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I.E.S. “Isabel Perillán y Quirós” Matemáticas 2
Departamento de Matemáticas UNIDAD 11: Puntos, rectas y planos en el espacio
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UNIDAD 11: PUNTOS, RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
• Ecuaciones de la recta
• Ecuaciones del plano
• Posiciones relativas de dos planos
• Posiciones relativas de tres planos
• Posiciones relativas de una recta y un plano
• Posiciones relativas de dos rectas
ECUACIONES DE LA RECTA
Se llama ecuación de la recta a la expresión que han de satisfacer los puntos que
pertenezcan a ella.
Una recta queda perfectamente determinada dando un punto por el que pasa y un vector que
marque la dirección (vector director)
➢ Ecuación vectorial
Sea una recta que pasa por el punto P(a,b,c) y lleva la
dirección del vector 321 v,v,vv
. Sea X(x,y,z) un
punto cualquiera de la recta. Se cumple que el vector PX
es un cierto número de veces el vector v
, es decir:
Podemos escribir, por tanto:
Utilizando coordenadas:
Ej.) La ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la dirección de
1,6,2 v
, es:
➢ Ecuaciones paramétricas
Igualando componentes en la ecuación vectorial:
RvPX con ,
vOPPXOPOX
R ,
, Rv,v,vλcb,a,zy,x, 321
(Para cada valor del parámetro λ tendremos las coordenadas de un punto de la recta)
1,6,22,1,3z,y,x
O
P(a,b,c) X(x,y,z)
321 v,v,vv
X
Y
Z
R
λvcz
λvby
λvax
3
2
1
, v,v,vc,b,az,y,x 321
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Departamento de Matemáticas UNIDAD 11: Puntos, rectas y planos en el espacio
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Ej.) Las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la
dirección de 1,6,2 v
, son:
➢ Ecuación continua
Despejamos el parámetro en las paramétricas e igualamos:
Ej.) La ecuación continua de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva la dirección de
1,6,2 v
, es:
➢ Ecuaciones implícitas (generales o como intersección de dos planos)
Podemos tomar las ecuaciones paramétricas como la solución de un sistema de 2 ecuaciones
y 3 incógnitas (solución con un parámetro):
Ej.) Para hallar las ecuaciones implícitas de la recta que pasa por el punto P(3,1,2) y lleva
la dirección de 1,6,2 v
, igualamos producto de medios y de extremos en la ecuación continua:
Ejercicio. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos:
A(2,3,4) y B(1,3,2)
La recta r
R
,
2z
61y
23x
321 v
cz
v
by
v
ax
v
cz
v
by
v
ax
3
2
1
1
2z
6
1y
2
3x
0DzCyBxA
0DCzByAx
162y6x
2y218x6 1y23x6 6
1y
2
3x
136zy
12z61y 2z61y1
1
2z
6
1y
(Esta expresión tiene sentido aunque sea nulo algún denominador)
Pasa por el punto A(2,3,4)
Tiene por vector director: v
= AB = (1,0,6)
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Vectorial:
Paramétricas:
64z
3y
2x
Continua: 6
4z
0
3y
1
2x
Implícitas:
Ejercicio. Halla las ecuaciones de la recta:
12zyx
3zy2x en forma paramétrica y
continua.
Resolvemos el sistema:
21yx
3yx2Rλz
Sumamos las ecuaciones: 3
λ4x
4x3
Sustituimos x en la 2ª ecuación: 3
5λ1y
21y
3
λ4
Por tanto:
z
3
5
3
1y
3
1
3
4x
1
z
35
31y
31
34x
➢ Puntos alineados
n puntos están alineados ran(A1A2 , A1A3 , … , A1An) = 1
Ej.)
ECUACIONES DEL PLANO
Se llama ecuación del plano a la expresión que han de satisfacer los puntos que pertenezcan
a él; de forma general, viene dada por un polinomio de primer grado con tres incógnitas.
