レンズの向き

　　・像と倍率

▽公式問題　　Q1 上図を用いて　焦点距離ｆと a,bの間に成り立つ式を見つけなさい。

　　　　　　Q2 レンズの倍率を a,bを用いて表しなさい。

A

B

B'

O

C

A'

　Ⅰ　　　　　　　Ⅱ　　　　　　Ⅰ

凸レンズは変形した　　　　　　　　　　　を連続的に足し合わせたものレンズに平行に入った光は必ず　　　　　　　を通る（　　　　　　　　　）レンズの中心に入った光は必ず　　　　　　　　する。レンズの中心から物体側を正とし　　　　と決め、物体の無い側を正とし、　　　を決める。焦点は fはｂの向きを正にとる。（凸レンズは　　　　　　凹レンズは　　　　　　）レンズの倍率は　　　　　　となる。b>0 なら　　　　　、b<0 なら　　　　　　　になる。

α

θ

物体

入射線と射出線との角度　　　　　　という。頂角をαとして　　　　　　　Q2光路を描き、次のプリズムについて偏角θ、頂角αと入射角θ₁、反射角θ₂との関係を導け。

レンズには対象が大きく見える　　　　レンズと小さく見える　　　　　　レンズがある。光が 1点にあつまるところを　　　　　という。幾何光学では角度の基準は　　　　　　レンズやプリズムに入る光の経路は逆にしても成立する。（　　　　　　　　　）

私もチョイ太

めが好き！

　○逆行の成立図の緑のラインのように逆に象を物体として逆にたどるときちんと物体が像になる関係がある。

θ＝θ１＋θ２ーα

θ２

θ１’ ＋θ２’ ＋β＝π　　α＋β＝πθ＝θ１ーθ１’ ＋θ２ーθ２’ となる ＝θ 1+ θ 2-( θ 1'+ θ 2') ＝θ 1+ θ 2-( π - β )　 ＝θ 1+ θ 2- α

βθ１’ θ２’

平行

θ₁入射角

θ₂射出角必ず垂線とのなす角をとる

屈折率の大小とこの角の大小は反対

の関係にある。θ₁＝θ₂

台形プリズム

D

△ B'BC と△ B'BD において a：f ＝ a ＋ｂ：ｂこれから両辺を aで割ると

物体と実像の高さの比はa：ｂだから倍率をｍとして

倒立の実像

焦点距離 f

θ 1- θ１’ θ 2- θ 2’

ｆ

a b

物体とレンズまでの距離 レンズと像までの距離

a の正方向

光軸

偏角θ

ずれて平行移動

太い方に曲がる ( 偏角 )

θ＝θ１＋θ２ーα

a

f=

a+ b

b,1

f=

a+ b

ab=

1

a+

1

b

m =|b||a|

θ 1

ｂの正方向

ｆの正方向

焦点距離ｆ：物体までの距離 a: 象までの距離ｂｍは倍率　ｂ＜０なら虚像、ｂ＞０なら実像ｆ＞０なら凸レンズ、ｆ＜０なら凹レンズ

1

f=

1

a+

1

b,m =

|b||a|

逆行性原理

焦点 焦点作用直進a b

実像 虚像｜ b/a ｜｜ f>0 ｜ f<0

凸 凹鉛直線焦点 f

A8 光波　LightWave　　　No.7□　定義と理論○実像と虚像　　　・凸レンズ

レンズなどを通して実際にスクリーンなどに投影できる像を　　　　　　　という。レンズを通してみることができても投影できないものを　　　　　　　という。実際に　　　　が集まるところが　　　　　　　で光が無いと　　　　　になる。

　　　　　　Q1 次の凸レンズと凹レンズの虚像を図示し、ｆと a, ｂの条件 , 倍率ｍを求めなさい。ｆ、ｂは自分で図に書き込み正負も答えなさい。（視点はレンズ右側）

A

B

O

C

a

O

B

A

　　　・凹レンズ

レンズを半分覆ったり、格子模様で覆ったりすると像はどう変化するか、また、数字の６の電光板をレンズの後ろにすりガラスを置き、前からみた時と後ろから見たときの図を描け。

