ETO w Inżynierii Chemicznej

ETO w Inżynierii ChemicznejETO w Inżynierii Chemicznej

MathCADMathCAD

Pakiety matematyczne – zastosowanie Pakiety matematyczne – zastosowanie w inżynierii chemicznejw inżynierii chemicznej

Rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie równań i układów równań algebraicznychalgebraicznych

Tworzenie wykresówTworzenie wykresów Rozwiązywanie równań i układów równań Rozwiązywanie równań i układów równań

różniczkowychróżniczkowych AproksymacjaAproksymacja Optymalizacja Optymalizacja

MathCAD wstępMathCAD wstęp Interfejs użytkownikaInterfejs użytkownika

– Kursor piszący 'Kursor piszący '++''– PrzybornikiPrzyborniki

» Claculator – symbole do budowania wyrażeńClaculator – symbole do budowania wyrażeń» Graph – tworzenie wykresówGraph – tworzenie wykresów» Matrix – macierze Matrix – macierze » Calculus – pochodne, całki, granice, sumyCalculus – pochodne, całki, granice, sumy» Symbolic – operacje symboliczneSymbolic – operacje symboliczne» Evaluation – rozwiązanie, przyporządkowanie Evaluation – rozwiązanie, przyporządkowanie » Boolean – operacje logiczneBoolean – operacje logiczne» ProgrammingProgramming» GreekGreek

– Konfiguracja: usunięcie włączania Resource center Konfiguracja: usunięcie włączania Resource center (centrum zasobów) View/Preferences/Startup Options(centrum zasobów) View/Preferences/Startup Options

MathCAD wstępMathCAD wstęp

Podstawowe operacjePodstawowe operacje– Wpisywanie:Wpisywanie:

» Tryb "normal" – zwykły tekstTryb "normal" – zwykły tekst Wymuszenie: [shift]+["]Wymuszenie: [shift]+["]

» Tryb "variable" – zmienne interpretowaneTryb "variable" – zmienne interpretowane Tryb domyślnyTryb domyślny

– Style identyfikujące trybStyle identyfikujące tryb» Normal – czcionka ArialNormal – czcionka Arial» Variable – czcionka TimesVariable – czcionka Times

– Znak przypisania ":=" (klawisze [:][=])Znak przypisania ":=" (klawisze [:][=])

MathCAD wstępMathCAD wstęp

Zapis liczbZapis liczb– Separator dziesiętny: [.]Separator dziesiętny: [.]– Notacja zmiennoprzecinkowa:Notacja zmiennoprzecinkowa:

1.231.23··101044

Znak mnożenia [*] Wykładnik potęgowy [^]

Sekwencja klawiszy: [1][.][2][3][*][1][0][^][4]

MathCAD wstępMathCAD wstęp

Wyrażenia algebraiczneWyrażenia algebraiczne– +,-,+,-,//,*(nie zawsze konieczny), potęgowanie [^],*(nie zawsze konieczny), potęgowanie [^]– Argumenty funkcji "(...)"Argumenty funkcji "(...)"– Wynik wyrażenia: [=]Wynik wyrażenia: [=]

Zapis wyrażeń identyczny z zapisem Zapis wyrażeń identyczny z zapisem matematycznym:matematycznym:

554.103ln332 2

Sekwencja klawiszy: [2][/][3][+][3][^][2][][l][n][(][3][)][=]

MathCAD wstępMathCAD wstęp

ZmienneZmienne– Alfabet łaciński i grecki ( [ctrl] + [g] Alfabet łaciński i grecki ( [ctrl] + [g] popo

wpisaniu zmiennej)wpisaniu zmiennej)– Rozróżniana jest wielkość liter, tzn. xRozróżniana jest wielkość liter, tzn. xXX– Indeksy (nie macierzowe) [.]Indeksy (nie macierzowe) [.]– Prim: x`, bis: x`` itd..Prim: x`, bis: x`` itd..

