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7/30/2019 Eduscol - Mesure et incertitudes - Mai 2012.pdf
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Ressources pour le cycle terminalgnral et technologique
Mesure et incertitudes
Ces documents peuvent tre utiliss et modifis librement dans le cadre des activitsd'enseignement scolaire, hors exploitation commerciale.
Toute reproduction totale ou partielle dautres fins est soumise une autorisationpralable du Directeur gnral de lenseignement scolaire.
La violation de ces dispositions est passible des sanctions dictes larticle L.335-2du Code la proprit intellectuelle.
Mai 2012
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pour
le
lyc
e
gn
ralettechn
ologique
duSCOL
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SommaireIntroduction 2
I. Une vision probabiliste de lerreur 3
A. La notion derreur.................................................................................................................... 31. Un exemple pour commencer........ ................................................................ .................................. 32. Pourquoi une telle variabilit des rsultats ?.......................................................... ........................ 43. La notion derreur.............................................. ............................................................... .............. 44. Comment traiter de la variabilit : la randomisation ............................................................ ... 55. Les composantes de lerreur .............................................................. ............................................. 5
B. Lincertitude ............................................................................................................................ 81. Notion dincertitude-type ........................................................ ........................................................ 82. Diffrents modes dvaluation de lincertitude sur une grandeur................................... .............. 103. valuation de type A dune incertitude-type ........................................................... ...................... 104. valuation de type B dune incertitude-type ........................................................... ...................... 125. Dtermination dincertitudes de type B.............................................. ........................................... 136. Recommandations pratiques .............................................................. ........................................... 13
II. Incertitude-type compose 15
A. Incertitude-type compose sur un mesurage ......................................................................... 15B. Dtermination de lincertitude-type compose...................................................................... 15
III.Incertitude largie 17
A. Notion dincertitude largie................................................................................................... 171. Incertitude largie.............. ................................................................ ........................................... 172. Dtermination du facteur dlargissement k ........................................................... ...................... 17
B. Prsentation des rsultats....................................................................................................... 181. Arrondissage ...................................................... ............................................................... ............ 182. Prsentation des rsultats ....................................................... ...................................................... 19
C. En conclusion ........................................................................................................................ 19D. Un exemple............................................................................................................................ 20
IV.Annexes 22
Annexe 1 : Les incertitudes-types sur le mesurage dune grandeur............................................... 22Annexe 2 : La Dmarche de recherche des causes......................................................................... 24Annexe 3 : Dmarche de dtermination dune incertitude sur une grandeur Y............................. 25Annexe 4 : Un rappel des lois de probabilit ................................................................................. 26Annexe 5 : Les recommandations de dtermination dincertitude de type B ................................ 28Annexe 6 : La loi normale.............................................................................................................. 30Annexe 7 : Incertitude compose................................................................................................... 35Annexe 8 : Incertitude sur lincertitude ......................................................................................... 36
V. Bibliographie 37
Ministre de lducation nationale, de la jeunesse et de la vie associative (DGESCO-IGEN) Mai 2012
Mathmatiques Physique-chimie Mesure et incertitudes
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Introduction
Une erreur peut devenir exacte, selon que celui qui l'a commise s'est tromp ou non. Pierre Dac ; Les penses - Ed. du Cherche Midi (1972)
Ce document a pour vocation de prsenter la vision probabiliste de lerreur, dveloppe depuisenviron trois dcennies par le Bureau international des poids et mesures (BIPM) et qui a permis
dinstaller un consensus international dans l'expression de l'incertitude de mesure.Il se veut tre une ressource pour les enseignants de sciences physiques et de mathmatiques des lyces.
Pour les enseignants de sciences physiques elle veut donner comprendre les raisons et lesmcanismes mis en uvre derrire les formules qui sont appliques dans les estimations demesures de grandeur, par exemple dans le programme de premire STL,www.education.gouv.fr/cid55406/mene1104103a.html en compltant ainsi les documents dj
parus : Nombres, mesures et incertitudes (Inspection gnrale Sciences Physiques et Chimiques)http://eduscol.education.fr/pid23213-cid46456/ressources-pour-le-college-et-le-lycee.html
Pour les enseignants de mathmatiques, elle donnera des exemples dutilisation des notionsprobabilistes enseignes au lyce, en particulier en liant la notion derreur celle de variable alatoire,
celle dincertitude-type avec celle dcart-type.
Outre la ncessit dune connaissance partage sur un sujet qui relve des deux disciplines, cedomaine du calcul dincertitude devrait donner la possibilit de travaux communs dvelopps par lesenseignants de mathmatiques et de sciences physiques.
Lambition reste cependant modeste, notamment dans les outils prsents ; une bibliographiepropose en fin de document donne des rfrences pour ceux qui souhaiteraient approfondir le sujet,en particulier dans ltude de lincertitude des mesures obtenues partir de donnes corrles ouapparies ou encore dans le cas de donnes obtenues en faible nombre.
Vision probabiliste : pourquoi, alors quon travaille sur des donnes statistiques ?
Essentiellement parce quon est dans une activit de modlisation et que lon cherche passer dequelques observations une caractristique de lensemble de toutes les observations possibles, que desdonnes obtenues on va chercher induire des connaissances sur des variables alatoires, qu partirdun nombre fini de donnes on va estimer une connaissance sur une infinit de possibilits, et en
particulier quon va donner des renseignements sur des modles considrs comme continus partirdun nombre fini dobservations. Il faut garder prsent lesprit cette ide de modle tout au long dece document.
Cette brochure est conue pour pouvoir tre lue sans tre arrt par des difficults dans desdveloppements mathmatiques qui sont renvoys en annexe. On y trouvera galement quelquescomplments qui peuvent clairer les choix faits.
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I. Une vision probabiliste de lerreurA. La notion derreur
1. Un exemple pour commencerOn souhaite mesurer une rsistance. Le conducteur ohmique dont on souhaite mesurer la rsistance est
branch aux bornes dun ohmmtre. On utilise une premire technique de mesure utilisant quatrefils de liaison entre le conducteur ohmique et linstrument.
Notre instrument communique avec un ordinateur et lon utilise un programme dacquisition dedonnes. Ce programme effectue 2000 mesures m de la rsistance R, repre les valeurs mmin et mmax,divise lintervalle [ mmin ; mmax ] en 10 intervalles (classes), calcule le nombre n de rsultats danschaque classe et affiche les rsultats sous la forme dun diagramme.
On obtient les rsultats ci-dessous :
1.35
4.04
6.74
9.43
12.13
14.83
17.52
20.22
22.91
25.61
82.53 82.53 82.53 82.53 82.53
Freq(%)
(105) 82.52797 Ohm82.52932 Ohm 196.2951 uOhm
82.52860 OhmChann Min:Max: Std. dev:
Mean:
Freq(%)
Recommenons la mesure prcdente en configurant notre instrument en ohmmtre deux fils , cequi correspond une mesure courante de la valeur dune rsistance.
On obtient dsormais les rsultats suivants :
1.24
3.73
6.21
8.70
11.1813.67
16.15
18.64
21.12
23.61
82.95 82.95 82.95 82.95 82.95
Freq(%)
(105) 82.94548 Ohm
82.94700 Ohm 227.4441 uOhm
82.94627 OhmChann Min:
Max: Std. dev:
Mean:
Freq(%)
Min Max
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Des questions se posent au vu de ces rsultats :
1.Pourquoi une telle variabilit des rsultats ?2.Pourquoi ces deux mthodes donnent-elles des rsultats diffrents ?3.Et enfin, finalement quelle est la mesure de la rsistance cherche ?
On stait aperu depuis longtemps, notamment en astronomie, science qui possdait les instrumentsles plus prcis, que :
plusieurs mesurages dune mme caractristique donnaient souvent des valeurs diffrentes,la rpartition des rsultats avait une forme en cloche : il ny a aucun doute que les petiteserreurs ont lieu plus souvent que les grandes .
Toute la problmatique de la dtermination de la mesure dune grandeur est l : parmi tous cesrsultats lequel choisir et comment estimer lerreur qui pourrait tre commise ?
2. Pourquoi une telle variabilit des rsultats ?Une srie de mesures est soumise des conditions environnementales qui modifient les rsultats obtenus :
la grandeur mesurer nest pas parfaitement dfinie, la largeur dune table nest pas un objet dfini,la taille dune pice mtallique dpend de sa position, la surface dun liquide nest pas plane, les conditions environnementales voluent (temprature, pression,)linstrument de mesure est source derreur (temps de rponse, exactitude, sensibilit)loprateur ne refait jamais la mme mesure exactement dans les mmes conditions (fatigue,erreurs de parallaxe, effet de mnisque dans une pipette)
Une mesure comporte en gnral plusieurs oprations dont chacune peut tre source de variabilit. Ilsera important de savoir distinguer les sources de variabilit importante de celles qui sontngligeables.
Prcisons quelques termes de vocabulaire du domaine de la mtrologie et qui vont tre employs :Mesurage : ensemble doprations ayant pour but de dterminer une valeur dune grandeur.
Mesurande : grandeur particulire soumise mesurage (longueur, masse, intensit,).
Valeur vraie dun mesurande : mesure que lon obtiendrait par un mesurage parfait. On ne laconnat pas et on parle galement de valeur thorique .
Grandeur dinfluence : grandeur qui nest pas le mesurande mais qui a un effet sur le rsultat dumesurage.
