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林信安老師編寫
向量與平面幾何的證明 前言
我們利用向量來處裡幾何問題,其主要的思考方式,可以用下表來顯示:
已知的幾何關係 向量的關係
證明某種幾何關係 求出某種向量關係
幾何關係用向量來表示
將向量表成幾何關係
根據上表對於向量在平面幾何證明的應用,我們分成幾個部份來說明,第一部份向量的基礎
知識,包含向量的基本運算與性質;第二部份是用向量來表示分點、共線、距離夾角、共點
線與共線點、共圓等幾何關係;第三部份就會根據不同的情形來討論如何用向量去處理平面
幾何的證明。 壹、幾何向量的基礎知識
我們都知道向量是具有大小與方向的量,這裡所要介紹的向量,主要是在平面上或空間中用有向線段或直角坐標表示的向量,而主要的應用會強調在幾何方面,當然在物理上向量
也是很重要的基本工具,此處我們所討論的基礎知識,都可以使用在物理上。 (甲)向量的加法、減法與係數積:
(1)向量的加法:給定二個向量→■a ,→■b 如何定義→■a +→■b 呢?
(a)三角形法:設→■a =AB,→■b =BC,則定義→■a +→■b =AC (可以用位移為例)
(b)平行四邊形法:
由三角形法,如果→■a =AB,→■b =AC,則→■a +→■b =AD,
C
B
A
CA B A C B
A C A C
1
林信安老師編寫
ABDC為平行四邊形。(可以用合力為例)
(2)向量的減法:給定兩個向量→■a ,→■b ,如何定義→■a −→■b 呢?
[說明]:設→■a = AB ,→■b = AC ,我們定義→■a −→■b =→■a +(−→■b )
A B
C D
根據右圖可知AD =−→■b ,ADEB為平行四邊形,
→■a −→■b =→■a +(−→■b )=AB+AD=AE=CB
即AB−AC=CB。 結論: (a)任何一個向量BC,我們都可以把它拆解為BA+AC兩向量的和,其中 A為任一點。即BC=BA+AC。(可以以位移為例) (b)任何一個向量BC,我們都可以把它拆解為AC–AB兩向量的差,其中A點為 任一點。即BC=AC−AB。(可以相對運動為例) (3)向量的係數積:
設→■a 是一個向量,r是一個實數,則r→■a 仍是一個向量,定義如下:
長度:| r→■a |=|r||→■a |
方向:若r>0,則r→■a 與→■a 同向;
若r
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(5)線性組合:
若→■u 和→■v 不平行,則在→■u 及→■v 所決定的平面上的每一個
向量→■w 都可以唯一寫成r→■u +s→■v 之形式。
(乙)向量的內積: (1)內積的定義:
設 a 與 b 為兩向量,θ為其夾角,定義 a 與 b 的內積為| a || b |cosθ
,符號記為: a . b =| a || b |cosθ,"."念成dot。
請注意: a . b 是一個實數而非向量,就好像功是一個純量,而沒有方向。 (2)內積與投影量:
令 a =AB, b =AC,θ 為 a 與 b 的夾角
C
θ
C
A θ A(D) B
C
B D A BD
(a)當 0
林信安老師編寫
當 a 與 b 之夾角為直角時,我們稱 a 與 b 垂直,記為 a ⊥ b 。 為了方便起見,我們將任何向量與零向量都視為垂直。
所以規定: a ⊥ b ⇔ a . b =0。 (4)向量的性質:
設 a , b , c 為任意三向量,r為任意實數,則
(a) a . b = b . a (交換性)
(b) a .( b + c )= a . b + a . c (分配性)
(c)r( a . b )=(r a ). b = a .(r b )
(d) 0 . a =0 (注意: 0 . a =0 而非零向量)
(e)| a |2= a . a ≥0,| a |2=0 ⇔ a = 0
注意:| a |2= a . a 這個性質可以讓我們在內積與長度之間轉換,是一個簡單但重要的性質。
(f)| a ± b |2=( a ± b )⋅( a ± b )=| a |2±2 a . b +| b |2 (丙)向量的坐標化: (1)平面向量的坐標化:
設 u = OP ,而P點的坐標為(a,b),則我們就用P的坐標(a,b)來表示向量 u ,
記為 u =(a,b),其中a和b分別稱為向量 u 的x−分量與y−分量。
(a)長度: u =(a,b),則| u |= a2+b2。
(b)向量相等:若 u =(a,b), v =(c,d),則 u = v ⇔ a=c且b=d (c)兩點決定一向量:設A(x1,y1),B(x2,y2)為坐標平面上的兩點,則AB=(x2−x1 , y2−y1) (2)空間向量的坐標化: 空間中兩點A(a1,a2,a3)、B(b1,b2,b3), 將向量AB的起點A移至原點O,B點移至P點, 此時P點的坐標為(b1-a1,b2−a2,b3−a3), 我們以(b1-a1,b2−a2,b3−a3)表示AB, 即AB=(b1-a1,b2−a2,b3−a3)。