　　　　　　Q２

＊虚像は

＊実像は

１）実像は　　が　　　　　の時で　　　　　　レンズにできる。２）虚像は　　　　が　　　　　の時、凹レンズでは　　　　が　　　　　になる。３）凹凸レンズどちらも実像は　　　　　　　し、虚像は　　　　　　　　する。４）虚像は凸レンズでは実物より　　　　　　　く、凹レンズでは　　　　　　　　

□　定義と理論　・　収差

　・球面収差　・色収差

○　レンズまとめ

厳密にはレンズの端に近いとレンズに　　　　　ところに焦点を結ぶ（　　　　　　　　　）また、紫側の方が屈折角が　　　　　　ので　　　　　ところに焦点を結ぶ（　　　　　　）

球面収差 色収差

Ｂ’

物体

物体

６前　　　　後前　　　　後

すりガラス

　レンズと像

倒立 正立大き 小さい

球面収差色収差

近い大きい 近い

正立

倒立

焦点距離　ｆ

実像ができない。

ｂは負になる。

1

f=

1

a− 1

b

焦点距離ｆ負

正立虚像

実像ができない。

ｂ負

b 正　　　　　　　　凸b 負 ｆ　　　　負

レンズを半分にしても、格子にしても像は全体が写り、やや暗くなる。後ろから見れば１８０度の回転である。

６６

ｆ

ｆ

− 1f=

1a− 1

b

a

正立虚像

ｍ =|b/a|>1

ｍ =|b/a|<1

実像光

実像虚像

虚像

A8 光波　LightWave　　　No.8▽　基本問題　・像と倍率

Q1焦点距離が１２ｃｍの凸レンズの前方 20ｃｍのところに高さ４ｃｍの物体を置いた。　次に答えなさい。ア）像のできる位置を図示しなさい。その像は実像か虚像かその大きさを求めなさい。

イ）前方６ｃｍのところに物体を移動した。できる像の位置、種類と大きさを求めなさい。

Q2　あるレンズから１５ｃｍの距離にある物体の虚像がレンズから１０ｃｍの距離の　　位置に生じた。このレンズの種類と倍率を求めなさい。また、焦点距離も求めなさい。　

Q3　光源とスクリーンの間にレンズがある。光源の 1.6 倍の像がスクリーンにできている。　　この状態からレンズのみをスクリーンのほうに 39cm動かしたら再び像ができた。　　このレンズの焦点距離を求めなさい。また、2度目のスクリーンの像は光源の何倍か。　　

Q4　点線に三角プリズムを置いて真上から観察してみなさい。

　・焦点の求め方

　○屈折　　＊各自実験　　でたしかめる　　こと

ウ）同じ焦点距離の凹レンズに変え、前方１２ｃｍに物体を置く、像の位置と種類を図示し　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　像の大きさを求めなさい。

　○逆行の成立

　レンズ　基礎演習

逆行性を利用してb=1.6a また a'=b=1.6a よって 1.6a-a=39 a= 65 ｂ＝ 1.6 × 65

ｆ＝ 40 ｃｍ　　2 度目の像１/1.6 ＝０．６３倍

虚像だからｂ＝ー１０　よって倍率は　１０／１５＝２／３

f=-30, よって凹レンズ　焦点距離３０ｃｍ

1f=

1a+

1b

112=

120+

1b

b = 30cma=20f=12

b=30

倒立実像倍率ｍ＝ 3/2 ＝１．５４× 3/2 ＝６ｃｍ

1f=

1a+

1b

112=

16+

1b

b = −12cm

倍率ｍ＝ 12/6 ＝２４×２＝８ｃｍ

正立虚像

b が負なので虚像になる。

a=6

b=-12

正立虚像

b=-6f=12

1f=

1a+

1b

− 112=

112+

1b

b = −6cm

凹レンズはｆは負にする。実像はできない。

a

b=1.6a

39cma

a とｂを入れ替えても像が成立

1

f=

1

15− 1

10, f = −30

1

f=

1

65+

1

16× 65

A8 光波　LightWave　　　No.9　組み合わせレンズ 1（望遠鏡）

Q1. 図のように凸レンズ Bと凹レンズ Cを組み合わせて望遠鏡を作る。( ガリレオ式 )物体 Aを高さ６cmとする。望遠鏡の筒の長さを最大 8ｃｍにしたい。ア）AB 間が８cm、BC 間が４cm、Bの焦点距離 4cm、Cの焦点距離 2cmとし Cの右側から　　見た物体 Aの像を図示し、その大きさを求めよ。