3. La notion derreurSi est le rsultat dun mesurage et la valeur vraie du mesurande, lerreur sur le rsultatest le nombre
yi y0 yi0yye ii =
Ce concept derreur est idal et les erreurs ne peuvent malheureusement pas tre connues exactement.
Dans la problmatique qui nous intresse on va chercher estimer une valeury0 du mesurande, et quantifier lerreur commise sur cette estimation.
Ainsi, la dmarche vise est de fournir, autour du rsultat d'un mesurage, un intervalle dont on puisses'attendre ce qu'il comprenne une fraction leve des valeurs qui pourraient raisonnablement treattribues au mesurande.
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4. Comment traiter de la variabilit : la randomisation Dans les annes 1960, dans les livres de sciences physiques qui prsentaient les Incertitudes
des mesures et calculs approchs , on cherche dfinir un majorant des erreurs, et on propose desthormes comme lincertitude absolue dune somme ou dune diffrence est la somme desincertitudes absolues . Ainsi par exemple, si lerreur sur la dimension des cts c dun carr estmajore par 1mm, lerreur sur les dimensions du primtrep de ce mme carr est majore par 4mm.
On crit alors par exemple et on en dduit quemm1mm12 =c mm4mm48 =p
Quelle ralit reprsentent ces nombres ? Une erreur de 4mm est-elle possible, plausible, probable ?Cest cette ide qui sous tend la prsentation qui va tre propose ci-dessous, donnant un aperu du calculdincertitude de mesures tel quil se pratique aujourdhui en laboratoire ou en milieu industriel.
Cependant, contrairement lexemple propos en introduction, il sera rarement possibledeffectuer 2 000 mesures dune mme grandeur et il va falloir trouver un moyen de dcrire ladistribution des valeurs possibles des rsultats dun mesurage.
Un mesurage comporte en gnral plusieurs oprations dont chacune peut tre source de variabilit.Lobjet de ltude des erreurs est de pouvoir prciser cette variabilit, et une faon de le faire est
dintroduire le hasard , un hasard qui peut rsulter de notre ignorance (Dutarte, Piednoir). Unemanire dinterprter les rsultats est de passer par une randomisation , c'est--dire qu on expliquela variabilit de rsultats dterministes (il ny a pas dalatoire dans les mesures) comme silstaient des ralisations dune variable alatoire.
Autrement dit, on remplace la notion derreur accidentelle par celle dincertitude alatoire : lavariabilit de la mesure nest pas un accident vitable, mais est inhrente au processus de mesuragesi celui-ci est suffisamment sensible. (Robert, Treiner)
Si lon rpte le mesurage, on obtient une srie de valeurs que lon considre
comme les valeurs prises par une variable alatoire Yet une srie de valeurs qui sont
les erreurs dfinies sur chacune des observations ; ces valeurs sont considres comme celles prises
par une variable alatoireE:
y y yn1 2, ,......,e e en1 2, ,......,
Lerreur de mesure est une variable alatoire
On peut ainsi modliser le mesurage par : Y=y0 + E
Lhypothse fondamentale du traitement probabiliste de lerreur est que la variable E obit une loi de probabilit bien dfinie .
Lobjet du calcul dincertitude sera de dterminer :
les paramtres de la loi de probabilit deE.un intervalle dont on puisse s'attendre ce qu'il comprenne une fraction leve desvaleurs qui pourraient raisonnablement tre attribues au mesurande.
5. Les composantes de lerreurOn envisage traditionnellement quune erreur possde deux composantes, savoir une composantealatoire et une composante systmatique.
a) Composante alatoire de lerreurLerreur alatoire provient des variations temporelles et spatiales non prvisibles de grandeursdinfluence. Les effets de telles variations appels effets alatoires entranent des variations pour les
observations rptes du mesurande (bien que le mesurage soit effectu dans des conditions aussiconstantes que possible).
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Lerreur alatoire est lie aux conditions opratoires
Bien quil ne soit pas possible de compenser lerreur alatoire dun rsultat de mesure, elle peut trerduite en augmentant le nombre dobservations.
b) Composante systmatique de lerreurLerreur systmatique se produit sur un rsultat de mesure partir dun effet reconnu dune
grandeur dinfluence ; cet effet, appel effet systmatique, peut tre quantifi et sil est significatifpar rapport la prcision requise du mesurage, une correction est applique au rsultat.
Si nous reprenons lexemple de dpart, lors de la deuxime srie de mesures, les fils de liaisonde linstrument au conducteur ont une rsistance Rf.
Dans ces conditions, linstrument ne mesure pas R mais R + Rf. Chaque mesure mi estsystmatiquement plus grande que la valeur de R (des fils de 2 m de long et de faible section ont tutiliss).
La valeur moyenne desNmesures est plus grande de 0,4172 ohms que dans le cas prcdent,passant de 82,5286ohms pour quatre fils 82,9462ohms pour une mthode deux fils , cettediffrence tant due cette erreur systmatique. Les Nmesures mi restent disperses autour de caractrisant lerreur alatoire.
Si on utilise cette mthode deux fils, une correction de 0,4172 ohms sera effectue sur chaquersultat. Rien ne nous prouve cependant quil nexiste pas dautres erreurs systmatiques !
En gnral, la correction est une opration difficile car elle ncessite une connaissanceapprofondie du processus de mesure afin didentifier au mieux les causes derreurs puis destimer lescorrections apporter.
Il existe de nombreuses sources derreurs systmatiques, comme par exemple :
leffet des grandeurs dinfluence (temprature, pression,....) ;lerreur de justesse des instruments (dcalage du zro par exemple, chronomtre mal calibr,) ;la position de lobjet mesur ;la perturbation due la prsence des instruments dobservation.
Dans la pratique, diffrentes mthodes sont utilises pour dtecter et valuer ces erreurs, comme parexemple :
mesurer la mme grandeur avec un instrument diffrent ;mesurer la mme grandeur avec des mthodes diffrentes ;mesurer une grandeur talon (contrle de la justesse) ;mesurer un mme mesurande dans des laboratoires diffrents.
Lerreur systmatique peut tre considre comme une erreur constante qui affecte chacune desobservations.
Le plus souvent on aura seulement une majoration de cette erreur constante .
Lerreur systmatique dun rsultat de mesure ne peut tre rduite en augmentant le nombredobservations, mais par lapplication dune correction.
Les corrections tant faites le mieux possible, il subsiste un doute sur la valeur des corrections.
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On admet que les variations de lerreur systmatique autour de la correction effectue sont alatoires,
ce qui permet de supposer que lerreur systmatique suit uneloi de probabilit bien dfinie.
On peut illustrer ces notions derreurs systmatique et alatoire par le tir dans une cible :
z
z
z
zz
zz
zz
z
z
z
juste, mais pas fidle fidle, mais pas juste
(valeurs centres mais disperses) (valeurs dcentres mais resserres)
erreurs alatoires erreurs systmatiques
z
z
z
z
z
z
zzz
z
zz
ni juste, ni fidle fidle et juste
erreurs alatoires et systmatiques erreurs faibles
Ce dessin nest cependant quune vue thorique trompeuse, car en gnral, on ne connat pas la cible,la dispersion nous renseigne sur les erreurs alatoires, mais la prsence derreur systmatique estsouvent difficile dceler.
c) Modlisation du mesurageOn suppose que le rsultat dun mesurage a t corrig pour tous les effets systmatiques reconnuscomme significatifs et quon a fait tous les efforts pour leur identification. On dit alors que la mthodede mesure est correcte.
On peut donc modliser le mesurage par : Y=y0 + +
Si on imagine pouvoir faire une infinit de mesures (ce qui revient considrer la distribution de
toutes les mesures), lerreur systmatique sur un mesurage est le dcalage entre la valeur vraie du mesurande et la moyenne (thorique) de linfinit de toutes les mesures qui pourraient treeffectues.
Cest la moyenne qui rsulterait dun nombre infini de mesurages du mme mesurande, effectusdans des conditions de rptabilit, moins une valeur vraie du mesurande. (VIM 93 ou GUM 08)
Comme on le verra plus loin (ce rsultat est justifi en annexe), la moyenne est en gnral la meilleureestimation de la grandeur mesure, et lerreur alatoire sur un mesurage reprsente la diffrenceentre cette moyenne et les rsultats obtenus. Cest le rsultat dun mesurage moins la moyenne dunnombre infini de mesurages du mme mesurande, effectus dans des conditions de rptabilit. (VIM 93)
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Le schma ci-dessous en donne une illustration :
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La valeur vraie (inconnue) y0
Une mesure yi
La moyenne (inconnue) dune infinit de mesures
erreur systmatique surle mesurageavant correction
surcettemesure
Une hypothse pragmatique : il ny a pas de raison objective pour que les rsultats serpartissent plus dun ct que de lautre de la valeur vraie
On fera lhypothse dans la suite que la mthode de mesure est correcte, ce qui se traduitmathmatiquement par :
lesprance mathmatique des variables etest nulle et on a ainsi 0)( yYE =
Donner une mesure du mesurande va ncessiter la dtermination dune estimation de lesprance et delcart type (ou plus prcisment de la variance) de cette variable Y.
B. LincertitudeLe mot incertitude signifie doute ; lincertitude du rsultat dun mesurage reflte limpossibilit deconnatre exactement la valeur du mesurande.
Dans cette vision probabiliste de lerreur, le concept dincertitude est dfini en accord avec cetteapproche :
Incertitude : paramtre, associ au rsultat dun mesurage, qui caractrise la dispersion des valeursqui pourraient tre raisonnablement attribues au mesurande.
