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計量ファイナンス～計量ファイナンス分析の基本(3) ～
第3回： 10月20日（月）2時限
慶應義塾大学 総合政策学部
小暮厚之
＜本授業の資料はSFC-SFSの授業サイトにアップされています．＞
2
投資機会
リスク
期待リターン
3
投資機会の拡大：ポートフォリオ
4
ポートフォリオの期待リターンとリスク
5
ポートフォリオ収益率の期待リターンとリスク：例
6
リスク=期待リターン曲線
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
0 0.5 1 1.5 2 2.5
σ P
μ P
(σ1, μ1)
(σ2, μ2)
w<0 またはw>1の場合はどうなる？
7
ポートフォリオ収益率の確率分布：例
8
３つの資産に対する「リスク=期待リターン」マップ
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
σ P
μ P
（空売りを許さない場合）
σ P
μ P
9
効率的フロンティア
合理的な投資家は：リスクが同じならば，リターンが大きい資産を好むリターンが同一ならば，リスクが小さい資産を好む．
この結果，投資家のポートフォリオ選択は「効率的な」ポートフォリオのみに限定される．効率的フロンティア（曲線）に集約される．
効率的フロンティア曲線
10
効率的フロンティア曲線の形
上に凸の曲線！
11
安全資産を組み入れたら？
安全資産
危険資産
０
μp
σp
直線！w=1
w=0
w=危険資産への投資比率
0<w<1
w>1
12
接点ポートフォリオとシャープ比
σP
μP
RF
P*
リスク・フリー・レート
接点ポートフォリオ
接点ポートフォリオとは，「シャープ比=(期待リターン－フリーレート)／リスク」を最大にするポートフォリオ
この直線の傾きが接点ポートフォリオのシャープ比
13
分離定理
σP
μP
RF
P*
μ*
σ*
接線は効率的フロンティアの左上にあるから，投資家は，この接線上のいずれかのポートフォリオを選択する．
Tobin
14
マーケット・ポートフォリオ
15
資本市場直線
σP
μP
RF
M=P*
すべての投資家はこの直線上のポートフォリオを選ぶ
μM
σM
16
実際の「マーケット・ポートフォリオ」
マーケット・ポートフォリオとして，実際には何を用いたらよいか？
日経２２５？，ＴＯＰＩＸ？，それ以外？
株式市場のベンチマークとして，どれが相応しいか
17
問題！：宮川公男教授の質問
「日経平均は，現在（2002年3月29日）1万1024円94銭である．しかし２２５社中株価が1
万円を超えている企業はひとつもない．
なぜか？」
（東洋経済新報社「統計学でリスクに向きあう」）
18
日経平均＝株価の平均 ただし，額面が50円になるように調整
19
ＴＯＰＩＸ=株式の時価総額
問題点：１．流動性の低い株式も採用されている．２．過去の実現データから推定すると，接点ポートフォリオとは一致しない．
20
個別株式とマーケットポートフォリオ
マーケットに依存しない個別株式の固有リターン
マーケット・リターンに対する個別リターンの反応度
マーケット・リスクに対する感応度リスク
マーケットに依存しない個別株式の固有リスク
21
例：Russel/Nomura 日本株スタイルインデックス
22
システマティック・リスクと固有リスク
「大数の法則」により，株式数を増やせば，誤差項の平均はゼロに近づく
固有リスクは，多数の株式のポートフォリオ組成によって消去可能．マーケット・リスクこそが本質的なリスク＝システマティック・リスク
23
システマティック・リスク
εは消去可能なリスク
24
システマティック・リスク
保険や不動産の場合は?