物体 A

B C

イ）次に実際の望遠鏡を考えよう。非常に遠い所にある物体 Aの像が Cの右側から見たら　図のようになればよい。像 Aの Cからの距離を筒の長さの Cから左に 8cmにしたい。　BC間をいくつにしたらよいか。

BC

像 A

ウ）レンズ Bは固定するとしてレンズ Cを少し右にずらすと像 Aは拡大されるか縮小される　か？

凸レンズと凹レンズを組み合わせると　　　　　　　　や　　　　　　　をつくることができる。この時、物体を 1枚目レンズを通して像をつくり、これを　　　　　　のように扱い、2つめのレンズを通す。凸レンズと凹レンズの性質が入れ替わることあるのでに注意する。

□　定義と理論・組み合わせレンズ

▽　公式問題・ガリレオ式望遠鏡　　　

まず、Ｂによる像は　　　　　　　　　からｂ＝８cm にできる。

b=8

次にこの像を仮の物体としてＣで見るとC の焦点距離より大きいのでa ＝－４とする。凹レンズの公式から　−1

2= −1

4+

1

b

からｂ＝－４よってＣの手前４ｃｍ

倍率はｍ＝｜ b/a ｜＝１、

４

よって像の高さは６ｃｍ

ここに仮の物体があるとしたとき、あたかも凸レンズのように赤点線で作図する。

1

4=

1

8+

1

b

2

a ＝∞としていいからレンズ B の式から 1/4 ＝ 1/ ｂ ' として　ｂ’ は４cmここに仮の物体をつくる。次に凹レンズＣの式からｂ＝－８だから　−1

2= −1

8+

1

aよって a ＝ー８／３＝ー２．７ｃｍＢＣ間はＢと仮の物体までの距離ｂ’ が４だから４－２．７＝１．３ｃｍ

Ｃを右にずらすと a の大きさは小さくなる。倍率の公式から a が小さくなれば倍率が大きくなるので像は拡大される

凹レンズに入る光線は平行ではない。

8

２．７

１．３

ｂ’ ＝４

a

望遠鏡 顕微鏡物体

A8 光波　LightWave　　　No.10　干渉条件　光学距離

○光学距離

○みかけ距離

□　定義と理論　・光学距離　・見かけの距離

▽　基本問題

真空 ( 空気 ) 中での距離ｄを屈折率 nの媒質で通過した時の真空中で距離は　　　　　　　　となる。これを　　　　　　　　　という。逆に観測者が屈折率ｎの媒質内でｄの長さを真空( 空気）中から垂直にみると　　　　　　　になる。これを　　　　　　　　　　　という。

Q2．次のような幅 15cm、深さ 20cmの容器がある。図の点 Pの位置に発光体がある。水の屈折率は４/３としてよい。

ア）観測点を Bから Cに動かすとき、発光体の見かけの深さは　　どう変化するか。

D

A B

P

C

20cm

15cm

イ）次に観測点を Cから Dに動かすと発光体の見かけの深さは　どう変化するか。また、D点から見る見かけの深さを求めよ。

ウ）C点から観測点をさらに図右に移動していく、あるところで発光体は見えなくなる。　この位置は C' は Cからどれだけか、またその時の発光体のみかけの深さを求めよ。ただし、　BCの高さは 10cmとする。

10cm

Q1. 図のように真空から屈折率ｎ Aの領域 Aと屈折率ｎ B の領域 Bを同じ波長λの光が距離ｄ　　だけ直進する。下図のように光が媒質を透過した。行路差を求めて、干渉条件を示せ。　　入射光の位相は等しいとする。図の場合、絶対屈折率ｎ Aとｎ B はどちらが大きいか。　　図の場合の出力光を重ねると強めあうか、弱めあうか求めよ。

