View
295
Download
9
Category
Preview:
Citation preview
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
1/120
Ecuaţii diferenţiale şi cu derivate parţiale
Prof.dr. Ioan Roşca
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
2/120
2
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
3/120
Cuprins
1 Ecuaţii diferenţiale 5
1 Ecuaţii diferenţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1 Noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ . . . . . . . . . . . . . 6
1.2 Ecuaţii diferenţiale integrabile prin cuadraturi . . . . 15
1.3 Modele matematice reprezentate prin ecuaţii diferenţiale 36
Probleme şi exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2 Problema Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.1 Existenţa şi unicitatea locală . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2 Existenţa şi unicitatea globaľa . . . . . . . . . . . . . 52
2.3 Continuitatea soluţiei ı̂n raport cu parametrii şi cucondiţiile initiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.4 Diferenţiabilitatea soluţiei ı̂n raport cu parametriişi cu condiţiile iniţiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Probleme şi exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3 Ecuaţii diferenţiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
3.1 Ecuaţii diferenţiale liniare omogene . . . . . . . . . . . 68
3.2 Ecuaţii diferenţiale liniare neomogene . . . . . . . . . 74
3.3 Ecuaţii diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi . . . 77
3.4 Ecuaţii diferenţiale liniare reductibile la ecuaţiidiferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi . . . . . . . 85
3.5 Proprietǎţi ale soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale liniarede ordinul doi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Probleme şi exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4 Sisteme diferenţiale liniare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
3
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
4/120
4 CUPRINS
4.1 Sisteme diferenţiale liniare omogene . . . . . . . . . . 97
4.2 Sisteme diferenţiale liniare neomogene . . . . . . . . . 101
4.3 Sisteme diferenţiale liniare cu coeficienţi constanţi. . . 102
4.4 Proprietǎţi ale zerourilor soluţiilor sistemelor liniare . 114
Probleme şi exerciţii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
5/120
Capitolul 1
Ecuaţii diferenţiale
Acest capitol este destinat studiului ecuaţiilor diferenţiale.
Dupǎ ce ı̂n §1 se prezintǎ noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ, ŝınt prezenteĉıteva ecuaţii integale prin cuadraturi şi modele matematice reprezentateprin ecuaţii diferenţiale. Problema Cauchy asociatǎ unei ecuaţii sau sistemde ecuaţii diferenţiale este tratatǎ ı̂n §2.Ecuaţiile diferenţiale liniare ŝınt studiate ı̂n §3 iar ı̂n §4 se studiazǎ niştesisteme de ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂ntı̂i.
5
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
6/120
6 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
1 Ecuaţii diferenţiale
1.1 Noţiunea de ecuaţie diferenţialǎ
Studiul ecuaţiilor diferenţiale a ı̂nceput odatǎ cu apariţia calculului diferenţialşi integral. Necesitatea considerǎrii ecuaţiilor diferenţiale apare direct dincele douǎ modele care au condus la constituirea conceptelor fundamentaleale analizei, tangente la o curbǎ şi viteza ı̂n mişcarea neuniformǎ.
Incǎ ı̂n secolul al XVII-lea se studia aşa numitǎ problemǎ inversǎ a tangen-telor, constı̂nd ı̂n determinarea unei curbe pleĉınd de la proprietǎţile cunos-cute ale tangentei la o curbǎ: aceasta era aşa cum vom vedea, o problemǎde ecuaţii diferenţiale.
Intr-o scrisoare din 1638 a matematicianului F. Debeaune , pe care Mersenne i-a transmis-o lui Descartes , se formuleazǎ problema determinǎrii unei curbe
pentru care raportul dintre ordonată şi subtangentă este egal cu raportul din-tre un segment dat şi diferenţa ı̂ntre ordonatǎ şi abscisǎ. In rǎspunsul sǎu,din 20 februarie 1639, Descartes recunoaşte importanţa unor astfel de prob-leme, dar considerǎ imposibilǎ rezolvarea lor cu ajutorul regulilor pe careFermat şi el ı̂nsuşi le dǎduserǎ pentru determinarea tangentelor. Aceastase petrecea ı̂ncǎ ı̂nainte ca, ı̂n lucrǎrile lui Leibniz şi a lui Newton , calcululdiferenţial şi integral sǎ se fi construit ı̂n mod sistematic. In limbajul deastǎzi, problema propusǎ de Debeaune se rezolvǎ astfel:
Fie f : [a, b] → R funcţia a cǎrui grafic este cǎutat, x0 ∈ [a, b]; ecuaţiatangentei la grafic ı̂n punctul (x0, f (x0)) este y − f (x0) = f ′(x0)(x − x0).Tangenta intersecteazǎ axa Ox ı̂n punctul dat de
−f (x0) = f
′(x0)(x
−x0);
subtangenta este f (x)/f ′(x0). Relaţia care trebuie sǎ determine curba estedeci
f (x0)
f (x0)/f ′(x0) =
k
f (x0) − x0 sau f ′(x0) =
k
f (x0) − x0 .
Ecuaţia la care am ajuns se scrie
y′ = k
y − x
iar funcţiile f care verificǎ relaţia f ′(x) = k
f (x)
−x
se numesc soluţii ale
ecuaţiei diferenţiale.Inainte de a da, ı̂n general, definiţia unei ecuaţii diferenţiale şi a formulaproblemele care se pun ı̂n legǎturǎ cu aceste ecuaţii sǎ vedem cum se ı̂ncadreazǎo ecuaţie diferenţialǎ ı̂n clasa ecuaţiilor operatoriale.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
7/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 7
Ecuaţii operatoriale.
Fie X şi Y douǎ mulţimi şi f : X → Y o aplicaţie. Formulǎm urmǎtoareaproblemǎ: d̂ındu-se un element y
∈ Y , sǎ se gǎseascǎ elementele x
∈ X ,
pentru caref (x) = y. (1.1)
Aceastǎ problemǎ se numeşte ecuaţia operatorialǎ.
Printr-o solut ̧ie a unei ecuaţii operatoriale ı̂nţelegem un element x ∈ X ce satisface relaţia (1.1). Teoria ecuaţiilor operatoriale se construieşte ı̂nlegǎturǎ cu structura cu care ŝınt ı̂nzestrate mulţimile X şi Y . Dacǎ X şi Y sı̂nt ı̂nzestratǎ cu o structurǎ de spaţiu liniar peste un corp K , ecuaţia (1.1)se numeşte liniarǎ, dacǎ f este o aplicaţie liniarǎ. Dacǎ y ̸= 0 vom spunecǎ ecuaţia liniarǎ este neomogenˇ a sau ecuat ̧ie afinˇ a , iar dacǎ y = 0 ecuaţia(1.1) se zice liniarǎ şi omogenˇ a . Notǎm cu S y mulţimea soluţiilor ecuaţiei
(1.1). Observǎm cǎ S 0 este nucleul (kerul ) lui f adicǎ S 0 = Kerf. Decistudiul mulţimii soluţiei ecuaţiei
f (x) = 0 (1.2)
revine la a studia nucleul operatorului f . O primǎ concluzie din acest studiu:
Mult ̧imea solut ̧iilor ecuat ̧iei liniare şi omogene (1.1) formeazˇ a un spat ̧iu liniar al lui X . In cazul ecuat i̧ei liniare şi omogene, a studia mult ¸imea solut ̧iilor revine la a determina dimensiunea lui Ker(f ) şi la a construi obazˇ a ı̂n Ker(f ). Pentru S y are loc urmǎtoarea teoremǎ de structurǎ:
Presupunem cˇ a S y ̸= ∅. Fie x1 ∈ S y. Atunci S y = Kerf + {x1}.Alte aspecte privind ecuaţia liniarǎ (1.1) ŝınt precizate mai jos.
(i) Ecuat ̧ia (1.1) are cel mult o solut ̧ie, pentru orice y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a aplicat ̧ia f este injectivˇ a.
(ii) Ecuat ¸ia (1.1) are cel put ̧in o solut ̧ie, pentru orice y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a f este surjectivˇ a.
(iii) Ecuat ̧ia (1.1) are o solut ̧ie şi numai una, oricare ar fi y ∈ Y , dacˇ a şi numai dacˇ a f este bijectiv˘ a.
Este clar din cele prezentate mai sus cǎ problema studiului mulţimii soluţiilorunei ecuaţii operatoriale ( adicǎ a ecuaţiei (1.1) ) este foarte complexǎ. Eainclude, printre altele, probleme de tipul urmǎtor:
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
8/120
8 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
(i) determinarea cardinalului unei mulţimi;
(ii) studiul dimensiunii unui spaţiu liniar;
(iii) studiul injectivitǎţii, surjectivitǎţii şi bijectivitǎţii unui operator dat.
Ecuaţii diferenţiale
Dacǎ X şi Y sı̂nt mulţ imi de funcţii atunci ecuaţia (1.1) se numeşte ecuaţiefuncţionalǎ ı̂n sens larg. O ecuaţie funcţionalǎ ı̂n care apare funcţianecunoscutǎ numai sub operaţii algebrice, se numeşte ecuaţie funcţionalǎı̂n sens restrı̂ns.
O ecuaţie funcţionalǎ ı̂n care intervine funcţia necunoscutǎ ı̂mpreunǎ cuanumite derivate ale sale se numeşte ecuaţie diferenţialǎ .
Dacǎ funcţia necunoscutǎ este de o singurǎ variabilǎ ecuaţia diferenţialǎ se
numȩste ecuat ̧ie diferent ̧ialˇ a ordinarˇ a . Dača funcţia necunoscutǎ este demai multe variabile, ecuaţia diferenţialǎ se numeşte cu derivate parţiale.
Exemple :
1) Considerǎm aplicaţia
ϕ : Ω ⊂ R2 → R, (x, y) → ϕ(x, y)şi alegem
X =
y ∈ C 1[a, b]; (x, y(x)) ∈ Ω, ∀ x ∈ [a, b],
, Y = C [a, b]
iar aplicaţia f : X → Y , y → f (y) = y′
(·) − ϕ(·, y(·)).Ecuaţia diferenţialǎ f (y) = 0 convenim sǎ o scriem sub forma
y′ = ϕ(x, y)
adicǎ o ecuaţie diferenţialǎ de ordinul ı̂nt̂ıi.
2) FieF : Ω ⊂ Rn+2 → R
(x, y0, y1, . . . , yn) → F (x.y0, y1, . . . , yn)şi alegem spaţ iile
X =
y ∈ C n
[a, b]; (x, y(x), y′
(x), . . . , y(n)
(x)) ∈ Ω, ∀ x ∈ [a, b],Y = C [a, b], iar aplicaţia f definitǎ de legea
f : X → Y, y → f (y)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
9/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 9
unde[f (y)](x) = F (x, y(x), . . . , y(n)(x)).
Obţinem astfel ecuaţia funcţionalǎ
f (y) = 0
pe care convenim sǎ o scriem sub forma
F (x,y ,y′, . . . , y(n)) = 0 (1.3)
şi care este o ecuaţie diferenţialǎ realǎ de ordinul n.
Graficul unei soluţii a ecuaţiei diferenţiale (1.3) este o curbǎ ı̂n Rn, curbǎce poartǎ denumirea de curbǎ integralǎ . Dacǎ ecuaţ ia (1.2) poate fiexplicitatǎ ı̂n raport cu y (n), atunci ea se poate scrie sub forma
y(n)
= f
x,y ,y′
, . . . , y(n−1)
. (1.4)
Ecuaţia (1.4) se numeşte forma normalǎ a ecuaţiei (1.3.)
Ecuaţii integrale
O altǎ categorie importantǎ de ecuaţii funcţionale este datǎ de ecuaţiileintegrale.
Fie Ω au deschis din Rn, aplicaţiile
F : D1 ⊂ Rn+2 → R, K : D2 ⊂ R2n+1 → Rşi spaţiile
X =
ϕ ∈ C (Ω, R); (x, ϕ(x),∫ Ω
K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ ) ∈ D1
, Y = C (Ω, R).