xO
y
P(a,b)
(a)長度: u =(a,b,c) ⇒| u |= a2+b2+c2。
(b)向量相等: u =(a,b,c), v =(α,β,γ) 若 u = v ,則 。 ⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
γβα
cba
O
P
A(a1,a2,a3)
B(b1,b2,b3)
x
y
z
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(3)向量坐標化與向量的運算:
(a)平面上:設 a =(a1,a2), b =(b1,b2),則
a + b =(a1+b1,a2+b2) a − b =(a1−b1,a2−b2)
r a =(ra1,ra2),r∈R a // b ⇔ a 與 b 的分量成比例。
a ⋅ b =a1b1+a2b2
(b)空間中:設 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3),則
a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+ b3) a − b =(a1−b1,a2−b2,a3−b3)
r⋅ a =(ra1,ra2,ra3),r∈R a // b ⇔ a 與 b 的分量成比例。
a ⋅ b =a1b1+a2b2+a3b3 (丁)空間向量的外積:
在物理學中,設力 F 作用在位移 r 的終點上,它的力矩定義為一個向量 M ,
其大小為| F || r |sinθ ,方向垂直 F 與 r ,且 M 與 r 、 F 構成右手系,
符號寫成: M = r × F 這樣的慨念抽象化之後,形成「外積」的定義。 (1)外積的定義:
設空間中兩向量 a 與 b 的外積為一個向量,符號記為 a × b ,
而| a × b |=| a || b |sinθ ,其中θ 為 a 與 b 的夾角;
a × b 的方向與 a 、 b 都垂直,且當 a 做 180°內的旋轉
並與 b 的方向一致時,右螺旋前進的方向。
換句話說: a × b ⊥ a , a × b ⊥ b 且 a 、 b 、 a × b 成右手則的關係。
(2)外積的性質:設 a 、 b 、 c 為空間中的三個向量,
(a) a × b = − b × a 。
(b)(r a )× b =r( a × b ),r為任意實數。
(c)( a + b )× c =( a × c )+( b × c )
(d)若 a 與 b 是非零且不共線的向量,則| a × b |=由 a 與 b 所展成的平行四邊形的面積。
(e)若 a // b ,則 a × b = 0 。 [討論]:如何證明性質(c) (3)外積的坐標表示:
設在空間坐標上取 i =(1,0,0)、 j =(0,1,0)、 k =(0,0,1),
空間中的向量→■v =(a,b,c)=a i +b j +c k
r
F
θ
θ
a × b
b
a
5
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且根據外積的定義,可得 i × j = k 、 j × k = i 、 k × j = i
設 a =(x1,x2,x3), b =(y1,y2,y3),那麼根據外積的運算性質與上式的結果,可以計算出
a × b =(x2y3−x3y2, x3y1−x1y3 , x1y2−x2y1)=(32
32
yyxx
, 13
13
yyxx
,21
21
yyxx
)
[討論]:如何證明上述的結果? (戊)向量內積與外積: (1)Lagrange恆等式:
( a1 × a2 ).( a3 × a4 )=( a1 . a3 )( a2 . a4 )−( a1 . a4 )( a2 . a3 )。 [證明]:可以利用坐標法來證明上式。 [討論]:請用Lagrange恆等式證明
( a1 × a2 ).( a3 × a4 )=( a1 × a3 ).( a2 × a4 )−( a1 × a4 ).( a2 × a3 )。 (2)混合積與平行六面體體積:
由 a =(a1,a2,a3), b =(b1,b2,b3), c =(c1,c2,c3)三向量
所展成的平行六面體的體積=
321
321
321
cccbbbaaa
的絕對值。
→■a
→■b
→■c→■a ×→■b
α
β
[證明]: 平行六面體的體積
=(由→■a 、→■b 所展成的平行四邊形面積)×高
由→■a 、→■b 所展成的平行四邊形面積=|→■a ||→■b |sinα=|→■a ×→■b |
高=→■c 在(→■a ×→■b )方向上的投影長度=|→■c |cosβ的絕對值。
平行六面體的體積
=||→■a ×→■b |⋅|→■c |cosβ|=|(→■a ×→■b )⋅→■c |,β為→■a ×→■b 與→■c 的夾角
=| (21
21
13
13
