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Integrazione numerica

Elena Loli Piccolomini

Dipartimento di Matematicahttp://www.dm.unibo.it/~piccolom/

12 marzo 2012

Elena Loli Piccolomini (Dipartimento di Matematica http://www.dm.unibo.it/~piccolom/)Integrazione numerica 12 marzo 2012 1 / 51

Outline

1 Polinomi ortogonali

2 Formule di GaussCalcolo di nodi e pesi nelle formule di Gauss

3 Metodo di RombergMetodo di estrapolazioneMetodo di Romberg

4 Metodi di quadratura adattivaFormula di Simpson adattiva

Formule di Gauss

Assegnato l’intervallo chiuso e limitato [a, b], nelle formule diquadratura di Newton-Cotes i nodi xi sono prefissati equidistanti traloro. Con n parametri liberi (i pesi ai ), il grado della formulacorrispondente e, in generale, uguale a n − 1. I pesi ai sono calcolatiintegrando il corrispondente polinomio di interpolazione.

Se i nodi non sono prefissati, ci sono allora 2n parametri liberi chepossono essere determinati in modo che la formula abbia grado2n − 1.

Nelle formule di quadratura di Gauss sia i nodi che i pesi sonodeterminati in modo tale che la formula di quadratura abbia grado diprecisione piu elevato possibile (cioe 2n − 1).

I nodi e i pesi possono essere determinati con il metodo deicoefficienti indeterminati ma il sistema corrispondente e non lineare.

Alternativamente, i nodi e i pesi della formula di Gauss possono essereottenuti ricorrendo ai polinomi ortogonali.

Polinomi ortogonali

Sia ω(x) > 0 in [a, b] eccetto al piu in un numero finito di punti in cui e

nulla. Supponiamo che∫ ba ω(x)xkdx sia finito per k = 0, 1, 2, . . . e che

µ0 =∫ ba ω(x)dx > 0.

Si dice prodotto scalare tra due funzioni f (x) e g(x) in [a, b] rispetto allafunzione peso ω(x) la quantita

< f , g >=

aω(x)f (x)g(x)dx

Due funzioni f(x) e g(x) sono ortogonali rispetto alla funzione peso ω(x) in[a, b] se < f , g >= 0.

Teorema

La famiglia di polinomi monici ortogonali pn(x) = xn +∑n−1

0 aixi rispetto

alla funzione peso ω(x) in [a, b] e univocamente determinata dallaseguente formula di ricorrenza:

p0(x) = 1

p1(x) = x − ρ0pi+1(x) = (x − ρi )pi (x)− τipi−1(x), i = 1, 2, . . .

ρi =< xpi , pi >

< pi , pi >τi = δ2i =

< pi , pi >

< pi−1, pi−1 >i = 0, 1, 2, . . .

I polinomi p0(x), p1(x), . . . , pn(x) sono linearmente indipendenti su[a, b].

Ogni polinomio q(x) di grado minore o uguale a n si puo scriverecome combinazione lineare di essi:

q(x) = a0p0(x) + a1p1(x) + . . .+ anpn(x)

oveaj =

< q, pj >

< pj , pj >, j = 0, 1, . . . n

Di conseguenza < q, pn >= 0 se q(x) e un polinomio di grado minoredi n.

I polinomi p0(x), p1(x), . . . , pn(x) sono un sistema di Chebyshev. Cioep0(t1) . . . pn−1(t1)...

...p0(tn) . . . pn−1(tn)

e non singolare comunque si prendano i punti t1, . . . , tn in [a, b]

Teorema

Dato pn(x) ortogonale monico di grado n rispetto ω(x) in [a, b], esso hanell’intervallo (a, b) n zeri reali distinti.

Formule di Gauss

Nelle formule di quadratura di tipo interpolatorio i nodi x1, . . . , xnsono punti distinti in [a, b] prefissati. Le formule hanno grado diprecisione al piu n − 1.

Si vogliono derivare nuove formule di quadratura con grado diprecisione piu alto possibile, scegliendo x1, . . . , xnin modo che questosia possibile.

