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Esercizi lavorazione lamiere
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1
_________________
Esercitazione 4 _________________
LAVORAZIONI PLASTICHE – PARTE 1
Elenco formule utilizzate nell’esercitazione
12
1max
t
R p
deformazione massima a trazione in una piegatura
R
dT
0
modulo di tenacità del materiale
134
3
Et
R
Et
R
R
R Y
i
Y
i
f
i relazione tra raggio di piegatura e raggio finale
22
0storia,
p
eqYeq
i
Y
i
H
hFhf
σσσ funzione di snervamento con incrudimento isotropo
2
ESERCIZIO 1: PIEGATURA DI UNA LASTRA
Si debba realizzare una piegatura con un raggio interno di Rp = 40 mm di una lastra piana di
spessore t = 4 mm in lega leggera di alluminio. Il materiale sia caratterizzato da una uno sforzo di
snervamento Y = 414 MPa e da una legge lineare in campo plastico con pendenza E
p = 4500 MPa.
In assenza di un diagramma di formabilità stabilire sulla base della tenacità del materiale misurabile
nella prova di trazione uniassiale se la lavorazione è da ritenersi realizzabile. Si consideri un
modulo di tenacità del materiale pari a 12.5 MJ/m3.
Soluzione
Impostazione del problema:
Il problema si risolve verificando se la deformazione massima raggiunta durante la piegatura sia
nel dominio plastico.
a) calcolo deformazione totale massima durante la piegatura della lastra
La piegatura della lastra comporta l’allungamento delle fibre
esterne e l’accorciamento delle fibre in corrispondenza del
raggio interno. In base alla teoria della flessione, la fibra
centrale, sul piano medio della lastra rimane indeformata e
quindi non si allunga. I valori massimi di allungamento (e
quindi di deformazione) si ottengono, in modulo, sulle fibre
esterne e interne.
Se la curva sottende un angolo , la lunghezza della fibra
centrale risulta pari a:
22/
tRl pt
Questa è la lunghezza iniziale della porzione di lastra (poiché la fibra centrale rimane indeformata).
La fibra esterna si allunga fino a:
tRl pt
Quindi la deformazione totale sulla fibra esterna è:
12
1
2
2
2
2max
t
RtR
t
tR
tRtR
ppp
pp
Con i valori dati nel testo, si ottiene:
04762.0max
Rp Rp + t
3
b) calcolo deformazione totale in corrispondenza del carico di rottura sulla curva sforzi-
deformazioni del materiale
Il valore della deformazione massima a rottura andrà confrontato con la deformazione in
corrispondenza del carico massimo nella curva sforzi-deformazioni del materiale. E’ infatti
presumibile che, oltre tale livello di deformazione, il materiale possa andare soggetto a rotture e
lacerazioni. Si ricordi comunque che il confronto con la curva monodimensionale non assicura la
stampabilità del pezzo.
Per calcolare un valore approssimato della deformazione in corrispondenza del carico di rottura si
deve considerare che il modulo di tenacità è l’area sottesa alla curva sforzi-deformazioni (incluso il
tratto elastico).
R
dT
0
In base alla funzione di snervamento fornita nel testo, il comportamento a trazione del materiale è il
seguente:
E’ possibile esprimere Y in funzione di
Y e del
modulo elastico in campo lineare
005914.0E
YY
L’area sottesa all’intera curva ha espressione:
YUUYYYT 2
1
2
1
Si hanno due incognite, U ed
U, ma è possibile esprimere U
in funzione di U.
YU
p
YU E
Risulta quindi un sistema di 2 equazioni in 2 incognite:
YU
p
YU
YUUYYY
E
T
2
1
2
1
Sostituendo la seconda nella prima:
Y
U
Y
U
4
022
22
1
2
1
2
1
2
1
2
TE
ET
ET
YYYUYYUp
YUYUpYYY
YUYUpYYYY
029998.0
024084.02
2
U
p
YYpYY
YU
E
TE
c) Confronto e conclusione
Paragonando U con max si può valutare che la tenacità del materiale non è sufficiente per effettuare
l’operazione.