1. Notion dincertitude-typeNous avons vu que le mesurage peut tre modlis par une variable alatoire Ydesprance et que
lon cherche caractriser la dispersion des valeurs que peut prendre cette variable alatoire. Unemesure de cette dispersion peut tre obtenue partir de lcart-type de la variable alatoire Y.La dtermination de lincertitude sur le mesurage va tre exprime en fonction de lcart-typede la variable alatoire Y.
y0
Lcart-type de Y est appel incertitude-type sur le rsultat du mesurage. On note gnralement u(y)cette incertitude-type sur Y.
Lessentiel de la dmarche va consister dterminer la loi de probabilit suivie par Y(ou parE)et estimer la valeur de lcart-type de Y(ou deE).
y
erreur alatoire
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Dans lexemple de la dtermination de la rsistance, la donne des 2 000 rsultats permet davoir unebonne approximation de la loi de la variable R (on pourrait vrifier quelle est gaussienne) et si on faitlhypothse quon a matris les erreurs systmatiques, une estimation de lcart-type donn par letableur est denviron 200.
Cependant, il nest toujours possible dobtenir une estimation de la grandeur par un recueil de donneset Ypeut dpendre de plusieurs autres variables.
Prenons un exemple :
Avant de lancer la production en srie, on veut estimer lincertitude sur la dimension den fond derainure de la pice ci-dessous.
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Pour dterminerd, on place une pige de diamtre w dans la rainure et on mesure une distanceL
On peut montrer que
+=
2
tan
11
2 w
Ld et dest alors une fonction deL, w et .
On peut saffranchir du contrle de la mesure de , qui nest pas la plus aise. Pour cela on effectuedeux sries de mesures indpendantes de la longueurL avec deux piges de diamtres diffrents ; avecla pige de diamtre w1, on obtient une longueurL1 et avec la pige de diamtre w2, une longueurL2 .
L1 L2
d d
d
L
d
Avec la pige de diamtre w1 Avec la pige de diamtre w2
En utilisant la formule dtermine prcdemment, on montre alors que12
1221ww wLwLd =
Cette fois dest une fonction de , , et .1L 2L 1w 2w
On voit apparatre une double difficult, dune part laccs aux valeurs de dnest pas direct et dautrepart les donnes sur les variables dont dpend dne sont pas du mme ordre ; pour certaines variables, ,
, un mesurage va donner un ensemble de donnes que lon va pouvoir traiter statistiquement, alors
que pour dautres, comme et on accdera des donnes proposes par le constructeur.
1L
2L
1w 2w
Bien que la problmatique reste la mme, savoir se donner une ide de la distribution des valeursque prendd, valuer lincertitude surdva demander de combiner deux modes dvaluation, lun
sappuyant sur une analyse statistique et lautre sur une modlisation probabiliste.
w
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2. Diffrents modes dvaluation de lincertitude sur une grandeurSi on fait varier la totalit des grandeurs dont dpend le rsultat dun mesurage, lincertitude-type surchacune des variables peut tre value par des moyens statistiques. Cependant, comme cela estrarement possible en pratique, lincertitude-type sur certaines variables peut tre estime par utilisationdun modle probabiliste dcrivant la loi de propagation de lerreur sur cette variable.
Si une grandeur est estime par des moyens statistiques, on dit quon a une valuation de type A delincertitude-type sur cette grandeur.
Si une grandeur est estime par un modle probabiliste, on dit quon a une valuation de type B delincertitude-type sur cette grandeur.
3. valuation de type A dune incertitude-typeOn suppose dans ce cas que la grandeurXest estime partir dune srie statistique (on tablit parexemple une srie de 15 mesures de la longueur dune pice)
On notera un n-chantillon deX, o reprsente la variable alatoire associe
la i
),....,,( 21 nXXX iXme mesure de la grandeurX. Les n mesures constituent un chantillon des valeurs
prises par X. La variable alatoire
x x xn1 2, ,.....,
=
=n
iiXn
X1
1a pour esprance celle de X et la moyenne
arithmtique des valeurs est en gnral une bonne estimation delespranceE(X)de la
variableX.x x xn1 2, ,.....,
On prend donc, en gnral, comme estimation ponctuelle de X le nombre dfini par :
...1n
xxx n
+=
Dans lexemple du calcul de rsistance, on prend 82,5286ohms (on rserve le dbat sur les chiffressignificatifs pour plus tard) comme estimation de la rsistance mesure.
Pour une grandeurXestime partir de n observations rptes indpendantes (ce qui signifie quelesvariables Xi sont indpendantes), obtenues dans les mmes conditions de mesure, (cequi impliquerait que chaque opration de mesurage ncessite le dmontage et le remontage du
dispositif de mesure !), le nombre
x x xn1 2, ,.....,
(=
=n
ii xxn
Xs1
22
1
1)( ) est la meilleure estimation de la
variance deXnote .)(2 X
s(X) reprsente une estimation de la dispersion ( )X des valeurs prises parXautour de la moyenneE(X).
s(X) est appel cart-type exprimental dune mesure ou cart-type de rptabilit.
Un rsultat classique de statistique sur les lois dchantillonnage montre que la meilleure
estimation sur )(2 X , variance de la moyenne X deX, est s X2 ( ) =s X
n
2 ( )
Lcart-type exprimental de la moyenne s X( ) est utilis comme estimation de lincertitude de la
moyenne X.
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En conclusion :
Si une grandeur X est estime partir de n observations rptes indpendantes x1,x2, , xn, alors
lincertitude-type u(x) sur son estimation...21
n
xxxx n
+++=
ests X( ) =
)1(
)(1)( 1
2
=
=
n
xx
nn
Xs
n
ii
Il faut bien comprendre ce que signifie ce rsultat, cest une des difficults souvent rencontre :
( )X est le paramtre qui caractrise la dispersion des valeurs prises parXet caractrise lincertitude
surune mesure. Si on effectue n mesures, est une moyenne parmi dautres possibles
(si on refaisait nouveau n mesures, on obtiendrait une autre moyenne) ; cest un rsultat dans lapopulation de linfinit de moyennes possibles.
...1n
xxx n
+=
La thorie des probabilits montre que la distribution de lensemble des moyennes est bien moins
disperse (la dispersion est divise par n ) que lensemble des mesures uniques. Cela confirme lide pragmatique que lestimation partir dune moyenne est meilleure que sur une mesure seule.
Distribution de X (pourn = 5)
Distribution deX
Distributions compares :Xet X
Cependant dans la pratique, pour des problmes de cot, on ne pourra effectuer n mesures et on aurasouvent une estimation des(X), produite dans des conditions similaires par un autre oprateur ou unautre moment que celui de lvaluation de lincertitude. On fait lhypothse que les mesures antrieures
constituent une bonne image de la dispersion des mesures attaches la procdure employe.La formule prcdente nest donc pas applicable.
On considre alors que lestimation de s(X) reste lcart-type exprimental dune mesure. Si on
effectuep nouvelles observations indpendantes, alors on prendrap
Xsxu
)()( =
Si une grandeur X est estime partir de p observations rptes indpendantes et six x xp1 2, ,.....,
s(X) est lcart-type exprimental dune mesure (obtenu auparavant partir de n valeurs) alors
lincertitude-type u(x) sur son estimation
p
xxxx p
+++=
...21 ests X
p
( )
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Exemple : On effectue 20 mesures du diamtre dun cylindre laide dun pied coulisse et on obtients(X) = 0,018 mm
Si lon effectue lvaluation de lincertitude partir de ces 20 observations, lincertitude-type retenue
sur la moyenne de ces 20 observations sera u(x) = 0018
20
, mm
Si on estime que cette valuation, 0,018 mm, reprsente convenablement lcart-type de la dispersiondune mesure de ce cylindre autour de sa moyenne, on peut prendres(X) = 0,018 mm comme lcart-type exprimental dune mesure tablie laide du mme type dinstrument. Cest cette valeur qui serautilise pour une nouvelle mesure.
Lincertitude-type sur une mesure sera alors u(x) = 0,018 mm
Lincertitude-type sur la moyenne de trois mesures ultrieures sera alors u(x) =0 018
3
,mm
Une remarque : on voit sur cet exemple lambigit qui peut surgir de cette notation u(x) qui estemploye pour dsigner un cart-type reprsentant une incertitude-type sur la grandeurX, mais quidpend de la procdure utilise. Do la ncessit, comme nous le verrons dans les exemples traits de
bien prciser les conditions du mesurage.
Reprenons lexemple trait de la dimension en fond de rainure.
On effectue les deux sries de dix mesures de manire indpendante et on obtient, en mm :
L1 52,36 52,35 52,34 52,35 52,36 52,34 52,35 52,35 52,36 52,34
L2 59,17 59,18 59,17 59,17 59,19 59,18 59,18 59,17 59,18 59,19
Lcart-type de rptabilit obtenu surune mesure deL1 est gal 8,164 x 103 mm et celui sur une
mesure deL2 est gal 7,888 x 103 mm.
Pour obtenir lcart-type retenu sur la moyenne des 10 mesures deL1, on prendrait cette mme valeur
8,164x103 mm divise par 10 .
4. valuation de type B dune incertitude-typeLorsque lestimation dune grandeurX ne peut tre obtenue partir dobservations rptes, la
variance estime ou lincertitude-type sont values par un jugement fond sur des lois deprobabilit
u x( )2 )(xusupposes a priori.