Ecuaţia funcţionalǎf (ϕ) = 0 (1.5)
unde f : X → Y este definitǎ prin
[f (ϕ)](x) = F
x, ϕ(x),
∫ Ω
K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ
se numeşte ecuaţia integralǎ de tip Fredholm. Prin diferite particularizǎriale lui F şi K obţinem urmǎtoarele clase importante de ecuaţii integrale:∫
ΩK (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x) (1.6)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
10/120
10 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
ϕ(x) =
∫ Ω
K (x, ζ )ϕ(ζ )dζ + f (x). (1.7)
Ecuaţia (1.6) se numeşte ecuaţia integralǎ de tip Fredholm de speţǎ ı̂nt̂ıi,iar ecuaţia integralǎ de tip Fredholm de speţǎ a doua. Se vede cu uşurinţǎ
cǎ aceste ecuaţii ŝınt liniare, iar dacǎ f = 0, sı̂nt liniare şi omogene.
Dacǎ ı̂n (1.7)
K (x, ξ ) =n∑
i=1
ai(x)bi(ξ ) (1.8)
ecuaţia corespunzǎtoare se numeşte cu nucleu degenerat.
Rezolvarea ecuaţiilor integrale cu nucleu degenerat revine la rezolvarea unorsisteme algebrice.
Putem presupune că ai, bi, y şi f sı̂nt uniform continue pe Ω şi că a1, . . . , amşi b1, . . . , bm ŝınt liniar independente. Această presupunere nu restr̂ınge
generalitatea. Intr-adevăr, să presupunem că există C 1, . . . , C m astfel ca
C 1a1 + · · · + C mam = 0
şi cel puţin o constantă dintre C 1, . . . , C m este diferită de zero. Fie C m ̸= 0.Atunci putem scrie am = C
∗1a1 + · · · + C ∗m−1am−1. Luı̂nd această expresie de
forma nucleului obţinem
K (x, y) =m−1∑i=1
ai(x)bi(y) +m−1∑i=1
C ∗i ai(x)bm(y)
m−1
∑i=1
ai(x)[bi(y) + C ∗i bm(y)] =
m−1
∑i=1
ai(x)b∗i (y)
Deci, a fost posibil să reprezentăm nucleul K (x, y) ca sumă cu un numărmai mic, ca m, de produse de funcţii ı̂n x şi funcţii ı̂n y. Dacă ai or b
∗i , i =
1, . . . , m1, ŝınt din nou liniar dependente, putem reduce din nou nuumărullor. In felul acesta putem presupune că a1, . . . , am şi b1, . . . , bm sı̂nt funcţiiliniar independente ı̂n Ω.
Presupunem, acum, că ecuaţia integrală Fredholm, av̂ınd nucleul (1.8), areo soluţie. Atunci
ϕ(x) = ∫ Ω
m
∑i=1
ai(x)bi(y)ϕ(y)dy + f (x)
sau
ϕ(x) =m∑i=1
ai(x)
∫ Ω
bi(y)ϕ(y)dy + f (x)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
11/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 11
Lûınd ∫ Ω
bi(y)ϕ(y)dy = C i (1.9)
atunci funcţia ϕ are forma
ϕ(x) =m∑i=1
C iai(x) + f (x) (1.10)
Pentru a determina constantle C i, substituim ı̂n (1.9) pe ϕ şi aceasta dă∫ Ω
bi(y) m∑ j=1
C ja j(y) + f (y)
dy = C i.
Lûınd ∫ Ω
bi(y)a j(y)dy = K ij,
∫ Ω
bi(y)f (y)dy = f i
obţinem, din (1.10)
C i =m∑
j=1
K ijC j + f i, i = 1, . . . , m (1.11)
Deci oricărei soluţii a ecuaţiei (1.7) ı̂i corespunde o soluţie a sistemului (1.11).In virtutea liniar independenţei funcţiilor a1, . . . , am există numai o soluţie.Reciproc, dacă sistemul de ecuaţ ii algebrice (1.11) are o soluţie, substituindaceasta ı̂n (1.10), obţinem o soluţie pentru ecuaţia integrală (1.7), deoareceorice pas făcut ı̂n trecerea de la ecuaţia (1.7) la (1.11) est inversabil.
Am redus astfel problema rezolvării ecuaţiei integrale (1.7) cu nucleu dege-nerat la rezolvarea unui sistem algebric (1.11).
• Dacă det(E − K ) ̸= 0 sistemul algebric (1.11) are soluţie unică, deciecuaţia integrală are soluţie unică.
• Dacă det(E − K ) = 0 atunci sistemul algebric are soluţ ie dacă şi numaidacă
m∑i=1
f iC ∗i = 0,
unde (C ∗1 , . . . , C ∗m) este soluţie arbitrară a sistemului omogen
C ∗ =m
∑i=1K ijC
∗i , j = 1, . . . , m .
Exemplu : S˘ a se determine solut ̧ia ecuat ̧iei integrale
u(x) = x + 2
∫ 10
(x − t)u(t)dt
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
12/120
12 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
In acest caz f (x) = x, a1(x) = x, a2(x) = −1, b1(t) = 2, b2(t) = 2t deci funcţiilea1, a2 şi b1, b2 sı̂nt liniar independente. Notı̂nd
C 1 = ∫ 1
0
b1(t)u(t)dt, C 2 = ∫ 1
0
b2(t)u(t)dt
soluţia ecuaţiei integrale este de forma u(x) = x + C 1x − C 2, unde (C 1, C 2) verificăsistemul de ecuaţii algebrice
2C 2 = 1, 2
3C 1 + 2C 2 =
2
3.
Soluţia sistemului algebric este C 1 = −1/2, C 2 = 1/2, iar soluţia ecuaţiei integraleeste dată de
u(x) = x − 1
2 .
Fie acum
F : D1 ⊂ R3 → R, K : D2 ⊂ R3 → Rşi spaţiile
X =
ϕ ∈ C (I, R); (x, ϕ(x),∫ xa
K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ ) ∈ D1
, Y = C (I, R)
Ecuaţia funcţionalǎ
g(ϕ) = 0 (1.12)
unde g : X →
Y este definitǎ prin
[g(ϕ)](x) = F
x, ϕ(x),
∫ xa
K (x,ξ,ϕ(ξ ))dξ
(1.13)
se numeşte ecuaţie integralǎ de tip Volterra.
Prin particularizǎri ale aplicaţiilor F şi K obţinem urmǎtoarele cazuri par-ticulare de ecuaţii Volterra
∫ xa
K (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x) (1.14)
ϕ(x) +∫ xa
K (x, ξ )ϕ(ξ )dξ = f (x). (1.15)
Ecuaţia (1.14) se numeşte ecuaţie integralǎ de tip Volterra de speţǎ ı̂nt̂ıi, iarecuaţia (1.15) este o ecuaţie integralǎ de tip Volterra de speţǎ a doua.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
13/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 13
Inecuaţii operatoriale
Fie f : X → Y , unde Y este ı̂nzestrat printre altele cu o structurǎ de ordine.Fie dat y
∈ Y . Se cere sǎ se determine elementele x
∈ X , astfel ca
f (x) ≤ y. (1.16)
Obţinem astfel o inecuaţie operatorialǎ. Un element x ∈ X , caresatisface (1.16) se numeşte soluţie a acestei inecuaţii. O clasǎ importantǎde inecuaţii operatoriale ŝınt inecuaţ iile diferenţiale şi inecuaţiile integrale.Iatǎ cı̂teva exemple de asemenea inecuaţii:
y′ + f (x,y ,y′) ≤ 0 (1.17)
y(x)
≤ ∫ b
a
K (x,ξ,y(ξ ))dξ (1.18)
y(x) ≤∫ xa
K (ξ, y(ξ ))dξ. (1.19)
Un rol important ı̂n cele ce urmeazǎ ı̂l au inecuaţiile liniare de forma
y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa
ψ(s)y(s)ds, x ∈ [a, b] (1.20)
unde funcţiile y, ϕ şi ψ ŝınt continue pe [a, b] iar ψ(x) ≥ 0, pentru x ∈ [a, b].
Lema 1.1 (Gronwall) . Dacˇ a
y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa
ψ(s)y(s)ds, x ∈ [a, b] (1.21)
unde funct ̧iile y ,ϕ, ψ sı̂nt continue pe [a, b] iar ψ(x) ≥ 0, pentru x ∈ [a, b],atunci y verificˇ a şi inegalitatea:
y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa
ϕ(s)ψ(s)exp∫ x
sψ(τ )dτ
ds, ∀ x ∈ [a, b].
Demonstraţie. Fie u(x) =∫ xa
ψ(s)y(s)ds. Din egalitatea u′(x) = ψ(x)y(x),
utilizı̂nd ipotezele lemei rezultǎ
u′(x) ≤ ψ(x)ϕ(x) + ψ(x)u(x).
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
14/120
14 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Inmulţind ultima inegalitate cu exp−∫ xa
ψ(s)ds
se obţine
d
dxu(x) exp(− ∫
x
a
ψ(s)ds) ≤ ψ(x)ϕ(x)exp− ∫
x
a
ψ(s)ds.Prin integrare rezulťa
u(x) ≤∫ xa
ψ(s)ϕ(s)exp∫ x
sψ(τ )dτ
ds, ∀ x ∈ [a, b]
de unde, conform cu (1.21), rezultǎ inegalitatea doritǎ.
Corolarul 1.1 Dacˇ a
y(x) ≤ A +∫ x
am(s)ds +
∫ x
aψ(s)y(s)ds,x ∈ [a, b] (1.22)
unde funct ̧iile y, m şi ψ ŝınt continue pe [a, b], iar m ≥ 0 şi ψ ≥ 0 pe [a, b] ,A ∈ R, atunci y verificˇ a inegalitatea
y(x) ≤
A +
∫ xa
m(t)dt
· exp∫ x
aψ(s)ds
.
Demonstraţie. Lûınd ϕ(x) = A +
∫ xa
m(s)ds, utilizı̂nd lema Gronwall,
obţinem
y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa
ϕ(s)ψ(s)exp
∫ xs
ψ(t)dt
ds.
Cum dds
exp
∫ x
sψ(t)dt
= −ψ(s)exp
∫ xs
ψ(t)dt
avem
∫ xa
ϕ(s)ψ(s)exp∫ x
sψ(t)dt
ds = −
∫ xa
ϕ(s) d
ds exp
∫ xs
ψ(t)dt
ds =
= −ϕ(s)exp∫ x
sψ(t)dt
xs=a
+
∫ xa
ϕ′(s)exp∫ x
sψ(t)dt
ds =
= −ϕ(x) + ϕ(a)exp∫ x
aψ(t)dt
+
∫ xa
m(s)exp∫ x
sψ(t)dt
ds =
= −ϕ(x) + ϕ(a)expx∫
a
ψ(t)dt
+exp x∫ a
ψ(t)dt ·
x∫ a
m(s)exp−
s∫ a
ψ(t)dt
ds
≤ −ϕ(x) + A exp∫ x
aψ(t)dt
+∫ x
am(s)ds
· exp
∫ xa
ψ(t)dt ≤
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
15/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 15
≤ −ϕ(x) +
A +
∫ xa
m(s)ds
· exp∫ x
aψ(t)dt
deci
y(x)
≤ A + ∫
x
a
m(s)ds ·exp∫
x
a
ψ(t)dt, ∀ x
∈ [a, b].
Din cele de mai sus constatǎm cǎ putem reformula rezultatul anterior astfel:
Dac˘ a
y(x) ≤ ϕ(x) +∫ xa
ψ(t)y(t)dt, ∀ x ∈ [a, b]unde y ,ϕ,ψ sı̂nt funct ̧ii continue pe [a, b], ψ ≥ 0 iar ϕ este primitiva unei
funct ̧ii integrabile pozitive atunci
y(x) ≤ ϕ(x) · exp∫ x
aψ(t)dt
, ∀ x ∈ [a, b].