MathCAD wstępMathCAD wstęp Podstawianie wartości i wyrażeń (jak w Pascalu)Podstawianie wartości i wyrażeń (jak w Pascalu)

– Przypisanie zmiennej 1 wartości:Przypisanie zmiennej 1 wartości:x:=5x:=5

klawisze: [x][:][5]klawisze: [x][:][5]– Przypisanie zmiennej wektora (zakresu)Przypisanie zmiennej wektora (zakresu)

» Z domyślnym przyrostem (1): x:=0..3 (0, 1, 2, 3)Z domyślnym przyrostem (1): x:=0..3 (0, 1, 2, 3)klawisze [x][:][0][;][3]klawisze [x][:][0][;][3]

» Ze zdefiniowanym przyrostem (różnica między dwoma Ze zdefiniowanym przyrostem (różnica między dwoma pierwszymi elementami oddzielonymi przecinkiem): pierwszymi elementami oddzielonymi przecinkiem): x:=0,2..6 (0, 2, 4, 6) x:=0,2..6 (0, 2, 4, 6) klawisze [x][:][0][,][2][;][6]klawisze [x][:][0][,][2][;][6]

– Przypisanie zmiennej wartości wyrażenia Przypisanie zmiennej wartości wyrażenia zawierającego inną zmienną:zawierającego inną zmienną:y:=2y:=2··x+3x+3klawisze: [y][:][2][*][x][+][3]klawisze: [y][:][2][*][x][+][3]

MathCAD wstępMathCAD wstępZapis poprawny Zapis niepoprawny

Aby w Aby w równaniu równaniu mogła mogła wystąpić wystąpić zmienna zmienna musi być musi być wcześniej wcześniej zdefiniowanazdefiniowana

MathCAD wstępMathCAD wstęp

Edycja wyrażeń – kursor wskazujący Edycja wyrażeń – kursor wskazujący miejsce edycjimiejsce edycji

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Definiowanie funkcjiDefiniowanie funkcji

– Składnia definicji:Składnia definicji:NazwaFunkcji(arg1, arg2,...):= wyrażenieNazwaFunkcji(arg1, arg2,...):= wyrażenie

– np. f(x,y)=xnp. f(x,y)=x··yyklawisze: [klawisze: [ff][][((][][xx][][yy][][))][][::][][xx][][**][][yy]]

Obliczenia z wykorzystaniem Obliczenia z wykorzystaniem zdefiniowanej funkcji:zdefiniowanej funkcji:– Obliczenie wartości dla stałychObliczenie wartości dla stałych– Obliczenie wartości dla wcześniej Obliczenie wartości dla wcześniej

zdefiniowanych zmiennychzdefiniowanych zmiennych– Obliczenie wartości dla wektorów zmiennychObliczenie wartości dla wektorów zmiennych

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Obliczenia z wykorzystaniem Obliczenia z wykorzystaniem

zdefiniowanej funkcji:zdefiniowanej funkcji:– Obliczenie wartości dla stałych: poniżej linii Obliczenie wartości dla stałych: poniżej linii

definiującej funkcjędefiniującej funkcję

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Obliczenia z wykorzystaniem Obliczenia z wykorzystaniem

zdefiniowanej funkcji:zdefiniowanej funkcji:– Obliczenie wartości dla zdefiniowanych Obliczenie wartości dla zdefiniowanych

zmiennych: poniżej definicji funkcji i zmiennych: poniżej definicji funkcji i przyporządkowania zmiennym wartościprzyporządkowania zmiennym wartości

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Obliczenia z wykorzystaniem Obliczenia z wykorzystaniem

zdefiniowanej funkcji:zdefiniowanej funkcji:– Obliczenie wartości dla wektorów zmiennychObliczenie wartości dla wektorów zmiennych

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Wykresy funkcji: Wykresy funkcji:

– Wykres prostej funkcji f(x)Wykres prostej funkcji f(x)klawisze: [f][(][x][)][shift]+[2][x]klawisze: [f][(][x][)][shift]+[2][x]

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Wykresy funkcji: Wykresy funkcji:

– Wspólny wykres kilku funkcji: f(x), g(x)@xWspólny wykres kilku funkcji: f(x), g(x)@xklawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][x][)][shift]+[2][x]klawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][x][)][shift]+[2][x]

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Wykresy funkcji: Wykresy funkcji:

– Wspólny wykres kilku funkcji w niezależnych Wspólny wykres kilku funkcji w niezależnych przedziałach: f(x), g(y)@x,yprzedziałach: f(x), g(y)@x,yklawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][y][)][shift]+[2][x][,][y]klawisze: [f][(][x][)][,] [g][(][y][)][shift]+[2][x][,][y]

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Formatowanie wykresów funkcji: Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Formatowanie wykresów funkcji: Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD funkcje matematyczneMathCAD funkcje matematyczne Formatowanie wykresów funkcji: Formatowanie wykresów funkcji:

MathCAD - wektory i macierzeMathCAD - wektory i macierze Definiowanie zmiennej macierzowej, Definiowanie zmiennej macierzowej,

wpisywanie wartości do macierzywpisywanie wartości do macierzy Wektor – pojedyncza kolumna macierzyWektor – pojedyncza kolumna macierzy