25
Capital Asset Pricing Model
ρiは相関係数
超過期待リターンで考えると，「アルファ」は存在しない
26
証券市場直線（CAPM)
β
μ
RF
M
効率的な市場ではすべての資産はこの直線上
μM
1
CAPMの実証分析：ベータとアルファ
回帰分析とは？
ある変数の動きを別の変数（場合によっては複数）の動きによって記述し，評価することを目的とする．
動きを説明したい変数=ｙ
説明に用いる変数=x
Xが動いてyが動く
y x
従属変数 独立変数
被説明変数 説明変数
被予測変数 予測変数
単回帰
Yを説明する変数はxのみ
例：マーケット・モデルy=トヨタの収益率,
x=TOPIXの収益率
モデル
誤差項を含める理由
たとえ説明変数を複数に増やしても，現実にはモデル
には含まれない要因がある．
例えば，yがトヨタ株の収益率であれば，世の中の多種多様な情報がそれに影響を与える．
そもそもyに与える要因の中には，観測できないものや計測できないものがる．
例えば，テロ，台風，粉飾決済（イベントリスク）
いかにデータにモデルをフィットさせるか：推定
Y切片がα
傾きがβ
最小２乗法 (Ordinary Least Squares, OLS)
Tは観測値の個数
推定法
最小２乗法=モーメント法
最尤法=効率的な推定
一般化モーメント法
例：ヘッジファンド
年(t) ファンド jの超過収益率 マーケットの超過収益率
1 17.8 13.7
2 39.0 23.2
3 12.8 6.9
4 24.2 16.8
5 17.2 12.3
回帰直線:どこの誤差？
x
y
回帰直線:絶対値or２乗
x
y
OLSによる回帰直線
推定値をいかに用いるか
母集団と標本
母集団＝研究の対象の全体例えば，東証一部上場銘柄の全時系列データ
抽出
標本＝ランダムに抽出された観測値＝母集団を代表している
母集団標本
母集団回帰直線と標本回帰直線
回帰予測値：ｙのフィットされた値
残差：標本回帰直線の誤差
注意！：誤差項を含む
通常の線形回帰モデルの仮定
OLS推定量の性質
分散が小さい
分散が大きい
β
OLS推定量の分散
分散が小さくなるのは：
1.誤差分散が小さ2.xの分散が大きい
分散が小さくなるのは：
1.誤差分散が小さ2.xの分散が大きい3.xの平均が小さい
誤差分散の推定
統計的推測（検定）入門
統計的推測（検定）入門
統計的推測（検定）入門
t分布と正規分布
t分布は自由度というパラメータを持つ
自由度が大きくなると標準正規分布に近づく
N(0,1)
自由度1
自由度10
統計的推測（検定）入門（続き）
統計的推測（検定）入門（両側検定）
2.5%棄却域 2.5%棄却域95%非棄却域
-1.999=t(0.025) +1.999=1-0.025
統計的推測（検定）入門（片側検定）
5%棄却域
95%非棄却域
-1.670=t(0.05)
仮説検定の考え方
P値（片側検定の場合）
5%棄却域 95%非棄却域
-1.670 Ｔ値=-1.098
P値=0.138
P値
例：投資信託はマーケットに勝るか？
投信のアルファとベータ
アルファのｔ値のヒストグラム手数料を考慮しない場合
手数料を考慮する場合
例：Russel/Nomura 日本株スタイルインデックス
Rによる回帰分析
Rによる回帰分析のアウトプット
用語 意味
residuals 残差
coefficients 回帰係数（αとβ）
estimate 推定値
Std error. 標準誤差
t value t値
Pr(>|t|) Ｐ値
Signf. codes 帰無仮説を棄却できる有意水準の値
Residual standard error 残差標準誤差=s
degrees of freedom 自由度
Multiple R-squared 重相関係数，R２乗
次回10月27日（月)は，金融データベースの利用とＲのインストールを行います．
（１）次回から毎回パソコンを持ってくること．（２）Ｒの最新ファイル「R-2.7.2-win32.exe」（約31メガバイト）を自分のパソコンの適当な場所（デスクトップなど）あるいはUSBメモリー（ITCのパソコンを使う人）にダウロードしておくこと．
「R-2.7.2-win32.exe」の入手先（１）Ｒの筑波大サイトhttp://cran.md.tsukuba.ac.jp/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe
（2）東大サイトftp://ftp.ecc.u-tokyo.ac.jp/CRAN/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe
(3) 会津大サイトftp://ftp.u-aizu.ac.jp/pub/lang/R/CRAN/bin/windows/base/old/2.7.2/R-2.7.2-win32.exe
（4）授業サイトhttp://web.sfc.keio.ac.jp/~kogure/soft/R/R-2.7.2-win32.exe
Rのファイルのダウンロードの方法
（１）インターネットエクスプローラー(IE)等のブラウザーを起動
（２）メニューバーにある「ファイル」から「開く」を選択
（３）「ファイルを開く」という名称の窓が開くので，そこにＲのファイルのアドレス，たとえば
http://cran.md.tsukuba.ac.jp/bin/windows/base/R-2.7.2-win32.exe
をタイプ
（４）「このファイルを実行または保存しますか」という名称の窓が開くので，「保存」を選択．
（５）「名前を付けて保存」という名称の窓が開くので，「保存する場所」をデスクトップやＵＳＢメモリー （ITCのパソコンを使う人）など適当な場所に選択し，「保存」をクリック
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付録：危険資産と安全資産の組み合わせ
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