32
32 ,,bbaa
bbaa
bbaa
)⋅(c1,c2,c3) |=| 21
213
13
132
32
321 bb
aac
bbaa
cbbaa
c ++ |
=| 21
213
31
312
32
321 bb
aac
bbaa
cbbaa
c +− |=|
321
321
321
cccbbbaaa
|
根據以上的證明,可得之( a × b ). c =
321
321
321
cccbbbaaa
,我們稱這個為 a 、 b 、 c 的混合積。
6
林信安老師編寫
O
A
B C
G
H
D
M
[例題1] 設∆ABC之外心為O,垂心為H,重心為G, (1)試證:OA+OB+OC=OH。 (2)若AG=x⋅AO+y⋅AH,試求實數x,y之值。 (3)證明:G、H、O三點共線,且OG:GH=1:2。
[例題2] 試求以C為圓心,r為半徑的圓及過圓上一點A的切線的向量方程式。 Ans:| OP−OC|2=r2, CP .CA=r2
練習題 1. 設直線AT是∆ABC的內角平分線,B、C關於原點A的位置向量為AB、AC試求
(1)直線BC與AT的向量方程式。 (2)直線BC與AT的交點T的位置向量。 Ans:(1)直線BC: AP =(1−t)AB+tAC,直線AT: AP =k(|AC|AB+|AB|AC)
(2) AT =|AC|
|AC|+|AB|AB+
|AB||AC|+|AB|
AC
2. 設A、B是以O為圓心,r為半徑的圓上兩點,它們關於O的位置向量是OA、OB,試求過A、B兩點的切線交點P的位置向量。
Ans: OP =2r2
|OA+OB|2(OA+OB)
3. 設A、B、C、D是空間四點,且AB⊥CD,AC⊥DB,求證AD⊥BC。
4. 設O、I分別是∆ABC的外心和內心,A1、B1、C1是各內角平分線與外接圓的交點, 求證: OI =OA1+OB1+OC1。
5. 設Q、H為∆ABC的外心、垂心,R為外接圓半徑,
求證:⎯QH2=R2[3+2(cos2A+cos2B+cos2C)]。
7
林信安老師編寫
6. 求證:在∆ABC中,
(1)AB ×BC=BC×CA=CA×AB。(2)ABsinC =
BCsinA =
CAsinB。
7. 對於空間中任意四點A、B、C、D,恆有
AB.CD=12(|AD|
2+|BC |2−|AC|2−|BD|2)。
8. 設 a × b = c × d , a × c = b × d ,求證: a − d 與 b − c 平行。
9. 已知空間四邊形 ABCD 中,⎯AB=
⎯CD,
⎯AD=
⎯BC,試證明
⎯AC、
⎯BD中點的連線 MN 為直線
AC 和 BD 的公垂線。
10. 設 a 、 b 、 c 為非零向量,且 a × b = c , b × c = a , c × a = b ,
試證明: a 、 b 、 c 為兩兩互相垂直的單位向量。
8
林信安老師編寫
貳、用向量表示幾何關係 幾何學是通過點、線、面之間的各種位置關係和數量關係來研究空間圖形的性質,而幾何中最原始與基本的概念是位置。點是空間位置的一種抽象形式,但點所表示的具體位置只
有在它與另一點加以對照之後才能顯示出來。所以位置本身不可能構成什麼量,但是空間中
兩個點之間位置的「差」看成是一種量,它不僅具有大小,而且帶有方向,這就是「幾何向
量」。因此向量不僅可以看成「位置差」這一基本幾何量的抽象表示,而且還是研究和描述
空間圖形性質和各種幾何關係的強有力的工具。 前面我們已經介紹了幾何向量的相關知識和運算性質,並且給出了直線、圓等幾何圖形
的向量形式,接下來我們將進一步給出平面幾何中各種幾何關係的向量表示,以便往後應用
它們來研究和證明平面幾何的問題。 (甲)定比分點與面積坐標 (1)線段的定比分點:
若設P為線段⎯AB上的一點,且
⎯AP:
⎯PB =λ:1,則 AP =λ PB , OP =
11+λOA+
λ1+λOB。
(2)推廣線段的定比分點: 若在∆ABC中,設點C1、B1分別是直線AB與AC上的分點, 且AC1=mC1B,AB1=nB1C,設P點是直線CC1與BB1的交點,
則 PA +m PB +n PC = 0 , OP =1
1+m+nOA+m
1+m+nOB+n
1+m+nOC。
[證明]:
根據題意可知AC1=mC1B⇒AC1=m
1+mAB
而直線CC1的向量方程式為AX=(1−t)AC+ mt
1+mAB
同理可得直線BB1的向量方程式為AX=(1−k)AB + nk
1+nAC
P點是直線CC1與BB1的交點,故 AP =(1−t)AC+ mt
1+mAB=(1−k)AB +nk
1+nAC
因為AB與AC不平行,所以 1−t=nk
1+n且mt
1+m=1−k,解得t=1+m
1+m+n,1−t=n
1+m+n
故 AP =m
1+m+nAB+n
1+m+nAC
⇔ PA +m PB +n PC = 0 , OP =1
1+m+nOA+m
1+m+nOB+n
1+m+nOC。
[討論]: (a)請問上面的結果,可以用來得出線段定比分點的結果嗎?