MathCAD - wektory i macierzeMathCAD - wektory i macierze

MathCAD - wektory i macierzeMathCAD - wektory i macierze Operacje na macierzachOperacje na macierzach

– Mnożenie przez stałąMnożenie przez stałą– Macierz transponowana [ctrl]+[1]Macierz transponowana [ctrl]+[1]– Macierz odwrotna [^][-][1]Macierz odwrotna [^][-][1]– Mnożenie macierzyMnożenie macierzy– wyznacznikwyznacznik

MathCAD - wektory i macierzeMathCAD - wektory i macierze Odczytywanie elementów macierzy AOdczytywanie elementów macierzy Aw, kw, k: :

klawisz [[] w-klawisz [[] w-nr wierszanr wiersza, k –, k –nr kolumnynr kolumny– np. element Anp. element A1,11,1 klawisze: [A][[][1][,][1][=] klawisze: [A][[][1][,][1][=]

Wybór kolumny macierzy Wybór kolumny macierzy – (domyślnie pierwsza kolumna ma nr 0, można (domyślnie pierwsza kolumna ma nr 0, można

zmienić: Math/Options/Array Orygin)zmienić: Math/Options/Array Orygin)– np. pierwsza kolumna macierzy A( Anp. pierwsza kolumna macierzy A( A<0><0>):):

[A][ctrl]+[6][0][A][ctrl]+[6][0] Definiowanie macierzy wyrażeniem – Definiowanie macierzy wyrażeniem –

wyraz definiowany położeniem wyraz definiowany położeniem aai,ji,j==ff((i,ji,j))

MathCAD - wektory i macierzeMathCAD - wektory i macierze Definiowanie macierzy wyrażeniem – Definiowanie macierzy wyrażeniem –

wyraz definiowany położeniem wyraz definiowany położeniem aai,ji,j==ff((i,ji,j))– Np. Każdy element macierzy ma wartość Np. Każdy element macierzy ma wartość

iloczynu indeksów określających jego miejsce iloczynu indeksów określających jego miejsce w macierzy (indeksy od 1)w macierzy (indeksy od 1)

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Wykreślenie macierzy: [ctrl]+[2][M] Wykreślenie macierzy: [ctrl]+[2][M] – M – przykładowa nazwa zmiennej macierzowejM – przykładowa nazwa zmiennej macierzowej

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Wykreślenie funkcji dwu zmiennychWykreślenie funkcji dwu zmiennych1.1. Poprzez generację macierzy i wykreślenie Poprzez generację macierzy i wykreślenie

macierzy (argumenty funkcji są liczbami macierzy (argumenty funkcji są liczbami całkowitymi – indeksy elementów całkowitymi – indeksy elementów macierzy)macierzy)

2.2. Poprzez przyporządkowanie macierzy siatki Poprzez przyporządkowanie macierzy siatki utworzonej przez funkcje: utworzonej przez funkcje: CreateMesh(funkcja, dgp1, ggp1, dgp2, CreateMesh(funkcja, dgp1, ggp1, dgp2, ggp2)ggp2)

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Wypełniona powierzchnia

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Kontury wypełnione kolorem

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Poziomice(Linie konturowe)

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Efekt oświetlenia

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Efekt mgły i perspektywa

MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i MathCAD rysunki trójwymiarowe: macierzy i funkcji dwóch zmiennychfunkcji dwóch zmiennych

Tło i siatka tła

Stałe predefiniowane w MathCADzieStałe predefiniowane w MathCADzie

e = 2,718 – podstawa logarytmu naturalnegoe = 2,718 – podstawa logarytmu naturalnego g = 9,81 mg = 9,81 m22/s – przyspieszenie ziemskie/s – przyspieszenie ziemskie = 3,142 – stosunek obwodu do średnicy koła= 3,142 – stosunek obwodu do średnicy koła

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych Pojedyncze równaniePojedyncze równanie

1.1. Konstrukcja Given-FindKonstrukcja Given-Find» Podać punkt startowyPodać punkt startowy» Wpisać "Given"Wpisać "Given"» Wpisać równanie ze znakiem [Wpisać równanie ze znakiem [==]] ([ctrl]+[=]) ([ctrl]+[=])» Wpisać Find(zmienna)=Wpisać Find(zmienna)=

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych Pojedyncze równaniePojedyncze równanie

2.2. Procesura Root:Procesura Root:Root(funkcja, zmienna, dgp, ggp)=Root(funkcja, zmienna, dgp, ggp)=

lub

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych Pojedyncze równaniePojedyncze równanie

3.3. W przypadku pierwiastków wielomianów W przypadku pierwiastków wielomianów można wykorzystać procedurę polyroots, na można wykorzystać procedurę polyroots, na wektorze współczynników (awektorze współczynników (a00, a, a11...) – ...) – argument jest wektorem!argument jest wektorem!