0
3y
1
2x
6
4z
1
2x
08zx6
03y
4z12x6
3y0
Paramétricas
Continua
r
A1 A2
A3
An A(2,3,1)
B(5,4,3)
C(2,2,2)
AB = (3,1,2)
AC = (0,1,1)
2110
213ran
PUNTOS
NO
ALINEADOS
vOAOX
R , 6,0,14,3,2z,y,x λ
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Ej.) Sea el plano π : 2x + 3y z + 7 = 0
π 1,2,0P , ya que 0712302
π1,0,1Q , ya que 0710312
Un plano queda perfectamente determinado dando un punto por el que pasa y dos vectores
de distinta dirección (linealmente independientes) paralelos a él, llamados vectores directores.
➢ Ecuación vectorial
Sea un plano que pasa por el punto P(a,b,c) y tiene
por vectores directores:
321 u,u,uu
, 321 v,v,vv
.
Sea X(x,y,z) un punto cualquiera del plano.
Se cumple:
Ej.) La ecuación vectorial del plano que pasa por el punto P(2,1,3) y tiene como vectores
directores 5,4,3u
y 1,6,2 v
, viene dada por:
➢ Ecuaciones paramétricas
Igualando componentes en la ecuación vectorial:
Ej.) Las ecuaciones paramétricas del plano que pasa por el
punto P(2,1,3) y tiene como vectores directores 5,4,3u
y
1,6,2 v
, son las del margen.
Y
X
Z
u
v vu
O
X
P
,con , R v,v,vμu,u,uλcb,a,zy,x, 321321
(Para cada valor de los parámetros μλ, tendremos las coordenadas de un punto del plano)
Utilizando coordenadas:
1,6,25,4,33,1,2z,y,x
R
μvλucz
μvλuby
μvλuax
33
22
11
, , v,v,vu,u,uc,b,az,y,x 321321
μλ53z
μ6λ41y
μ2λ32x
RvuOPPXOPOX , con ,
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➢ Ecuación general (implícita)
Según la figura de la página anterior vemos que el conjunto es linealmente
dependiente, ya que . Por tanto:
Ej.) La ecuación general del plano que pasa por el punto P(2,1,3) y tiene como vectores
directores 5,4,3u
y 1,6,2 v
, viene dada por:
051z10y13x34 0103z131y342x 0
162
543
3z1y2x
➢ Observaciones
• El vector C,B,An
es un vector normal
(perpendicular) al plano
• Si un plano pasa por los puntos P, Q y R, se toman
como vectores directores:
Ejercicio. Halla las ecuaciones del plano que pasa por los puntos:
A(2,1,3) , B(1,1,1) y C(5,1,8)
Vectorial: .
Es decir:
Paramétricas:
General:
vuPX
v,u,PX
0
vvv
uuu
czbyax
0det
321
321
v,u,PX Operando y
agrupando Ax + By + Cz + D = 0
PQ y PR
C,B,An
Ax + By + Cz + D = 0
Pasa por el punto A(2,1,3)
u
= AB = (1,0,2)
v
= AC = (3,0,5)
El plano π
RvuOAOX ,con ,
5,0,32,0,13,1,2z,y,x
μ5λ23z
1y
μ3λ2x
1y 0651y 0
503
201
3z1y2x
Y
X
Z
O
y = 1
1
OBSERVACIÓN: Cuando
en la ecuación general falta
una variable (x, y o z), el
plano es paralelo al eje
correspondiente a esa variable
ausente
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➢ Puntos coplanarios
n puntos son coplanarios ran(A1A2 , A1A3 , … , A1An) = 2
Ej.)
POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS
Sean los planos:
0DzCyBxA
0DzCyBxA
:β
:α
Para ver si tienen puntos en común, hemos de estudiar la existencia de soluciones en el sistema
anterior. Sean S y S* las matrices del sistema y ampliada, respectivamente. Es conveniente matizar
que las filas de la matriz S son los vectores normales a los planos. Además, en los sistemas
compatibles indeterminados el número de parámetros nos dice si la solución es una recta (1
parámetro) o un plano (2 parámetros)
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 1, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas
soluciones que dependen de dos parámetros y los dos planos tienen todos sus puntos en
común (PLANOS COINCIDENTES).
En este caso, los vectores normales a los planos son
proporcionales (llevan la misma dirección) y esa
proporcionalidad también la sigue el término independiente.
Se verifica:
▪ Si ran(S) = 1 y ran(S*) = 2, el sistema es incompatible y los dos planos no tienen
puntos en común (PLANOS PARALELOS).
En este caso, los vectores normales a los planos son
proporcionales (llevan la misma dirección), pero esa
proporcionalidad no la sigue el término independiente. Se
verifica:
A1
A2 A3
An
PUNTOS NO
COPLANARIOS
A(1,2,3)
B(4,7,8)
C(3,5,5)
D(1,2,3)
E(2,2,2)
AB = (3,5,5) 5
AC = (2,3,2)
AD = (2, 4, 6)
AE = (1,0,1)
3
101
642
232
553
ran
DCBA
DCBA*S
S
D
D
C
C
B
B
A
A
β
C,B,Aαn
C,B,A βn
α
D
D
C
C
B
B
A
A
C,B,Aαn
C,B,A βn
α
β
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▪ Si ran(S) = ran(S*) = 2, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas
soluciones que dependen de un parámetro y los dos planos se cortan en una recta
(PLANOS SECANTES).
En este caso, los vectores normales a los planos no son
proporcionales (llevan distinta dirección).
Se verifica:
Ej.) 1
1
1
1
1
1 :que ya ,
2zyx
1zyx
secantes
2z2y2x2
1zyx coincidentes, ya que:
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
2
1
2
1 :que ya ,
1z2y2x2
1zyx
paralelos
➢ Haz de planos paralelos
Se llama así al conjunto de planos paralelo a uno dado.
Todos tienen el mismo vector normal y coinciden en la
ecuación general con excepción del término independiente.
Ecuación del haz de planos paralelos:
Ax + By + C + K = 0 , RK (Generamos los planos al dar valores al parámetro K)
Ej.) El haz de planos paralelos al plano 05zy5x3 es: 0Kzy5x3
POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS
Sean los planos:
0DzCyBxA
0DzCyBxA
0DzCyBxA
:γ
:β
:α
Estudiemos la existencia de soluciones.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 1, el sistema es compatible
indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen
de dos parámetros y los tres planos tienen todos sus
puntos en común (planos coincidentes).
En este caso, los vectores normales a los planos
llevan la misma dirección.
C
C
B
B
C
C
A
A
B
B
A
A
o o
α
β
C,B,Aαn
C,B,A βn
C,B,An
0zCyBxA K
DCBA
DCBA
DCBA*
S
S
C,B,Aαn
C,B,A βn
α β γ
C,B,A γn
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▪ Si ran(S) = 1 y ran(S*) = 2, el
sistema es incompatible y los tres
planos no tienen puntos en
común.
En este caso, los vectores
normales a los planos llevan la
misma dirección, y los tres planos
son paralelos o dos de ellos son
coincidentes y el otro, paralelo.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 2, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas
soluciones que dependen de un parámetro y los tres planos se cortan en una recta,
existiendo dos posibili-
dades: tres planos distintos
que se cortan en una recta
o dos planos coincidentes
y el otro los corta. Los
vectores normales están, en
este caso, en un plano.
▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es incompatible y los tres planos no tienen
ningún punto en
común. Se pueden
dar dos casos: los
planos se cortan dos
a dos formando una
superficie prismática
o dos planos son
para-lelos y el otro
los corta. Los
vectores normales
están en un plano.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 3, el sistema es compatible
determinado y los tres planos se cortan en un punto, que
se obtiene resolviendo el sistema. Los vectores normales
forman un conjunto linealmente independiente.