1.2 Metode elementare de integrare aecuaţiilor diferentiale
Ecuaţiile diferenţiale pentru care putem sǎ indicǎm o procedurǎ efectivˇ a pentru determinarea formei generale a soluţiei ŝınt puţine la numǎr. Vomanaliza ı̂n cele ce urmeazǎ ĉıteva tipuri de asemenea ecuaţii.
Prima ecuaţie diferenţialǎ a fost rezolvatǎ o datǎ cu apariţia calculului inte-gral ı̂n secolul XVII,
y′ = f (x), x ∈ I (1.23)unde f este o funcţie continuǎ. Soluţia ecuaţiei (1.23) este datǎ de formula
y(x) = y0 +∫ x
x0f (s)da, x ∈ I .
Intreg secolul XVIII şi o parte din secolul XIX a fost dominat de efortulunor matematicieni, printre care L. Euler (1707 – 1783), J. Bernoulli (1667– 1748), J. Lagrange (1736 – 1813) şi alţ ii, de a da soluţii prin cuadraturi unuinumăr ĉıt mai mare de ecuaţii diferenţiale. Astăzi această problemă prezintăun interes secundar. Cu toate acestea, considerăm necesar să prezentămĉıteva tipuri importante de ecuaţii diferenţiale rezolvabile prin cuadraturi şicare intervin frecvent ı̂n exemple şi aplicaţii.
Ecuaţii cu variabile separabile
Numim astfel ecuaţiile diferenţiale de forma
y′ = f (x)g(y), x ∈ (a, b) (1.24)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
16/120
16 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
unde funcţia f este continuǎ pe intervalul (a, b), iar funţia g este continuǎ şidiferitǎ de zero pe un interval (c, d) ( eventual nemǎrginit ).
O soluţie a acestei ecuaţii este o funcţie ϕ : (α, β ) ⊂ (a, b) → (c, d) derivabilǎşi astfel ı̂nĉıt
ϕ′(x) = f (x) · g(ϕ(x)), ∀ x ∈ (α, β ).Incercǎm, pentru ı̂nceput, sǎ deducem informaţii suficiente despre ϕ pentrua putea indica un procedeu de determinare a soluţ iei.
Deoarece ϕ este o soluţie, rezultǎ ϕ′(x)/g(ϕ(x)) = f (x). Fie G : (c, d) → Ro primitivǎ a funcţiei 1/g, deci G este derivabilǎ şi G′ = 1/g; atunci G ◦ ϕeste derivabilǎ şi (G ◦ ϕ)′ = (G′ ◦ ϕ)ϕ′, adicǎ
d
dx[G(ϕ(x))] = G′(ϕ(x))ϕ′(x) =
1
g(ϕ(x)) ϕ′(x) = f (x)
deci (G ◦
ϕ)′ = f . Prin urmare, dacǎ F este o primitivǎ a funcţiei f , ı̂n(α, β ) avem G(ϕ(x)) = F (x) + C , C fiind o constantǎ.
Deoarece 1/g ̸= 0, funcţia G este strict monotonǎ, deci inversabilǎ şi prinurmare
ϕ = G−1 ◦ (F + C ).Am obţinut despre ϕ informaţii care o individualizeazǎ p̂ınǎ la o constantǎarbitrarǎ. Sǎ arǎtǎm acum cǎ reciproc, orice funcţie ϕ din familia de maisus este o soluţie a ecuaţiei (1.24). Intr-adevǎr, dacǎ ϕ(x) = G−1(F (x) + C ),rezultă G(ϕ(x)) = F (x) + C şi derivı̂nd avem G′(ϕ(x))ϕ′(x) = f (x), adicǎϕ′(x)/g(ϕ(x)) = f, deci ϕ′(x) = f (x)g(ϕ(x)) şi ϕ este soluţie. Intervalul dedefiniţie al funcţiei ϕ este format din mulţimea punctelor x
∈ (a, b) astfel
ı̂nĉıt F (x) + C se aflǎ ı̂n domeniul de definiţie al funcţiei G−1, deci domeniulvalorilor lui G, adicǎ ı̂ntre limy→c G(y) şi limy→d G(y). Iatǎ, acum, regulade integrare a ecuaţiilor diferenţiale cu variabile separabile.
• Se ı̂mpart ecuaţiile (1.24) cu g(y) şi se obţine ecuaţiady
g(y) = f (x)dx
care are ı̂n primul sǎu membru numai variabila y, iar ı̂n al doilea mem-bru numai variabila x.
• Se integreazǎ cei doi membri adǎuĝınd celui de al doilea o constantǎ.Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
y′ = (y − 2)tg x, x ∈ (0, π2
).
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
17/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 17
Procedı̂nd ca mai sus, scriem ecuaţia sub forma
dy
y − 2 = tgx · dx
şi prin integrare obţinem
ln|y − 2| = −ln|cosx| + C 1.Rezultǎ pentru soluţia y (x) formula
|(y(x) − 2)cosx| = C, x ∈ (0, π2
).
Prin urmare, funcţia (y(x) − 2)cos x are valoare constantǎ pe intervalul (0, π/2) şideci soluţia generalǎ este datǎ de
y(x) = C
cos x + 2, x ∈ (0, π
2).
Ecuaţia omogenǎ
Sǎ considerǎm acum ecuaţia diferenţialǎ
y′ = h(y
x) (1.25)
unde h este o funcţie continuǎ pe intervalul (c, d). Ecuaţia (1.25) se numeşteomogenǎ. Deoarece funcţia f (x, y) = h(y/x) este omogenǎ de gradul zero
(reamintim cǎ ı̂n general f : R2
→ R este o funcţie omogenǎ de gradul αdacǎ f (tx) = tαf (x)).Fie ϕ o soluţie a ecuaţiei (1.25) definitǎ pe un interval (α, β ) ce nu conţinepunctul x = 0. Atunci pentru x ∈ (α, β ) avem ϕ(x)/x ∈ (c, d) şi ϕ′(x) =h(ϕ(x)/x). Sǎ notǎm u(x) = ϕ(x)/x şi sǎ observǎm cǎ funcţia u : (α, β ) →(c, d) este derivabilǎ şi
u′(x) = xϕ′(x) − ϕ(x)
x2 =
1
x
ϕ′(x) − ϕ(x)
x
=
= 1
xh
ϕ(x)
x −
ϕ(x)
x =
1
x
[h(u(x))
−u(x)] .
Rezultǎ cǎ u este soluţia unei ecuaţii cu variabile separabile şi conform cu celeprezentate anterior, funcţia u poate fi determinatǎ p̂ınǎ la o constantǎ, ceeace implicǎ posibilitatea de a determina soluţia ϕ. Rǎmı̂ne numai sǎ observǎm
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
18/120
18 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
cǎ orice soluţie a ecuaţiei cu variabile separabile asociate genereazǎ o soluţiea ecuaţiei omogene date. Intr-adevǎr, dacǎ
u′(x) = 1
xh(u(x)) − u(x) şi ϕ(x) = xu(x)
atunci
ϕ′(x) = u(x) + xu′(x) = u(x) + h(u(x)) − u(x) = h(u(x)) = h
ϕ(x)
x
.
Exemplu : S˘ a se integreze ecuat ̧ia
xy′ = y + x, x > 0.
Ecuaţia este omogenă deoarece
y′ = y
x + 1.
Făcı̂nd substituţia y = u · x obţinem u′x + u = u + 1 sau u ′ = 1/x care are soluţiau(x) = ln x + C.
Soluţia căutată a ecuaţiei diferenţiale este dată de
y(x) = x(
ln x + C
.
• Trebuie sǎ menţionǎm faptul cǎ diverse ecuaţii de ordinul ı̂nt̂ıi, chiar dacǎnu au forma indicatǎ (1.25) se reduc prin substituţii simple la ecuaţii cuvariabile separabile sau omogene. Sǎ considerǎm ecuaţia
dydx
= f
ax + by + ca1x + b1y + c1
(1.26)
unde a,b, c, a1, b1, c1 sı̂nt constante
i) Sǎ presupunem cǎ c2 + c21 = 0, adicǎ ecuaţia (1.26) are forma
dy
dx = f
ax + by
a1x + b1y
care este o ecuaţie omogenǎ. Cu substituţia y = xz ecuaţia de mai susse transformǎ ı̂n ecuaţia
xz′ = f a + bz
a1 + b1z
− z
care este o ecuaţie cu variabile separabile.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
19/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 19
ii) Dacǎ c2 + c21 ̸= 0 şi ab1 − a1b ̸= 0, dreptele(D) : ax + by + c = 0, (D1) : a1x + b1y + c1 = 0
se intersectează in punctul (x0
, y0
). Fǎĉınd schimbarea de variabilǎ şide funcţie
u = x − x0, v = y − y0obţinem ecuaţia
dv
du = f
au + bv
a1u + b1v
care este de forma de mai sus, deci cu schimbarea de funcţie v = z · use obţine o ecuaţie cu variabilele separabile.
iii) Dacǎ c2 + c21 ̸= 0 şi ab1 − a1b = 0 dreptele(D) : ax + by + c = 0, D1 : a1x + b1y + c1 = 0
ŝınt paralele. Din ab1 − a1b = 0 rezultǎ a1a
= b1
b = k, deci
dy
dx = f
ax + by + c
k(ax + by) + c1
; (1.27)
dacǎ facem schimbarea de funcţie ax + by = z , ecuaţia se transformǎı̂n
1
b
dzdx
− a
= f
z + c
kz + c1
care este o ecuaţie cu variabilele separabile dacǎ bf z + c
kz + a+ a ̸
= 0,
a cărei soluţie este de forma x + C = ϕ(z), sau x + C = ϕ(ax + by),
unde ϕ este o primitivǎ pentru funcţia z → bf
z + c
kz + c1
+ a.
Exemple :
1) S˘ a se integreze ecuat ̧ia
y′ = y − 2x2y − x , 2y − x ̸= 0.
Facem schimbarea de funcţie y = u · x, de unde y ′ = u′ · x + u, deci
u
′
· x + u = u
−2
2u − 1 , sau u′
· x = −2u2 + 2u
−2
2u − 1care este cu variabile separabile şi care are soluţia
ln |x| + 12
ln |u2 − u + 1| + C.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
20/120
20 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Revenind la variabila iniţială obţinem integrala generală
y2 − xy + x2 = C
care reprezintă o familie de elipse cu centrul ı̂n origine.2) S˘ a se integrexe ecuat ̧ia
y′ = −2(x − 2y + 1)5x − y − 4 .
Dreptele x−2y+1 = 0, 5x−y−4 = 0 se intersectează ı̂n punctul (1, 1). Efectuı̂ndschimbarea de funcţie şi variabilă x = u + 1, y = v + 1 ecuaţia se transformă ı̂n
dv
dx = −2u − 4v
5u − v .
Făcı̂nd schimbarea de funcţie v = u ·z obţinem dvdu
= udz
du+z şi ı̂nlocuind ı̂n ecuaţie
se obţinedz
du · u + z = −2 − 4z
5 − z sau dz
du =
z2 − z − 2u(5 − z)
care este cu variabile separabile. Prin integrare se obţine
C |u| = |z − 2|(z + 1)2
.
Dacă revenim la variabilele iniţiale u = x−1, z = (y − 1)/(x − 1), obţinem integralagenerală a ecuaţiei date
y
−2x + 1 = C (y + x
−2)2.
3) S˘ a se integreze ecuat ̧ia
y′ = x − 2y + 93x − 6y + 19 .