Se x1, . . . , xn sono distinti, allora il resto di una formula di quadraturavale

E [f ] =

aω(x)(x − x1) . . . (x − xn)f [x1, . . . , xn; x ]dx

Poiche per polinomi di grado minore o uguale a n − 1f [x1, x2, . . . xn; x ] = 0, si ha che comunque si scelgano n punti distintiil grado di precisione vale n − 1.

Per polinomi di grado r + n − 1, f [x1, x2, . . . , xn; x ] e un polinomio digrado r − 1. Pertanto perche la formula di quadratura abbia grado diaccuratezza superiore a n − 1 occorre che∫ b

aω(x)(x − x1) . . . (x − xn)x r−1dx = 0, r = 1, 2, . . .

Se x1, . . . , xn sono gli zeri di un polinomio pn(x) monico di grado nortogonale rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b], allora la condizioneprecedente esprime il fatto che x r−1 deve essere ortogonale a pn(x).

Infatti x r−1 e sempre esprimibile come combinazione lineare dipolinomi ortogonali rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b] di gradominore o uguale a r − 1.

Pertanto ∫ b

aω(x)pn(x)x r−1dx = 0

per r = 1, . . . , n.

Allora se x1, . . . , xn sono gli zeri di un polinomio pn(x) monico digrado n ortogonale rispetto la funzione peso ω(x) in [a, b], segue chela formula di quadratura interpolatoria basata su x1, . . . , xn (che sonodistinti) diventa di grado 2n − 1, perche per r = 1, . . . , n, E [f ] = 0.

Su tale principio si basano le formule di Gauss.

Teorema

Siano x1, . . . , xn gli zeri del polinomio monico di grado n ortogonale pn(x)nell’intervallo [a, b] rispetto alla funzione peso ω(x) e sia ω1, . . . , ωn lasoluzione del sistema non singolare di equazioni

n∑i=1

ωipk(xi ) =

{< p0, p0 >, se k = 0;0, se k = 1, . . . , n − 1.

Allora ωi > 0 per i = 1, . . . , n e la formula di quadratura

n∑i=1

ωi f (xi )

ha grado di precisione 2n − 1.

dimostrazione

Dati x1, . . . , xn zeri distinti di pn(x) si costruiscono i pesi di una formula diquadratura interpolatoria basata su tali punti che ha quindi grado diprecisione n − 1:

aω(x)Li (x)dx =

aω(x)

(x − xi )p′n(xi )dx

Poiche la formula e esatta per polinomi di grado minore o uguale di n − 1,si ha:

n∑i=1

ωipk(xi ) =

aω(x)pk(x)dx =

{< p0, p0 >, se k = 0;0, se k = 1, . . . , n − 1.

Poiche la matrice A = (ai ,k = pk(xi ) e non singolare, i wi sonounivocamente determinati.

Dato qs(x) polinomio di grado s, n ≤ s ≤ (2n − 1) vale

qs(x) = pn(x)qs−n(x) + r(x)

con r(x) polinomio di grado minore di n − 1. Allora qs(xi ) = r(xi ),i = 1, . . . , n. Inoltre∫ b

aω(x)qs(x)dx =

apn(x)qs−n(x)ω(x)dx +

aω(x)r(x)dx

= 0 +n∑

ω − ir(xi )dx =n∑

ωiqs(x)

dunque la formula e esatta per polinomi di grado al piu 2n − 1

Se p(x) = pn(x)2 = (x − x1)2 . . . (x − xn)2, vale∫ ba ω(x)pn(x)2dx > 0. ma∑n

i=1 ωipn(xi )2 = 0 dunque la formula non e esatta per polinomi di grado

n. Sia p(x) =(pn(x)x−xi

)2. Il grado del polinomio e 2n − 2. Dunque la

formula e esatta:

aω(x)

(pn(x)

x − xi

dx =n∑

(pn(x)

x − xi

n∑k=1

n∏j=1,j 6=i

(xk − xj)2 = ωi

n∏j=1,j 6=i

(xi − xj)2

Teorema

Se x1, . . . , xn sono distinti e ω1, . . . , ωn sono tali che la formula diquadratura ha grado di precisione 2n − 1, allora ωi sono soluzioni delsistema non singolare di equazioni

n∑i=1

ωipk(xi ) =

{< p0, p0 >, se k = 0;0, se k = 1, . . . , n − 1.

e gli xi sono zeri di un polinomio ortogonale rispetto a ω(x) in [a, b].

