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Ecuaciones Lineales
Definiciones y Ejemplos• Una ecuación es una declaración de que dos
cantidades o expresiones son equivalentes. • Ejemplo: La ecuación d = rt enuncia que
distancia = (razón)(tiempo) (para un objeto en moviemiento).– Si la razón, r, es 45 mi/hr, entonces la
ecuación se convierte en d = 45t ;– Para hallar el tiempo que toma viajar 75
millas, reemplazas d con 75 y resuelves la ecuación para d .
– 75 = 45t ; dividiendo entre 45 en ambos lados de la ecuación da
hours145
7532t
Terminología de ecuacionesTerminología Definición Ejemplo
Una ecuación en x
Un enunciado de igualdad que envuelve una sola variable, x
Solución o raiz de una ecuación en x
Un número, b , que al sustituirse por x produce un enunciado cierto
5 es solución de x2 – 5 = 4x por que52 – 5 = 4(5) simplifica a 20 = 20 que es un enunciado cierto
Un número b satisface la ecuación
b es una solución de la ecuación
5 satisface x2 – 5 = 4x
resolver una ecuación en x
Encontrar todas las soluciones de la ecuación
Para resolver la ecuación x2 – 5 = 4x, recogemos todos los términos a un lado, factorizamos e igualamos cada factor a cero.
xx 452
Ecuaciones lineales• La ecuación algebraica más básica
es la ecuación lineal, una ecuación de la forma
ax + b = 0 , donde a ≠ 0 .• Por ejemplo, para resolver la
ecuación lineal
4x + 5 = 0 ,
primero restamos 5 de ambos lados 4x = -5 , y luego se divide entre 4 en ambos lados y se obtiene x = -5/4 .
Pasos comunes para resolver ecuaciones
• Algunas técnicas que se usan para resolver ecuaciones son…– Sumar la misma expresión a ambos
lados de la ecuación; – Restar la misma expresión a ambos
lados de la ecuación;– Multiplicar o dividir en ambos lados
de la ecuación por una expresión cuya valor sea diferente a cero.
Resolviendo ecuaciones lineales
• Resolver: 3(x – 1) + 5 = 14(Buscamos el valor de la variable x que hace que la expresión del lado izquierdo tenga un valor de 14)3x – 3 + 5 = 143x + 2 = 143x = 12x = 4
Resolviendo ecuaciones lineales
• Resolver: 3(5x – 2) = 2(x – 16 )Nota: Nos interesa saber el valor de x
que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.
15x – 6 = 2x – 32 15x – 2x = 6 – 32 13x = -26x = -2
Resolviendo ecuaciones lineales
Resolver: 5x – 4 = 2(x – 2 )Nota: Nos interesa saber el valor de x
que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.
5x – 4 = 2x – 4 (Aplicar la distributiva.)
5x – 2x = 4 – 4 (Recoger términos semejantes.)
3x = 0 (Simplificar)
x = 0 (El único valor de x que hace que ambas expresiones tengan el mismo valor es cero. No es lo mismo que decir que la ecuación no tiene solución.)
Resolviendo ecuaciones lineales
Resolver:Nota: Nos interesa saber el valor de x
que hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.
4x – 2 = 4x (Multiplicar ambos lados por 2.)
4x – 4x = 2 (Recoger términos semejantes.)
0 = 2 (Enunciado FALSO.)
¡No existe solución! (No existe un valor de x que haga que ambas expresiones tengan el mismo valor.)
xx
22
24
Resolviendo ecuaciones lineales
Resolver:6x – 9 = 3(2x – 3) (Multiplicar ambos lados por 3.)
6x – 9 = 6x – 9 (Aplicar la distributiva.)Nota: Cualquier valor de x hace que las dos expresiones tengan el mismo valor.
6x – 6x = 9 – 9 (Recoger términos semejantes.)
0 = 0 (Enunciado CIERTO para SIEMPRE.)
¡Existen una cantidad infinita de soluciones!
323
96
x
x
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales• Resolver: 2
6
2
3
xx
x
2
62
2
32
xx
x
xx
2
62
2
32
xx
x
xx
63 x
2x
Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador para eliminarlo
• Resolver:
– Notar que 8x – 4 = 4(2x – 1)12
2
48
15
x
x
x
x
13 x
3
1x
12
2
)12(4
15
x
x
x
x
12
2)12(4
)12(4
15)12(4
x
xx
x
xx
xx 815 Como x = 1/3 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= 1/3 como una solución.
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales
Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador mas complejo para eliminarlo.
• Resolver: 4
65
2
1
2
42
x
x
xx
4
654
2
1
2
44
2
22
x
xx
xxx
4
654
2
14
2
44 2
222
x
xx
xx
xx
651242 xxx
65284 xxx
6565 xx00
Un enunciado que siempre es cierto implica que cualquier número real satisface la ecuación.
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales Podemos multiplicar en ambos lados de la ecuación por el denominador más complejo para eliminarlo
• Resolver: 5
151
5
3
xx
x
1553 xx
5
1515
5
35
xx
x
xx
5
1555
5
35
xxx
x
xx
103 xx103 xx
102 x5x
¡ No se puede reemplazar el valor de 5 en las ecuaciones originales por que hacen el denominador igual a cero! Entonces, NO hay solución.
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales¡ No olvide aplicar correctamente la propiedad distributiva en el lado derecho!
• Resolver: 32
4
2
3
32
5
xxx
8496105 xxx
5
11x
23232
4
2
3
32
5
xx
xxx
2432325 xxx
1098465 xxx
115 x
Como x = -11/5 NO hace que NINGUNO de los denominadores de la ecuación original sea 0, podemos aceptar x= -11/5 como una solución.
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
linealesLos denominadores NO tienen factores en común, se multiplica por ambos denominadores.
23232
4232
2
3232
32
5
xx
xxx
xxx
x
• Resolver: 49513 2 xxx
20419169 22 xxxx
201416 xx
2135 x
35
21x
5
3x
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales
(3 𝑥−1 ) (3 𝑥−1 )=( 𝑥−5 ) (9𝑥−4 )
• Determinar si b= - ½ satisface la ecuación:
• Reemplaza x= - ½ y simplificar.
22
1
22
3
bb
22
1
22
3
21
21
21
2
3
23
23
23
2
3
3
3
41
ecuación. la satisface NO -b
falso. es enunciado Este
21
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales
Dos soluciones
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales
La igualdad de dos valores absolutos ocurre cuando:• Las expresiones producen el mismo
valor.• Las expresiones producen valores
iguales pero con signos opuestos.
Ecuaciones que se pueden resolver como si fueran
lineales𝟑 𝒙−𝟏=𝒙−𝟐 (𝟑 𝒙−𝟏 )=− ( 𝒙−𝟐 )
• 4
x 18
5
Resolver.5x 6 8 32
5x 6 24 5x 6 24
5x 30 5x 18
8 85x 6 24
x 6 Dos soluciones
{− 185,6 }
Resolver.4 x 5 20
x 5 5 x 5 5
x 0 x 10
4 4
x 5 5
Dos soluciones
{−10 ,0 }
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