Dreptele x − 2y + 9 = 0, 3x − 6y + 19 = 0 ŝınt paralele. Făcı̂nd schimbareade funcţie x − 2y = z se obţine y ′ = 1
2 − 1
2z′, care ı̂nlocuite ı̂n ecuaţia iniţială dau
z′ = z + 1
3z + 19. Soluţia generală a ultimei ecuaţii este dată de
3z + 16 ln |z + 1| = x + 2C
sau pentru ecuaţia iniţială
8 ln |x − 2y + 1| + x − 3y = C.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
21/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 21
Ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul ı̂nt̂ıi
O clasǎ deosebit de importantǎ de ecuaţii diferenţiale pentru care soluţiilepot fi gǎsite prin cuadraturi o reprezintǎ ecuaţiile de forma
y′ = a(x)y + b(x). (1.28)
In cazul b(x) = 0, ecuaţia este cu variabile separabile şi admit evident soluţia
y(x) = C · exp(F (x))
unde F este o primitivǎ a funcţiei a. Sǎ observǎm cǎ dacǎ a este o funcţieicontinuǎ pe intervalul I , iar x0 ∈ I , o primitivǎ ı̂n I este datǎ de
x →∫ xx0
a(s)ds,
deci o soluţie a ecuaţiei diferenţiale omogene este datǎ de
y(x) = C exp
∫ xx0
a(s)ds
.
Pentru x = x0 deducem C = y(x0), deci putem scrie soluţia y sub forma
y(x) = y(x0) · exp∫ x
x0a(s)ds
.
Pentru a obţine forma soluţiei ı̂n cazul b ̸= 0, sǎ considerǎm o soluţie ϕoarecare definitǎ pe I şi sǎ definim funcţia ψ prin
ψ(x) = ϕ(x) · exp−∫ xx0
a(s)ds
.
Funcţia ψ astfel definitǎ este derivabilǎ şi avem
ψ′(x) = ϕ′(x)exp
−∫ xx0
a(s)ds
− ϕ(x)a(x)exp(−
∫ xx0
a(s)ds) =
=
a(x)ϕ(x) + b(x)
exp
−∫ xx0
a(s)ds
− ϕ(x)a(x)exp
−∫ xx0
a(s)ds
=
= b(x)exp− ∫
x
x0 a(s)ds
.
Deducem
ψ(x) = ψ(x0) +
∫ xx0
b(t)exp
−∫ tx0
a(s)ds
dt.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
22/120
22 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Pe de altǎ parte ψ(x0) = ϕ(x0), ϕ(x) = ψ(x)exp
∫ xx0
a(s)ds
deci
ϕ(x) = ϕ(x0)exp∫ x
x0
a(s)ds + ∫ x
x0
b(t)exp∫ x
t
a(s)dsdt. (1.29)Am obţinut, astfel, o formulǎ care individualizeazǎ complet soluţia ϕ cuajutorul valorii ei ı̂ntr-un punct x0.
Se verificǎ, cu uşurinţǎ, cǎ funcţia ϕ definitǎ prin formula (1.29) este soluţiea ecuaţiei diferenţiale (1.28).
Observaţii.
1) Metoda folositǎ pentru obţinerea soluţiei (1.29) se numeşţe metoda variat ̧iei constantelor pentru cǎ, scriind :
ϕ(x) = ψ(x) exp(∫ x
x0
a(s)ds)
am considerat soluţia generaľa a ecuaţiiei omogene (pentru b = 0),ı̂n care constanta C am ı̂nlocuit-o cu funcţia ψ(x).
2) Soluţia generalǎ a unei ecuaţii diferenţiale liniare este o funcţie deforma
y = ϕ(x) + Cψ(x), (1.30)
adicǎ o familie de curbe care depind liniar de o constantǎ arbitrarǎ.Reciproc, orice familie de curbe care depind liniar de o constantǎ ar-bitrarǎ verificǎ o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂nt̂ıi. Intr-adevǎr, y′ =ϕ′(x) + C ψ′(x) şi dacǎ eliminǎm pe C ı̂ntre aceastǎ relaţie şi relaţia(1.30) obţinem
y − ϕ(x)ψ(x)
= y′ − ϕ′(x)
ψ′(x)
adicǎ
y′ = ψ′(x)
ψ(x) y +
ψ(x)ϕ′(x) − ϕ(x)ψ′(x)ψ(x)ψ′(x)
care este o ecuaţie liniarǎ de ordinul ı̂ntı̂i.
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
y′ + 2xy = e−x2
, x
∈ R.
Integrı̂nd ecuaţia omogenǎ y ′ + 2xy = 0 obţinem soluţia y = C e−x2
, unde C este oconstantǎ arbitrarǎ. Pentru integrarea ecuaţiei neomogene folosim metoda variaţieiconstantelor
y = C (x)e−x2
, y′ = [C ′(x) − 2xC (x)] e−x2 ,
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
23/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 23
ı̂nlocuim ı̂n ecuaţia datǎ şi obţinem
C ′(x) = 1, deci C (x) = x + A1
iar soluţia generalǎ a ecuaţiei date este
y(x) = (x + A1)e−x2 , ∀ x ∈ R.
Ecuaţii de tip Bernoulli
La ecuaţii diferenţiale liniare se reduc ecuaţiile de forma
y′ = a(x)y + b(x)yα, a, b : I → R (1.31)
continue, α ∈
R\ {
0, 1}
, numite ecuat ̧ii Bernoulli .
Pentru a deduce forma soluţiei, considerǎm ϕ : I → R derivabilǎ strictpozitivǎ soluţie a ecuaţiei (1.31), adicǎ
ϕ′(x) = a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ(x)α
şi fie u(x) = ϕ(x)1−α. Rezultǎ u derivabilǎ şi
u′(x) = (1 − α)ϕ(x)−α · ϕ′(x) = 1 − αϕ(x)α
a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ(x)α
=
= (1 − α)[a(x)u(x) + b(x)],deci u este o soluţie a unei ecuaţii liniare. Reciproc, dacǎ u este soluţie aecuaţiei liniare
u′(x) = (1 − α)[a(x)u(x) + b(x)] şi u(x) > 0
ı̂n I , atunci ϕ(x) = u(x)1
1−α este soluţie a ecuaţiei (1.31). Intr-adevǎr ϕ estederivabilǎ şi
ϕ′(x) = 1
1 − α u′(x) · u(x) α1−α = [a(x)u(x) + b(x)]u(x) α1−α =
= a(x)u(x)
1
1−α
+ b(x)
u(x)
1
1−αα= a(x)ϕ(x) + b(x)[ϕ(x)]
α
.
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
√ x3 y′ − √ x y + y2 = 0, x > 0
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
24/120
24 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
şi s ̌a se determine o solut ̧ie particularˇ a care trece prin punctul A(1, 2).
Impǎrţind ecuaţia datǎ cu√
x3 se obţine
y′ = 1
xy
− 1
√ x3y2
care este o ecuaţie Bernoulli. Făcı̂nd substituţie z = 1
y, − y
′
y2 = z′ şi ecuaţ ia se
transformǎ ı̂n ecuaţia liniarǎ
z′ = −1x
z + 1√
x3
a cǎrei soluţie este z = 1
x
(C + 2
√ x
, deci soluţia generalǎ a ecuaţiei date este
y(x) = x
C + 2√
x, x > 0.
Pentru a determina soluţia particularǎ cerutǎ ı̂nlocuim coordonatele punctului A(1, 2)ı̂n integrala generalǎ şi determinǎm astfel pe C = −3/2, soluţia particularǎ este
y(x) = 2x
−3 + 4√ x , x > 9
16.
Ecuaţii diferenţiale de tip Riccati ( 1676 - 1754 ).
Forma generalǎ a ecuaţiilor diferenţiale cu acest nume este datǎ de
y′ = a(x)y + b(x)y2 + c(x), x ∈ I (1.32)unde a,b, c ŝınt funcţii continue pe intervalul I. Ecuaţia (1.32) nu este, ı̂ngeneral, integrabilǎ prin cuadraturi. Totuşi, ı̂n cazurile ı̂n care printr-unmijloc oarecare se găseşte o soluţie particularǎ, integrarea devine posibilǎ.
Fie ϕ0 o soluţie a ecuaţiei (1.32), iar ϕ o soluţie arbitrarǎ pentru aceiaşiecuaţie. Pentru funcţia ψ = ϕ − ϕ0 avem
ψ′(x) = ϕ′(x) − ϕ′0(x) =
= a(x)ϕ(x) + b(x)ϕ2(x) + c(x) − [a(x)ϕ0(x) + b(x)ϕ20(x) + c(x)] == b(x)[ϕ(x) − ϕ0(x)][ϕ(x) + ϕ0(x)] + a(x)[ϕ(x) − ϕ0(x)] =
= b(x)ψ(x)[ψ(x) + 2ϕ0(x)] + a(x)ψ(x) =
= b(x)ψ2(x) + [a(x) + 2b(x)ϕ0(x)] ψ(x)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
25/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 25
deci ψ este soluţia unei ecuaţii Bernoulli cu α = 2, prin urmare se poateconstrui soluţia ϕ a ecuaţiei Riccati.
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
xy′
+ y2
− 4y + 3 = 0,şi s ̌a se determine o solut ̧ie care trece prin A(1, 2).
Se observǎ cǎ funcţia x → ϕ0(x) = 1 este soluţie a ecuaţiei date. Dacǎ ϕ este osoluţie oarecare a ecuaţiei date atunci funcţia ψ = ϕ − ϕ0 verificǎ ecuaţia
ψ′ = −1x
ψ2 + 2
xψ.
Fǎcı̂nd substituţia z = 1
ψ obţinem ecuaţia
z′ = −2x
z + 1
x
cu soluţia generalǎ z = 1
x2
C +
x2
2
. Soluţia generalǎ a ecuaţiei date este
y(x) = 1 + 2x2
2C + x2, x ∈ R.
Ca soluţia sǎ treacǎ prin punctul A(1, 2); avem 2 = 1 + 2
2C + 1, deci C =
1
2 adică
soluţia cǎutatǎ este
y(x) = 1 + 2x2
1 + x2, x ∈ R.
Ecuaţii diferenţiale de tip Lagrange
Numim astfel ecuaţiile
y = xϕ(y′) + ψ(y′) (1.33)
unde ϕ şi ψ ŝınt funcţii continuu diferenţiabile pe un interval din R şi ϕ( p) ̸= p pentru toţi p.
Presupun̂ınd cǎ y este soluţie a ecuaţiei (1.33) pe intervalul I ⊆ R, rezultǎprin derivare
y′ = ϕ(y′) + xϕ′(y′)y′′ + ψ(y′)y′′ (1.34)
unde y ′′ = d2y/dx2. Not̂ınd cu p funcţia y ′, din (1.34) rezultǎ
dx
dp =
ϕ′( p)
p − ϕ( p) x + ψ′( p)
p − ϕ( p) (1.35)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
26/120
26 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
care este o ecuaţie liniarǎ ı̂n x. Rezolvı̂nd aceastǎ ecuaţie gǎsim pentru x oexpresie de forma
x = A( p, C ) (1.36)
unde C este o constantǎ arbitrarǎ. Din ecuaţia (1.33) se obţine atunci
y = A( p, C )ϕ( p) + ψ( p). (1.37)
Interpretı̂nd p drept un parametru, (1.36) şi (1.37) devin ecuaţ iile parame-trice ale necunoscutei y care verificǎ (1.33). Cu alte cuvinte, folosind metodaindicatǎ mai sus, soluţia ecuaţiei (1.33) se obţine sub formǎ parametricǎ.
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
y = x(y′)2 + (y′)3.
Notǎm y′ = p, deci y = xp2 + p3; derivı̂nd ı̂n raport cu x,
p = 2xpdp
dx + p2 + 3 p2
dp
dx
şi obţinem ecuaţia liniarǎ
dx
dp = − 2 p
p2 − p x − 3 p2
p2 − p , p2 − p ̸= 0
de unde
x = 1
( p − 1)2
C − 23
p3 + p2
y = p2
( p − 1)2 C −
2
3
p3 + p2 + p3care reprezintǎ soluţia generalǎ.
Pentru p2 − p = 0 avem douǎ situaţii:a) p = 0, y = 0; dreapta y = 0 este o integralǎ singularǎ;
b) pentru p → 1 şi C ̸= −1/3, |x| → ∞, deci dreapta y = x + 1 este o direcţieasimptoticǎ a curbelor integrale care au C ̸= −1/3. Dacǎ C = −1/3 curba integralǎse descompune ı̂n dreapta y = x + 1 şi o conicǎ.