La dtermination de la loi de lerreur est lie la matrise du processus de mesure et lexprience deloprateur ; elle dpend dun ensemble dinformations qui peuvent tre :
des rsultats de mesures antrieures ;lexprience ou la connaissance du comportement et des proprits des matriaux etinstruments utiliss ;
de facteurs dinfluence (temprature, pression,.....) ;des spcifications du fabricant ;les donnes fournies par des certificats dtalonnage ou autres ;lincertitude assigne des valeurs de rfrence et donne avec ces valeurs.En annexe 4, on trouvera des exemples de lois utilises dans les calculs dincertitude ainsi que
les incertitudes-types correspondantes. Les lois qui sont rencontres le plus souvent sont les loisnormales et les lois rectangulaires (ou uniformes).
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La loi normale ou gaussienne (dtaille en annexe 6) est centrale dans la thorie des erreurs. Onconstate que le plus souvent, la distribution des erreurs alatoires est normale (on ne peut pas lemontrer mais on peut le vrifier par des tests de normalit), et que mme si ce nest pas le cas, ladistribution des moyennes lest gnralement.
Dans lexemple des mesures de la rsistance, la forme du diagramme peut laisser penserraisonnablement que la distribution de lensemble des valeurs est normale.
La loi rectangulaire ou uniforme est utilise souvent en calcul dincertitude, lorsquon neconnat quune majoration de lerreur, ce qui est souvent le cas pour les erreurs systmatiques.
Ainsi si on peut raisonnablement faire lhypothse que les erreurs se situent entre deux nombres a et b,la loi rectangulaire sur [a, b] (elle vaut 1 entre a et b et 0 ailleurs) est de toutes les lois dfinies sur cemme intervalle [a, b], celle qui a le plus grand cart-type ; pour cela on la nomme parfois la loi dupire en ce sens quon ne minimise pas lcart-type qui caractrise lincertitude-type.
5. Dtermination dincertitudes de type BLe travail va tre de choisir, en fonction des informations recueillies ou des connaissances desprocessus, la loi de probabilit qui lui semble tre le mieux reprsentative du phnomne tudi.
Ainsi, si on sait raisonnablement que les valeurs de la grandeurXsont comprises entreMdetM+ d,le choix de la loi de propagation deXentreMdetM+ dva dcider de lincertitude-type retenue :
Si on suppose que la loi est normale on prendra u(x) =d
3
Si on suppose que la loi est triangulaire, on prendra u(x) =d
6
Si on suppose que la loi est rectangulaire on prendra u(x) =d
3
On remarque sur les rsultats prcdents que lhypothse dune loi triangulaire est un bon compromis
entre les lois normales et rectangulaires.
En annexe 5, on trouvera les dispositions qui, sans information supplmentaire, sont prises dans la pratique.
6. Recommandations pratiquesa) Choix des composantes de lincertitude
Dans la pratique il existe de nombreuses sources possibles dincertitude dans un mesurage, telle que :
la dfinition incomplte du mesurande ;un chantillonnage non reprsentatif ;une connaissance insuffisante ou un mesurage imparfait des conditions denvironnement ;un biais (d lobservateur) dans la lecture des instruments analogiques ;la rsolution de linstrument ;des valeurs inexactes des talons et matriaux de rfrence ;des valeurs inexactes des constantes et paramtres retenus (obtenus par des sources extrieurespar exemple) ;
des approximations dans la mthode de calcul des incertitudes ou dans le processus de mesure.Ces sources ne sont pas ncessairement indpendantes, et certaines contribuent aux variations entre lesobservations rptes du mesurande dans des conditions identiques.
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Il est important de ne pas compter deux fois les mmes composantes de lincertitude. Si une composantede lincertitude provenant dun effet particulier est obtenue par une valuation de type B, elle ne doit treintroduite comme composante indpendante dans le calcul de lincertitude finale du rsultat de mesureque dans la limite o leffet ne contribue pas la variabilit des observations rptes.
Par exemple, la rsolution dun instrument de mesure, de sensibilit adapte au mesurage, contribue la variabilit des observations rptes, par la prcision des rsultats obtenus. Par contre une erreur
ventuelle de justesse de cet instrument ny contribue pas.
b) Incertitude-type sur une grandeurLe mesurage dune grandeur Y peut tre modlis par Y = +y0 nEEE .......21 ++ o les variables
reprsentent les diffrentes composantes indpendantes de lerreur.
Un rsultat statistique montre quenEEE ,.......,, 21
)(....)()()( 21 nEuEuEuYu ++=2222
Par exemple :
Plaons nous dans le cas o Y reprsente le mesurage dune pice dans des conditions
denvironnement contrles. On suppose quon effectue une srie dobservations laide duninstrument de mesure et que les composantes retenues de lerreur amnent au calcul de :
, incertitude-type dtermine statistiquement sur la srie des observations ;Au incertitude-type dtermine sur la justesse de linstrument de mesure.Bu
Alors lincertitude retenue sur la grandeurYest :222 )( BA uuYu +=
Dans lexemple fond de rainure trait, si les mesures de longueurs sont effectues laide dunpied coulisse au 1/100 dont lerreur de justesse maximale est de 30m, alors lincertitude sur unemesure deL1 est :
= 0,00816 mm etAu
3
030,0=Bu mm (instrument vrifi)
On a alors = 0,00036658mm et on en dduit que22
12 )( BA uuLu += mm...0190,0)( 1 =Lu
(Nous prciserons les rgles darrondissage en fin de document)
Remarque :
Linstrument de mesure est adapt au mesurage, les erreurs attaches la rsolution de linstrumentsont prises en compte dans la variabilit des rsultats des mesures.
Sinon il faudrait prendre en compte lerreur attache la rsolution de linstrument de mesure. Poursen convaincre, il suffit dimaginer des mesures prises avec un instrument peu prcis (comme parexemple un mtre de charpentier) ; toutes les valeurs seraient identiques et lcart-type de rptabilitgal zro !
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II.Incertitude-type composeReprenons lexemple de la dtermination des incertitudes sur la dimension en fond de rainure (propos
page 8) ; on cherche valuer lincertitude sur d dfini par12
1221
ww
wLwLd
= , d est une fonction
de , , et ; il va falloir dterminer cette incertitude en fonction des incertitudes sur
, , et , c'est--dire lcart-type de la variable alatoire modlisant d.1
L2
L1
w2
w
1L 2L 1w 2w
Cest lobjet de ce paragraphe.
A. Incertitude-type compose sur un mesurageEn gnral pour dterminer lincertitude de mesure associe un rsultat, il faut dcrire le
processus de mesure et dterminer le modle mathmatique qui relie la valeur mesure y dumesurande Yaux diffrentes grandeurs qui interviennent dans le processus :
Y f X X X n= ( , ,..... )1 2
o les sont des grandeurs mesures, des corrections derreurs systmatiques, des constantesphysiques, des grandeurs dinfluence estimes,....
Xi
On connait les lois de rpartition des erreurs sur chacune des grandeurs et donc
lincertitude-type sur chacune de ces grandeurs. Lobjet de ce paragraphe est de dterminer
lcart-type sur la variable Y qui reprsentera lincertitude-type sur Y, appele incertitude-typecompose de Yet note
Xiu xi( )
u yc ( )
B. Dtermination de lincertitude-type composeDans le cas gnral, les erreurs tant considres comme petites devant les valeurs des grandeurs,
on utilise la formule ci-dessous (dont on trouvera une justification en annexe 7)
Si avecY f X X X n= ( , ,..... )1 2 X X Xn1 2, ,..... indpendantes alors on prend gnralement
)()()( 22
1
2i
n
i ic xux
fyu
=
=
o est lincertitude-type sur et u est lincertitude-type compose sur yu xi( ) xi yc ( )
Lexpression ci-dessus scrit galement avec2
1
2 ))(()( in
iic xucyu
=
= )(
ii x
fc = o reprsente
la valeur de rfrence pour chacune des variables (une donne ou une moyenne de donnes).
La variance compose peut ainsi tre considre comme une somme de termes dont chacun
reprsente la variance estime de la contribution de chaque variable .
u yc2 ( )
xi
Nous verrons, dans la prsentation des rsultats, que cette criture permet de reprer le poidsrelatif de chacun des facteurs intervenant dans lestimation de lincertitude et ainsi prendre desdcisions quant aux actions mettre en uvre pour diminuer cette incertitude.
Dans le cas de lexemple de la dtermination de la dimension d en fond de rainure, on a vu que
12
1221
ww
wLwLd
=
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On obtient :
312
2
11 =
=
=ww
w
L
dc , 2
12
1
22 =
=
=ww
w
L
dc ,
121,5
)(
)(2
12
212
1
3 =
=
=
ww
wLL
w
dc et enfin 414,3
)(
)(2
12
112
2
4 =
=
=
ww
wLL
w
dc
En prenant w1 = 8mm, w2 = 12mm, pour valeur de L1 la moyenne 52,35mm des 10 valeurs et pourvaleur deL2 la moyenne 59,178mm des 10 valeurs.
Et par consquentLe calcul explicite de lincertitude compose surdsera effectu en fin du document.