(b)若m=αβ,n=
γβ,則前面的結果可以得到什麼式子?
P
A
B C
B1C1
9
林信安老師編寫
(3)面積坐標: 設P為∆A1A2A3所在平面上一點,∆ABC表示三角形ABC的有向面積(規定頂點逆時針方向排列為正,否則為負或 0),
則 OP =∆PA2A3
∆A1A2A3 OA1+
∆PA3A1 ∆A1A2A3
OA2+∆PA1A2
∆A1A2A3 OA3。
[證明]:如右圖,設直線A1P與A2A3交於A/1,直線A2P與A1A3交於A/2
因為A3A/1A/1A2=
三角形PA3A/1面積三角形PA/1A2面積 =
三角形PA3A1面積三角形PA1A2面積
所以A3A/1=∆PA3A1∆PA1A2
A/1A2
同理A3A/2A/2A1=
三角形PA3A/2面積三角形PA/2A1面積 =
三角形PA3A2面積三角形PA1A2面積
所以A3A/2=∆PA3A2∆PA1A2
A/2A1
根據(2)推廣線段的定比分點的結果
⇒OP =∆PA2A3
∆A1A2A3 OA1+
∆PA3A1 ∆A1A2A3
OA2+∆PA1A2
∆A1A2A3 OA3。
A1
A2 A3
P
A/1
A/2
在上述的結果中,∆A1A2A3稱為坐標三角形,對此三角形所在平面上的點P, 若∆PA2A3:∆PA3A1:∆PA1A2=a1:a2:a3,則稱(a1,a2,a3)為P點的面積坐標或重心坐標。 設P點的重心坐標為(a1,a2,a3),根據前面的結果,
可知 OP =a1
a1+a2+a3OA+a2
a1+a2+a3OB+a3
a1+a2+a3OC,此時令xi=ai
a1+a2+a3,i=1,2,3
故 OP =x1OA+x2OB+x3OC,且x1+x2+x3=1, 此時我們稱(x1,x2,x3)為P點(關於∆A1A2A3)的重心規範坐標。 [例題3] 設G、H、Q、I、IC分別代表∆ABC的重心、垂心、外心、內心和對著頂點C的傍心,
請求出它們關於∆ABC的面積坐標。 Ans:G(1,1,1)、H(tanA,tanB,tanC)、Q(sin2A,sin2B,sin2C)、I(sinA,sinB,sinC) IC(sinA,sinB,−sinC)
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(乙)距離與夾角: (1)兩點距離: d(A,B)=|AB|2 (2)點到直線的距離: 平面上點P到直線L的距離d(P,L)
當A∈L,→■n ⊥L,則d(P,L)=| AP .→■n |
|→■n |。
當A∈L,→■v //L,則d(P,L)=| AP×→■v |
|→■v |。
當A,B∈L,則d(P,L)=| PA × PB |
|AB|。
L A
P →■v
L A
P
L
B A
→■n
P (3)夾角:
設 a 、 b 的夾角為θ
sinθ=| a × b |
| a || b |,cosθ=
a . b
| a || b |,tanθ=
| a × b |
a . b。
(丙) 面積: (1)在直角坐標系中,設Ak(xk,yk),k=1,2,3,
則三角形A1A2A3的有向面積∆A1A2A3=12
111
33
22
11
yxyxyx
。
(2)三角形A1A2A3的面積=12|A1A2×A1A3|
11
林信安老師編寫
[例題4] 設平面上三點P1、P2、P3關於∆A1A2A3的重心規範坐標為Pk(ak1,ak2,ak3),k=1,2,3
則三角形P1P2P3與坐標三角形的有向面積之比為∆P1P2P3∆A1A2A3
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
。
(丁)共線點與共點線: (1)三點共線: A、B、C三點共線的充要條件是 |AB.AC|=|AB||AC|
⇔AB×AC= 0 ⇔AB=tAC
⇔αOA+βOB+γOC= 0 (α,β,AB.AC不全為 0,且α+β+γ=0) (2)設平面上三點P1、P2、P3關於∆A1A2A3的重心坐標為Pk(ak1,ak2,ak3),k=1,2,3
則此三點共線的充要條件是