Ecuaţia de tip Clairaut (1713 - 1765).
Ecuaţia de tipul y = xy ′ + ψ(y′) (1.38)
este o ecuaţie de tip Clairaut. Acest tip de ecuaţie este un caz particular deecuaţie Lagrange si anume cazul ĉınd ϕ( p) = p.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
27/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 27
Prin derivarea ecuaţiei (1.38) obţinem
y′ = xy ′′ + y′ + ψ′(y′)y′′
de unde rezultǎy′′(x + ψ′(y′)) = 0. (1.39)
Prin urmare, avem douǎ tipuri de soluţii. Prima este definitǎ de y ′′ = 0 care,prin integrare dǎ
y(x) = C 1x + C 2 (1.40)
unde C 1 şi C 2 ŝınt constante arbitrare. De fapt, introduĉınd (1.40) ı̂n (1.38)se constatǎ cǎ C 1 şi C 2 nu sı̂nt independente ci C 2 = ψ(C 1). Prin urmare
y = C 1x + ψ(C 1) (1.41)
unde C 1 este o constantǎ arbitrarǎ.
O altǎ categorie de soluţii se obţine din (1.39)
x + ψ′( p′) = 0. (1.42)
Proced̂ınd ca la ecuaţ ia lui Lagrange, notǎm y′ = p şi obţ inem din (1.42)ecuaţiile parametrice
x = −ψ′( p)y = −ψ′( p) p + ψ( p) (1.43)
ale unei soluţii pentru ecuaţia Clairaut.
Soluţia sub forma (1.41) este soluţie generalǎ a ecuaţiei lui Clairaut, iar
soluţia sub forma (1.43) este o soluţie singularǎ a ecuaţiei lui Clairaut.
Observaţie. Soluţia generaľa a ecuaţiei Clairaut este o familie de dreptece depind de un parametru C . Eliminı̂nd pe C ı̂ntre ecuaţia
y = C x + ψ(C )
şi derivata ı̂n raport cu C x + ψ′(C ) = 0
sau, ceea ce este acelaşi lucru, lûınd pe C parametru, obţinem curba
x =
−ψ′(C )
y = −Cψ′(C ) + ψ(C )care este integrala singularǎ. Prin urmare integrala singularǎ este ı̂nfǎ̧surǎ-toarea familiei de curbe reprezentatǎ de integrala generalǎ.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
28/120
28 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
yy ′ = x (y′)2 + 1.
Ecuaţia este de tip Clairaut, deoarece poate fi scrisă y = xy′
+
1
y′ .
Soluţia generalǎ este datǎ de familia de drepte
y = C x + 1
C . (1.44)
Integrala singularǎ are ecuaţiile parametrice x = 1
p2, y =
2
p; eliminı̂nd p, obţinem
parabola y2 = 4x care este ı̂nfă̧surǎtoarea dreptelor reprezentatǎ de soluţia generalǎ.Rezolvind ı̂n raport cu C ecuaţia (1.44) obţinem C 2x − Cy + 1 = 0.Soluţiile C 1, C 2 ŝınt reale dacǎ y
2 − 4x > 0, deci dreptele reprezentate de integralagenerala, nu intersecteazǎ parabola, care este o curbǎ convexǎ.
Ecuaţii de tipul y = f (x, y′).
Notǎm y ′ = p, deci
y = f (x, p) (1.45)
şi derivı̂nd ı̂n raport cu x, ţinı̂nd seama cǎ p este o funcţie de x; obţinem
p = ∂f
∂x(x, p) +
∂ f
∂p(x, p) · dp
dx (1.46)
care este o ecuaţie rezolvatǎ ı̂n raport cu
dp
dx . Dača putem ı̂ntegrarea pe(1.46) avem
p = ϕ(x, C )
care introdusǎ ı̂n (1.45), ne conduce la soluţia generalǎ cǎutatǎ
y(c) = f (x, ϕ(x, C )).
Exemplu : Sˇ a se integreze ecuat ̧ia
y = y ′2 − y′x + x2
2 .
Lûınd y ′ = p, avem y = p2 − px + x2/2, care derivata ı̂n raport cu x şi ţinı̂nd seamacǎ p este funcţie de x obţinem
p = 2 pdp
dx − x dp
dx − p + x
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
29/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 29
sau
(2 p − x)
1 − dpdx
= 0.
Avem douǎ posibilitǎţi:
a) dpdx
= 1 sau p +C = x, pe care dacǎ o introducem ı̂n ecuaţia datǎ obţinem soluţia
generalǎ
y(x) = (x − C )2 − x(x − C ) + 12
x2
sau
y(x) = −Cx + C 2 + 12
x2, ∀ x ∈ R.
b) x = 2 p, care cu y = p2 − px + 12
x2 ne dǎ
x = 2 p, y = p2, p ∈ Rcare este soluţia singularǎ.
Se observǎ ca o soluţia singularǎ este ı̂nfǎ̧surǎtoarea familiei de parabole reprezen-
tate de soluţia generalǎ.
Ecuaţii de tipul x = f (y, y′).
Notǎm y ′ = p, decix = f (y, p) (1.47)
şi derivı̂nd ı̂n raport cu y , consider̂ınd pe x şi p funcţia de y; avem
1
p =
∂f
∂y(y, p) +
∂ f
∂p · dp
dy (1.48)
deoarece dx
dy = 1/(
dy
dx) =
1
p.
Dacǎ putem integra pe (1.48), care este o ecuaţie diferenţialǎ ı̂n p şi y,
explicitǎ ı̂n raport cu dp
dy, obţinem
p = ϕ(y, C ). (1.49)
Dacǎ introducem (1.49) ı̂n (1.47) rezultǎ soluţia generalǎ cǎutatǎ
x = f (y, ϕ(y, C )).
Exemplu: Sǎ se integreze ecuaţia
(y′)3 − 4xyy ′ + 8y2 = 0. (1.50)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
30/120
30 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Inlocuind pe y ′ cu p, obţinem p3 − 4xyp + 8y2 = 0. Avem
x = p2
4y +
2y
p . (1.51)
Derivı̂nd ı̂n raport cu y şi ı̂nlocuind dx
dy cu 1/p obţinem
1
p =
2 p
4y
dp
dy − p
2
4y2 +
2
p − 2y
p2 · dp
dy
sau p3 − 4y2
2y
dp
dy − p
= 0.
Avem douǎ cazuri de considerat şi anume:
a) 2ydp
dy − p = 0, care integratǎ dǎ p = C √ y, şi apoi inlocuim pe p astfel obţinut ı̂n
ecuaţia datǎ, rezultatǎ integrala generalǎ
C 3y3/2 − 4Cxy3/2 + 8y2 = 0sau 8
√ y = 4Cx − C 3, sau y2 = C 1(x − C 1)2, 4C 1 = C 2.
b) 4y2 − p3 = 0; care ı̂nlocuitǎ ı̂n (1.50), obţinem soluţia
y = 4
27x3
care reprezintǎ integrala singularǎ.
Intr-adevǎr integrala generalǎ este formatǎ dintr-o familie de conice, ı̂n timp cesoluţia singularǎ este o parabolǎ cubicǎ.
Prin eliminarea lui p ı̂ntre ecuaţiile (1.50) şi 4y2− p3 = 0 mai obţinem şi y = − 427
x3
care nu este soluţie.
Ecuaţii de forma F (x,y ,y′) = 0.
Analizǎm ı̂n cele ce urmeazǎ cazurile ĉınd o ecuaţie de ordinul ı̂ntı̂i de forma
F (x,y ,y′) = 0 (1.52)
poate fi integratǎ prin cuadraturi.
Presupunem cǎ F : I × I 1 × I 2 ⊂ R3
→ R este de clasa C 1
. O funcţieϕ : I ′ ⊂ I → I 1 derivabilǎ cu ϕ′ : I ′ → I 2 şi F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0, ∀ x ∈ I ′este soluţie a ecuaţiei (1.52). Dacǎ se dǎ un punct (x0, y0, z0) astfel ca
F (x0, y0, z0) = 0 şi ∂F
∂z (x0, y0, z0) ̸= 0, din teorema funcţiilor implicite existǎ
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
31/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 31
o funcţie f de clasǎ C 1 definitǎ ı̂ntr-o vecinǎtate a punctului (x0, y0) cu valoriı̂ntr-o vecinǎtate a lui z astfel ı̂nĉıt
F (x,y ,f (x, y)) = 0, f (x0, y0)) = z0.
Dacǎ ϕ este o soluţie a ecuaţiei diferenţiale y′ = f (x, y) definitǎ de funcţia f ,avem ϕ′(x) = f (x, ϕ(x)), deci F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = F (x, ϕ(x), f (x, ϕ(x)) ≡ 0şi ϕ este soluţia problemei date.
Rezultǎ cǎ putem reduce,cel puţin local problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei
F (x,y ,y′) = 0, ∂F
∂y ′(x,y ,y′) ̸= 0, la problema gǎsirii soluţiei unei ecuaţii
diferentiale scrise ı̂n forma normalǎ. Deoarece aceastǎ cale presupune re-zolvarea prealabilǎ a unei probleme de funcţii implicite, ea nu este ı̂n generalconvenabilǎ ı̂n studiul unor ecuaţii particulare ĉınd poate exista speranţaunor procedee alternative mai simple pentru gǎsirea soluţiilor.
In cele ce urmeazǎ vom considera trei procedee alternative care se dovedescuneori utile.
1. Primul procedeu reduce gǎsirea soluţiilor unei ecuaţii de forma consid-eratǎ la (1.52) la gǎsirea soluţiilor unui sistem de trei ecuaţii diferenţiale.
Fie (x0, y0, z0) astfel ca F (x0, y0, z0) = 0 şi presupunem cǎ ∂ F
∂z (x0, y0, z0) ̸= 0
(F de clasǎ C 1). Formǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale
dx
dt =
∂F
∂z (x,y ,z)
dy
dt = z
∂F
∂z (x,y ,z)
dzdt
= −∂F ∂x
(x,y ,z) − z ∂F ∂y
(x,y ,z)
. (1.53)
Presupunem cǎ reuşim sǎ gǎsim (α,β,γ ) o soluţie a acestui sistem, astfelı̂nĉıt
α(0) = x0, β (0) = y0, γ (0) = z0.
Atunci, deoarece ∂F
∂z este o funcţie continuǎ, existǎ un interval ce conţine
originea astfel ca pentru t ı̂n acest interval sǎ avem
∂F
∂z (α(t), β (t), γ (t)) ̸= 0
deci dαdt
(t) ̸= 0; de unde rezulťa cǎ funcţia α este inversabilǎ ı̂n acest interval,fie τ inversa sa. Avem α(τ (x)) = x şi τ (α(t)) = t. Fie
ϕ(x) = β (τ (x)), ψ(x) = γ (τ (x)).
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
32/120
32 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Funcţia ϕ este soluţie a problemei date cu ϕ(x0) = y0 şi ϕ′(x0) = z0. Pentru
a demonstra acest lucru, observǎm mai ı̂nt̂ıi cǎ F (α(t)), β (t), γ (t)) ≡ 0.Intr-adevǎr, pentru t = 0, avem F (x0, y0, z0) = 0 şi apoi conform teoremeide derivare a funcţiilor compuse avem:
d
dtF (α(t), β (t), γ (t)) =
∂F
∂x (α(t), β (t), γ (x))
dα(t)
dt +
+∂F
∂y (α(t), β (t), γ (t))
dβ (t)
dt +
∂ F
∂z (α(t), β (t), γ (t))
dγ
dt(t) ≡ 0.
Rezultǎ cǎ funcţia t → F (α(t), β (t), γ (t)) este o constantǎ C şi cum pentrut = 0 avem C = F (α(0), β (0), γ (0)) = F (x0, y0, z0) = 0 rezultǎ cǎ funcţiat → F (α(t), β (t), γ (t)) este identic nulǎ. Luı̂nd ı̂n relaţia obţinutǎ t = τ (x),deducem
F (α(τ (x)), β (τ (x)), γ (τ (x)) = F (x, ϕ(x), ψ(x)) ≡ 0.