MathCAD rozwiązywanie równań MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychalgebraicznych

Układy równań liniowychUkłady równań liniowych– Rozwiązuje się w oparciu o rachunek Rozwiązuje się w oparciu o rachunek

macierzowy:macierzowy:» Zbudować macierze współczynników (A) i Zbudować macierze współczynników (A) i

wartości równań (B)wartości równań (B)» Wykonać:Wykonać:

działanie x:=Adziałanie x:=A-1-1BB i wyświetlić x= i wyświetlić x= lub lsolve(A,B)=lub lsolve(A,B)=

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych

Układy równań nieliniowychUkłady równań nieliniowych– Rozwiązuje się wykorzystując konstrukcję Rozwiązuje się wykorzystując konstrukcję

given-findgiven-find» Przyporządkować zmiennym wartości startowePrzyporządkować zmiennym wartości startowe» Napisać GivenNapisać Given» Napisać równaniaNapisać równania» Napisać Find(zm1, zm2,...)=Napisać Find(zm1, zm2,...)=

MathCAD rozwiązywanie równań algebraicznychMathCAD rozwiązywanie równań algebraicznych

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe Pojedyncze równania I-go rzęduPojedyncze równania I-go rzędu

1.1. Wpisać warunek początkowyWpisać warunek początkowy2.2. Zdefiniować pochodną (funkcję)Zdefiniować pochodną (funkcję)3.3. Wywołać procedurę całkującą:Wywołać procedurę całkującą:

R:=rkfixed(war_p, dgp, ggp, Ilość_podź, funkcja)R:=rkfixed(war_p, dgp, ggp, Ilość_podź, funkcja)

),( yxfdxdy

00 0, yyxx xx

z warunkiem początkowym

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe Pojedyncze równania I-go rzęduPojedyncze równania I-go rzędu

4.4. Postać wyniku - macierz:Postać wyniku - macierz:

5.5. Wynik rozwiązanie w formie wykresu Wynik rozwiązanie w formie wykresu RR<1><1>@R@R<0><0>

NN y

y

y

y

x

xxx

R

,1

2,1

1,1

0,1

2

1

0

......

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe Układ równań I-go rzęduUkład równań I-go rzędu

1.1. Wpisać warunek początkowy – wektor_pWpisać warunek początkowy – wektor_p2.2. Zdefiniować pochodną (funkcję wektorową)Zdefiniować pochodną (funkcję wektorową)3.3. Wywołać procedurę całkującą:Wywołać procedurę całkującą:

1.1. R:=rkfixed(wektor_p, dgp, ggp, Ilość_podź, R:=rkfixed(wektor_p, dgp, ggp, Ilość_podź, funkcja)funkcja)

100

100

,,

,,

yyxfdxdy

yyxfdxdy

011

000

0

0

0

yy

yy

xx

xx

xx

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe Układ równań I-go rzęduUkład równań I-go rzędu

4.4. Postać wyniku: macierz:Postać wyniku: macierz:

5.5. Wynik rozwiązania w formie wykresu Wynik rozwiązania w formie wykresu RR<1><1>,R,R<2><2>@ R@ R<0><0>

NNN y

y

y

y

y

y

y

y

x

xxx

R

,2

2,2

1,2

0,2

,1

2,1

1,1

0,1

2

1

0

.........

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe

011

000

0

0

0

yy

yy

xx

xx

xx

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe Pojedyncze równania II-go rzęduPojedyncze równania II-go rzędu

1.1. Przekształcić równanie II-go rzędu w układ Przekształcić równanie II-go rzędu w układ równań I-go rzędu, podstawiając:równań I-go rzędu, podstawiając:

dxdyyxf

dxyd ,,2

2

0

00

0

0,

ydxdy

yyxx

xx

xx

z warunkiem

początkowym

dxdz

dxydz

dxdz

dxdyzy 1

2

2

10

0 , ,

101

10

,, zzxfdxdz

zdxdz

011

000

0

0

0

zz

zz

xx

xx

xx

MathCAD równania różniczkoweMathCAD równania różniczkowe