Ej.)
4zy3x
6z3y3x3
2zyx
:γ
:β
:α
ran(S) = ran(S*) = 2.
Los planos se cortan en una recta. Además, βα y son
coincidentes (coeficientes y término independiente proporcionales)
αβγ
αγ
β
αn βn
γn
αn
βn
γn
β
α
γ
αn
βn
γn
α
γ
β
αn
βn
γn
αn
βn
γn
αβ
γ
α
β
γ
αn
βn
γn
α
β
γ
αn
γn
βn
γ
βα
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➢ Haz de planos secantes
Se llama así al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del haz. La
ecuación del haz se obtiene como combinación lineal de las ecuaciones implícitas
de la recta, ya que dicha combinación lineal no modifica la solución del sistema.
Dada la recta r:
0DzCyBxA
0DCzByAx
:β
:α , el haz queda determinado
por la ecuación:
Rμλ,μλ , 0DzCyBxADCzByAx
(Generamos los planos al dar valores a los parámetros)
Ejercicio. Halla la ecuación del plano que pasa por el origen de coordenadas y contiene
a la recta r:
02yx
01zyx
El haz de planos secante es: 02yx1zyx μλ . Hacemos 1λ para
que el haz dependa sólo de un parámetro: 02yx1zyx μ .
Un plano del haz que pase por el punto (0,0,0) verifica la condición:
2
1 02001000 μμ . Sustituimos el valor de μ en la ecuación del
haz: 0z2y3x 0zy2
3
2
x 02yx
2
11zyx
POSICIONES RELATIVAS DE UNA RECTA Y UN PLANO
➢ Forma general
Consideremos la recta y el plano dados por sus ecuaciones implícitas (generales):
0DzCyBxA
0DzCyBxA
0DzCyBxA
:α
:r
El rango mínimo de S es 2, ya que los dos primeros planos se cortan en una recta y los
vectores normales llevan distinta dirección.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 2, el sistema es compatible
indeterminado, tiene infinitas soluciones que dependen de
un parámetro y los tres planos se cortan en una recta, es
decir, la recta está contenida en el plano.
r
α β
μβλα
α
r
DCBA
DCBA
DCBA*
S
S
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▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es
incompatible y los tres planos no tienen ningún punto en
común. Luego, la recta y el plano son paralelos.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 3, el sistema es compatible
determinado y los tres planos se cortan en un punto, que se
obtiene resolviendo el sistema. Por tanto, la recta y el plano
son secantes.
➢ Forma paramétrica.
Si la recta viene dada en forma paramétrica y el plano en forma general, sustituimos los
valores de x, y, z de la recta en la ecuación del plano. Operando, llegamos a una ecuación del
tipo: nλm ( λ es el parámetro, m y n son números reales concretos). A la hora de
despejar λ para hallar el punto común de recta y plano, distinguimos los siguientes casos:
▪ 0m La ecuación tiene solución única Recta y plano secantes.
▪ 0n , 0m La ecuación no tiene solución Recta y plano paralelos.
▪ 0n , 0m Hay infinitas soluciones Recta contenida en el plano.
Ejercicio. Estudia la posición relativa de la recta r: λz , 13λy , 2λx y el
plano 0511z2y3x:α de dos formas distintas.
1º) Sustituimos la recta en el plano: 3λ 051113223 . De aquí
deducimos que la recta y el plano se cortan en un punto (secantes). Para hallarlo,
sustituimos el valor de en la ecuación de la recta, obteniendo el punto de intersección:
P(6,10,3).
