Espacio de estados

1

CAPITULO IV

ANALISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO

2

INTRODUCCION

•ES ESTUDIADO DESDE 1960.

•PERMITE EL MODELADO UNIFICADO DE LOS

SISTEMAS MODERNOS:

•LINEALES Y NO LINEALES.

•INVARIANTES Y VARIANTES EN EL TIEMPO.

•MUCHAS ENTRADAS.

•MUCHAS SALIDAS.

•Y QUE SE RELACIONAN EN FORMA COMPLICADA.

3

INTRODUCCION (Cont.)

• SE BASA EN LA DESCRIPCIÓN DE LAS

ECUACIONES DE UN SISTEMA EN TERMINOS DE

n ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER

ORDEN, QUE SE COMBINAN EN UNA ECUACIÓN

DIFERENCIAL MATRICIAL DE PRIMER ORDEN.

4

DEFINICION

ESTADO: Es el conjunto mas pequeño de variables

(denominadas variables de estado) de modo que el conocimiento

de estas variables en t=to, junto con el conocimiento de la entrada

para t>= to, determina por completo el comportamiento del

sistema para cualquier tiempo t >= to.

5

DEFINICION

VARIABLES DE ESTADO: son las que forman el conjunto

más pequeño de variables que determinan el estado del sistema

dinámico.

No necesitan ser cantidades medibles u observables físicamente.

En la práctica, sin embargo conviene elegir cantidades medibles

con facilidad.

6

DEFINICION

VECTOR DE ESTADO: si se necesitan “n” variables de

estado, estas variables de estado se consideran los “n”

componentes de un vector X, denominado vector de estado.

7

DEFINICION

ESPACIO DE ESTADO: es el espacio de “n” dimensiones

cuyos ejes coordenados están formados por el eje x1, x2, … , xn.

Cualquier estado puede representarse mediante un punto en el

espacio de estados.

8

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOS

TENEMOS TRES TIPOS DE VARIABLES:

•VARIABLES DE SALIDA•VARIABLES DE ENTRADA•VARIABLES DE ESTADO

No hay una representación única, pero si una cantidad única de variables de estado.

La cantidad de variables de estado necesarias para definir completamente la dinámica del sistema es igual a la cantidad de integradores que contiene el sistema.

9

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación

Las “n” ecuaciones de estado de un sistema dinámico de n-esimo orden se representa como:

.____

,...,2,1

,...,2,1

,,...,,,,...,, 2121

menterespectivauyxde

pj

ni

donde

ttutututxtxtxfdttdx

ji

pnii

10

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación

.___,_

,...,2,1

,...,2,1

,...,2,1

,,...,,,,...,, 2121

menterespectivagxde

qk

pj

ni

donde

ttutututxtxtxgty

ki

pnkk

Las ecuaciones de salida se pueden expresar como:

11

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación

Ecuaciones dinámicas: dttdxi tyk

Por facilidad de expresión y manipulación son representadas en forma matricial, definiendose los siguientes vectores:

Vector de estado Vector de entrada Vector de salida

12

1

n

tx

tx

tx

tX

n

12

1

p

tu

tu

tu

tU

p

12

1

q

ty

ty

ty

tY

q

12

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación

La ecuación de estado se puede entonces escribir como:

ttUtXFdttdX

,,

Donde F es una matriz columna de nx1 que contiene las funciones f1, f2, …, fn como elementos.

La ecuación de salida se puede escribir como:

ttUtXGtY ,,

Donde G es una matriz columna de qx1 que contiene las funciones g1, g2, …, gn como elementos.

13

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSRepresentación

Para un sistema lineal e invariante en el tiempo las ecuaciones de estado se reducen a:

tUBtXAdttdX

..

tUDtXCtY ..

Ecuación de estado

Ecuación de salida

DondeA (n x m) Matriz de EstadoB (n x p) Matriz de EntradaC (q x n) Matriz de SalidaD (q x p) Matriz de Transmisión directa

14

ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADOSEjemplo

ukyybm y

umx

x

m

b

m

kx

x

1010

2

1

2

1

Ecuación de estado

2

101x

xy Ecuación de salida

Para el sistema mecánico Resorte, masa y amortiguador:

15

CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS

ijji

nnij

adecofactoreldenotaAdondeen

AdeAadjA

_______

det__.

1121

1222'

2221

1211

aa

aa

AA

AA

adjA

211222113112321131223221

132123113113331131233321

221323123213331232233322'

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaaa

aaa

aaa

aaa

adjA

16

CORRELACION ENTRE LA FUNCION DE TRANFERENCIA Y LA ECUACION EN EL ESPACIO DE ESTADOS

tUBtXAdttdX

.. tUDtXCtY ..

s

s

UsG Y )( Sistema de una sola entrada y una sola salida

DBAIsCsG 1. AadjA

A 1

Ejercicio: Hallar la FT para el sistema del ejemplo anterior.

kbsms

sG

2

1R.

17

Representaciones en el espacio de estados de los sistemas basados en la función de transferencia

ububububyayayay nn

nn

nn

nn

1

)1(

1

)(

01

)1(

1

)(

......