5
Y
U
U Y
ESERCIZIO 2: ESECUZIONE DI UNA PIEGATURA CON DIVERSI MATERIALI
Si debba realizzare una piegatura con un raggio interno di Rp = 29 mm di una lastra piana di
spessore t = 3.05 mm. Si considerino 3 tipologie di materiali, con le seguenti caratteristiche:
1) Lega Al allo stato ricotto: dove Y = 80 MPa ,
R = 130 MPa modulo di tenacità T=18 MJ/m
3
2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: Y = 220 MP,
R = 250 MPa e modulo di
tenacità T=29 MJ/m3
3) Acciaio bonificato: Y = 850 MPa ,
R = 1100 MPa e modulo di tenacità =85 MJ/m
3
I) Approssimando l’intera curva sforzi-deformazioni con un modello elastico con
incrudimento lineare, si valuti, in prima approssimazione, se la tenacità del materiale è
adeguata per effettuare la lavorazione in regime quasi statico
II) Per i casi in cui la lavorazione è ritenuta possibile, si consideri un valore medio di sforzo
plastico durante la lavorazione e si applichi la seguente espressione approssimata per
calcolare il raggio di piegatura dopo il ritorno elastico:
134
3
Et
R
Et
R
R
R Y
i
Y
i
f
i
Soluzione: adeguatezza dei livelli di tenacità
a) Calcolo deformazione massima durante la piegatura
Durante la piegatura la massima deformazione, in valore assoluto, si verifica per le fibre interne e
esterne, ed è calcolabile come:
12
1max
t
R p
Sostituendo i valori si ottiene max = 0.05
b) Applicazione del modello bi-lineare e calcolo deformazione in corrispondenza del carico
massimo di rottura
Applicando un modello elasto-plastico con
incrudimento lineare è possibile, noto il valore del
modulo di tenacità, valutare approssimativamente la
deformazione in corrispondenza del carico massimo di
rottura
L’area sottesa sotto l’intera curva ha espressione:
YUUYYYT 2
1
2
1
6
Y
U
U Y a
a
Il valore della deformazione allo snervamento per i diversi materiali, è pari a Y = Y
/E. Risulta
pertanto :
1) Lega Al allo stato ricotto: Y = 0.001143
2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: Y = 0.003143
3) Acciaio bonificato: : Y = 0.004250
Rimane incognita, dunque, solo U, determinabile dal valore della tenacità:
YUUYYYT 2
1
2
1
UY
YY
YU
T
2
12
1
Applicando la formula, risulta:
1) Lega Al allo stato ricotto: U = 0.17214
2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale: U = 0.12508
3) Acciaio bonificato: : U = 0.08958
Per tutti i tre i materiali, quindi, il confronto con il modulo di tenacità rilevabile da una prova di
trazione uniassiale indica che il materiale ha una tenacità adeguata per la lavorazione. Tale
confronto non eseclude possibili problemi nella lavorazione tecnologico e non può sostituire una
valutazione più rigorosa, da eseguirsi, ad esempio, con i limiti di formabilità.
c) Calcolo sforzo medio in campo plastico durante la piegatura
Per tutti i materiali, la lavorazione comporta lo
sviluppo di deformazioni plastiche con un processo di
incrudimento. Per applicare la formula è più opportuno
sostituire al valore di sforzo di snervamento uno sforzo
medio, in campo plastico, durante la lavorazione.
Per il modello lineare applicato, è possibile calcolare la
pendenza, Ep, in campo plastico della curva sforzo-
deformazione per i diversi materiali e determinare, fra
lo snervamento e la massima deformazione della forza
applicata, il valore medio di sforzo.
Per i materiali proposti dall’esercizio si ha:
2
a
Y
ave
Y
a
pY
a
YU
YUp
E
E
7
Per i tre materiali, si ottiene:
1) Lega Al allo stato ricotto:
MPa
MPa
MPaE
ave
a
p
14.87
2.94
4.292
2) Lega Al con tempra+invecchiamento artificiale:
MPa
MPa
MPaE
ave
a
p
7.225
5.231
0.246
3) Acciaio bonificato:
MPa
MPa
MPaE
ave
a
p
0.916
0.983
2929
d) Calcolo raggio finale dopo il ritorno elastico
Applicando l’espressione:
134
3
Et
R
Et
R
R
R aveiavei
f
i
risulta
1) Lega Al allo stato ricotto:
Ri/Rf = 0.96 => Rf = Ri/0.96 = 33.35 mm
2) Lega Al tempra + invecchiamento:
Ri/Rf = 0.90 => Rf = Ri/0.90 = 35.67 mm
3) Acciaio bonificato:
8
Ri/Rf = 0.86 => Rf = Ri/0.86 = 37.45 mm
9
ESERCIZIO 3: DIAGRAMMA LIMITE DI FORMATURA E INCRUDIMENTO
Si consideri una lamiera di spessore 2.5 mm in lega leggera d’alluminio, caratterizzata dal
diagramma limite di formatura in figura:
0
20
40
60
80
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
eps II (%)
ep
s I
(%
)
La lamiera è soggetta a una lavorazione plastica a freddo caratterizzata dal seguente rapporto fra le
deformazioni principali:
yy = -0.4xx
Si stimi, assumendo un modello rigido-plastico di materiale, il valore dello spessore della lamiera al
limite di formatura, ricordando l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica.
