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8/6/2019 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N 3
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UNIVERSITARIA AGUSTINIANA
ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS
EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N 3.
1. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de lasrecta 3x 2y + 10 = 0 y 4x + 3y 7 = 0 y por el punto (2, 1).
Rta:
Para encontrar el punto de intercepcin de las dos rectas las igualamos yencontramos los valores de cada variable, as:
0175
07341023
7341023
0734
01023
yx
yxyx
yxyx
yx
yx
Despejamos una variable:
175
0175
yx
yx
Reemplazamos dicha variable en la primera ecuacin:
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ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS
17
61
611706117
010251150102)175(3
17501023
y
yy
yyyy
yxyx
Ahora reemplazamos el valor de yen la primera ecuacin para encontrar el
valor de la otra variable:
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ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS
17
16
3
1
17
48
17
483
017
483010
17
1223
01017
6123
17
6101023
x
xx
xx
x
yyx
Entonces el punto de intercepcin de las dos rectas es:
17
61,
17
16
17
61
17
16
P
yx
La ecuacin de la recta es:
bmxy
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ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS
Hallamos la pendiente m
2522
50
44
17
5017
44
17
162
17
611
1,217
61,
17
16
0
0
21
0
0
m
mmm
xx
yym
PPxx
yym
Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.
25
69
25
441
25
44
1)2(25
22
1
bb
bb
mxyb
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ORDEN DE AGUSTINOS RECOLETOS
Entonces la ecuacin de la recta que pasa por el punto de interseccin de lasrecta 3x 2y + 10 = 0 y 4x + 3y 7 = 0 y por el punto (2, 1) es:
25
69
25
22 xy
2. Hallar la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y cuya abscisa en el origen
es el doble de la ordenada en el origen.
Rta:
xy 2 La abscisa en el origen y la ordenada en el origen son cero.
)0,0()3,2(21 PP
La ecuacin de la recta es:
bmxy
Hallamos la pendiente m
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2
3
2
3
20
30
0,03,2 210
0
mm
m
PP
xx
yym
Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.
0)3(3
2
63)2(
2
33
bb
bb
mxyb
Entonces la ecuacin de la recta que pasa por (2,3) y cuya abscisa en el origen esel doble de la ordenada en el origen, es:
xy
2
3
3. Hallar la ecuacin de la recta:
a) Que pasa por (-4,3) y tiene pendiente .
b) Que pasa por (0,5) y m = -2
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Rta:
2)5,0(1 mP La ecuacin de la recta es:
bmxy Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.
5
05)0)(2(5
b
bbmxyb
Entonces la ecuacin de la recta que pasa por (-4,3) y tiene pendiente ., es:
52 xy
4. Hallar la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x + y 1 = 0 que
pasa por el punto de interseccin de 2x 5y + 3 = 0 y x 3y 7 = 0.
Rta:
Para encontrar el punto de intercepcin de las dos rectas las igualamos y
encontramos los valores de cada variable, as:
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0102
073352
73352073
0352
yx
yxyx
yxyxyx
yx
Despejamos una variable:
102
0102
yx
yx
Reemplazamos dicha variable en la primera ecuacin:
17017
035204
035)102(2
1020352
yy
yy
yy
yxyx
Ahora reemplazamos el valor de yen la primera ecuacin para encontrar el
valor de la otra variable:
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44
2
88882
08820385203)17(52
170352
x
xx
xxx
yyx
Entonces el punto de intercepcin de las dos rectas es:
17,441744
P
yx
La recta es perpendicular a la recta 4x + y 1 = 0, entonces hallamos la
pendiente de sta recta y hallamos la pendiente de su recta perpendicular:
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4
1
4
114
1414
014
2
22
211
m
mm
mmmxy
yx
La ecuacin de la recta es:
bmxy Ahora vamos a encontrar el punto de corte de la recta con el eje y.
6)11(17
4
4417)44(
4
117
17,44
bb
bb
Pmxyb
Entonces la ecuacin de la recta perpendicular a la recta 4x + y
1 = 0 que pasapor el punto de interseccin de 2x 5y + 3 = 0 y x 3y 7 = 0, es:
64
1 xy
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5. Hallar la ecuacin de la circunferencia:
a) De centro (3,-1) y R =5
b) De centro en el punto (4,-1) y pasa por (-1,3)
Rta:
a) De centro (3,-1) y R =5, la ecuacin cannica de la circunferencia es la
siguiente:
.),(
)()( 222
centrokh
rkyhx
25)1()3(
5)1()3(
5y)1,3(),(
)()(
22
222
222
yx
yx
rkh
rkyhx
La ecuacin de la circunferencia es: 25)1()3(22 yx
b) De centro en el punto (4,-1) y pasa por (-1,3), la ecuacin cannica de la
circunferencia es la siguiente:
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.),(
)()( 222
centrokh
rkyhx
Hallamos el valor del radio:
41
1625
)4()5()4(]14[
)31()]1(4[
2
2
222
222
222
r
r
rr
r
41)1()4(
41y)1,4(),(
)()(
22
2
222
yx
rkh
rkyhx
La ecuacin de la circunferencia es: 41)1()4( 22 yx
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6. Hallar la ecuacin de la elipse y dibujar la grfica:
a) Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vrtice en el punto (5,0).
b) Centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y semi eje menor 3.
Rta:
a) Centro en el origen, un foco en el punto (2,0) y un vrtice en el punto (5,0).