•Forma canónica controlable•Forma canónica observable•Forma canónica diagonal o de Jordan

Si un sistema esta definido mediante:

Puede escribirse como:

nnnn

nnnn

s

s

asasas

bsbsbsbUY

11

1

11

10

...

...

18

Forma Canónica Controlable

u

x

x

x

x

aaaax

x

x

x

n

n

nnnn

n

1

0

0

0

1000

0100

0010

1

2

1

121

1

2

1

ub

x

x

x

babbabbaby

n

nnnn 02

1

0110110 .

19

Forma Canónica Observable

u

bab

bab

bab

x

x

x

a

a

a

x

x

x

x

nn

nn

n

n

n

n

n

011

011

0

2

1

1

1

1

2

1

100

001

000

ub

x

x

x

y

n

02

1

.1000

20

Forma Canónica Diagonal

Considerando la función de transferencia donde el denominador sólo posee raíces distintas:

nnn

nn

s

s

pspspsbsbsbsb

UY

21

11

10 ...

n

n

s

s

psc

psc

psc

bUY

2

2

1

10

Expansión en fracciones parciales:

21

Forma Canónica Diagonal

u

x

x

x

p

p

p

x

x

x

x

nnn

n

1

1

1

000

00

000

2

1

2

1

1

2

1

ub

x

x

x

cccy

n

n 02

1

21 .

22

Forma Canónica de Jordan

Considerando la función de transferencia donde el denominador posee raíces múltiples:

nnn

nn

s

s

pspsps

bsbsbsbUY

43

1

11

10 ...

n

n

s

s

psc

psc

psc

ps

c

ps

cb

UY

4

4

1

32

1

23

1

10

Expansión en fracciones parciales:

23

Forma Canónica de Jordan

u

x

x

x

x

x

p

p

p

p

p

nn

nx

x

x

x

x

1

1

1

0

0

0000

0000

0000

0010

0001

4

3

2

1

4

1

1

1

4

3

2

1

ub

x

x

x

cccy

n

n 02

1

21 .

24

Ejercicio

Obtenga las representaciones en el espacio de estados en la forma canónica controlable, observable y diagonal del siguiente sistema:

23

3)()(

2 ss

ssUsY

2

1

2

1

2

1

13

1

0

32

10

x

xy

ux

x

x

x

2

1

2

1

2

1

10

1

3

31

20

x

xy

ux

x

x

x

2

1

2

1

2

1

12

1

1

20

01

x

xy

ux

x

x

x

Forma Canónica controlable Forma Canónica observable Forma Canónica diagonal

25

Valores característicos de una matriz A de nxn.

Los “valores característicos” o “raíces características” son las raíces de la ecuación característica:

0 AIPor ejemplo considere:

6116

100

010

A

26

0321

6116

6116

10

01

23

AI

AI

AI

La ecuación característica es:

Los valores característicos de A son las raíces de la ecuación característica: -1, -2 y -3.

Valores característicos de una matriz A de nxn.Ejemplo (cont.)

27

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos

121

1000

0100

0010

aaaa

A

nnn

La transformación x=Pz, donde

112

11

222

21

21

111

nn

nn

n

n

P

Donde son los “n” valores característicos distintos de A

Dada la matriz A:

28

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (cont.)

…transformará en la matriz diagonal:APP 1

n

APP

0

0

2

1

1

Observación: Si la matriz A contiene valores característicos múltiples, la diagonalización es imposible

29

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)

Considere la siguiente representación en el espacio de estados de un sistema:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

001

6

0

0

6116

100

010

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

Hallar los valores característicos de la matriz A y luego obtener otra representación del mismo sistema mediante la transforma-ción x=Pz .

30

Diagonalización de una matriz nxn con valores característicos distintos (Ejecicio)

Respuesta:

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

3

2

1

111

3

6

3

300

020

001

z

z

z

y

u

z

z

z

z

z

z

31

Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo

Caso homogéneo.

Axx x = vector de dimensión nA = matriz de coef. Constantes de nxn

Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como:

)0()(

)0()!

1!2

1()( 22

xAtetx

xtAk

tAAtItx kk

0 !k

kk

ktAAte (Matriz

exponencial)

32

Algunas propiedades de la matriz exponencial

AAteAtAeAtedtd

Converge absolutamente para todos los t finitos.

AseAtestA

e )(

IttA

eAteAteAteAte )(

BteAtetBA

e )( Si AB=BA

33

Solución de la ecuación de estado lineal e invariante con el tiempo

Caso NO homogéneo.

BuAxx x = vector de dimensión nA = matriz de coef. Constantes de nxnu = vector de dimensión rB = matriz de coef. Constantes de nxr

Por analogía del caso escalar, la solución x(t) se halla como:

tduB

tAexAtetx

0).(.

)()0()(

0 !k

kk

ktAAte (Matriz exponencial

34

MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.

Se define como una matriz que satisface la ecuación de estado lineal homogénea

Representa la respuesta libre del sistema. Gobierna la respuesta que es debida a las condiciones iniciales solamente.Depende solamente de la matriz A.