22
21
21
21
2 ))(414,3())(121,5())(2())(3()( wuwuLuLuduc +++=
Remarque 1 :
Le cas o les variables ne sont manifestement pas indpendantes est nettement plus dlicat traiter.Cest le cas par exemple lorsquon dtermine laide dun mme multimtre, intensit et diffrence depotentiel ; il est alors ncessaire dintroduire la covariance entre les couples de variables non
indpendantes. On pourra alors se reporter au guide ISO sur le calcul dincertitude qui proposera desformules appliquer.
Dans le cas o les incertitudes sont estimes partir dobservations, un moyen de vrifier si lesvariablesXet Ysont indpendantes, sans avoir recours au coefficient de corrlation, est de comparerles carts-types deX+ YetXY; lorsque les rsultats sont trs diffrents, on ne peut pas considrerles variables indpendantes.
Sur lexemple des sries de mesures deL1 etL2 :
L1 52,36 52,35 52,34 52,35 52,36 52,34 52,35 52,35 52,36 52,34
L2 59,17 59,18 59,17 59,17 59,19 59,18 59,18 59,17 59,18 59,19
L1 + L2 111,53 111,53 111,51 111,52 111,55 111,52 111,53 111,52 111,54 111,53
L1 L2 6,81 6,83 6,83 6,82 6,83 6,84 6,83 6,82 6,82 6,85
On a alors var(L1 L2 ) = 0,01135292 et var(L1 +L2 ) = 0,01135293
On peut remarquer que les deux variances sont trs proches, ce qui incite penser que les variablesL1etL2 sont indpendantes (ce qui est assez naturel car la dtermination des deux dimensions ncessiteun montage et dmontage des piges).
Remarque 2 : si Yest de la forme Y k , un calcul simple des drives partiellesmontre qu partir de la formule dterminant u , on peut crire une relation dterminant
lincertitude-type compose relative
X X Xnn= 1 21 2 .....
p p p
yc ( )
u yyc ( ) en fonction des incertitudes-types composes relatives
u x
xi
i
( ). On obtient alors : (
( )) (
( ))
u y
yp
u x
xc
ii
i
i
2
1
2==
n
.
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III. Incertitude largieA. Notion dincertitude largie
1. Incertitude largieRappelons la problmatique dveloppe :
Dans les chapitres prcdents, on a modlis la mesure dune grandeur Ycomme variable alatoire, eton a dtermin une approximation de lcart-type de cette variable que lon a not u .yc ( )
Lintention de dpart est de fournir, autour du rsultat d'un mesurage, un intervalle dont on puisses'attendre ce qu'il contienne une fraction leve de la distribution des valeurs qui pourraientraisonnablement tre attribues au mesurande Y.Aprs lestimation de lcart-type de Y, il reste estimer la loi de probabilit suivie par cette variable.
Idalement, on aimerait dterminer un nombre k tel que si Y est estim par y avec uneincertitude U(y) = k , alors on peut affirmer que : y U(y) Y y + U(y) avec uneprobabilitp proche de 1.
u yc ( )
U(y) note galement U est appele incertitude largie sur Y
2. Dtermination du facteur dlargissementkLa dtermination de kcorrespond ce quon appelle en statistique la dtermination dun intervalle deconfiance un niveau de confiancep.Pour obtenir ce facteur k, il est ncessaire davoir une connaissance de la loi de probabilit de lavariable reprsente par le rsultat de mesure.Dans la pratique nous navons au mieux quune estimation de cette loi et de lcart-type associ.
Cependant, les proprits de la loi normale (voir annexe 6) montrent queY y
u yc
( )
suit
approximativement une loi normale centre rduite ds que lune des conditions suivantes est vrifie : nest pas domine par une composante dincertitude-type obtenue par une valuation detype A fonde sur quelques observations, ni par une composante dincertitude-type obtenue parune valuation de type B fonde sur moins de trois lois rectangulaires ;
)(yuc
les composantes de u fondes sur des lois normales sont significativement beaucoupplus grandes que toute autre composante.
yc2 ( )
Pour de nombreux mesurages pratiques dans une large tendue de domaines, les conditions suivantesprdominent :
lestimationy du mesurande Yest obtenue partir des estimations dun nombre significatifde grandeurs dentre qui peuvent tre dcrites par des lois de probabilits raisonnables
telles que des lois normales ou rectangulaires ;
ix
iX
les incertitudes-types de ces estimations, qui peuvent tre obtenues par des valuationsde type A ou de type B, contribuent de manire comparable lincertitude-type compose
du rsultat de mesure y ;
)( ixu
u yc ( )
lapproximation linaire suppose par la loi de propagation de lincertitude est convenable.Dans ces conditions, on peut supposer que la loi de probabilit suivie par la variable Yest normale enraison du thorme limite central (voir annexe 6) ; et u peut tre considr comme uneestimation raisonnablement fiable de lcart-type de cette loi normale.
yc ( )
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On sait que si une variable alatoire Xsuit une loi normale de moyenne m et dcart type , alors laprobabilit que lon ait 96,196,1 + mXm est gale 0,95.
Dans la pratique, on prend le plus souvent k = 2 ce qui signifie que dans les conditions dcrites ci-dessus on peut penser raisonnablement que la procdure suivie a plus de 95% de chances daboutir un intervalle contenant effectivement la valeur vraie de Y ou encore que : lintervalle
contient environ 95% des valeurs que lon peut raisonnablement associer la
grandeurY.
[ )(2);(2 yuyyuy cc + ]
On dit alors que lincertitude largie U = 2 dfinit un intervalleu yc ( ) [ ])();( yUyyUy + ayant unniveau de confiance denviron 95 %.
Dans certains cas on peut prendre k = 3 et considrer quavec U = 3 on dfinit un intervalle
ayant un niveau de confiance denviron 99 %.
u yc ( )
Si les conditions dexprimentation prcises ci-dessus ne sont pas vrifies, on ne peut pas fairelhypothse que la variable Ysuit approximativement une loi normale. Dans ce cas on doit affiner larecherche de la loi de Yet recourir dautres lois comme la loi de Student.
B. Prsentation des rsultats1. Arrondissage
Les rsultats mesurs ou calculs peuvent comporter des chiffres qui nont pas de sens en regard lincertitude dtermine sur la mesure.Il est donc ncessaire de procder un arrondissage du rsultat obtenu.
Les rgles appliquer sont donnes ci-dessous :
Si lincertitude largie est U, alors on arrondit de faon que lerreur due larrondissage soitinfrieure 1/10 de lincertitude Uretenue ;
Le dernier chiffre retenu suit les rgles darrondissage au plus prs habituelles.Remarques :
Pour conserver une cohrence, les incertitudes seront donnes avec au plus deux chiffres significatifs.Tout arrondissage des incertitudes se fera, par prudence, par excs.
Pour limiter le cumul derreurs sur les arrondis, larrondissage est effectu sur le rsultat final. Pour lescalculs intermdiaires on gardera donc des chiffres qui peuvent tre non significatifs.
Exemples
Siy = 12,3257 et u estim 0,232 avec k = 2. Alors U= 0,464 . Lerreur darrondissage devraalors tre infrieure 0,04. On arrondit donc au 1/100 prs. Par consquent, on prendra :
yc ( )
y = 12,32 0,47
Siy = 123,385 et u estim 2,892 avec k = 2. Alors U= 5,784 . Lerreur darrondissage devraalors tre infrieure 0,57. On arrondit donc au 1/10 prs. Par consquent, on prendra :
yc ( )
y = 123,4 5,8
Cependant, le calcul dincertitude, bas sur des estimations sappuie sur des approximations(connaissance des lois) et des connaissances imparfaites (nature des sources derreurs). Il est lui-mmesoumis incertitude
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On peut estimer que dans le cas dune estimation dune grandeur comme la moyenne de n valeurs, le
pourcentage dincertitude sur lincertitude propose est)12(
1
nr (voir annexe 8)
Ainsi lincertitude sur lincertitude dtermine sur la moyenne de 10 valeurs est de lordre de25%, et celle sur la moyenne de 50 valeurs de lordre de 10%.
Ce rsultat justifie le choix qui a t fait dans le document propos par lInspection Gnrale dePhysique de ne conserver quun seul chiffre significatif.
On pense souvent que les mthodes dvaluation de type A de lincertitude, dtermine partirde donnes statistiques donnent des rsultats plus fiables que ceux obtenus partir dhypothses surles lois de probabilits suivies par les erreurs supposes. Lvaluation ci-dessus de limprcision delincertitude de type A, relativise fortement cette assertion !
2. Prsentation des rsultatsLorsquon exprime le rsultat dun mesurage et son incertitude, il est bon de donner un maximumdinformations sur les conditions dobtention des rsultats annoncs, par exemple :
Dcrire les mthodes utilises ;Donner la liste des composantes de lincertitude et la manire dont elles ont t values ;Prsenter lanalyse des rsultats de telle faon que ces derniers puissent tre rutiliss ;Les rsultats prciseront, au minimum, le facteur dlargissement et le niveau de confiance delintervalle estim.
Par exemple :
y = 5,324 mm 0,046 mm o lincertitude exprime est une incertitude largie dun facteur k =3.Cette incertitude dfinit un intervalle estim avoir un niveau de confiance proche de 99 %.
C. En conclusionPour dterminer une incertitude sur un mesurage :
Choisir une mthode de mesurage.Modliser le mesurage :
Dterminer les diffrentes variables qui entrent dans le mesurage.Dterminer les grandeurs dinfluence.Dterminer la fonction mathmatique qui lie ces variables.
Dterminer les composantes de lerreur sur chacune des variables.Lister les composantes alatoires et les composantes systmatiques.