2º) Pasamos las ecuaciones paramétricas de la recta a ecuaciones implícitas, a través de la
ecuación continua:
0z2x
2y2x3
z2x
2y2x3
1
z
2
x3
1y
2
x
1
z
3
1y
2
x
z
31y
2x
Estudiemos el sistema formado por la recta y el plano:
α
r
α
r
51123
0201
2023*
S
S
5z11y2x3
0z2x
2y2x3 S 0 ran(S) = ran(S*) = 3
Sistema compatible determinado
Plano y recta secantes
Solución del sistema: (6,10,3)
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POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS
➢ Forma general
Consideremos las rectas r y rdadas por sus ecuaciones implícitas (generales):
0DzCyBxA
0DzCyBxA
0DzCyBxA
0DzCyBxA
:δ
:γ:r
:β
:α:r
El rango mínimo de S es 2, ya que los dos primeros planos, y también los dos últimos, se
cortan en una recta.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 2, el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas
soluciones que dependen de un parámetro y los cuatro planos coinciden en una recta. Por
tanto, las dos rectas son coincidentes.
▪ Si ran(S) = 2 y ran(S*) = 3, el sistema es incompatible y los vectores normales están en
el mismo plano. Las dos rectas no tienen puntos en común y son, por tanto, paralelas.
▪ Si ran(S) = ran(S*) = 3, el sistema es compatible determinado y las dos rectas son
secantes, es decir, se cortan en un punto.
▪ Si ran(S) = 3 y ran(S*) = 4, el sistema es incompatible. Las dos rectas no tienen puntos
en común y, como los vectores normales no están en el mismo plano, las rectas se cruzan.
COINCIDENTES PARALELAS SECANTES SE CRUZAN
Ejercicio. Estudia la posición relativa de las rectas
4zy
8zx:r y
5z2yx
0yx:s
Obtenemos: ran(S) = 3 y ran(S*) = 4. Las rectas se cruzan
α β γ δ
rr
α β
r
γ δ
r
α β
r
γδ
r
DCBA
DCBA
DCBA
DCBA
*S
S
5121
0011
4110
8101
*S
α βγ
δ
rr
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➢ Forma paramétrica
A partir de las ecuaciones paramétricas podemos obtener los vectores directores de ambas
rectas y un vector que va de un punto de una recta a un punto de la otra. El estudio del rango de
estos vectores nos permitirá concluir en qué posición relativa se encuentran las rectas. Si
resultan que son secantes, basta resolver el sistema (igualando los valores de x, y, z de las
ecuaciones paramétricas de ambas rectas) para obtener el punto de corte.
Sean las rectas r:
3
2
1
vcz
vby
vax
y :r
3
2
1
vcz
vby
vax
. Obtenemos:
cc,bb,aa
v,v,v
v,v,v
321
321
PP
v
v
▪ Si 1v,vran
, los vectores directores son paralelos.
- Si 1PP,v,vran
, los tres vectores están sobre la misma recta. Son rectas
coincidentes
- Si 2PP,v,vran
, los tres vectores están en un plano (coplanarios). Son rectas
paralelas
▪ Si 2v,vran
, los vectores directores no son paralelos.
- Si 2PP,v,vran
, los tres vectores son coplanarios y las rectas son secantes
- Si 3PP,v,vran
, los tres vectores no pertenecen al
mismo plano. Son rectas que se cruzan.
COINCIDENTES PARALELAS SECANTES SE CRUZAN
Ej.) Estudia la posición relativa de las rectas
2λ1z
λ2y
λ1x
:r y
2μ1z
μ3y
2μ3x
:s
Vectores directores de las rectas: 2,1,1rv
y 2,1,2 sv
Vector que va de un punto de r a un punto de s: 2,1,211,23,13 srPP
Como 2sr v,vran
y 2srsr PP,v,vran
, las rectas son secantes.
Para hallar el punto de corte, igualamos las ecuaciones paramétricas y determinamos
los parámetros:
222
1
22
2121
32
231
1μ
0λ
v v
PP
rr v
vP
P
r r
v
v
P
P r
r v
v
P
P
r
r
Sustituyendo en r o en s, el
punto de corte es P(1,2,1)
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