SOLUZIONE
a) Calcolo stato di deformazione al limite di formatura
Lo stato di deformazione fornito è già espresso in assi principali:
IIIzz
IIyy
Ixx
Per l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica si ha:
10
xxxxxxyyxxzz
zzyyxx
6.04.0
0
IxxzzIII
IxxyyII
xxI
6.06.0
4.04.0
Per individuare lo stato di deformazione al
limite di formatura è necessario tracciare sul
diagramma la retta corrispondente alla
lavorazione considerata.
Come si può osservare in figura, la
deformazione limite può essere stimata
all’incirca al 17%.
Si ottiene, pertanto:
102.06.0
068.04.0
17.0
yyzz
xxyy
xx
L’utilizzo delle misure di deformazione logaritmica o ingegneristica dipende dal modo in cui è stato
ottenuto il diagramma limite di formatura. Assumendo che le deformazioni utiizzate siano quelle
logaritmiche, lo spessore al limite di formatura risulta:
t
dtd zz
0
ln
0t
t
t
dtt
t
zz
mmeett zz 257.25.2 0102
0
Considerando le deformazioni igneristiche si ha:
mmtt
t
tt
zz
zz
245.210
0
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
eps II (%)
ep
s I
(%
)
IIIII 5.24.0
1
11
ESERCIZIO 4: DIAGRAMMA LIMITE DI FORMATURA PER STIRO BIASSIALE
Si debba ottenere una lamiera con spessore pari a 3,55mm partendo da un semilavorato con spessore 5mm. Utilizzando il diagramma limite di formatura della lamiera espresso in
deformazioni vere riportato in figura 2 (eps I = xx; eps II = yy):
a) valutare se tale operazione tecnologica è possibile mediante lavorazione per deformazione plastica a freddo. Si assuma un modello rigido plastico di materiale e si ipotizzi durante la lavorazione una sollecitazione di stiro biassiale imponendo un
valore di deformazione yy pari al 20% (essendo la direzione z quella coincidente con
la normale alla superficie della lamiera).
b) determinare lo spessore della lamiera nell’ipotesi di eseguire la lavorazione al limite di
formatura mantenendo invariato il rapporto yyxx .
Fig. 2
0
20
40
60
80
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
eps II (%)
ep
s I
(%
)
12
SOLUZIONE
a) Calcolo stato di deformazione al termine dell’operazione
Lo stato di deformazione fornito è già espresso in assi principali:
IIIzz
IIyy
Ixx
L’utilizzo delle misure di deformazione logaritmica o ingegneristica dipende dal modo in cui è stato
ottenuto il diagramma limite di formatura. Assumendo che le deformazioni utiizzate siano quelle
logaritmiche, lo spessore al limite di formatura risulta:
t
dtd zz 34249.0
5
55.3lnln
00
t
t
t
dtt
t
zz
Considerando l’invariabilità del volume durante il processo di deformazione plastica si ha:
14249.02.034249.0
0
yyzzxx
zzyyxx
34249.0
2.0
14249.0
IIIzz
IIyy
Ixx
0
20
40
60
80
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
eps II (%)
ep
s I
(%
)
Fig. 2: eps I = xx; eps II = yy
13
0
20
40
60
80
-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100
eps II (%)
ep
s I
(%
)
7124.0III
Sulla curva limite abbiamo: II =0.4 I =0.71428*0.4=0.28
Per l’ invariabilità del volume durante la deformazione plastica si ha:
68.04.028.0
0
yyxxzz
zzyyxx
Considerando le deformazioni vere:
mmeett zz 533.268.0
0
Considerando le deformazioni igneristiche si ha:
mmtt
t
tt
zz
zz
6.110
0
0
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