A

B

ｄ

A

B＋

□　定義と理論○　干渉条件

波基礎でみたように光の経路の差を　　　　　　　　といい。はじめに同位相であれば、この行路差が半波長の　　　　　　倍であれば強め合い、　　　　　　倍であれば弱め合う。これは 2つの経路 A、Bでの衝突時の媒質のベクトルの位相差が　　　　　　　　　であれば強め合い、　　　　　　　　であれば弱め合うことと同じである。つまり、干渉条件は位相差が特別な場合を見ているにすぎない。Q.　行路差 Dがわかったとして、干渉条件を位相と距離で表せ。

☆波長・周期・位相

光学距離ｎｄ

みかけ距離ｄ / ｎ

図のように B から C に移動すると垂線に近づく、水面下の長さが小さく見える影響は減る。（水中での経路が短い）従って深く見える。

C から D も水中での経路が短いので深く見える。D は真上であるから 20/(4/3)=15cm

入射角θ 1 とすると SIn θ 1/Sin θ 2=4/3 であり、さらに図から Sin θ 2 ＝ 3/5 なのでSin θ 1=4/5 をみたすθ 1　これから CC' ＝ 10 × 4/3 ＝ 13.3cmみかけの深さ tan θ 1=4/3 なので図から h=15 × 3/4 ＝ 11.3cm

みかけの深さｈ

θ 1

θ 2

波長が A の方が大きいのでｎ B のほうが大きい行路差は真空中で D=(nB-nA)dとなるので強めあう条件は　D=(nB-nA)d=n λ図の場合のｎは 2　で強め合っている

　nd光学距離

　d/n みかけの距離

行路差偶数 奇数

奇数×π偶数×π

λ⇔ T ⇔ 2 π

強条件：D ＝ｎλ＝ 2n λ /2　偶半波長　弱条件：D=(2n+1) λ /2　　 奇半波長

強条件：D=2n π（偶π）弱条件：D ＝ (2n+1) π ( 奇π）

A8 光波　LightWave　　　No.11□　定義と理論　・透過波　・反射波○　振動数不変性

　光が領域 I から領域 II に入る時、　　　　　　　と　　　　　　　　に分かれる。領域 I とⅡで　　　　　が異なると透過する光は　　　　　　する。反射光と透過光では光の速さは　　　　　　　する。しかし、境界面で波が連続していくためには　　　　　　　　が変化することができない。そのため振動数は　　　　　　で透過すると波長は　　　　　する。図と式：スネルの法則

○　位相の変化

　・πずれ▽　公式問題　　

　・全反射 さらに領域 I から領域 II に屈折して入る場合、屈折角は最大で　　　　までだから、これより屈折角が大きくなるような入射角の場合光は全て　　　　　する。これを　　　　　　という。この時の入射角を　　　　　　　　　という。応用例：　　　　　　　　　　　　　　　Q2.スネルの法則から全反射が起きる条件を導け

○全反射

○πずれ

　次に光の反射と透過において位相の変化を考えよう。波の連続性から位相に変化がおきるのは　　　　の時のみである。さらに領域 I から II への境界面で反射する場合、位相がπずれるのは屈折率が　　　　　　領域から　　　　　　領域への反射の場合である。

I

Ⅱ

Ⅲ

Q1. 図の領域Ⅰは真空、Ⅱは屈折率が 2Ⅲは 3である。領域Ⅰから図の　ように光りが入射した、どこで位相がずれるか、光の経路と共に図示　せよ。また、I での光の速さがｃ、波長λの時、Ⅱ、Ⅲでの光の速さ　と周期を求めよ。光は連続入射しているとする。

Q.3媒質 Aと媒質 Bがあり相対屈折率ｎ AB は 3/5 である。　ア）媒質 Aで長さ１０ｃｍの棒を媒質 Bに垂直に入れ、媒質 Aからこの長さを観察する　　　と真上から見た場合は何 cmに見えるか。