La ecuacin cannica de la elipse cuyo centro est en el origen, es la siguiente:
12
2
2
2
b
y
a
x
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21425
252'2
5'5
22
222222
bb
bcab
cc
aa
12125
1
22
2
2
2
2
yxb
y
a
x
La ecuacin de la elipse es:
12125
22
yx
Su grfica es:
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b) Centro en el origen, un foco en el punto (-4,0) y semi eje menor 3.
La ecuacin cannica de la elipse cuyo centro est en el origen, es la siguiente:
12
2
2
2
b
y
a
x
25169
43
4'4
3'3
22
222222
aa
acba
cc
bb
La ecuacin de la elipse es: 1925
22
yx
Su grfica es:
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8. Dada la ecuacin de la elipse 25x2 + 4y2 = 100. Determinar:
a) Centro. b) Vrtice c) Focos d) Extremos del eje menor e) Grafica
Rta:
a) Centro.
1254
100
100
100
4
100
25
100425
22
22
22
yx
yx
yx
La ecuacin de la elipse es:1
254
22
yx
).0,0(),(
15
)0(
2
)0(
1)()(
2
2
2
2
2
2
2
2
centrokh
yx
b
ky
a
hx
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Lo que nos indica que el centro est en el origen del plano cartesiano.
b) Vrtice.
242
aa
vrticea
Entonces un vrtice est en:
)0,2(
A
vrticeA
5252
bb
vrticeb
El otro vrtice est en:
)5,0(
B
vrticeB
c) Focos.
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e) Grafica
9. Hallar la ecuacin de la hiprbola cuyos vrtices son V1 (0,-2); V2 (0,2) y focos
F1 (0,-5) y F2 (0,5).
Rta:
De acuerdo a los datos suministrados vemos que los vrtices y los focos estnsobre el eje yporque la coordenada en xes cero, la ecuacin cannica de la
hiprbola cuyo centro est en el origen y tiene el eje transverso vertical, es la
siguiente:
12
2
2
2
b
x
a
y
Las coordenadas de los vrtices corresponden a:
),0( aV Las coordenadas de los focos corresponden a:
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),0( cF
5y2
)5,0(y)2,0( 22
ca
VV
Tenemos que hallar b.
bac 222
21
42525
2
2222
222
b
bb
acb
Con stos datos ya podemos escribir la ecuacin de la hiprbola que es la
siguiente:
1214
22
xy
10. Hallar las coordenadas de los focos y de los vrtices de cada una de las
siguientes hiprbolas:
a.1
1215
22
xy
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b.
1
254
22
xy
Rta:
a. De acuerdo a los datos suministrados vemos que los vrtices y los focos
estn sobre el eje y ya que no hay desfasamiento en x, es decir, la
hiprbola tiene centro en el origen de coordenadas cartesianas, la ecuacin
cannica de la hiprbola cuyo centro est en el origen y tiene el ejetransverso vertical, es la siguiente:
12
2
2
2
b
x
a
y
1
1215
22
xy
Las coordenadas de los vrtices corresponden a:
),0( aV Las coordenadas de los focos corresponden a:
),0( cF Tenemos los valores de ay b, luego nos falta averiguar c.
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27
271215
12y15
22
22
222
c
cc
ba
bac
Con stos datos ya podemos escribir las coordenadas de los focos y de los
vrtices que son las siguientes:
)15,0(
)15,0(
),0(
2
1
V
V
aV
)27,0(
)27,0(
),0(
2
1
F
F
cF
11. Hallar la ecuacin de una parbola con V (0,0) y abierta hacia la izquierda, si
pasa por (-5,7).
Rta:
De acuerdo a los datos suministrados vemos que el vrtice est en el origen del
plano cartesiano y si abre hacia la izquierda, la ecuacin cannica es la siguiente:
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Pxy 42
Como las ramas abren hacia la izquierda, el eje de simetra es horizontal, luego la
ecuacin es de la forma Pxy 42 : Para 0P . Como la curva pasa
por el punto (-5, 7), ste satisface la ecuacin. Entonces:
20
49
20
7720
207)5(47
4
22
22
2
PPP
PP
Pxy
Efectivamente vemos que 0P .
Por consiguiente la ecuacin es de la forma:
xyxy
xyPxy
5
49
20
196
)20
49(44
22
22
La ecuacin de una parbola con V (0,0) y abierta hacia la izquierda, si pasa por (-
5,7) es:
xy5
492
8/6/2019 EJERCICIOS RESUELTOS DE MATEMATICAS N 3
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12. Hallar la ecuacin de una parbola y de su directriz cuando V (4,-1) y F (4,5).
Rta:
De acuerdo a los datos suministrados vemos que el vrtice no est en el origen
del plano cartesiano y abre hacia la arriba ya que el eje de simetra est en x = 4y
la coordenada del fofo en las ordenadas es mayor que la coordenada en ese
mismo eje del vrtice, la ecuacin cannica para ste caso donde 0P y elvrtice no est en el origen, es la siguiente:
)(4)( 2 kyPhx
1y4
)1,4(
),(
kh
V
khV
Reemplazando en la ecuacin nos queda:
)1(4)4(
))1((4)4(
)(4)(
2
2
2
yPx
yPx
kyPhx
5
)5,4(),4(
P
FPF
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Reemplazamos a Pen la ecuacin cannica:
)1(20)4(
)1)(5(4)4()1(4)4(
2
2
2
yx
yxyPx
La ecuacin de una parbola es:
)1(20)4( 2 yx
Para hallar la directriz sabemos que la directriz yes:
5
y
Py
Entonces la directriz de sta parbola pasa por y = -5.
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