Dterminer les incertitudes-types sur chacune des variables.Estimations de type A (statistiques) ou de type B (probabilistes)ventuelle Incertitude type compose sur chaque variable
Dterminer lincertitude type compose sur le mesurage.Dterminer le facteur dlargissement (associ la loi suppose reprsenter la rpartition desvaleurs prises par le mesurande).
Donner lincertitude largie sur le mesurage avec ses caractristiques.
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D. Un exempleReprenons lexemple trait de la dimension en fond de rainure. On a les donnes suivantes :
La pige w1 est une pige de 8mm. Le certificat dtalonnage indique que lincertitude deux sigmas est de 2m.
La pige w2 est une pige de 12mm. Le certificat dtalonnage indique que lincertitude deuxsigmas est de 2m.
Les mesures de longueurs sont effectues laide dun pied coulisse au 1/100 dont lerreur dejustesse maximale est de 30m.
On suppose que la salle de mesure est maintenue une temprature rgule de 20C.
la mthode de mesure choisie est celle avec deux piges, afin de saffranchir du contrle de lamesure de langle.
la modlisation mathmatique est donne par12
1221
ww
wLwLd
=
dterminons les sources dincertitude sur les rsultats obtenus :incertitudes lies aux manipulations ;incertitude de justesse de lappareil de mesure ;incertitude sur le diamtre des piges ;incertitude due la forme de lobjet (en partie prise en compte dans a)) ;incertitude dues aux conditions environnementales : stabilit de la temprature, diffrencede temprature entre la pice et les piges (nglige, car faible devant a)).
dterminons les valeurs des coefficients :
On a : 312
2
11 ==
= ww
w
L
dc , 2
12
1
22 =
=
= ww
w
L
dc ,
121,5)(
)(2
12
212
13 =
=
=ww
wLL
w
dc et enfin 414,3
)(
)(2
12
112
24 =
=
=ww
wLL
w
dc
En prenant w1 = 8, w2 = 12, pour valeur deL1 la moyenne 52,35 des 10 valeurs et pour valeur deL2 lamoyenne 59,178 des 10 valeurs
dterminons les incertitudes sur les quatre variables :Lincertitude-type surL1 a dj t calcule et elle a pour valeur 0,0190
Lincertitude-type surL2 se calcule de mme et elle a pour valeur 0,0192 avec = 0,00780 mm etAu
3
030,0=Bu mm (instrument vrifi)
Lincertitude-type surw1, comme surw2 est 0,0010 mm (0,0020 mm reprsente deux carts-types)
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Rsumons les rsultats dans un tableau, les donnes sont exprimes en mm :Composantes Sources dincertitudes )( ixu ic )( ii xuc
Poidsrelatif
)( 1Lu 0,0190 3 0,0570 68,2%
9s Observations rptes 0,00816
ju Erreur de justesse du PAC 3/03,0
)( 2Lu 0,0192 2 0,0384 31%
9s Observations rptes 0,00780
ju Erreur de justesse du PAC 3/03,0
)( 1wu Donne constructeur (2 sigmas) 0,001 5,121 0,00512 0,55%
)( 2wu Donne constructeur (2 sigmas) 0,001 3,414 0,00341 0,25%
On a alors
Do
Avec un coefficient dlargissement k= 2, on prendra U= 0,14 mm.
....00478,0)00341,0()00512,0()0384,0()0570,0()( 22222 =+++=duc...069,0)( =duc
Le poids faible des incertitudes associes des variables rectangulaires nous permet raisonnablementde faire lhypothse que la variable dsuit approximativement une loi normale.
En conclusion :Lincertitude sur d largie dun facteur k = 2 vaut 0,14 mm ; cette incertitude dfinit un intervalle
estim avoir un niveau de confiance proche de 95%.Remarque 1 :
la lecture de ce tableau, on peut remarquer la part importante de lincertitude sur les calculs delongueurs ; une analyse de lincertitude obtenue partir dune mthode sappuyant sur une estimationde langle permettrait dvaluer la pertinence du choix de cette mthode.
Remarque 2 :
Un logiciel, dvelopp par Jean-Marie Biansan permet dautomatiser les calculs. Il est disponible ladresse : http://jeanmarie.biansan.free.fr/logiciel.html
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IV.AnnexesAnnexe 1 : Les incertitudes-types sur le mesurage dune grandeur
1. Mesure sans correction
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La grandeur est estime par la moyenne x dep mesures
m est la moyenne de la population infinie des mesuresest lcart-type de la population infinie des mesures
V.v est la valeur vraie (idale) est lerreur systmatique sur le mesuragese est lerreur alatoire sur la moyenneae x desp mesuresua est lincertitude-type de lerreur alatoire sur lesp mesuresus est lincertitude-type de lerreur systmatique
La meilleure estimation dex est
Lincertitude type sur la grandeurx est u(x) dfinie par
222
)()()( xuxuxu sa +=
p
Distribution des mesures
Distribution des moyennes dep mesures
Vv x m
se ae
su au
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2. Mesure avec correction
su au
p
Distribution des mesures
Distribution des moyennes de p mesures
Vv x m
cse ae
La grandeur est dtermine partir de la moyenne x dep mesures
m est la moyenne de la population infinie des mesuresest lcart-type de la population infinie des mesuresV.v est la valeur vraie (idale)c est la correction effectue sur les mesures est lerreur systmatique sur le mesuragese est lerreur alatoire sur la moyenneae x desp mesuresua est lincertitude type de lerreur alatoire sur lesp mesuresus est lincertitude type de lerreur systmatique sur la correction
La meilleure estimation dex est c
Lincertitude type sur la grandeurx est u(x) dfinie par 222 )()()( xuxuxu sa +=
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Annexe 2 : La Dmarche de recherche des causes
Les cinq M
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Source : Institut Mditerranen de la Qualit
METHODES
Nombre de mesures
Dure de la mesure
Choix de la mthode
Choix de la rfrenceChoix de lappareil
Nombre doprateurs
Corrections
MILIEU(environnement)
Temprature
Hygromtrie
Pression
Vibrations
Poussires
Magntisme
Rayonnements
MOYENS
(appareillage)
Justesse
Fidlit
GomtrieRsolution
Incertitude dtalonnage
Temprature
Corrections
MAIN DOEUVRE
(oprateur)
Effort de mesure
Exprience
FormationParallaxe
Interpolation
Vue
Temprature
MATIERE(produit mesur)
Dispersion
INCERTITUDES
DE MESURES
Temprature
tat de surface
Dformabilit
Positionnement
Gomtrie
Aspect
Magntisme
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Annexe 3 : Dmarche de dtermination dune incertitude sur une grandeur Y
Choix de la mthode de mesure
Lister :
o Les variables indpendantes intervenant dans le calcul du mesurandeiXo Les grandeurs dinfluenceo Les sources dincertitude
Modliser la fonction mathmatique qui lie les variables
o Calculs des ix o Donnes
Dterminer les valeurs prises pari
X
o Calculs des ix o Donnes
Appliquer des corrections ventuelles aux valeurs prises par iX
Estimation partir de choixde lois de probabilits
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Observations rptes
Dterminer les incertitudes-types )( ixu
Utilisations de donnesantrieures
Estimation partirdinformations subjectives
Dtermination des
coefficientsix
f
),......,( 1 nXXfY=
Relation fonctionnellemathmatique connue :
Yxi ?
Recherche exprimentalede linfluence de surYiX
Relation fonctionnelledifficilement formalisableou algorithmique :
Dterminer )(Yuc
Dterminer le facteurkassoci
Choisir le niveau de confiance
DterminerU et conclure)(Y
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Annexe 4 : Un rappel des lois de probabilit
1. Lois normalesCes lois sont dune grande importance car elles se trouvent tre lois limites de la moyenne de variablesalatoires dans le cas de nombreuses lois, lors dobservations rptes de manire indpendante.
allure de la densit deXm
Si une variableXsuit une loi normale de moyenne m et dcart-type on a alors :Probabilit ( X m ) 0,68Probabilit (2 X m 2) 0,95Probabilit (3 X m 3) 0,997
Cette dernire ingalit indique que quasiment la totalit des donnes sont situes entre 3 et 3.On dit parfois que ltendue des valeurs reprsente 6, ce qui permet de donner rapidement uneestimation de lcart-type en divisant cette tendue par 6.
2. Lois rectangulaires (ou lois uniformes)Une variableXsuit une loi uniforme sur un intervalle [a , b] si sa fonction de densitfest dfinie par
abxf
=
1)( pour a x b et 0)( =xf sinon
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a m m m+ b
ab 1
allure de la densit
La moyenne deXestb a+
2et son cart-type est =
b a
2 3
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Par exemple dans lutilisation dun appareil numrique de rsolution 0,01 unit et qui donne 12,46
comme affichage, on fait lhypothse que le rsultat rel est avec la mme probabilit10
1entre 12,455
et 12,456, entre 12,456 et 12,457,. ou entre 12,464 et 12,465.
Lincertitude-type lie la rsolution de lappareil sera
32
01,0
Une remarque : cette loi est celle du pire , c'est--dire que pour des valeurs que lon sait comprisesentre a et b, cest la loi qui a le plus grand cart-type.
