Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, · MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ ....

MATEMATİKSELLİK VE MATEMATİK FELSEFESİ Matematik bir çok disiplinin birleşmesidir. Euclides Geometrisi, Cebir, Grup Teorisi, Analiz, Reel Analiz, Karmaşık Analiz, Olasılık, Fonksiyonel Analiz, Diferansiyel Denklemler, Euclides-dışı Geometri ve daha nice disiplinlerin ortak özelliği, tanımsız kavramların kabulü ile başlıyor olmalarıdır. Sonrasında gelen bütün kavramlar başlangıçta kabul edilenler üzerinde tanımlanırlar. Örneğin nokta Euclides geometrisinde pozitif tam sayı, cebirde ise tanımsız kavramdır.

Geometri, ilk önce alan hesaplanması ve astronomik çalışmalardaki yıldızların yeri ve hareketlerinin gözlenmesi ile başlamıştır. Olasılık kumar oyunlarında kazanma hırsına kesinliğin nasıl maledileceği ile başlamıştır. Ama bugün bu dallara baktığımızda başlangıçta yarattığımız bu disiplinlerin artık kontrolümüzden çıkıp kendi içinde kendi problemlerini yaratıp onların soyut çözümleri ile uğraştığını görürüz. Bilim içinde üretilmiş problemlerin toplum ve doğadaki problemlerin çözümü ile ilgili olabileceği gibi, hiç bir ilgisi de olmaya bilir demek ki.

Diğer bilimler ile matematik arasındaki temel farklılıklar; düşünce sistemlerinde ve ispat-açıklama yöntemlerindedir. Birincisinde olgusal içerik bulunur, yani gözlemin sonucundaki açıklama yeterli olur. Matematiksel düşüncede ise kavramsallık vardır, yani "gözlenen olayı olgusal açıklama yerine ilişkileri teorem olarak ispatlama” vardır. Matematiksel oluşta açıklık ve kesinlik vardır. Doğruluk şüphe götürmez kuru gerçektir. İspat yapılmadığı sürece genelleme yapılmaz. "Her çift sayı iki asal sayının toplamı olarak yazılabilir" hipotezini çürütür tek bir örnek bulunamamış olunsa bile ispatlanmadığı için bu yönde bir genelleme yapılmaz. Matematikçiler kanıt toplamaktan çok ispata yönelirler.

Matematik felsefesinde tartışmaların odak noktasını oluşturan temelcilik üzerinde bilim adamları ve matematikçiler yaklaşık yüz yıl harcadılar. Öyle ki Matematiksel Mantık üzerindeki tartışmalarda da temel dört mantık okulu ortaya çıkmıştır. 1) Platoncular (Realistler - Gerçekçiler) 2) Mantıkçılar - Temelciler 3) Biçimciler - Tanımcılar (Formalistler) 4) Sezgiciler - İnşacılar - Yapımcılar

MATEMATİK TARİHİ TEMELCİLİK

Gottlob Frege 1) Begriffsschriff (1879) - Formüllerin dili ve aritmetik modelleri 2) Die Grundlogen der Arithmetik (1884) - Matematiksel mantık ve sayılar üzerine temel kavramlar 3) Grundgesetze der Arithmetik,I, II (1893) - Aritmetiğin temel kuralları

MANTIK Bertrand Russell (1872–1970), matematiğin prensipleri konulu bir kitap yazmıştır. Çalışmalarında, önermelerin ilişkilerini ve, veya, ise, ancak ve ancak gibi mantıksal operatörlere dayalı mantık sistemini tanıtmıştır. Mantıksal öğretiyle, yeni bir felsefe ortaya koymuştur. Matematiği P=>q biçiminde önermeler kümesi olarak tanımlaması ile matematiğe yeni bir boyut kazandırmıştır.

George Boole (1815–1864), matematiksel Mantık teorisine dayalı Boolean Cebiri geliştirmiştir. George Boole bu eserle matematikte yeni bir çığır açarak bugünkü bilgi teknolojilerinin gelişebileceği müjdesini o günlerde vermiştir.

