View
223
Download
2
Category
Preview:
Citation preview
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 1 -
EJERCICIOS DE EXAMEN DE C�LCULO INTEGRAL2� bachillerato
A continuaci�n se presentan un conjunto de ejercicios de examen de c�lculo integral correspondiente a la asignatura de matem�ticas I de 2� de bachillerato. La correcci�n est� en las p�ginas siguientes.
1�) Encuentra la funci�n primitiva de 2x3x
x)x(f
2
2
que vale 2 en x = 0.
2�) Calcula:
2
0
3 dxxsen
3�) Calcula:
2
02 4xdx
4�) Calcula:
1
0
x2 dxex
5�) Calcula el �rea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
6�) El rect�ngulo de v�rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el �rea de los dos recintos.
7�) Calcula el valor de A si el �rea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0.
8�) Define suma superior y suma inferior de una funci�n en un intervalo y correspondiente a una partici�n. Apl�calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
RESOLUCIÄNAl principio de cada soluci�n hay unas pistas. Si no sabes c�mo empezar cons�ltalas pero ten en cuenta que eso significa que tienes a�n mucho por estudiar y aprender.Si ya has hecho el ejercicio, es el momento de comprobarlos consultando las respuestas.
1�) Encuentra la funci�n primitiva de 2x3x
x)x(f
2
2
que vale 2 en x = 0.
Se trata de una funci�n que es un cociente de polinomios. Como el grado del numerador es igual al del denominador, primero se efect�a la divisi�n y se aplica la relaci�n que dice que el esa divisi�n es igual al cociente m�s el resto entre el divisor.
A continuaci�n quedar� un fracci�n que habr� que descomponer en otras m�s simples para que su funci�n primitiva sea de tipo logaritmo neperiano.Para terminar habr�a que aplicar el teorema fundamental del c�lculo (Regla de Barrow)
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 2 -
Se efect�a la divisi�n x2 : (x2 + 3x + 2). El cociente es 1 y el resto (-3x-2).
Por lo tanto: 2x3x
2x31
2x3xx
22
2
x2 + 3x + 2 = 0 ]
1x
2x
213
2893
x2
1
2x3x
2x31x2x
2xB1xA1x
B)2x(
A2x3x
2x322
Para X = -1 -1 = B
Para x = - 2 -4 = -A ; A = 4
dx1x
1dx
2x4
dx2x3x
2x3As�
2
La integral pedida ser�: (observa que se ha cambiado el signo del resto, por eso se ha indicado con un signo menos
C1xLn2xLn4xdx1x
1dx
2x4
dxI
Ahora aplicamos las condiciones del problema: para x = 0, I(x) = 2
2 = 0 – 4 . Ln 2 + Ln 1 + C C = 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3
I(x) = x – 4. Ln (x+2) + Ln (x+1) + 2 + 4 . Ln 4 – Ln 3
2�) Calcula:
2
0
3 dxxsen
Hay varios m�todos para calcular A y B. Uno de ellos es dar tantos valores a “x” como coeficientes haya. Se obtienen as� las ecuaciones suficientes para el c�lculo de A, B, ... Se procura elegir valores que faciliten el c�lculo.
Una integral se puede resolver de varias maneras. Un camino es el de convertir esta integral en inmediata, sabiendo que sen3x = sen2x . sen x.sen2x = 1 – cos2x
La integral resultante se dividir� en dos inmediatas, siendo una de ellas del tipo un.u’.Ya ves que conviene que tengas en la memoria las relaciones trigonom�tricas b�sicas.
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 3 -
dxxcosxsendxxsendxxcos1xsendxxsenI 223
C3
xcosxcos
2
32
32
31
1003
xcosxcos
2
0
2
3�) Calcula:
2
02 4xdx
Se comienza operando para obtener un “1” en vez del 4, para lo que dividimos entre “4” numerador y denominador.
8421
021
1arctg21
2x
arctg21
dx
2x
1
21
21
dx
2x
44
41
4xdx
2
0
2
0
2
2
0
2
02
4�) Calcula:
1
0
x2 dxex
x = u dx = du
e2x.dx = dv
ve
2
1dxe2
2
1dvdxe x2x2x2
1
0
x2x2
1
0
1
0
x2x2x2x2
1
0
x2 e41
e2x
dxe241
e2x
dxe21
e21
xdxex
= 4
1e41
4e
21
121
21
e21
21
xe21 22
x2
1
0
x2
Siempre que veas un x2 en el denominador fuera de una ra�z sumado a un n�mero y otro n�mero en el numerador, tienes que pensar que puede tratarse de un arcotangente. Para ello habr� que operar con constantes hasta llegar a la expresi�n de la integral inmediata.
Se trata de una t�pica integral por partes. En este caso es importante asignar correctamente qu� es lo que hay que derivar y qu� es lo que habr� que integrar de cada parte. Derivaremos “x”, porque si derivamos e2x la expresi�n no se va a simplificar.