Rǎmı̂ne sǎ arǎtǎm cǎ ψ(x) = ϕ′(x). Avem
ϕ′(x) = dϕ
dx(x) =
dβ
dt (τ (x))τ ′(x) = γ (τ (x))
∂F
∂z (α(τ (x)), β (τ (x)), γ (x))τ ′(x) =
= ψ(x)dα
dt (τ (x))τ ′(x) = ψ(x).
In acest fel problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei F (x,y ,y′) = 0 a fost redusǎla problema gǎsirii soluţiilor unui sistem de trei ecuaţii diferenţiale scris subforma normalǎ şi la o problemǎ de inversare a unei funcţii.
Exemplu : S˘ a se integreze ecuat ̧ia
y = xϕ(y′) + ψ(y′).
In acest caz F (x,y,z) = xϕ(z) − y + ψ(z). Sistemul asociat este
dx
dt = xϕ′(z) + ψ′(z)
dy
dt = z(xϕ′(z) + ψ′(z))
dz
dt
=
−ϕ(z) + z
Acest sistem se poate integra prin cuadraturi, deoarece ultima ecuaţie este cu vari-
abile separabile. Apoi cu z astfel gǎsit, prima ecuaţie devine o ecuaţie liniarǎ, iar
dacǎ x şi z au fost determinate, aflarea lui y se reduce la aflarea unei primitive.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
33/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 33
2) In ipoteza ∂F
∂z ̸ = 0, putem reduce problema gǎsirii soluţiilor ecuaţiei
(1.52) la problema gǎsirii unui sistem de doua ecuaţii diferenţiale scris subforma normalǎ. Sǎ considerǎm sistemul
dy
dx = z
dz
dx = −
∂F
∂x(x,y ,z) + z
∂F
∂y (x,y ,z)
∂F
∂z (x,y ,z).
(1.54)
Sǎ presupunem cǎ am gǎsit (ϕ(x), ψ(x)) o soluţie a sistemului (1.54), astfelı̂nĉıt
ϕ(x0) = y0, ψ(x0) = z0, F (x0, y0, z0) = 0.
Atunci ϕ este soluţie a ecuaţiei (1.52). Intr-adevǎr, avem ϕ′(x) = ψ(x),
d
dx[F (x, ϕ(x), ψ(x)))] =
∂F
∂x(x, ϕ(x), ψ(x))+
+∂F
∂y (x, ϕ(x), ψ(x))ϕ′(x) +
∂ F
∂z (x, ϕ(x), ψ(x))ψ′(x) =
= ∂F
∂x(x, ϕ(x), ψ(x)) +
∂ F
∂y (x, ϕ(x), ψ(x))ψ(x)−
−∂F ∂z
(x, ϕ(x), ψ(x)) ·∂F
∂x(x, ϕ(x), ψ(x)) + ψ(x)
∂F
∂y (x, ϕ(x), ψ(x)))
∂F
∂z (x, ϕ(x), ψ(x))
≡ 0
deci funcţia x → F (x, ϕ(x), ψ(x)) este o constantǎ şi cum aceastǎ constantǎeste nulǎ pentru x = x0, rezultǎ F (x, ϕ(x), ψ(x)) = 0 adicǎ
F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = 0.
• In anumite cazuri este convenabil sǎ considerǎm alt sistem asociat şi
anume, presupun̂ınd
∂F
∂x(x,y ,z) + z
∂F
∂y (x,y ,z) ̸= 0
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
34/120
34 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
considerǎm sistemul
dx
dz = −
∂F
∂z (x,y ,z)
∂F
∂x (x,y ,z) + z∂F
∂y (x,y ,z)
dy
dz = −
z∂F
∂z (x,y ,z)
∂F
∂x(x,y ,z) + z
∂F
∂y (x,y ,z)
.
(1.55)
Fie ξ , η) o soluţie a acestui sistem cu
ξ (z0) = x0, η(z0) = y0, F (x0, y0, z0) = 0.
In plus dacă admitem ∂F
∂z (x0, y0, z0) ̸= 0, rezultǎ dξ
dz ̸= 0 deci funcţia ξ este
inversabilǎ. Dacǎ ζ este inversa sa, avem ξ (ζ (x) ≡ x şi ζ (ξ (z)) = z. Fieϕ(x) = η(ζ (x)). Avem
ϕ′(x) = dη
dz(ζ (x))ζ ′(x) =
= −ζ (x)
∂F
∂z (ξ (ζ (x)), η(x)), ζ (x))ζ ′(x)
∂F
∂x(ξ (ζ (x), η(ζ (x)), ζ (x)) + ζ (x) + ζ (x)
∂F
∂y (ξζ (x)), ηζ (x), ζ (x))
= ζ (x) d
dz(ζ (x))ζ ′(x) = ζ (x).
Observǎm cǎ ζ (ξ (z0)) = z0, deci ζ (x0) = z0, ϕ(x0) = η(ζ (x0)) = η(z0) = y0şi deci F (x0, ϕ(x0), ζ (x0)) = 0. Sǎ aratǎm cǎ
d
dxF (x, ϕ(x), ζ (x)) ≡ 0.
Avem, ı̂ntr-adevǎr d
dxF (x, ϕ(x), ζ (x)) =
= ∂F
∂x(x, ϕ(x), ζ (x)) +
∂ F
∂y (x, ϕ(x), ζ (x))ϕ′(x) +
∂ F
∂z (x, ϕ(x), ζ (x))ζ ′(x) =
=
∂F
∂x (x, ϕ(x), ζ (x)) +
∂ F
∂y (x, ϕ(x), ζ (x))ζ (x) +
∂ F
∂z (x, ϕ(x), ζ (x))ζ ′
(x) =
−∂F ∂z
(ξ (ζ (x)), η(ζ (x)), ζ (x))· 1dξ
dz(ζ (x))
+∂F
∂z (ξ (ζ (x)), η(ζ (x)), ζ (x))·ζ ′(x)) = 0
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
35/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 35
deoarece dξ
dz(ζ (x))ζ ′(x) ≡ 1, deci ξ ′(x) = 1/ dξ
dz(ζ (x)). Deducem
F (x, ϕ(x), ζ (x)) ≡ 0, deci
F (x, ϕ(x), ϕ
′
(x)) ≡ 0şi ϕ este soluţie a ecuaţiei (1.52).
3) Sǎ indicǎm acum un procedeu care permite reducerea problemei (1.52)la găsirea soluţiei unei singure ecuaţii diferenţiale scrise ı̂n forma normalǎ.
Sǎ presupunem cǎ am gǎsit funcţiile f , g , h definite pe un domeniu D din R2
cu valori reale de clasǎ C 1, astfel ı̂ncı̂t
F (f (u, v), g(u, v), h(u, v)) ≡ 0.
Presupunı̂nd hf ′v − g′v ̸= 0, considerǎm ecuaţiadv
du =
g′u − hf ′uhf ′v − g′v
. (1.56)
Fie (u0, v0) ∈ D, α o soluţie a ecuaţiei (1.56) cu α(u0) = v0 şi presupunemcǎ
D(f, g)
D(u, v) =
f ′u, f
′v
g′u, g′v
̸ = 0ı̂n (u0, v0), deci ı̂ntr-o vecinatate a acestui punct. Funcţia β definitǎ prinβ (u) = f (u, α(u)) este inversabilă, β (u0) = f (u0, α(u0)) = f (u0, v0) = x0.Avem
β ′
(u) = f ′u(u, α(u)) + f
′v(u, α(u))α
′
(u) =
= f ′u(u, α(u)) + f ′v(u, α(u)) ·
g′u(u, α(u)) − f ′u(u, α(u))h(u, α(u)f ′v(u, α(u)) · h(u, α(u)) − g′v(u, α(u)
=
= f ′uf
′vh − f ′ug′v + f ′vg′u − f ′vf ′uh
f ′vh − g′v=
−D(f, g)D(u, v)
f ′vh − g′v̸= 0.
Deci β este intr-adevǎr inversabilǎ. Fie γ inversa funcţiei β şi fieϕ(x) = g(γ (x), α(γ (x)). Avem
ϕ′(x) = g′u(γ (x)), α(γ (x))) + g′v(γ (x), α(γ (x)))α′(γ (x))γ ′(x).Din β (γ (x)) = x rezultǎ β ′(γ (x))γ ′(x) = 1, deci
f ′u(γ (x), α(γ (x))) + f
′v(γ (x), α(γ (x))α
′(γ (x))
γ ′(x)] = 1,
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
36/120
36 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
γ ′(x) = 1
f ′u(γ (x), α(γ (x))) + f ′v(γ (x), α(γ (x)))α
′(γ (x)),
ϕ′(x) = g′u(γ (x), α(γ (x))) + g
′v(γ (x), α(γ (x)))α
′(γ (x))
f ′u
(γ (x), α(γ (x))) + f ′v
(γ (x), α(γ (x)))α′(γ (x)) =
=
g′u + g′v ·
g ′u − hf ′uhf ′v − g′v
f ′u + f ′v ·
g ′u − hf ′uhf ′v − g′v
= h · (f ′vg′u − f ′ug′v)
f ′vg′u − f ′ug′v
= h(γ (x), α(γ (x))).
Deducem
F (x, ϕ(x), ϕ′(x)) = F (β (γ (x)), ϕ(x), ϕ′(x)) =
F (f (γ (x), α(γ (x)), g(γ (x), α(γ (x))), h(γ (x), α(γ (x)))) ≡ 0,
ţin̂ınd seama de felul cum au fost alese funcţiile f, g şi h. Am aratat astfel
cǎ ϕ este soluţie a ecuaţiei date şi
ϕ(x0) = g(γ (x0), α(γ (x0)) = g(u0, α(u0)) = g(u0, v0)
ϕ′(x0) = h(γ (x), α(γ (x0)) = h(u0, v0).
In acest fel problema rezolvǎrii ecuaţiei (1.52), s-a redus la rezolvarea ecuaţiei(1.56) scrisă sub forma normalǎ şi la inversarea unei funcţii.
1.3 Modele matematice reprezentate prin ecuaţii diferenţiale
Un proces de modelare matematicǎ constǎ din urmǎtoarele etape mai im-portante:
(i) Formularea problemei de cercetat Se formuleaza problema in termeniidisciplinei ı̂n care ea apare. Aceastǎ etapa se realizeazǎ ı̂n interiorulacestei discipline matematice.
(ii) Construirea modelului matematic asociat problemei de cercetat. Pornindde la problema dată se realizeazǎ o cercetare interdisciplinarǎ urmǎrindgǎsirea unui model matematic ĉıt mai fidel pentru aceastǎ problemǎ.
De obicei aceastǎ etapa ajutǎ şi la finalizarea primei etape.(iii) Studiul modelului matematic . Reduĉınd problema de bazǎ la o prob-
lemǎ de matematicǎ se trece la studiul acestei probleme. De reguľaaceastǎ etapǎ se realizeazǎ ı̂n interiorul matematicii.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
37/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 37
(iv) Interpretarea solut ̧iei problemei matematice din punctul de vedere al problemei de bazˇ a . Este vorba de o cercetare interdisciplinarǎ a cǎreicomplexitate ţine de natura problemei de bazǎ ĉıt şi de natura apara-tului matematic ce se utilizeazǎ ı̂n aceastǎ cercetare.
Vom da ı̂n continuare ĉıteva exemple de modele matematice reprezentateprin ecuaţii diferenţiale.
Dezintegrarea radioactiva.