Teorema

Sia f ∈ C 2n[a, b]. Allora il resto R(f ) della formula di Gauss assumel’espressione ∫ b

aω(x)f (x)dx =

n∑i=1

ωi f (xi ) + R(f )

R(f ) =f (2n)(ξ)

aω(x)pn(x)2dx

Stabilita e convergenza

Le formule di quadratura di Gauss, essendo formule di quadraturainterpolatorie con pesi positivi, sono stabili e convergenti per ognif ∈ C [a, b].Infatti

αn =n∑

|ω(n)k | =

n∑i=1

ω(n)k =

aω(x)dx costante

Famiglie di formule di quadratura di Gauss

A seconda del tipo di funzione peso ω(x) e dell’intervallo [a, b] sonogenerate famiglie di formule di quadraturaPer passare ad intervalli di integrazione generici [α, β] si puo fare ilcambiamento di variabile da x ∈ [α, β] a t ∈ [a, b]:

t =(b − a)x + aβ − bα

β − α

Sono generate famiglie di formule di quadratura associate a polinomiortogonali classici.

[a, b] ω(x) famiglia di formule

[−1, 1] 1 Gauss-Legendre

[−1, 1] 1/√

1− x2 Gauss-Chebyshev[0,∞] e−x Gauss-Laguerre

[−∞,∞] e−x2

Gauss-Hermite

Polinomi di Legendre

I polinomi di Legendre Pn(x) sono polinomi ortogonali su [−1, 1] rispettoalla funzione peso w(x) = 1. Usualmente sono scalati in maniera da averePn(1) = 1 per ogni n.In questo caso essi soddisfano alla seguente formula ricorrente

P0(x) = 1, P1(x) = x

Pn+1 =2n + 1

n + 1xPn(x)− n

n + 1Pn−1(x), n ≥ 1

Polinomi di Chebyshev

I polinomi di Chebichev sono ortogonali rispetto alla funzione peso1/√

1− x2 nell’intervallo [−1, 1]; essi soddisfano alla seguente formularicorrente

T0(x) = 1, T1(x) = x

Tn+1(x) = 2xTn(x)− Tn−1(x), n ≥ 1

Calcolo di nodi e pesi nelle formule di Gauss

Consideriamo la formula di ricorrenza a tre termini

p0(x) = 1, p1(x) = x − ρ0pi+1(x) = (x − ρi )pi (x)− δ2i pi−1(x)

da cuiδ2i pi−1(x) + pi+1(x) + ρipi (x) = xpi (x)

Ricordando che τi = δ2i e dividendo ambo i membri per δ1δ2 . . . δi , si ha

δ2iδ1δ2 . . . δi

pi−1(x)+1

δ1δ2 . . . δipi+1(x)+

ρiδ1δ2 . . . δi

pi (x) =1

δ1δ2 . . . δixpi (x)

da cui si ha in forma matriciale

ρ0 δ1δ1 ρ1 δ20 δ2 ρ3 δ3

δn−1 ρn−1

p1(x)/δ1p2(x)/(δ1δ2)

...pn−1/(δ1 . . . δn−1)

p1(x)/δ1p2(x)/(δ1δ2)

...pn−1/(δ1 . . . δn−1)

000...

(δnpn(x))/(δ1 . . . δn)

Si puo dimostrare che:

Le radici xi , i = 1, . . . , n del polinomio ortogonale pn(x) sono gliautovalori della matrice tridiagonale A (metodo di bisezione, metodoQR)

Sia v (i) := (v(i)1 , . . . , v

(i)n )T l’autovettore di A corrispondente

all’autovalore xi .