　　イ）全反射が起きるのはどういう向きか。臨界角を求めよ。

　　ウ）全反射が起きる場合、深さ１２ｃｍに物体を置くと反対の媒質上で真上から　　　水平方向に何ｃｍ離れるとこの物体は見えなくなるか。

12cm

A

B

　反射と屈折

θ：臨界角

θ’ ＝π / ２

θ１：入射角　小

θ１’：屈折角　大

ｎ：大

ｎ’：小

大→小

小→大sin θ＝ｎ１２

n2

n1=

sin θ1sin θ2

= n12

Ⅱでの速さ c/2、T= λ /c　Ⅲでは速さ c/3　T はλ / ｃ振動数、周期は変わらない。

n12 ＝ n2/n1 ＝ V1/V2 ＝ sin i /sin r ＝λ１/ λ２　

仮に図のように屈折率をおくとよい。垂直に見れば見かけの距離だから 10/3/5 ＝ 17cm

スネルの式から Sin θ＝ 3/5 を満たすθ

θ

全反射は大→小　すなわち A → B

nA ＝５

nB ＝３

Sin θ＝ 3/5 から tan θ＝ 3/4 なので求める範囲をｘとすると x/12=3/4 4x=36 横幅が 9cm より近づくと見えない。

x

θ

透過波 反射波屈折率 屈折

変化 振動数、周期一定 変化

反射小さい 　大きい

90°反射 全反射

臨界角 光ファイバー

λ→ 2 πT → 2 π

A8 光波　LightWave　　　No.12　光の干渉 薄膜

Q3．次のように屈折率が 1.0、√６/２,2.4 の A,B,C の 3層構造の透明物質がある。B の厚さをｄとする。Aから Bに波長 500nmの単色光を入射角 60度で入射させた。B と Cの面で反射した光と Bの上面での光の干渉について次に答えよ。

ア）B での屈折角を求めよ。イ）B の上面での Bの下面からの反射波との行路差を求めよ。またこの場所で強め合うための条件を求めよ。　　これから最初に強め合うときの厚さｄを求めよ。

60°

B

C

A

☆干渉条件反射のみπずれ無し

πずれあり

・薄膜斜め行路差

θ A

B

A

d

ｎ A

ｎ B

Q2. 図のように屈折率ｎ Aの領域から屈折率ｎ Bの領域 Bに入射角θ Aで入射させる。領域 Bの厚さはｄである。ｄは薄い膜と考えてよい。境界で強め合う模様がみえる時行路差Dを導け。また、波長λとして干渉条件（πずれなしの場合）を示せ。

屈折率ｎ、距離ｄ・みかけの距離

・光学距離

Q1屈折率が 1.3 の硝子の表面に屈折率が 1.5 の薄い膜をコーティングした。これに波長が6.0 × 10-7 ｍの単色光を垂直に入射させる。ア）単色光の色は何色か、薄膜、ガラス通過時に色はどうなるかイ）反射光の強度が最初に極大になるとき、膜の厚さを求めよ。

ウ）反射光の強度を最初に極小としたいとき、膜の厚さを求めよ。

○薄膜　行路差

○πずれ

□　定義と理論　・白色光

▽　基本問題

光の干渉問題は基本的には　　　　　　　を求めて、　　　　　　　を使う。ただし入力光が　　　　　の場合には色がついて出力光が得られる。この場合、スリットや　　　　　　　　は光の　　　　　　現象が起きるので波長の　　　　　い　　　　　色の光ほどよく曲がる。これに対し、　ニュートン環や　　　　　などの屈折は光の　　　　　　　現象がおきるので波長の　　　　　い　　　　　色の光りほどよく曲がる。

2dθ

θ

２ｎｄ cos θ

πずれ

πずれ ア）スネルの公式からsin 60

sin i=

√6

2, sin i =

1√2

　i=45°

イ）行路差Ｄは図から光学距離ｎ S を考慮して２ｎｄ cos θ　ｎ AB=nB/nA= √ 6/2 だからＤ＝√ 6d/ √ 2= √ 3d　πずれは B の上下両面で起きる。従って半波長の偶数倍が行路差なら強め合う。　ｍ＝１として　ｄ＝ 500/ √３＝２８９ｎｍ