S-a verificat fizic cǎ radioactivitatea este direct proporţionalǎ cu numǎrul deatomi din substanţa radioactivǎ. Astfel, dacǎ x(t) este cantitatea de materienedezintegratǎ la momentul t, viteza de dezintegrare x′(t) este proporţionalǎcu x(t) adicǎ
−x′
(t) = αx(t) (1.57)unde α este o constantǎ pozitivǎ depinẑınd de materialul radioactiv. Soluţiagenerală a ecuaţiei (1.57) este dată de
x(t) = x0e−α(t−t0), t ∈ R (1.58)
Drept mǎsurǎ a vitezei de dezintegrare se ia aşa numita perioadǎ de ı̂nju-mǎtǎţire, adicǎ timpul necesar pentru dezintegrarea unei jumǎtǎţi din can-titatea de substanţǎ. Din formula (1.58) rezultǎ
T = 1
α
ln 2.
Un model matematic al cresţerii populaţiei
Dacǎ p(t) este populaţia unei anumite specii la momentul t iar d(t, p) estediferenţialǎ dintre rata natalitǎţii şi cea a mortalitǎţii, atunci ı̂n ipoteza cǎpopulaţia este izolatǎ (adicǎ nu au loc emigrari sau imigrǎri ), viteza decreştere a polulaţiei p′(t) va fi egalǎ cu d(t, p). Un model simplificat decreştere a populaţiei presupune cǎ d(t, p) este proporţional cu p, cu altecuvinte, p va verifica ecuaţia diferenţialǎ
p
′
= αp, α = constant. (1.59)
Soluţia ecuaţiei (1.59) este deci
p(t) = p0eα(t−t0)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
38/120
38 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
ceea ce ne conduce la legea malthusiana a creşterii populaţiei.
Un model mai realist a fost propus de biologul olandez Verhulst ı̂n 1837.In acest model se ia d(t, p) de forma αp − β p2 unde β este o constantǎpozitivǎ foarte micǎ ı̂n raport cu α. Acest model neliniar de creştere ia ı̂nconsiderare interacţiunea dintre indivizii speciei şi anume efectul inhibatoral aglomerǎrǎrii. Ecuaţia diferenţialǎ
p′ = αp − βp2
are soluţia generalǎ
p(t) = αp0
βp0 + (α − βp0) exp(−α(t − t0))−1
unde (t0, p0) reprezintǎ condiţiile iniţiale.
Modelul Lotka - Volterra
Un sistem biologic ı̂n care douǎ specii N 1 şi N 2 convieţuiesc ı̂ntr-o zonǎ limi-tatǎ astfel ı̂nĉıt indivizii speciei N 2 (rǎpitorii ) se hrǎnesc numai cu indiviziidin specia N 1 (prada) iar aceştia din urmǎ se hrǎnesc cu resursele zonei ı̂ncare trǎiesc.
Dacǎ notǎm cu N 1(t), N 2(t) numǎrul indivizilor din prima, respectiv a douaspecie la momentul t, modelul matematic al sistemului biologic de mai suseste descris de sistemul diferenţial
N ′1
= aN 1 −
bN 1
N 2
N ′2 = −cN 2 + dN 1N 2(1.60)
unde a,b, c, d ŝınt constante pozitive.
Un model matematic al epidemiilor
Vom descrie un model matematic elaborat ı̂n 1927 de Karmac şi McKendric.
Sǎ considerǎm o populaţie formatǎ din n indivizi şi o maladie ı̂n care infecţiase rǎspı̂ndeşte prin contact direct. Se presupune cǎ indivizii infectaţi vor fifie izolaţi, fie devin imuni prin vindecare. Prin urmare, populaţ ia este com-
pusǎ la un moment t din trei categorii x(t), y(t), z(t) reprezent̂ınd respectiv,indivizi neinfectaţi, indivizi infectaţi care circulǎ liberi şi indivizi izolaţi.Vom presupune cǎ viteza de infectare x ′ este proportionalǎ cu numǎrul xy,reprezent̂ınd numǎrul contactelor dintre indivizii neinfectaţi şi cei infectaţi.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
39/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 39
De asemenea, indivizii infectaţi devin izolaţi cu o vitezǎ proporţionalǎ cunumǎrul lor.
Prin urmare, ecuaţiile care guverneazǎ procesul sı̂nt urmǎtoarele (ca de obi-
cei am notat ′
=
d
dt ).
x′ = −βxyy′ = βxy − γyx + y + z = n
Din primele douǎ ecuaţii se obţin
x′
y′ = − βx
βx − γ adicǎ
dy
dx = γ
−βx
βx = γ
β · 1
x − 1.
Prin integrare se gǎseşte soluţia
y(x) = y0 + x0 − x + γ β
ln x
x0.
Oscilatorul armonic
Sǎ considerǎm mişcarea unui punct material de masǎ m care se deplaseazǎ pedreapta orizontalǎ 0x sub acţiunea forţei elastice F ı̂ndreptatǎ cǎtre originea0. Dacǎ notǎm cu x(t) distanţa, ı̂n momentul t, de la punctul de origine,din legea a doua a lui Newton rezultǎ cǎ ecuaţia mi̧scǎrii va fi
mx′′ = F.
Pe de altǎ parte, F fiind o forţǎ elasticǎ va fi de forma F = −ω2x. Rezultǎastfel ca mişcarea punctului este descrisǎ de ecuaţia diferenţialǎ de ordinuldoi
mx′′ + ω2x = 0. (1.61)
Un model mai complex al mişcǎrii este cel ı̂n care se admite existenţa unei
forţe de frecare proporţionalǎ cu viteza, adicǎ de forma −bx′, cı̂t şi a uneiforţe exterioare f (t) aplicate masei P . Se obţine atunci ecuaţia diferenţialǎ
mx′′ + bx′ + F (x) = f.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
40/120
40 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Pendulul matematic
Sǎ considerǎm problema oscilaţiilor unui pendul. Fie s(t) = lα(t), l fiindlungimea firului, α(t) unghiul firului faţǎ de verticalǎ. P = mg, unde m este
masa punctului material, g acceleraţia gravitaţională.Forţa P se descompune ı̂n douǎ componente dintre care una este anulatǎde rezistenţa firului. Mişcarea se desfǎ̧soarǎ sub acţiunea componentelor−mg sin α. Ecuaţia diferenţialǎ a mişcǎrii este mlα′′(t) = −mg sin α(t) sau
α′′(t) + g
l sin α(t) = 0.
Consider̂ınd numai oscilaţii mici, putem lua aproximativ sin α(t) ≈ α(t) şiecuaţia devine
α′′(t) + g
lα(t) = 0.
Se verificǎ imediat cǎ orice funcţie de forma
α(t) = k sin g
l t + ϕ
este soluţie a ecuaţiei.
Probleme şi exerciţii
1. Sǎ se determine soluţia generalǎ a urmǎtoarelor ecuaţii diferenţiale cenu conţin variabila independentǎ
y′ = y2; y′ = ey, y′ = y3 + y3 + 1, y′ =
4 − y2
2. Sǎ se integeze ecuaţiile cu variabile separabile:
y′ = 1 + y2
1 + x2, 2yy ′ =
ex
ex + 1, y′ =
y
x · x
3 + 1
y2 − 1 , y′ =
x
y ·√
1 + y2√ 1 + x2
.
3) Sǎ se integreze urmǎtoarele ecuaţii diferenţiale omogene :
y′ = y
x + exp
yx
, y′ =
y2 + x2
xy , y′ =
x + y
x − y , y′ = −3x
2y + y3
2x3 .
4) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de forma:
2x + y = (4x − y)y′, y′ = 2(y + 2)2
(x + y − 1)2 , y′ =
3x + 3y − 1x + y + 1
.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
41/120
§1. Ecuaţii diferenţiale 41
5) Sǎ se determine soluţia generalǎ a ecuaţiilor diferenţiale liniare de or-dinul ı̂nt̂ıi.
y′ = y
x−
2 = 0, 3y′(x2 − 1) − 2xy = 0, y′ + y = 2ex.
3. Sǎ se determine soluţia generalǎ a urmǎtoarelor ecuaţii şi apoi sǎ seafle curba integralǎ ce trece prin punctele indicate:
xy′ − y + x = 0, A(1, 1)
y′ + 2y
x2 − 1 = 2x + 2, A(0, −3).
7) Ecuaţia diferenţialǎ y′ + P (x)y = Q(x) admite integrale particularey1(x) = x şi y2(x) = x sin x
(i) Sǎ se construiascǎ integrala generalǎ.(ii) Sǎ se afle P (x) şi Q(x)
(iii) Sǎ se determine integrala particularǎ y(x) care ia valoarea 2πpentru x0 = π.
8) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale
xy′ + y = a4
xy2, y′ = 1 + ex+2y.
9) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de tip Bernoulli :
y′ − yx
= 1x2y2
, y′ − 4yx
= x√ y, y ≥ 0, x ̸= 0,
y′ + xy = y2 sin x, y′ − 3xy = xy2.10) Sǎ se integreze ecuaţiile diferenţiale de tip Riccati cǎut̂ınd soluţ ii par-
ticulare de forma unui polinom de gradul ı̂nt̂ıi:
y′ = y2 − x2 + 1, 2(x − x2√ xy′ + 2√ xy2 − y − x = 0.
11) Sǎ se integreze ecuaţia diferenţialǎ
y′ − 3x2
x5 − 1 − x4
x5 − 1 y + 2xx5 − 1 y2 = 0
ştiind cǎ admite soluţii particulare de forma axm.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
42/120
42 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
12) Sǎ se integreze ecuaţiile de tip Lagrange :
y = 2a
1 + y′2, x+y =
y′ + 1
y′
−1
2, y = 2xy′−(y′)2, y = x(1+y′)+(y′)2.
13) Sǎ se integreze ecuaţiile Clairaut :
xy2 − yy ′ + a = 0, y = xy ′ + 1(y′)2
, y = xy ′ − a(1 + (y′)2).
14) Sǎ se determine viteza minimǎ cu care trebuie aruncat un corp verticalı̂n sus ca el sǎ nu se intoarcǎ pe Pamint.
15) O p̂ılnie are forma unui con cu unghiul α la vı̂rf. Fie s aria secţiunii princare curge lichidul din ea, H ı̂nǎltimea lichidului la momentul t = 0.
Sǎ se determine ı̂nǎlţimea h(t) a lichidului din p̂ılnie la momentelet > 0. (Indicaţie : Se considerǎ cǎ viteza de scurgere este egalǎ cuv(t) =
√ 2gh(t) ).
16) Un rezervor conţine l litri de apǎ sǎratǎ cu concentraţia α. O conducţǎdescarcǎ ı̂n acest rezervor cu viteza de 10 litri pe minut apa saratǎ cuconcentraţia α0. Aceiaşi cantitate de lichid pe minut pǎrǎseşte printr-oalta, conductǎ rezervorul. Presupun̂ınd cǎ prin agitare se realizeazǎ ı̂nmod permanent omogenizarea conţinutului rezervorului, sǎ se gǎseascǎevoluţia ı̂n timp a concentraţiei de sare a lichidului din rezervor.
17) O substanţǎ trece din starea solidǎ ı̂n starea gazoasǎ cu viteza directproporţionalǎ cu aria expusǎ. Sǎ se studieze evoluţia razei unei bilecare la un moment dat avea raza r0.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
43/120
§2. Problema Cauchy 43
2 Problema Cauchy
Vom prezenta, ı̂n cele ce urmeazǎ, unele rezultate clasice privind existenţa,unicitatea şi dependenţa de date a soluţiei problemei Cauchy pentru ecuaţii
şi sisteme de ecuaţii diferenţiale.
Considerǎm sistemul de ecuaţii diferenţiale
y′ = f (x, y) (2.1)
unde f : Ω −→ Rn, Ω ⊂ Rn. Problema lui Cauchy relativă la sistemul (2.1)constǎ ı̂n aceea cǎ se dǎ un punct (x0, y0) ∈ Ω şi se cer soluţiile ecuaţiei (2.1)ce satisfac condiţia
y(x0) = y0 (2.2)
Condiţia (2.2) poartǎ denumirea de condit ̧ie init ̧ialˇ a sau condit ̧ia lui Cauchy .
Din punct de vedere geometric, problema lui Cauchy revine la a determinacurbele integrale ale ecuaţiei (2.1) ce trec prin punctul (x0, y0).