Supponiamo che v (i) sia scalato in modo tale che

(v (i))T v (i) =

aω(x)dx

Allora, i pesi wi sono dati da

wi =(v(i)1

)2, i = 1, . . . , n

dove gli autovettori sono normalizzati in modo tale chevTi vi =< p0, p0 >

I valori dei nodi xi e dei pesi ωi sono stati tabulati con grandeaccuratezza per particolari famiglie di formule

Osservazione

Confrontando le varie regole di integrazione si ha che, a parita dicosto computazionale, la formula di Gauss da il risultato piu accurato

Nelle applicazioni pratiche, per raggiungere l’accuratezza prefissata, enecessario applicare la formula di Gauss per valori di n crescentifinche la differenza tra due approssimazioni successive diviene minoredi una tolleranza ε

Poiche i valori di f calcolati per un certo n non possono essereutilizzati per n + 1 il vantaggio delle formule di Gauss e perso neiconfronti con i metodo di estrapolazione

Un vantaggio delle formule di Gauss e quello di poter trattare conparticolari ω(x) anche gli integrali indefiniti

Esempio

∫ 1.51 exp(−x2)dx = 0.1093643.

[1, 1.5]→ [−1, 1], x → t = 4x − 5

Da x = t+54 , segue

∫ 1−1 exp(−((t + 5)/4)2)dt

Usando i polinomi di Legendre si ottiene con n = 2:∫ 1.5

1exp(−x2)dx =

−1exp(−((t + 5)/4)2)dt '

4(exp(−((0.5773502692 + 5)/4)2) + exp(−((−0.5773502692 + 5)/4)2)) =

0.1094003

con 2 valutazioni di funzione. Con n = 3 si ottiene 0.1093642 con 3valutazioni di funzioni.Con il metodo di Romberg occorre calcolare R3,3 = 0.1093643 con 5

valutazioni di funzioni.

n xi ωi

n = 2 0.5773502692 1-0.5773502692 1

n = 3 0.7745966692 0.55555 . . . 60. 0.88888 . . . 9

-0.7745966692 0.55555 . . . 6

Metodo di estrapolazione

In molti problemi, come ad esempio l’integrazione e la differenziazionenumerica, si calcola una approssimazione di una quantita incognita α0

che dipende dal passo di discretizzazione h.

Il valore incognito α0 e ottenuto al limite per h→ 0 ma il passo nonpuo essere preso arbitrariamente piccolo.

Sia T (h) l’approssimazione ottenuta per un passo h.

Se si calcola il valore di T per alcuni valori non nulli del passo h (disolito h e h/2) e se si conosce l’andamento teorico di T (h) perh→ 0, allora e possibile estrapolare, dai valori gia noti di T (h), unvalore approssimato di T (0).

Tale valore estrapolato e una approssimazione piu accurata dellagrandezza incognita.

Su tale idea si basa il metodo di estrapolazione di Richardson

Supponiamo che

T (h) = α0 + α1h + . . .+ αkhk + Rk+1(h) (1)

con |Rk+1(h)| ≤ Ck+1hk+1 e tale che i coefficienti α0, . . . , αk e Ck+1 siano

indipendenti da k .Riscrivendo la (1) per δh, 0 < δ < 1 (tipicamente δ = 1/2):

T (δh) = α0 + α1(δh) + . . .+ αk(δh)k + Rk+1(δh)

Consideriamo

T (h) =T (δh)− δT (h)

1− δ= α0 + α1h + . . .+ αkh

k + Rk+1(h)

αi = αiδi − δ1− δ

, i = 2, . . . , k

Rk+1(h) = [Rk+1(δh)− δRk+1(h)]/(1− δ)

Vale αi 6= 0⇔ αi 6= 0; dunque se α1 6= 0, T (h) e una approssimazione alprimo ordine di α0 e T (h) e una approssimazione almeno del secondoordine.

Piu in generale, se T (h) e una approssimazione di α0 di ordine p, allora laquantita

T (h) =T (δh)− δpT (h)

1− δp

e una approssimazione almeno di ordine p + 1.Procedendo per induzione si genera l’algoritmo di estrapolazione diRichardson.

Algoritmo di estrapolazione di Richardson

Fissati n ≥ 0, h > 0 e δ ∈ (0, 1) si costruiscono le successioni

Tm,0 = T (δmh), m = 0, . . . , n (2)

Tm,q+1 = (Tm,q − δq+1Tm−1,q)/(1− δq+1), (3)

q = 0, . . . , n − 1, m = q + 1, . . . , n (4)

In forma di tabella si ha:T0,0

T1,0 T1,1

T2,0 T2,1 T2,2

T3,0 T3,1 T3,2 T3,3

. . .Tn,0 Tn,1 Tn,2 Tn,3 . . . Tn,n

Convergenza

Teorema

Per ogni n ≥ 0 e δ ∈ (0, 1),

Tm,n = α0 + O(

(δmh)n+1), m = 0, . . . , n

Si ha quindi convergenza verso α0 di ciascuna colonna della tavola. Per la

prima colonna (n = 0) la convergenza e O(

(δmh))

mentre per l’ultima e

(δmh)n+1)

Metodo di Romberg

Il metodo di integrazione di Romberg consiste nell’applicazionedell’estrapolazione di Richardson alla formula composita del trapezio.

