View
275
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Elipse 2012 Conicas
Citation preview
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 1
Elipse
Un segundo tipo de cónica se denomina elipse y se define como sigue:
Definición
Una elipse es el conjunto de puntos ( , )x y en un plano tales que la
suma de las distancias de estos puntos a dos puntos fijos distintos
(focos) es constante como se ve en la siguiente figura 1:
Figura 1. Definición de elipse
Figura 2. Descripción de la elipse
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 2
La recta que pasa por los focos intercepta la elipse en dos puntos
denominados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje
mayor y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda
perpendicular al eje mayor en el centro es el eje menor de la elipse,
como se muestra en la figura 2.
Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse considere
la elipse de la siguiente figura 3:
Figura 3. La Trayectoria trazada por el lápiz es una elipse
Si los dos extremos de una longitud fija de una cuerda se sujetan a las
tachuelas y la cuerda se jala firmemente con un lápiz la trayectoria
trazada por el lápiz es una elipse.
Para deducir la forma estándar de la ecuación de una elipse
consideramos la elipse de la figura 4 con los puntos siguientes: centro
( , )h k , vértices ( , )h a k y focos ( , )h c k . Observe que el centro es el
punto medio del segmento que une los focos.
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 3
Figura 4. Deducción de la ecuación de una elipse
La suma de las distancias desde cualquier punto de la elipse a los
focos es constante. A partir de un vértice esta suma constante es:
( ) ( ) 2
Longitud del eje mayor
a c a c a
O simplemente la longitud del eje mayor. Ahora si ( , )x y es cualquier
punto de la elipse, la suma de las distancias entre ( , )x y y los focos
también es 2a. Es decir:
2 22 2
2x h c y k x h c y k a
Finalmente en la figura 4, se observa que 2 2 2b a c . En
consecuencia, la ecuación de la elipse es:
2 2 2 2 2 2
2 2
2 2
( ) ( )
1
b x h a y k a b
x h y k
a b
Se obtiene una ecuación similar si el eje mayor es vertical. Los dos
resultados se resumen como sigue.
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 4
Ecuación estándar de una elipse
La forma estándar de la ecuación de una elipse, con centro ,h k y
ejes mayor y menor con longitudes 2a y 2b , respectivamente, donde
0 b a es:
2 2
2 2
2 2
2 2
1
Eje mayor es horizontal
1
El eje mayor es vertical
x h y k
a b
x h y k
b a
Los focos están sobre el eje mayor a c unidades del centro, con 2 2 2c a b . Si el centro está en el origen (0,0) la ecuación adopta una
de las formas siguientes.
2 2
2 2
2 2
2 2
1
El eje mayor es horizontal
1
El eje mayor es vertical
x y
a b
x y
b a
En la figuras 5 y 6 se muestran dos orientaciones horizontal y vertical
para una elipse.
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 5
Figura 5. El eje mayor es horizontal
Figura 6. El eje mayor es horizontal
Nota. Considere la ecuación de la elipse:
2 2
2 21
x h y k
a b
Si a b entonces la ecuación se puede rescribir como:
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 6
2 2 2x h y k a , la forma estándar de la ecuación de una
circunferencia con radio r a . Geométricamente, si en una elipse
a b los ejes mayor y menor tienen longitudes iguales, por tanto, la
gráfica es una circunferencia.
Excentricidad
Una de las razones por lo que fue difícil para los primeros astrónomos
detectar que las orbitas de los planetas son elipses es que los focos
de las orbitas planetarias están, relativamente, cercanos a sus centros
y, por lo tanto, las orbitas son casi circulares. Para medir que tan
alargada esta una elipse, se emplea el concepto de excentricidad.
Definición de excentricidad
La excentricidad e de una elipse esta dada por la razón:
ce
a
Observe que 0 1e para cada elipse
La excentricidad se emplea para describir la forma de una elipse. Los
focos de una elipse están ubicados en el eje mayor, entre los vértices
y el centro.