Se observǎ cu uşurinţǎ cǎ problema Cauchy (2.1) + (2.2) este echivalentǎ cuecuaţia integralǎ Volterra
y(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, y(s))ds. (2.3)
Intr-adevǎr, dacǎ funcţia continuǎ y verificǎ (2.3) pe un interval I , atunci eaeste evident de clasǎ C 1 pe acest interval şi verificǎ condiţia iniţialǎ (2.2).Prin derivare rezultǎ cǎ y este o soluţ ie a ecuaţiei (2.1). Reciproc, oricesoluţie a problemei Cauchy (2.1)+ (2.2) este soluţie a problemei (2.3).
2.1 Existenţa şi unicitatea locală
Vom incepe studiul problemei lui Cauchy pentru ecuaţii de ordinul ı̂ntı̂i.
Problema lui Cauchy pentru ecuaţii diferenţiale de ordinul ı̂ntı̂i
Teorema 2.1 Presupunem verificate urmˇ atoarele condit ̧ii:
1) Funct ¸ia f este continuˇ a pe mult ̧imea
D =
{(x, y)
∈ R2;
|x
−x0
| ≤ a,
|y
−y0
| ≤ b
} (2.4)
2) Funct ¸ia f este lipschitzianˇ a ca funct ̧ie de y pe mult ̧imea D, adicˇ a existˇ a o constantǎ pozitivˇ a L astfel ı̂nĉıt
|f (x, y) − f (x, z)| ≤ L|y − z|, ∀ (x, y), (x, z) ∈ D. (2.5)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
44/120
44 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
Atunci existˇ a o solut ̧ie unicˇ a y = y(x) a problemei Cauchy (2.1) - (2.2)definitˇ a pe intervalul I = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ }, unde δ = inf(a, b/M ), iar M = sup{|f (x, y)|, (x, y) ∈ D}.
Demonstraţie. Aşa cum am vǎzut ceva mai sus, problema Cauchy (2.1)+ (2.2) este echivalentǎ pe intervalul I cu ecuaţia integralǎ Volterra (2.3).Deci pentru a demonstra teorema este suficient sǎ arǎtǎm cǎ ecuaţia (2.3)admite soluţie continuǎ pe intervalul I = [x0 − δ, x0 + δ ]. Pentru aceastavom utiliza metoda aproximaţiilor succesive, fundamentatǎ pentru problemaı̂n cauzǎ de Emile Picard (1856 - 1941 ). Considerǎm şirul {yn} definit peintervalul I dupǎ cum urmeazǎ
yn(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, yn−1(s))ds, n = 1, 2, · · · (2.6)
unde y0(x) = y0. Este uşor de observat cǎ funcţiile yn sı̂nt continue şi avem
|yn(x) − y0| ≤ M |x − x0| ≤ M δ ≤ b, ∀ x ∈ I , n = 1, 2, · · · (2.7)Rezultǎ din cele de mai sus, cǎ şirul {yn} este bine definit.Vom demonstra cǎ acest şir converge uniform pe I la o soluţie a ecuaţiei(2.3). Din (2.6) şi (2.7) rezultǎ inegalitatea:
|y2(x) − y1(x)| = |∫ xx0
(f (s, y1(s)) − f (s, y0)))ds| ≤
≤ | ∫ x
x0|y1(s) − y0(s)|ds| ≤ LM
2 |x − x0|2.
Prin inducţie relativ la n se obţine inegalitatea
|yn(x) − yn−1(x)| ≤ M Ln−1
n! |x − x0|n ≤ M L
n−1
n! δ n (2.8)
pentru toţi n ∈ N şi x ∈ I . Vom arǎta acum cǎ şirul de funcţii {yn} convergeuniform pe I cǎtre o funcţie continuǎ y, ĉınd n → ∞. Convergenţa acestuişir este echivalentǎ cu convergenţa uniformǎ a seriei de funcţii
y0 +∞∑n=1
(yn − yn−1) (2.9)
deoarece, dupǎ cum se vede imediat, şirul sumelor parţiale ale seriei (2.9)este şirul {yn}
y0 + (y1 − y0) + (y2 − y1) + · · · + (yn − yn+1) = yn.
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
45/120
§2. Problema Cauchy 45
Seria telescopicǎ (2.9) este majoratǎ de seria numericǎ convergentǎ
M
L
∞
∑n=1(Lδ )n
n!
deci seria (2.9) este uniform convergentǎ pe I . Fie y = limn+∞ yn. Cum {yn}converge uniform pe intervalul ı̂nchis I rezultǎ cǎ y este o funcţie continuǎpe I . Din continuitatea funcţia z → f (x, z), rezultǎ evident
limn→∞
f (x, yn−1(x)) = f (x, y(x))
uniformǎ ı̂n x ∈ I , Se poate trece la limitǎ ı̂n (2.6) şi se obţine
y(x) = y0 +
∫ x1x0
f (s, y(s))ds, x ∈ I (2.10)
cu alte cuvinte, y este o soluţie a ecuaţiei (2.3), deci y este soluţie a problemei
Cauchy (2.1)+ (2.2).
Unicitatea se obţine utiliẑınd lema lui Gronwall ( Lema 1.1 ). Intr-adevǎr,prin reducere la absurd, vom presupune cǎ pe lingǎ soluţia continuǎ y,obţinutǎ ca limitǎ a şirului {yn}, mai existǎ o altǎ soluţie z ̸= y. Cu altecuvinte avem
z(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, z(s))ds, x ∈ I . (2.11)
Scǎzı̂nd ecuaţia (2.10) şi (2.11) şi folosind condiţ ia Lipschitz se obţine
|y(x) − z(x)| ≤ L|∫ xx0
|y(s) − z(s)|ds|, x ∈ I .
Din inegalitatea lui Gronwall rezultǎ y(x) = z(x), ∀ x ∈ I . Observaţii.
1) Unicitatea soluţiei problemei Cauchy (2.1) - (2.2) poate fi demonstratǎutiliẑınd procedeul folosit pentru demonstrarea existentei. Intr-adevǎr, sǎpresupunem cǎ mai existǎ o soluţie z a problemei (2.1) - (2.2), deci
z(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, z(s))ds.
Atunci
|yn(x)
−z(x)
| =
| ∫ x
x0
(f (s, yn−1(s))
−f (s, z(s))ds
|sau, folosind condiţia lui Lipschitz
|yn(x) − z(x)| ≤ L|∫ xx0
|yn−1(s) − z(s)|ds|
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
46/120
46 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
de unde prin recurenţǎ
|yn(x) − z(x)| ≤ M Ln−1 |x − x0|n
n! ≤ M L
n−1δ n−1
n!
de unde deducem cǎ limn→∞ yn(x) = z(x), deci y(x) = z(x), ∀ x ∈ I .2) In construcţia aproximaţiilor am luat pentru aproximaţia de ordin zerovaloarea iniţialǎ y0. Aceastǎ valoare poate fi ı̂nlocuitǎ cu orice funcţie ucontinuǎ pe intervalul {x ∈ I, |x − x0| ≤ δ } şi care ı̂ndeplineşte condiţia|u(x) − y0| ≤ b. Şirul aproximaţiilor se construieşte ı̂n mod asemǎnǎtor,
y1(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, u(s))ds,
. . . . . .
yn(x) = y0 +
∫ xx0
f (s, yn−1(s))ds
şi limita şirului este tot funcţia y .Exemplu : S˘ a se g˘ aseasc˘ a solut ̧ia problemei Cauchy
y′ − y = 0, y(0) = 1 (2.12)utilizı̂nd metoda aproximat ̧iilor succesive.
Ecuaţia Volterra asociată ecuaţiei (2.12) se scrie
y(x) = 1 +
∫ x0
y(s)ds.
Construim şirul y0, y1, · · · , yn, · · · priny0(x) = 1
y1(x) = 1 +∫ x0
y0(s)ds = 1 + x
y2(x) = 1 +
∫ x0
y1(s)ds = 1 + x + x2
2!
y3(x) = 1 +
∫ x0
y2(s)ds = 1 + x + x2
2! +
x3
3!. . . . . .
yn(x) = 1 + x + x2
2! + · · · + x
n
n!
Limita acestui şir ( care converge uniform pe ı̂ntreaga axă reală ) este y (x) = ex.
Problema lui Cauchy pentru sisteme diferenţiale de ordinul ı̂ntı̂i
Considerǎm sistemul diferenţial:
y′i = f i(x, y1, . . . , yn), i = 1, . . . , n (2.13)
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
47/120
§2. Problema Cauchy 47
cu condiţiile iniţiale:
yi(x0) = y0i , i = 1, . . . , n (2.14)
unde funcţiile f 1, . . . , f n ŝınt definite pe un paralelipiped de forma:
D = {(x, y), |x − x0| ≤ a, |yi − y0i | ≤ b, i = 1, . . . , n} (2.15)din spaţiul n + 1 dimensional Rn+1.
Teorema 2.2 Presupunem c˘ a urmˇ atoarele condit ̧ii ŝınt indeplinite :
1) Funct ¸iile f i, i = 1, · · · , n ŝınt continue pe D.
2) Funct ¸iile f i, i = 1, . . . , n sı̂nt lipschitziene ı̂n y = (y1, . . . , yn) pe D,adicˇ a existˇ a L > 0 astfel ı̂nĉıt
|f i(x, y1, . . . , yn) − f i(x, z1, . . . , zn)| ≤≤ L max{|y j − z j|, 1 ≤ j ≤ n}, i = 1, . . . , n
(2.16)
pentru tot ̧i (x, y1, . . . , yn), (x, z1, . . . , zn) din D.
Atunci existˇ a o solut ̧ie unicˇ a y(x) = (y1(x), . . . , yn(x)) a problemei Cauchy (2.13) - (2.14) definitˇ a pe intervalul I = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ } unde
δ = inf(a, b/M ) şi M = max{|f i(x, y1, . . . , yn)| : (x, y1, . . . , yn) ∈ D}.
Demonstraţie. Teorema de mai sus rezultǎ printr-un raţionament identiccu cel folosit pentru demonstrarea Teoremei 2.1, astfel cǎ vom indica doar
etapele principale ale demonstraţiei.
Problema Cauchy (2.13) - (2.14) este echivalenťa cu sistemul de ecuaţiiintegrale:
yi(x0) = y0i +
∫ xx0
f i(s, y1(s), . . . , yn(s))ds, i = 1, · · · , n (2.17)
Pentru demonstrarea existenţei soluţiei sistemului de ecuaţii Volterra (2.17)construim şirul {y(k)}k∈N prin
yki (x) = y0i +
∫ xx0
f i(s, yk−11 (s), . . . , y
k−1n (s))ds, i = 1, . . . , n . (2.18)
Se observǎ cǎ funcţiile ŝınt bine definite şi ŝınt continue pe intervalulI = {x ∈ R; |x − x0| ≤ δ }, iar prin inducţie se gǎseşte evaluarea
max1≤i≤n
|yki (x) − yk−1i (x)| ≤ M Lk−1δ k/k!
8/20/2019 Ecuatii Diferentiale Si Cu Derivate Partiale-partea I
48/120
48 Cap. 1. Ecuaţii diferenţiale
şi apoi se demonstreazǎ cǎ şirul {yk}y=(y1,...,yn) converge uniform pe inter-valul I la y = (y1, . . . , yn). Treĉınd la limitǎ, cı̂nd k → ∞, ı̂n sistemul(2.18) rezultǎ ı̂n final cǎ y = (y1, . . . , yn) este soluţie a sistemului (2.17),deci soluţie a problemei Cauchy (2.13) - (2.14) . Unicitatea soluţiei rezultǎ
cu un raţionament analog cu cel folosit ı̂n Teorema 2.1.
At̂ıt formularea teoremei de existenţǎ şi unicitate pentru problema (2.13) -(2.14) ĉıt şi demonstrarea sa, par sǎ arate cǎ nu existǎ o diferenţǎ de fondı̂ntre ecuaţiile diferenţiale s
Recommended