Formula di Eulero-Maclaurin

Teorema

Sia f ∈ C 2k+2[a, b] per k ≥ 0. Si approssimi α0 =∫ ba f (x)dx con la

formula del trapezio composita

T (h) =h

(f (a) + 2

m−1∑i=1

f (a + ih) + f (b)), h =

b − a

T (h) = α0 + α1h2 + . . .+ αkh

2k + τk+1h2k+2

af (x)dx

αi =B2i

(f (2i−1)(b)− f (2i−1)(a)

), i = 1, 2, . . . ,m

τk+1 =B2k+2

(2k + 2)!(b − a)f (2k+2)(ξ), ξ ∈ (a, b)

T (h) e la formula dei trapezi composta e ha una complessita pari an + 1 valutazioni di funzioni.

B2i sono i numeri di Bernoulli, coincidenti con i coeffcienti dellosviluppo in serie di MacLaurin della funzione t/(exp(t)− 1)(B0 = 1;B1 = −1/2,B2 = 1/6,B4 = −1/30,B6 = 1/42, . . .).

Ponendo nella (2) h = b − a, δ = 1/2 e indicando con T (hs) la formuladel trapezio composita su s = 2m sottointervalli di ampiezzahs = (b − a)/2m per m ≥ 0 l’algoritmo di Romberg si scrive

Tm,0 = T ((b − a)/2m), m = 0, . . . , n

Tm,q+1 = (4q+1Tm,q − Tm−1,q)/(4q+1 − 1),

q = 0, . . . , n − 1, m = q + 1, . . . , n

T0,0 = T (h0)

T1,0 = T (h1 = h0/2) → T1,1 =4T (h1)− T (h0)

4T1,0 − T0,0

T2,0 = T (h2 = h0/4) → T2,1 =4T (h2)− T (h1)

4− 1=

4T2,0 − T1,0

3→ T2,2 =

42T2,1 − T1,1

42 − 1

(Tj,k con j=livello di approssimazione/recursione, k t.c. 2k=numero disttointervalli della formula composita)

L’algoritmo si arresta quando |Tj,j − Tj−1,j−1| < tol

Esempio

Sia dato∫ π0 sin xdx = 2

Sono sufficienti 5 righe corrispondenti a 24 + 1 = 17 valutazioni difunzione per ottenere pari almeno a ε = 8.510−8 ((π = 16)10).

Metodi di quadratura adattiva

Tutte le formule di quadratura viste finora (Newton-Cotes ecomposte) sono basate su nodi equispaziati.

Per funzioni che presentano forti variazioni in una regione e bassevariazioni in un’altra scegliere un passo costante puo essere limitativo.

Se il passo viene scelto grande, l’approssimazione dell’integrale nelleregioni a forte variazione non e buona, mentre un passo piccoloimplica una alta complessita nella regione a bassa variazione in cui esufficiente un passo piu grande.

L’idea e quella di scegliere il passo adattandolo alla variazionefunzionale di f (x). Questa idea porta a metodi di quadraturaadattiva.

Si fornisce un esempio di metodo di quadratura adattivo basato sullaregola di Simpson.

Supponiamo di voler ottenere una approssimazione diI (f ) =

∫ ba f (x)dx entro una tolleranza ε fissata.