KÜMELER

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (1845 –1918), kümeler kavramının kurucusudur. "Sonsuz küme" kavramına matematiksel bir tanım getirmiş ve gerçel sayıların sonsuzluğunun doğal sayıların sonsuzluğundan "daha büyük" olduğunu ispatlamıştır.

POLİNOMLAR

Ömer Hayyam (1040–1122), parabol ve çemberi kestirerek 3. dereceden bir polinom denkleminin çözümü için geometrik bir yöntem geliştirmiştir.

René Descartes (1596–1650) Descartes matematiğe önemli katkılarda bulunmuştur.

Cebirin geometriye uygulanması üzerine çalışmıştır.

Kartezyen koordinat kavramını ortaya koymuştur.

İKİNCİ DERECEDEN DENKLEMLER

Harezmî, (780–850) IX. yüzyılda yaşayan ve cebir alanında ilk defa eser yazan Türk bilginidir.

Harezmî, ilk defa, birinci ve ikinci dereceden denklemleri analitik metotla; bir bilinmeyenli

denklemleri de cebirsel ve geometrik metotlarla çözmenin kural ve yöntemlerini tespit etti.

Matematikte ilk kez sıfır rakamını kullanan Harezmî, cebir bilimini metodik ve sistematik olarak ortaya

koydu. Kendisinden önceki cebire ait konuları, yine ilk kez ‘cebir’ adı altında sistemleştirdi.

TRİGONOMETRİ Hipparchus (M.Ö. 160–125), Matematikçi ve astronomdur. İlk sistematik astronomi ve trigonometriyi bulan kişidir. Güneş ve Ay’ın uzaklığını hesaplamıştır. Enlem ve boylam daireleriyle, Dünya'daki herhangi bir noktanın konumunu belirtme yöntemini bulmuştur.

LOGARİTMA

John Napier ( 1550 –1617), Logaritmanın bulucusu olarak bilinir. Napier, Saint Andrews Üniversitesinde eğitim

görmüş ve matematiği de içinden gelen bir merak olarak izlemiştir. Kendisi, amatör bir matematikçidir. Sayısal hesaplamaları kolaylaştıracak bir yol ararken, önce

Napier cetvelleri diye bilinen, üzerinde rakamlar yazılmış küçük değnekler yardımıyla yapılan bir çarpma

veya bölme yöntemi buldu. 1, 2, 3,… şeklindeki aritmetik dizi ile, buna karşılık gelen 10, 100, 1000,... biçimindeki

geometrik dizi arasındaki, ilişkiyi gördü. 1614 yılında yazdığı "Logaritma Kurallarının Tanımı" adlı eserinde,

aritmetik dizi ile geometrik dizinin karşılaştırılmasından, matematiğe logaritma

kavramını getirdi.

KARMAŞIK SAYILAR

Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), katkıda bulunduğu alanlardan bazıları; sayılar kuramı,

analiz, diferansiyel geometri, jeodezi, elektrik, manyetizma, astronomi ve optiktir.

"Matematikçilerin prensi" ve "antik çağlardan beri yaşamış en büyük matematikçi" olarak da bilinen Gauss, matematiğin ve bilimin pek çok alanına etkisini bırakmış ve tarihin en nüfuzlu

matematikçilerinden biri olarak kabul edilmiştir. Gauss, sanal sayıları Doktora tezinde kullanması ile

matematik dünyasında yeni bir pencere açmıştır.

OLASILIK VE İSTATİSTİK

Christian Huygens (1629–1695), Gökbilimci, matematikçi ve fizikçidir. Matematiğe çok küçük yaşta ilgi

duymaya başlamıştır. 1656'da olasılık hesabını tanıtan çalışmasını ortaya koymuş

ve tanıtmıştır.