屈折率ｎが大→小

屈折率ｎが小→大

行路差 D 薄膜＝２ｎ AB ｄ cos θ B

強め合う：D=2n・λ /2 ＝ｎλ 位相差 2 ｎπ弱め合う：D=(2n+1) λ /2　　位相差 (2n+1) π

赤、橙色でかわらない。

2nd= λ / ２・(2m+1) m=0 としてｄ＝λ /4n1.0 ×１０ー７ｍ

πずれ

D 薄膜＝２ｎ AB ｄ

2nd= λ / ２・(2m) m=1 としてｄ＝λ /2n2.0 ×１０ー７ｍ

行路差 干渉条件白色光 回折格子

回折 長 赤薄膜 分散

短 青

A8 光波　LightWave　　　No.13○くさび形膜【ラフスケッチ】

Q1.　図のように平面硝子 G1の上に傾けて硝子 G2をのせる。ちょうど接点からの距離が L　の時に高さはｈであった。上から波長λの光をあてると接点から平行に干渉縞が見えた

ｈ

L

接点からｍ番目の板の間隔 ( 高さ ) ｄｍとｍ＋１番目の板の間隔ｄｍ＋１とし、明線の間隔をｘｍとする。ア）ｄｍをλ、ｍで表せ。

ｘｍ

イ）ｘｍをλ、h,L で表せ。hを小さくすると明線の間隔はどうなるか。

ウ）明線の間隔が２mm, また Lが 10cmの時、高さｈを求めよ。波長は 500nmとする。

ｄｍ

☆変化量をとる

　くさび　ニュートン環

○ニュートンリング

【ラフスケッチ】

Q2．図のように半径 Rに相当するレンズの半面と平面ガラスを組み合わせこれを真上から　観測すると同心円上に明暗模様が観測された。波長はλ、空気の屈折率は１とする。　また、中心から外側に数えた明るい線の数をｍとし、距離は xm とする。

ｄ m

ｘ m

ア）距離ｘ mの位置で上のガラスまでの距離をｄ mとする。　明るい線になる条件を示せ。また、中心は暗いか明るいか。Rイ）R がｄmに比べて十分大きいとする。この時、明るくなる半径ｘmをλと Rで表せ。

NewtonRing 中心

ウ）次の２つのガラスの間にガラスより屈折率の小さい屈折率　ｎの油を満たす。この時干渉模様の間隔は空気の場合の何倍に　なるか。また、中心は暗いか明るいか。

NewtonRing 半径半径R中の屈折率ｎ厚さ dm

下の板でπ位相がずれる。従って強め合う条件は行路差が２ｄｍであるからこれが半波長の奇数倍になる　２ｄｍ =(2m-1) λ /2 　　ｄｍ =(2m-1) λ /4

上のｄｍを変分するとΔｄｍ＝Δｍ・λ / ２　Δｍ＝１またはΔ dm=dm ＋１ー dm=1/2 λ　従って三角形の相似からxm= Δ dm × L/h xm= λ L / ２h 　ｈを小さくすると間隔は広がる。

イ）の結果からｈ = λ L/ ２xm ＝ 500 × 10-9 × 0.1/2 × 2 × 10 －３ ｈ＝ 1.25 × 10- ５ｍ

Δ（ＡＢ）

＝ＡΔＢ＋ＢΔＡ

白色光狭い方が青

単色光

ア）下の平面ガラスの上での反射では位相がπずれる。従って、行路差は２ｄｍだから強め　合う条件は　２ｄｍ＝ (2m-1) λ /2　もし、屈折率ｎの液体をはさめば 2ndm=(2m-1) λ /2　　中心は行路差０で弱めあうから暗い。イ）3 平方の定理から　R2=(R-dm)2+xm

2 ≒ R2 －２R dm+xm2

　従って xm2 ＝２R dm　　　xm ＝√ ( ２R dm)　アより Xm= √ (R λ (2m-1)/2)