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
=0。
(3)三線共點: (a)重心的直線方程式: 設L為坐標三角形A1A2A3所在平面上的一條直線,過三頂點引平行線A1B1、A2B2、A3B3分別交L於B1、B2、B3,若有向線段比 11BA : 22 BA : 33BA =a1:a2:a3,
則L的方程式可表為a1x1+a2x2+a3x3=0,其中(x1,x2,x3)為動點P的重心坐標。 [證明]: 設L與直線A1A3、A1A2交於C2、C3,因為有向線段比 11BA : 22 BA : 33BA =a1:a2:a3
所以A1C2=(−a1a3)C2A3,A1C3=(−
a1a2)C3A2,於是根據分點公式得
12
林信安老師編寫
OC2=a3
a3−a1OA1+
−a1a3−a1
OA3,OC3=a2
a2−a1OA1+
−a1a2−a1
OA2
在根據P、C2、C3三點共線可得
00
12
13
321
aaaa
xxx
−− =0,化簡可得a1x1+a2x2+a3x3=0。
(b)在重心坐標平面上,設互不平行的三直線L1、L2、L3的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0
k=1,2,3,則三直線L1、L2、L3交於一點的充要條件是
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
。
A1
A2 A3
B1 B2 B3C2
C3
L
(戊)共圓點: 設P點關於坐標∆A1A2A3的重心坐標為(µ1, µ2, µ3),重心規範坐標為(λ1, λ2, λ3) 則P在∆A1A2A3的外接圓上的充要條件是 µ1⋅µ2|OA1−OA2|2+µ2⋅µ3|OA2−OA3|2+µ3⋅µ1|OA3−OA1|2=0 或| OP |2=λ1|OA1|2+λ2|OA2|2+ λ3|OA3|2 (其中O為∆A1A2A3的外心) [證明]: 如圖,O為∆A1A2A3的外心,R為外接圓半徑 因為 OP =λ1OA1+λ2OA2+ λ3OA3 所以 | OP |2 =R2[λ12+λ22+λ32+2(λ1λ2cos∠A1OA2+λ2λ3cos∠A2OA3+λ3λ1cos∠A3OA1)] =R2[1−2(λ1λ2+λ2λ3+λ3λ1)+2(λ1λ2cos2A3+λ2λ3cos2A1+λ3λ1cos2A2)] =R2[1−4(λ1λ2sin2A3+λ2λ3sin2A1+λ3λ1sin2A2)] P在P在∆A1A2A3的外接圓上 ⇔| OP |2=R2 ⇔(λ1λ2sin2A3+λ2λ3sin2A1+λ3λ1sin2A2)=0 ⇔ λ1λ2|A1A2|2+λ2λ3|A2A3|2+λ3λ1|A3A1|2=0 ⇔ µ1⋅µ2|OA1−OA2|2+µ2⋅µ3|OA2−OA3|2+µ3⋅µ1|OA3−OA1|2=0 ⇔| OP |2=λ1|OA1|2+λ2|OA2|2+ λ3|OA3|2
O
P
A1
A3
A2
13
林信安老師編寫
練習題
1. 設O、A、B三點不共線,三角形P1P2P3各頂點關於O的位置向量為
OPk=akOA+bkOB(k=1,2,3),則∆P1P2P3=111
33
22
11
bababa
∆OAB。
2. n邊形P1P2…..Pn(凸的或凹的)的面積S=12|∑
−
=
1
2
n
kP1Pk×P1Pk+1|=
12|∑
=
n
k 1OPk×OPk+1|
(其中Pn+1=P1) (可用數學歸納法去證明)
3. 設O、A、B三點不共線,平面上三點P1P2P3關於O的位置向量為
OPk=akOA+bkOB(k=1,2,3),則三點P1P2P3共線的出要條件是111
33
22
11
bababa
=0。
4. 若n個點P1、P2、…、Pn共線,
則OP1×OP2+OP2×OP3+…+OPn−1×OPn+OPn×OP1= 0 (可用數學歸納法去證明)
5. 已知直線AB、A/B/交於O,直線AB/、A/B交於N,OA=x1 e1 ,OB=x2 e2 ,
OA/=y1 e2 ,OB/=y2 e1 ,求證:ON=1