3. Lois triangulairesUne variableXsuit une loi triangulaire sur un intervalle [ a , b ] si sa fonction de densit fest dfiniepar :
2)(
)(4)(
ab
axxf
= pour a x
b a+2
;2)(
)(4)(
ab
xbxf
= pour
b a+2
x b ; sinon0)( =xf
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a m m m + b
ab 2
allure de la densit
La moyenne deXestb a+
2et son cart-type est =
b a
2 6
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Annexe 5 : Les recommandations de dtermination dincertitude de type B
1. Rsolution dune indication numrique.Si la rsolution dun instrument numrique est d, la valeurXdu signal mesur peut se situer avec une
gale probabilit nimporte quel endroit de lintervalle allant de2
dX
2
dX+ .
Le signal mesur suit donc une loi rectangulaire de largeurd
On prendra donc :
u(x) =d
2 3
Exemple : si un instrument de pesage a un dispositif indicateur dont le dernier chiffre significatif
correspond 1g, lincertitude-type sur la rsolution est u =1
2 3g soit environ 0,29g
2. HystrsisLindication dun instrument peut varier selon que les lectures se font par valeurs croissantes oudcroissantes. Loprateur prudent note le sens des lectures successives et fait les correctionsncessaires. Cependant le sens de lhystrsis nest pas toujours dcelable (oscillations autour dunpoint dquilibre par exemple) et on suppose alors que la loi de probabilit suivie par lhystrsis estune loi rectangulaire.
Si ltendue des lectures possibles dues cette cause estx, alors u(x) =x
2 3
3. Arrondissage, calculs prcision limiteLarrondissage ou la troncature des nombres qui se produit dans les rductions automatiques dedonnes par les ordinateurs peut aussi tre source dincertitude (problme de soustractions de nombresproches par exemple). Si une simulation de donnes proches sur les grandeurs dentres permet dedceler une variation sur la valeur de sortie, on suppose que cette valeur suit une loi rectangulaire.
Si x est la plus petite variation de la grandeur de sortie, alors u(x) =x
2 3
4. Incertitude-type sur un instrument vrifiSi le mtrologue utilise un instrument vrifi, ce dernier est conforme une classe qui est dfinie par
une limite .Si on suppose que les valeurs affiches suivent une loi rectangulaire, on prendra alors
u(x)=
3
Cependant, sil y a des raisons de penser que les valeurs situes prs de 0 sont plus probables quecelles situes prs de ou on pourra penser que la loi de propagation de lerreur est normale ou parprudence triangulaire ; on prendra alors :
u(x) =
3
(choix de normalit) ou u(x) =
6
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5. Incertitude-type sur un instrument talonnDans le cas dun instrument talonn, le certificat dtalonnage annonce une incertitude U. En faitcette valeurUest gale lincertitude-type u(x)multiplie par un facteur dlargissement k(pratiquejustifie en fin de document).
On prendra donc
u(x) =Uk
En principe, le facteur dlargissement devrait tre prcis avec lincertitude donne par leconstructeur.
Si aucune prcision nest faite, on supposera que k = 2.
Remarque : on suppose en gnral que la dtermination de lincertitude-type obtenue sappuie sur uneloi de distribution de lerreur normale.
6. Incertitude-type due aux effets de la tempratureEn mtrologie dimensionnelle, la temprature est un facteur dinfluence de premier ordre. Pour enminimiser les effets, une mthode souvent employe est de comparer le mesurande un talon derfrence de mme longueur dont on connait la valeur vraie la temprature de 20C.
La temprature intervient diffrents niveaux :
cart de temprature avec 20C nottLa loi de propagation de lerreur sur des grandeurs sous contrle (par exemple temprature dansun bain rgul) demande une analyse fine de la nature des rgulations ou une analyse statistiquepertinente.
Dans un milieu climatis, la loi de propagation de lerreur sur lcart 20C est en gnralassimile une loi en drive darcsinus . Dans ces conditions, on prendra :
u(t) =t
2
cart de temprature entre le mesurande et les cales talons not tEn gnral, on fait lhypothse que tsuit une loi normale et on prend alors
u( t) =3
t
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Annexe 6 : La loi normale
L'tablissement, au dbut du XIXe sicle, de la loi "normale", dont l'usage est fondamental en statistique,s'est fait par deux voies : celle, dans le cadre de la "thorie des erreurs", de la mthode des moindrescarrs, qui aboutit avec Carl Friedrich Gauss (1777-1855), et celle des thormes limites, avec l'noncd'une premire version du thorme limite central parPierre Simon de Laplace (1749-1827).
L'astronomie et la godsie sont l'origine des questions thoriques sur la rpartition des erreurs de mesure"accidentelles" (que l'on peut qualifier d'alatoires), dues l'addition de nombreux facteurs indpendants(conditions de la mesure, erreurs de lecture, de vise...), qui peuvent induire une erreur dans un sens oudans l'autre. L'objectif est de pouvoir aller au del de la prcision d'un instrument, en "combinant" plusieursmesures de la mme quantit, de faon calculer la "meilleure estimation" de cette dernire.
Adrien-Marie Legendre (1752-1833) publie en 1805 la mthode consistant minimiser la somme descarrs des carts. Indpendamment, Gauss, alors directeur de l'observatoire de Gttingen, parvient, dansle cadre de l'tude des orbites plantaires, cette mme mthode des moindres carrs, dit-il ds 1794(il en conteste la paternit Legendre, mais ne publiera qu'en 1809). L'originalit de Gauss est d'tablirles liens qui existent entre cette mthode et les lois de probabilit, aboutissant la "loi gaussienne" :
Il raisonne ainsi :Soit une quantit inconnue, pour laquelle on possde plusieurs mesures x1 ,x2, ...,xn. On cherche
minimiser la somme des carrs des carts . En considrant cette quantit comme une
fonction de un simple calcul de drive montre que la valeur de rendant minimale la somme des
carrs des erreurs est la moyenne :
=
n
iix
1
2)(
n
xxx n
++=
...1
En envisageant la question d'un point de vue probabiliste, on considrera que les erreurs = 11 xe ,..., = nn xe sont des ralisations de n variables alatoires indpendantes E1,..., En de mme loi
continue de densit f, dpendant de la valeur inconnue .
Pour donn, la probabilit d'effectuer des erreurs la premire mesure entre e1 et e1 + de1 vautenvironf( e1) de1, et en vertu de lindpendance des mesures, la probabilit que les erreurs se situententre e1 et e1 +de1 ,. , en et en+d en est alors,f( e1)f( e2) . f( en) de1de2den.
On peut alors retourner le raisonnement ( la faon de Bayes) et se demander, les mesures
tant connues, quelle est la valeur de la plus vraisemblable. C'est dire, quelle est la valeur de quirendra maximale la probabilit d'observation des mesures (rellement observes) donc des
erreurs Il s'agit de rechercher, donc f, de sorte que f (e
nxx ,....,1
nxx ,....,1
nee ,....,1 1)f (e2) , f (en) de1de2den soit
maximum (cette dmarche est nomme "maximum de vraisemblance").
Sachant que la moyenne arithmtiquen
xxx n++= ...1 correspond la valeur recherche de , Gauss
en dduit par un calcul algbrique assez simple que la fonction fest de la forme .2
)( kxCexf =
La fonctionftant une fonction de densit, on montre que2
1=C et plus gnralement, on appelle
loi normale de moyenne m et dcart-type , la loi de densitfdfinie par2)(
2
2
1)(
exf
=1 mx
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Exemples de densit de lois normales de moyenne et de variance2
Ainsi lorsque, lors de mesures, l'addition de plusieurs facteurs alatoires indpendants (etsensiblement quivalents) induit des erreurs, celles-ci se rpartissent selon la loi de Gauss et lamoyenne arithmtique des mesures fournit l'estimation qui minimise la somme des carrs deserreurs.
L'approche de Laplace se situe dans la voie des lois limites. Il montre, que sa "seconde loi deserreurs" (qui est la loi de gauss prsente prcdemment) approche la distribution des moyennesarithmtiques de n erreurs indpendantes de mme loi.
Laplace et Gauss ralisent ainsi, au dbut du XIXme sicle, une synthse entre l'approche empiriquedes moindres carrs et celle, probabiliste, des lois limites. Avec Laplace, la loi normale s'impose
comme presque universelle. En effet, mme si la distribution individuelle des erreurs ne suit pas uneloi normale, celle des moyennes des erreurs suit approximativement, sous certaines conditions(indpendance, lois identiques), une loi normale.
Plus prcisment on peut noncer un rsultat qui est central dans la thorie des probabilits :
Soient des variables alatoires indpendantes de mme moyenne m et dcart type . Pour n
suffisamment grand, la variable
iX
==
n
iiXn
X1
1suit approximativement la loi normale de mme
moyenne m et dcart-typen
.
Ce qui signifie que si les suivent une loi quelconque de moyenne m et dcart-type alors la
variable alatoire
iX
==
n
iiXn
X1
1suit approximativement une loi normale.
Ainsi, on peut schmatiquement dire que si on considre que lensemble des mesures dune grandeurest associ une distribution par exemple uniforme, alors si chaque srie de mesures on associe lamoyenne de ces mesures, la distribution de lensemble de ces moyennes est approximativementnormale.
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Deux remarques :
Si la loi suivie par les variables est normale, la loi suivie pariX =
=n
iiXn
X1
1est
exactement normale.
plus la valeur de n est grande, meilleure est lapproximation.En fait ce rsultat se dduit dun thorme plus gnral de convergence trs utilis dans la thorieprobabiliste des erreurs, le thorme limite central (TLC) :
Soient des variables alatoires indpendantes de mme moyenne m et dcart type . , on noteiX
n
nmX
Z
n
ii
n
==1 et T une variable qui suit la loi normale de moyenne nulle et dcart type 1.