ウ）油中でも位相が逆転するのは１回で変わらないので 2ndm=(2m-1) λ /2　よって dm=(2m-1) λ /(2n) イの結果から Xm は 1/ √ n になる。　中心は同じく弱めあい暗い。

πずれ

R-dm

中心は中の液体の屈折率に無関係に暗くなる。

rm ＝√ ( ２R dm/n)

白色光

3 2 1 1 2 3

3

2

1

1

2

3単色光

A8 光波　LightWave　　　No.14　回折格子と光ファイバー

α β

d

Q1．図のように CDの表面のような凹凸のある面に光りをあてる。入射角αで入り、反射角βで反射角αで反射される。この時となりあう溝で反射する光と入射する光で干渉が起きた。溝の間隔はｄとする。波長は 6.0 × 10 ｰ 7 ｍとする。（α＞β）

ア）隣り合う溝での入射光と反射光の行路差を求めよ。

イ）αは 30°、dは 3.0 × 10-6m の時、強め合うβはいくつあるか。

○回折格子行路差

ウ）板と平行に２ｍ離してスクリーンをおく、最も反射板に近い場所で強め合う線の間隔　　はどれだけか、ｄの長さは無視してよい。また、溝の間隔が小さくなると明線の間隔は　　どうなるか。

α β

d

２ｍ

○実空間と干渉空間

ｄｄ

ααββ

AA BB

PPQQ

結晶中の原子が規則正しく並んでいる時、原子と原子の間の距離を　　　　　　　　という。原子でなくても　　　　　　　　　の間隔も格子定数といい　　　　で表す。回折格子には　　　　　　型と　　　　　　型がある。　　　　　　の場合は位相がずれることがあるので留意する。

□　定義と理論○格子定数　・回折格子▽　基本問題

○近似式

○光ファイバー Q2．光ファイバーは屈折率がｎ Aとｎ Bのプラスチックが重なって出来ている。屈折率はｎ A＞ｎ B＞１という関係にある。空気の屈折率は１としてよい。ア）全反射が起きるのは Aと Bのどちらの向きか

イ）ファイバーの端から図のように角度θで光を入射させたとき AB境界面で全反射がお　きる時の sin θを求めよ。

B

A

ウ）θがどんなときでも全反射する条件を求めよ。

θ

左図より行路差はPB ー QA＝ d(sin αー sin β )

アの結果から sin β =sin α - ｍλ /d =1/2 －ｍ× 0.20 ≦ sin β≦１であるから可能性のあるｍは０，１，２の３つである。

sin が小さい方が真上に近いから ｍ＝ 1 とｍ＝ 2 の場合を考える　 ｍ＝１の時 sin β 1 ＝ 0.3　近似式から cos β 1= √ (1-0.3²) ≒√ (1-0.1) ≒ 1-0.1/2=0.95 天上で中央からの距離 h1=2 tan β 1=2 × 0.3/0.95=0.63

h1h2

よって求める間隔は h1 ー h2=0.43mｄが小さいほど間隔が広がる。

D ＝ nd|sin α -sin β |屈折率ｎ格子定数ｄ入射 , 反射角α , β

m=1m=2

ｍ＝ 2 の時 sin β 2 ＝ 0.1 から先と同様にcos β 2= √ (1-0.01) ≒ 1-0.005 ≒ 1よって　h2=2 tan β 2=2・0.1=0.2

θが小さければsin θ＝ tan θ√1 + θ = 1 +

1

2θ

長さが逆数で結ばれている。

α β

図のように A にαで屈折したとする β＝π / ２ーαとなる。sin θ /sin α＝ nA より sin θ =nA sin αさらに AB 面で全反射が起きると Sin β =nB/nA=Sin[ π /2 ｰα ]=Cos[ α ]Sin[ α ]= √ (1- Cos[ α ]2) よって sin θ = √ (nA

2-nB2)

nA-nB が大きいほど全反射しやすい。0 ≦ sin θ≦ 1 であるからイ）の結果よりθに無関係になるためには

A から B の向き

sin θ =√

n2A − n2

B

n2A − n2

B ≥ 1

□

外側　屈折率小内側　屈折率大

格子定数回折格子 ｄ

透過 反射 反射