x1y1−x2y2[x1x2(y1−y2) e1 +y1y2(x1−x2) e2 ]。
6. 設AB、CD的夾角為θ,證明:cosθ=|AD|2+|BC |2−|AC|2−|BD|2
2|AB||CD|。
7. 設A/、B/、C/各在共點三直線OA、OB、OC上,並且OA=αOA/,OB=βOB/,OC=γOC1, 求證:A/、B/、C/三點共線的充要條件是α⋅∆OBC+β⋅∆OCA+γ⋅∆OAB=0。 特別的是,當A、B、C三點共線時,
則A/、B/、C/三點共線的充要條件是αBC+βCA+γAB= 0 。
8. 在重心坐標平面上,設兩相交直線L1、L2的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0 (k=1,2)
求證:L1、L2的交點的重心坐標為(2322
1312
aaaa
,2123
1113
aaaa
,2221
1211
aaaa
)。
14
林信安老師編寫
叁、用向量證明幾何問題 前面介紹了幾何向量的基本知識與性質,並且可以用向量來對幾何關係做轉換,接下來就幾種幾何問題,我們利用向量方法來證明一些幾何命題。 在證明幾何問題時,首先要學好幾何向量的基礎知識,熟悉並掌握各種運算規則;其次要掌握好各種幾何關係的向量表示,以便順利轉換幾何命題與向量關係,最後還要熟悉各類
幾何問題的一般證明方法,才能靈活的加以應用。 (甲)線段的相等、不等與比例關係: [例題5] 對於四邊形ABCD的對角線的交點O引一截線交直線AB、CD於P、P/,交直線BC、
AD於Q、Q/,求證:若⎯OP=
⎯OP/,則
⎯OQ=
⎯OQ/。
[分析]:建立基底,引入參數,再利用這些參數證明結果。 以O為原點,OA、OB為基底,再令OC=λOA、OD=µOB OP =αOA+βOB(α+β=1),再利用 OP =−OP/,將OP/用OA、OB來表示, 令OQ=x OP ,OQ/=x/OP/,將x、x/用這些參數來表示,再證明x=x/。
O
A
B C
D
PP/
Q
Q/
15
林信安老師編寫
[例題6] 在四邊形ABCD中,∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3:4:1,點M、N分別在⎯AC;
⎯CD上,滿足AM:AC=CN:CD,並且B、M、N三點共線,求證:M與N分別是
⎯AC
與⎯CD的中點。
[分析]:
解法一:取B點為原點O,可令AMAC=
CNCD=λ
OM=(1−λ)OA+λOC,ON=(1−λ)OC+λOD
又由B(O)、M、N三點共線得 0 =OM×ON 再配合∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3:4:1
求λ=12。
解法二:以∆ACD為坐標三角形,設AMAC=
CNCD=λ>0
⇒OM=(1−λ)OA+λOC,ON=(1−λ)OC+λOD 故可得M、N的重心坐標為M(1−λ,λ,0)、N(0, 1−λ,λ) ∆ABD、∆BCD、∆ABC的面積比是 3:4:1⇒B(4,3,−1)
再利用B、M、N三點共線,所以可得λ=12。
N
MA
B
C
D
[例題7] 從圓外一點P引兩條切線PT1、PT2,又引割線交圓於X1、X2,交⎯T1T2於T點,求證
PX1、PT、PX2成調和數列,即1
PX1+1
PX2=2
PT。
[分析]:
取 1PX 的單位向量 e ,射線 1PX 上的任一點X
,令|PX|=x,則 PX =x e ,故可令PXi=xi e ,i=1,2
再證明1x1 +
1x2 =
2PT。
16
林信安老師編寫
T
OP
T1
T2
X2
X1
[例題8] ∆ABC中AD、BE、CF是三條中線,R為外接圓半徑。求證:
(1)AB2+BC2+CA2≤9R2 (2)AD+BE+CF≤92R。
[證明]:
[例題9] 設Q、R為∆ABC的外接圓圓心和半徑,I、r為∆ABC的內切圓圓心和半徑, 求證:(1)a⋅IA2+b⋅IB2+c⋅IC2=abc。(2)IQ2=R2−2Rr。 [分析]:
(1)取I為原點,再利用a I A +b I B +c I C = 0 ,證明a| I A |2+b| I B |2+c| I C |2=abc。 (2)證明a|QA|2+b2|QB|2+c2|QC|2 = a| I A |2+b| I B |2+c| I C |2+(a+b+c)| IQ |2−2 IQ .(a I A +b I B +c I C )
17
林信安老師編寫
IQ
A
B
C
(乙)面積關係:
[例題10] 在∆ABC的三邊BC、CA、AB上各取一點A1、B1、C1,使得BA1A1C=
CB1B1A=
AC1C1B=λ。設
直線AA1、BB1、CC1交成∆A2B2C2,求證:ABC
CBA
SS
∆
∆ 222 =(λ−1)2
λ2+λ+1。
[分析]:考慮使用關於∆ABC的重心坐標,去求A2、B2、C2、的坐標再求ABC
CBA
SS
∆
∆ 222 。
A
B CA1
B1
C1
B2
A2C2
18
林信安老師編寫
[例題11] 銳角∆ABC頂點A的內角分角線交⎯BC於L,交三角形外接圓於N,過L分別做AB和
AC邊的垂線LK和LM,垂足是K和M,求證:四邊形AKNM和∆ABC的面積相等。 [分析]:設A為原點(O)
令 e1 =OK、 e2 =OM為基底,依題設可知| e1 |=| e2 |
再令OB=b e1 、OC=c e2 ,ON=n( e1 + e2 ) 計算四邊形AKNM的面積與∆ABC的面積 再根據LK⊥AB與NB=NC, 證明四邊形AKNM和∆ABC的面積相等。
K
M
L
N
A
B C
(丙)點共線、線共點與點共圓: [例題12] 證明Menelaus定理:設點A1、B1、C1分別在∆ABC的三邊BC、CA、AB或其延
長線上,且BC
AC
1
1 =λ1,CA
BA
1
1 =λ2,AB
CB
1
1 =λ3,則A1、B1、C1三點共線的充要條件是
λ1λ2λ3=−1。
19
林信安老師編寫
B
A
C A1
C1
B1
[例題13] 證明:牛頓線定理:圓外切四邊形ABCD兩對角線AC、BD的中點M、N與內切圓圓心O共線(此線稱為牛頓線)。 [分析]: 取O為原點,利用AB+CD=BC+DA 可得S∆OAB+S∆OCD=S∆OBC+S∆ODA 再利用|OA×OB|+|OC×OD|=|OB×OC|+|OD×OA| ⇒OA×OB+OC×OD=OB×OC+OD×OA
最後證明:OM×ON= 0
N
M
B
D
O
A
C
20
林信安老師編寫
[例題14] 證明Ceva定理:設點A1、B1、C1分別在∆ABC的三邊BC、CA、AB或其延
長線上,且BC
AC
1
1 =λ1,CA
BA
1
1 =λ2,AB
CB
1
1 =λ3,則互不平行的三直線AA1、BB1、CC1共
點的充要條件是λ1λ2λ3=1。
B
A
C
C1
A1
B1
[例題15] 在∆ABC中,AB≠AC,L與L/分別是∠A的內外角平分線,B/、C/為B、C在L上的投影點,求證:L/、BC/、CB/三線共點。 [分析]:取∆ABC作為重心坐標的三角形,求出L/、BC/、CB/的方程式。
L
L/
P
A
B C
C/
B/
21
林信安老師編寫
[例題16] 已知四邊形A1A2A3A4內接於圓O,三角形A2A3A4、A3A4A1、A4A1A2、A1A2A3的重心分別是G1、G2、G3、G4,求證:G1、G2、G3、G4四點共圓。 [分析]: 利用重心的向量表示,再配合 四點共圓的條件。
G3
G2
G1 G4
O
A1
A2
A3
A4
22
林信安老師編寫
練習題 1. 設 E 是∠AOB 的平分線上一點,C、D 分別在邊 OA、OB 上,且 AD//EB,BC//EA,
求證:⎯AC=
⎯BD。
2. 證明:Steiner−Lehmus 定理:在∆ABC 中,∠B 與∠C 的平分線 BD 與 CE 相等,則⎯AB=
⎯AC。
3. 求證:在四邊形ABCD中,有 (1)(AB+CD)2+(AD+BC)2≥2(AC2+BD2) (2)AB2+BC2+CD2+DA2≥AC2+BD2。
4. 過∆ABC 的內心 I 做一截線分別交⎯AB、
⎯AC於 E、F 兩點,
求證:c
a+b≤EIIF≤
a+cb 。
5. 在∆ABC 中,E、F 是⎯AB的三等分點,中線
⎯AD與
⎯CE、