Alors pour toute valeur dez, tend vers)( zZP n < )( zTP < quand n tend vers + .
On dit que la variable
n
mn
X
n
nmXZ
n
i
in
ii
n
=
==
=1
1 converge en loi vers la variable T.
Cest ce thorme qui permet de justifier ce que lexprimentation permet de constater : dans desconditions de mesurages o les incertitudes prennent des valeurs du mme ordre, alors la variablealatoire qui modlise lerreur suit approximativement une loi normale.
Proprits de la loi normale
Si une variableXsuit une loi normale de moyenne m et dcart-type alors on a alors :
Probabilit ( Xm ) 0,68Probabilit (2 Xm 2) 0,95Probabilit (3 Xm 3) 0,997
Cette dernire ingalit indique que quasiment la totalit des donnes sont situes entre 3et 3
On dit parfois que ltendue des valeurs reprsente 6, ce qui permet de donner une estimationgrossire de lcart-type en divisant cette tendue par 6.
Il va tre important de pouvoir vrifier si la loi considre est normale, cest ce qui est fait au traversde tests de normalit .
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Tests de normalit
Dans un test de normalit on compare la distribution dun chantillon de donnes avec la distribution thorique attendue sous lhypothse que cet chantillon correspond un tirage de donnes desvaleurs prises par une variable alatoire qui suit une loi normale.
Le plus simple est graphique (droite de Henry), ce qui a pour intrt une grande simplicit mais pour
inconvnient de mal matriser le niveau dapproximation. Dautres tests peuvent tre mis en uvrecomme le test du Khi2 qui permet de se donner une rgle de dcision ou encore celui de Kolmogorovqui affine le risque derreur.
On ne dveloppera ci-dessous que le test de Henry.
Le principe de la droite de Henry (du nom dun artilleur qui avait mis au point cette mthode pourltude de prcision des tirs) est simple ; lide tant, laide dun changement de variable, dajusterles donnes avec une droite, et dutiliser la rgression linaire selon les moindres carrs pour quantifierla qualit de l'ajustement d'une distribution statistique observe avec celle d'une loi normale.
Pour cela on compare la frquence cumule des donnes jusqu une valeurxi avec la probabilit thorique jusqu cette mme valeur.
Ainsi, si on considre une variable alatoireXsuivant la loi N(m; ), sa fonction de rpartition Festdonne, pour toutx IR, par :
)()()()( tmxmX
PxXPxFy =
===
avec
mxt
= et la fonction de rpartition de la
loi normale centre rduite dont les valeurs sont donnes dans des tables.
Si on considre maintenant la srie des donnes, l'analogue de la fonction de rpartition est lafrquence cumule ; pour une valeurxi de la distribution statistique, on noteyi la frquence cumulecroissante.
Si la loi de la distribution des donnes est normale, les frquencesyi cumules des donnes jusqu unevaleurxi doivent correspondre des probabilits donnes par la table de la loi normale.
C'est--dire qui si on note ti la valeur, donne par lecture inversede la table de la loi normale centrerduite pour la frquence cumule yi (donc telle que )( ii ty = ), alors le nuage de points (xi ; ti)
devrait tre align ou tout du moins correctement ajust par la droite dquation
mxt
= que l'on
nomme droite deHenry .
Remarque : le trac de cette droite permet galement de donner une estimation de m et .
Prenons un exemple :
Un mesurage fournit les 50 donnes suivantes :
xi 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4
ni 2 4 7 9 9 8 6 4 1
On sinterroge sur la normalit des donnes.
On complte le tableau par les frquences, les frquences cumules et les valeurs de ti associes, luesdans une table donnant la fonction de rpartition de la loi normale centre rduite.
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xi 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4
ni 2 4 7 9 9 8 6 4 1
Frquencesfi 0,04 0,08 0,14 0,18 0,18 0,16 0,12 0,08 0,02
Frquencescumulesyi
0,04 0,12 0,26 0,44 0,62 0,78 0,90 0,98 1
ti 1,75 1,17 0,64 0,15 0,31 0,77 1,28 2,05
Il suffit alors de tracer le nuage des points (xi ; ti) et de dterminer lajustement linaire par la mthodedes moindres carrs, par exemple avec laide dun tableur. La valeur du coefficient de corrlation estun indicateur de la qualit de la normalit .
y = 5,1833x - 25,57
R2 = 0,9958
-2
-1,5
-1
-0,5
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5
57,251833,5 = xt
9958,02 =R
Le nuage de points (xi ; ti) est approximativement linaire et le coefficient de corrlation est trsproche de 1. On peut accepter le fait que les donnes sont issues dune distribution approximativementnormale.
On a 1833,51=
et 57,25=
mdo on dduit que lon peut estimer par 0,19 et m par 4,93.
Remarque :
Il existe un papier dit gausso-arithmtique qui permet de contrler au jug la normalit desdonnes en plaant directement sur un graphique, non pas les points (xi ; ti) mais les points (xi ;yi). Sa
grande simplicit fait son intrt et il est encore employ.
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Annexe 7 : Incertitude compose
On note i lesprance de chacune des variables et)( iXE ),.....,,( 21 n= ; en gnral ces
esprances ne sont pas connues mais estimes par (qui peut tre une moyenne ou non
dobservations). Si on note , on peut estimer par ou par la moyenneix
),.....,,( 21 nxxxx = )(YE )(xfde n observations rptes.
Commenons par le cas dune fonction linaire de deux variables 221121 ),( XkXkXXfY +== ;
)()( 2221112211 +++= XkXkkkY et )(2211 fkkY =+=
Do ))(())(()( 222
111
+
+= XX
fX
X
ffY
Ainsi, si on gnralise au cas dune fonction linaire de n variables, nnXkXkXkY ++= .....2211
Chacun des coefficients est la drive partielle de fpar rapport la variable , les drives
seconde sont toutes nulles et un dveloppement de Taylor defau voisinage de se rduit :i
ki
X
))(()(1
ii
n
i i
XX
ffY
+= =
et par consquent,
2
1
2 )))((())(( iin
i i
XX
ffY
= =
))()(()()())(())((,1,
22
1
2jjii
j
n
jiji iii
n
i i
XXX
f
X
fX
X
ffY
+
=
==
)))((()()()())(()(,1,
22
1
2jjii
j
n
jiji iii
n
i i
XXEXf
XfXE
XfYYE
+
=
==
Soit :
),cov()()()())(()(,1,
22
1
2ji
j
n
jiji ii
n
i i
XXX
f
X
fX
X
fY
+
= ==
Dans le cas o les variables sont indpendantes et f est linaire, on a doncX X Xn1 2, ,.....
)())(()( 22
1
2
i
n
i i
XX
fY
== et par consquent )())(()( 22
1
2
i
n
i icxu
X
fyu
==
Remarque : dans la pratique on estime parx x x xn= ( , ,...... )1 2 et on remplace la notation )(
iX
f
parix
f
On crit alors )()()( 22
1
2i
i ic xux
fyu
=
=
n.
Dans le cas gnral, les erreurs tant considres comme petites devant les variables, on procde un dveloppement de Taylor au rang 1 defau voisinage de x x x xn= ( , ,...... )1 2 , ce qui revient direquen un point, on assimile une courbe sa tangente, une surface son plan tangent. On calcule alors
lincertitude compose sury laide de la formule prsente ci-dessus.
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Mathmatiques Physique-chimie Mesure et incertitudes
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7/30/2019 Eduscol - Mesure et incertitudes - Mai 2012.pdf
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Annexe 8 : Incertitude sur lincertitude
Si nous reprenons le cas de lestimation de type A dune grandeurX, considre comme une variablealatoire. On a not un n-chantillon de X, o reprsente la variable alatoire
associe la i
),....,,( 21 nXXX iX
me mesure de la grandeurX;la variable =
=n
iiXn
X1
1est un estimateur de la moyenne
deXet 2
1
2 )(1
1 XXn
Sn
ii
= =
est un estimateur de la variance deX.
On sait alors quen
Sest un estimateur de lcart-type deX , qui caractrise lincertitude sur la
grandeurX.
Par consquent, pour estimer ce que reprsente en pourcentage lincertitude sur cette incertitude surX,
on dtermine le rapport de lcart type de
n
Spar la moyenne de
n
S, c'est--dire
)(
)var(
nSE
n
S
r=
Dans un cas gnral, ce rapport est difficilement calculable. Cependant, si la variable Xsuit une loi
normale alors on montre que la variable2
2)1(
Sn suit une loi du (n 1) degrs de libert, et on
montre alors que
2
)1(2
1
nr
(On en trouve une dmonstration calculatoire mais originale dans le livre de John Taylor)
Ainsi lincertitude sur lincertitude sur la moyenne de 10 valeurs est de lordre de 25%, et cellesur la moyenne de 50 valeurs de lordre de 10%.
Ce rsultat justifie le choix qui a t fait dans le document propos par lInspection Gnrale dePhysique de ne conserver quun seul chiffre significatif.
On pense souvent que les mthodes dvaluation de type A de lincertitude, dtermine partirde donnes statistiques donnent des rsultats plus fiables que ceux obtenus partir dhypothses surles lois de probabilits suivies par les erreurs supposes. Lvaluation ci-dessus de limprcision delincertitude de type A, relativise fortement cette assertion !
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