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 4 -
5�) Calcula el �rea limitada por f(x) = x2, g(x) = 2x2 y h(x) = 2x
2x
0x02xx0x2xx2x
x2)x(h
x)x(f
2
1222
1x
0x1xx2x2x2
x2)x(h
x2)x(g
2
122
2
1
0
1
0
32
1
0
221 u
3
1
3
xdxxdxxx2A
2
2
1
322
1
22 u
32
31
138
43x
2x2
dxxx2A
A = 221 u1
3
2
3
1AA
6�) El rect�ngulo de v�rtices A(0,0), B (A, 0), C (A, -A2) y D (0, -A2) queda dividido en dos partes por f(x) = x2 – Ax. Haz un dibujo y calcula el �rea de los dos recintos.
Hagamos unos c�lculos previos para poder representar la gr�fica de la par�bola.
M�nimo de f(x)
f’(x) = 2x – A = 0 ; x = A/2 ; 2A
2A
4A
2Af
222
En estos ejercicios es fundamental hacer la representaci�n gr�fica. Para ello hay que calcular los puntos de corte que tendr�n mucho que ver con los l�mites de integraci�n.
En este caso, el �rea resultante habr� que obtenerla calculando �reas parciales y luego operando con ellas para conseguir la superficie pedida.
De nuevo la representaci�n gr�fica es imprescindible y habr� que hacerla en funci�n del par�metro A. No ser� exacta pero si posible. Te recuerdo que cuando una funci�n polin�mica de segundo grado tiene el coeficiente de “x2” > 0, sus ramas est�n hacia arriba. Si es <0, sus ramas estar�n hacia abajo.
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 5 -
Cortes con los ejes (y = 0)
Ax
0xAxxAxx0
2
12
6A
6A3A2
2A
3A
2Ax
3x
Axx0S
33333
A
0
232
1
Como S es un rect�ngulo, para calcular S2 sustraemosS1 al �rea total del rect�ngulo.
Este �rea ser�: S = A . A2 = A3
S = S1 + S2 ; S2 = S – S1 = 233
3 u6A5
6A
A
Seg�n el profesor, igual te pide que S2 lo obtengas tambi�n mediante c�lculo integral. En ese caso:
cqd6A5
6A6A3A2
0A2A
3A
xA2x
A3x
dxAAxxS
3333
333A
0
223
222
7�) Calcula el valor de A si el �rea comprendida entre f(x) = 2x – x2 y g(x) = Ax, vale 1/6, siendo A > 0.
Vamos a hacer los c�lculos previos para conseguir la aproximaci�n gr�fica.
M�ximo de f(x): f’(x) = 2 – 2x = 0 ;
1x
0x0x12
2
1 ; f(1) = 1 ; M (1, 1)
Cortes con OX: f(x) = 0 2x – x2 = 0
2x
0x0x2x
2
1
De nuevo hay que hacer la gr�fica, s�lo que en este caso es abierta ya que depende del par�metro A. Esto significa que haremos una representaci�n gr�fica posible pero puede que no sea la exacta. Esto no debe preocuparte ya que cuando conozcas el par�metro A podr�s hacer la representaci�n correcta.
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 6 -
Cortes con g(x):
Axy
xx2y 2
Ax =2x – x2
0 = x . (2 – A) – x2
A2x
0xxA2x0
2
1
Por lo tanto, el �rea amarilla pedida ser�:
07A12A6A61
68A12A6A
6A4AA4A8A28
6A2
A4A46
A3A246A4A4
2A
3A2
1A20
2A
3x
1x2x
A3x
x2x
A3x
2x2
dxAxxx2
2323232
222
0
A2
2
0
A2
232
0
A2
2320
A2
2
1 -6 12 -71 1 -5 7
1 -5 7 0 . Por lo tanto A = 1
Se resuelve: x2 - 5x + 7 = 0 ; 2
28255x ... soluciones imaginarias.
La gr�fica corregida es:
Habr�s observado que he puesto como valor del �rea -1/6 y no 1/6. Eso es debido a que tal y como he planteado el dibujo el �rea queda por debajo del eje OX. El dibujo provisional tambi�n ha condicionado el orden de los l�mites de integraci�n.
�C�mo resolver la ecuaci�n de tercer grado?. En primer lugar no asustarse, y en segundo aplicar Ruffini.
PROFESOR JANO MATEMÄTICASprofesorjano@gmail.com – 668805224 Prof. VÄCTOR M. VITORIA
Bachillerato - Universidad
C�LCULO INTEGRAL Ej. ex�menes – 2� bach. - 7 -
8�) Define suma superior y suma inferior de una funci�n en un intervalo y correspondiente a una partici�n. Apl�calo a f(x) = x2 – 4 en [-3, 2] para P = {-3, -1, 1, 2}.
[ -3,2] para P = { -3, -1, 1, 2 }
Hallamos el M�ximo y el m�nimo para cada partici�n o subintervalo, fij�ndonos en la gr�fica:
[-3,1] M�x = 5 ; m�n = -3 Suma superior = la suma de los rect�ngulos de base
[-1,1] M�x = -3 ; m�n = -4 la longitud del intervalo y de
[1, 2] M�x = 0 ; m�n = -3 altura el M�ximo
Suma inferior = las alturas el m�nimo
Suma superior = 2.5 + 2.(-3) + 1.0 = 4
Suma inferiror = 2.(-3) + 2.(-4) + 1.(-3) = -17
La definici�n de suma superior e inferior la puedes encontrar en cualquier libro de texto o en internet.
Recommended