⎯CF 分別交於 M、N,
求證:AM:MN:ND=5:3:2。
6. 過平行四邊形的頂點 A 做一圓交⎯AB、
⎯AC、
⎯AD於 E、G、F,
求證:AC⋅AG=AB⋅AE+AD⋅AF。
7. 設P點為∆ABC內切圓上任一點,求證:a⋅PA2+b⋅PB2+c⋅PC2為定值。
8. 設O、H、IC各為∆ABC的外心、垂心、傍心,R、rC是外接圓和傍切圓的半徑,求證: (1)OH2=9R2−(AB2+BC2+CA2) (2)OIC2=R2+2RrC。
9. 已知六邊形ABCDEF的三雙對邊互相平行,求證:S∆BDF=S∆ACE。
10. 已知 D、E 各在∆ABC 的⎯AC、
⎯BC邊上,且 DE//AB,
求證:1
S∆AED=
1S∆AEC
+1
S∆ABE。
11. 求證:梯形兩腰延長線的交點 O,兩底的中點 M、N,兩對角線的交點 P,在一條直線上。
12. 設G、I是∆ABC的重心與內心,I/是以∆ABC各邊中點為頂點的∆A/B/C/的內心, 求證G、I、I/三點共線。
13. 設∆ABC 的內切圓 I 與⎯BC切於 D,
⎯AD、
⎯BC的中點是 E、F,求證:E、F、I 三點共線。
14. 圓I內切於∆ABC,並切BC、CA、AB於A1、B1、C1,又M為⎯BC的中點,
求證:AM、B1C1、A1I三線共點。
15. 兩直線相交於 O,在其中一條上取 A、B、C 三點,使得 OA=AB=BC,在另一條直線上取 L、M、N 三點,使得 LO=OM=M,求證:AL、BN、CM 三線共點。
16. 已知四邊形P1P2P3P4內切於圓O,三角形P2P3P4、P3P4P1、P4P1P2、P1P2P3的垂心分別是H1、H2、H3、H4,求證:H1、H2、H3、H4四點共圓。
23
設O、A、B三點不共線,三角形P1P2P3各頂點關於O的位置向量為�=ak+�n邊形P1P2…..Pn\(凸的或凹的\)的面積S=|\(|=|\(|��設O、A、B三點不共線,平面上三點P1P2P3關於O的位置向量為�=ak+bk(k=1,2,3),則三點P1P2P3共線若n個點P1、P2、…、Pn共線,�則\(+\(+…+\(+\(=�\�已知直線AB、A/B/交於O,直線AB/、A/B交於N,=x1,=x2,�=�設、的夾角為\(,證明:cos\(=。設A/、B/、C/各在共點三直線OA、OB、OC上,並且=\(,=\(,=在重心坐標平面上,設兩相交直線L1、L2的方程式為ak1x1+ak2x2+ak3x3=0 (k=1,2)�求證:L1、L設E是\(AOB的平分線上一點,C、D分別在邊OA、OB上,且AD//EB,B證明:Steiner\(Lehmus定理:在\(ABC中,\(B與\(求證:在四邊形ABCD中,有�\(1\)\(AB+CD\)2+\(AD過\(ABC的內心I做一截線分別交、於E、F兩點,�求證:\(\(。在\(ABC中,E、F是的三等分點,中線與、分別交於M、N,�求證:AM:MN過平行四邊形的頂點A做一圓交、、於E、G、F,�求證:AC\(AG=AB\(設P點為\(ABC內切圓上任一點,求證:a\(PA2+b\(PB2+c\設O、H、IC各為\(ABC的外心、垂心、傍心,R、rC是外接圓和傍切圓的半徑,求已知六邊形ABCDEF的三雙對邊互相平行,求證:S\(BDF=S\(ACE。已知D、E各在\(ABC的、邊上,且DE//AB,�求證:= +。求證:梯形兩腰延長線的交點O,兩底的中點M、N,兩對角線的交點P,在一條直線上。設G、I是\(ABC的重心與內心,I/是以\(ABC各邊中點為頂點的\(設\(ABC的內切圓I與切於D,、的中點是E、F,求證:E、F、I三點共線。圓I內切於\(ABC,並切BC、CA、AB於A1、B1、C1,又M為的中點,��兩直線相交於O,在其中一條上取A、B、C三點,使得OA=AB=BC,在另一條直線上取L、M、N三點,使得LO=OM=M,已知四邊形P1P2P3P4內切於圓O,三角形P2P3P4、P3P4P1、P4P1P2、P1P2P3的垂心分別是H1、H2
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