Una tipica formula adattiva applica due differenti formule diquadratura Qn1 e Qn2 all’intervallo [a, b]. Esse forniscono due diverseapprossimazioni Sn1 e Sn2 di I (f )

Tali approssimazioni sono usate per determinare una stima dell’erroredi integrazione R(f ) (in pratica Rn(f ) = cost · (Sn1 − Sn2))

Il processo adattivo e dunque concettualmente semplice:

Applicare Qn1 e Qn2 per determinare R(f ).Se R(f ) > ε, dividere l’intervallo in due sottointervalli e ripetere laprocedura su ogni sottointervallo.Se la tolleranza e raggiunta su un certo sottointervallo, questo nonviene ulteriormente suddiviso.Se la tolleranza non e raggiunta su un certo sottointervallo, il processodi suddivisione e ripetuto

Tale strategia porta a un processo di campionamento non uniformedella funzione integranda che colloca molti nodi in regioni dove lafunzione e difficile da integrare e relativamente pochi nodi dove e piufacilmente integrabile

Formula di Simpson adattiva

Si fornisce un esempio di metodo di quadratura adattivo basato sullaregola di Simpson.Dato ε > 0, si vuole ottenere una approssimazione S(f ) di I (f )sull’intervallo [a, b] tale che∣∣∣ ∫ b

af (x)dx − S(f )

∣∣∣ ≤ εIl primo passo consiste nell’applicare la formula di Simpson semplice (Qn1)e la formula di Simpson composta con m = 4 (Qn2) che equivale adapplicare la formula di Simpson agli intervalli

[a, (a + b)/2], [(a + b)/2, b]

Si noti che applicare Qn2 comporta solo due valutazioni aggiuntive di f (x)

La formula di Simpson fornisce l’approssimazione S(a, b) di I (f ):

S(a, b) =h

(f (a) + 4f (

2) + f (b)

)∫ b

af (x)dx = S(a, b)− h5

90f (4)(ξ)

con h = (b − a)/2 e con a < ξ < b

La formula di Simpson composita fornisce la seguente approssimazione diI (f ):∫ b

af (x)dx = S

(a + b

)−(h

)4 b − a

180f (4)(η)

(a + b

)− 1

90f (4)(η)

(f (a) + 4f (a +

2) + f (a + h)

(a + b

(f (a + h) + 4f (a +

2) + f (b)

b − a

2, a < η < b

L’idea e quella di utilizzare le due approssimazioni S(a, b) eS(a, a+b

(a, a+b

)per determinare una stima dell’errore di

integrazione

A tal fine, si suppone che f (4)(ξ) ' f (4)(η)

Si tratta di un’ipotesi in generale non verificata, ma che permette diottenere utili indicazioni sull’errore. Il successo della tecnica dipenderada quanto poco l’ipotesi precedente si discosta dal vero.

S(a, b)−[S

(a + b

)]' 15

90f (4)(η)

da cui∣∣∣∣∫ b

af (x)dx −

(a + b

)]∣∣∣∣ ' 1

∣∣∣∣h590f (4)(η)

∣∣∣∣' 1

∣∣∣∣S(a, b)− S

)− S

(a + b

)∣∣∣∣

Se pertanto ∣∣∣∣S(a, b)− S

)− S

(a + b

)∣∣∣∣ < 15ε (5)

allora si ha ∣∣∣∣∫ b

af (x)dx −

(a + b

)]∣∣∣∣ ≤ εe la formula composta di Simpson con m = 4 (e 5 punti) e utilizzata percalcolare una approssimazione di I (f ) entro la tolleranza richiesta.

Se la (5) non e verificata, si suddivide l’intervallo [a, b] nei duesottointervalli [a, (a + b)/2] e [(a + b)/2, b] e su ciscuno di essi siapplica la procedura di stima dell’errore appena descritta utilizzandola tolleranza ε/2

Si noti che, per ciascun sottointervallo, si e gia calcolata la formula diSimpson a 3 punti.

Il procedimento di dimezzamento continua finche si ottienel’accuratezza richiesta su ciscun sottointervallo.

Se su uno dei sottointervalli la stima dell’errore non passa il test, taleintervallo viene ulteriormente suddiviso e ciascuno dei sottointervalliviene esaminato.

In genere si richiede che la tolleranza sia 10 anziche 15 volte latolleranza richiesta, per compensare l’assunzione fatta sulle derivatequarte.

L’errore e ridotto di un fattore 1/16; dunque il procedimento terminadopo un numero finito di passi.

Il metodo continua fino a che non si raggiunge la tolleranza prefissatao fino a che il numeri dei livelli cui si e pervenuti e troppo alto.

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