Define por completo la transición de estado desde el tiempo inicialt=0 a cualquier tiempo t cuando las entradas son cero.

AteAsILt 11)(

35

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

Teorema de Cayley-Hamilton: plantea que la matriz A satisface su propia ecuación característica.Es muy útil para comprobar teoremas que involucran ecuaciones matriciales o para resolver problemas que involucran ecuaciones matriciales.

0...

0...

11

1

11

1

IaAaAaA

aaaAI

nnnn

nnnn

Considere la matriz A de nxn y su ecuación característica:

36

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

POLINOMIO MINIMO

De acuerdo al Teorema de Cayley-Hamilton toda matriz A satisface su propia ecuación característica, sin embargo la ecuación característica no necesariamente es la ecuación escalar de grado mínimo que A satisface.

El polinomio de grado mínimo que tiene a A como raíz se denomina polinomio mínimo

37

Algunos resultados útiles en el análisis matricial.

POLINOMIO MINIMO

mmmm aaa

11

1 ...

Tal que : 0A

0... 11

1 IaAaAaAA mm

mm

d

AI El polinomio mínimo se determina mediante:

Donde es el máximo común divisor de todos los elementos de:

d)( AIadj

nm

38

Matriz exponencial Ate

Calculo de :Ate

11 AsILeAt

Ejercicio: Considere la matriz A, calcule Ate

20

10A

)2(1

0

)2(11

1

s

sssAsI

t

t

At

e

e

AsILe2

2

11

0

121

1

R:

39

Ejercicio: Obtenga la matriz de transición de estados del sistema siguiente:

)(t

2

1

2

1

32

10

x

x

x

x

11)( AsILAtet

21212

211

213

1

sss

ss

sssss

AsI

tttt

tttt

eeee

eeeeAtet22

22

22

2)(

MATRIZ DE TRANSICION DE ESTADOS.

40

Controlabilidad y Observabilidad

Gobiernan la existencia de una solución de un problema de control óptimo. (Criterios para determinar desde el inicio si la solución de diseño existe o no según los parámetros y objetivos del diseño)

Es la diferencia básica entre la teoría de control óptimo y la teoría clásica de control. En esta última, las técnicas de diseño son dominadas por métodos de prueba y error, donde el diseñador desconoce en el inicio si existe solución.

41

Controlabilidad

•Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito.

•Se dice que el proceso es completamente controlable si cada variable de estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un tiempo finito, a través de algún control no restringido u(t).

•Si una de las variables de estado es independiente del control u(t), no habría forma de dirigir esta variable al estado deseado por medio de un esfuerzo del control, por lo tanto, es un estado no controlable y el sistema es no controlable.

42

Controlabilidad

El concepto anterior se refiere a los estados y se conoce como controlabilidad del estado.

También puede definirse para las salidas del sistema y se habla de controlabilidad de la salida.

43

Controlabilidad

Teorema:Para que el sistema descripto por: sea de estado completamente controlable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de controlabilidad de “n x nr” tenga rango “n”:

BuAxx

BABAABBS n 12

Obs: El rango de una matriz A es el número máximo de columnas linealmente independientes de A; o es el orden de la matriz no singular más grande contenida en A.

44

Controlabilidad

Ejemplo 1.Considere el sistema siguiente:

ux

x

x

x

0

1

10

11

2

1

2

1

Dado que

El sistema NO es de un estado completamente controlable

singularABB

00

11

45

Controlabilidad

Ejemplo 2.Considere el sistema siguiente:

ux

x

x

x

0

1

12

11

2

1

2

1

Para este caso

El sistema es de un estado completamente controlable

singularnoABB

21

10

46

Controlabilidad de la salida

Un sistema es de salida completamente controlable si es posible construir un vector de control sin restricciones u(t) que transfiera cualquier salida inicial y(to) a cualquier salida final y(t1) en un intervalo de tiempo finito 10 ttt

Un sistema es de salida completamente controlable si y solo si la matriz de m x (n+1)r:

DBCABCACABBC n 12

es de rango m.

47

Observabilidad

Se dice que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to), es posible determinar este estado a partir de la observación de la salida durante un intervalo de tiempo finito.

Esencialmente, un sistema es completamente observable si cada variable de estado del sistema afecta alguna de las salidas.

Si cualquiera de los estados no se puede observar a partir de las mediciones de las salidas, se dice que el estado es no observable y el sistema no es observable.

48

Teorema:Para que el sistema descripto por la ecuaciones:

DuCxy

BuAxx

Observabilidad

sea completamente observable, es necesario y suficiente que la siguiente matriz de observabilidad de “n x np” tenga rango “n”

1

2

nCA

CA

CA

C

V

49

Ejercicio 1.Considere el sistema siguiente:

Observabilidad

3

2

1

3

2

1

3

2

1

011

1

0

2

101

110

221

x

x

x

y

u

x

x

x

x

x

x

¿Es el sistema de estado completamente controlable y completamente observable?

50

FIN