Entonces
0 c a
Para una elipse que es casi circular, los focos están cerca del centro y
la razón /c a es pequeña, como se muestra en la siguiente figura 7.
Por otro lado, para una elipse alargada, los focos están cerca de los
vértices y la razón /c a se acerca a 1, como se muestra en la figura 8.
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 7
Figura 7. Elipse casi circular
Figura 8. Elipse no circular
x
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 8
La orbita de la Luna tiene excentricidad 0.0549e y las
excentricidades de las nueve orbitas planetarias son como sigue:
Tabla 1. Excentricidades de las nueve orbitas planetarias
Mercurio 0.2056e
Venus 0.0068e
Tierra 0.0167e
Marte 0.0934e
Júpiter 0.0484e
Saturno 0.0542e
Urano 0.0472e
Neptuno 0.0086e
Plutón 0.2488e
Problemas propuestos
Problema 1
Encuentre la ecuación de la elipse con vértices ( 5,0) y excentricidad
3
5e
Planteamiento del problema
Vértices: , ( 5,0) 5h a k a
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 9
Excentricidad:
2 2 2
3 33
5 5
25 9 16
ce c a
a
b a c
Centro:
2 2
2 2
2 2
(0,0) ( , )
1
125 16
h k
x h y k
a b
x y
Tecnología
Se puede emplear algún software matemático en este caso
empleamos el software matemático de la página:
http://www.wolframalpha.com
Y obtenemos:
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 10
Aplicación
Las elipses tienen muchos usos prácticos y estéticos. Por ejemplo, los
engranes de máquinas, los arcos de soporte y los diseños acústicos,
pueden incluir formas elípticas. Las orbitas de satélites y planetas son
elipses.
Para Modelarlo
Problema 2
Orbita de un cometa. El cometa Halley tiene orbita elíptica con el Sol
en un foco. La excentricidad de la orbita es aproximadamente 0.067.
La longitud del eje mayor de la orbita es casi 35.88 unidades
astronómicas (una unidad astronómica es cercana a 149.5 millones de
kilómetros).
a. Encuentre la ecuación de la orbita. Coloque el centro de la orbita
en el origen y el eje mayor en el eje x.
b. Emplee un graficador para trazar la gráfica de la ecuación de la
orbita.
c. Encuentre las distancias mayor (afelio) y menor (perihelio) desde
el centro del Sol hasta el centro del cometa.
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 11
Planteamiento del Problema
Inciso a
2 2 2
2 2
2 2
2 2
35.8817.94
2
17.35
20.82
1
1321.84 20.82
a
c ea
b a c
x y
a b
x y
Inciso b
Se puede emplear algún software matemático en este caso
empleamos el software matemático de la página:
http://www.wolframalpha.com
Para obtener la siguiente gráfica
Inciso c
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 12
El centro del Sol se encuentra en un foco de la órbita, 17.35 unidades
astronómicas del centro de la órbita
Apogeo 1
17.35 35.88 35.29 2
unidades astronomicas
Perigeo 1
35.88 17.35 0.59 2
unidades astronomicas
Problema 3
Identifique la cónica como una circunferencia o una elipse. Después
encuentre el centro, los radios, los vértices, los focos y la excentricidad
de la cónica (si es aplicable y trace su gráfica).
2 29 25 36 50 60 0x y x y
Planteamiento del problema
2 2
2 2
2 2
9( 4 4) 25( 2 1) 60 36 25
9( 2) 25( 1) 1
2 11
1/ 9 1/ 25
x x y y
x y
x y
Elipse
1 1 4, ,
3 5 15a b c
Centro: , 2,1h k
Vértices: 5 7
, ,1 , ,13 3
h a k
Focos: 34 26
, ,1 , ,115 15
h c k
CONICAS ELIPSE[ ] Fundamentos Matemáticos
Geología Página 13
Excentricidad: 4
5
ce e
a
Gráfica:
Recommended