TÜMEVARIM VE DİZİLER

Leonardo Fibonacci (1170–1250), yaygın olarak ismiyle Fibonacci diye anılan, Orta Çağın en yetenekli matematikçisi olarak

kabul edilmiş ve dizileri keşfetmiştir.

LİMİT VE SÜREKLİLİK

Niels Henrik Abel Norveçli(1802–1829), derecesi beşten büyük polinom denklemler

için genel bir çözüm verilemeyeceğini kanıtlamıştır. İntegral hesaplamalarına

önemli katkısı olmuştur.

TÜREV

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), bilim dünyasının en önemli sistemci düşünürlerinden

biridir. Matematik, metafizik ve mantık alanlarında ileri sürdüğü yeni düşünce ve

görüşleriyle tanınır. Diferansiyel ve integral hesabın kurucularındandır.

İNTEGRAL

Sir Isaac Newton ( 1642–1727), tarihin yetiştirdiği en büyük bilim adamlarından

biridir.

Matematik, astronomi ve fizik alanlarındaki buluşları ile tanınır. Bilime yaptığı temel katkılar, diferansiyel ve

integral hesap, evrensel çekim kanunu ve güneş ışığının yapısı olarak sıralanabilir.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), matematik ve geometri dalında çok

önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.

Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını ortaya koymuştur.

Doğal sayıların inşası ile ilgili ilk formal bilgiyi İtalyan felsefeci ve matematikçi Giuseppe Peano sunmuştur. Peano aksiyomları doğal sayıların inşası için kullanılan dört temel ve bir yardımcı aksiyomdan oluşur. Buna göre I. Sıfır bir doğal sayıdır. II. İki doğal sayının ardılları eşitse doğal sayılar da eşittir. III. Doğal sayılar ardılı olacak şekilde devam eder. verilen ifadelerden hangisi Peano aksiyomlarından biridir? A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II D) II ve III E) I, II ve III

Peano Aksiyomları Sıfır bir doğal sayıdır. İki doğal sayının ardılları eşitse doğal sayılar da eşittir. Her N doğal sayısının sadece bir tane ardılı vardır. Ardılı 1 olan hiçbir doğal sayı yoktur. Sıfırı içeren ve her N sayısı için N+ ardılını da içeren bir küme doğal sayılar kümesine eşittir. Dolayısıyla doğru yanıt C seçeneğidir. CEVAP: C

I. Üslü sayılar konusu 8. sınıf matematik dersine ait bir kazanımdır II. sin2x + cos2x = 1 dir. III. ∀ x, y ∈ IR için x2 + y2 < 0 dır. IV. 3 + 3 = 5 ise Ay’da yaşam vardır. V. Dik üçgen sorularında Pisagor bağıntısı mı yoksa Öklid bağıntısı kullanılır? Yukarıdaki ifadelerden kaç tanesi önermedir? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

Aksiyomlarla ilgili olarak; I. Karmaşık yapılıdır. II. Tutarlı olmalıdır. III. Fazlalık içermemelidir. IV. Biri diğerinden elde edilmelidir. verilen özelliklerden kaç tanesi doğrudur? A) Hiçbiri B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

İspatına gerek duyulmaksızın doğruluğu kabul edilen önermelere ne ad verilir? A) Teorem B) İspat C) Açık önerme D) Kural E) Postulat

1796’da kenar sayısı bir Fermat asalı olan her düzgün çokgenin sadece cetvel ve pergel kullanılarak çizilebileceğini kanıtlayan ünlü matematikçi kimdir? A) Andrew Wiles B) Wilhelm Leibniz C) Paul Nahin D) Cahir Arf E) Carl Friedrich Gauss

Cevap E seçeneğidir. Antik Yunan’dan beri matematikçileri meşgul eden bu kanıtı

gerçekleştiren matematikçi C. F. Gauss’tur. Gauss aynı zamanda “Matematikçilerin

prensi” olarak da adlandırılır.

Geometriyi bir dizi aksiyoma indirgeyen ve matematiğin biçimsel temellerinin oluşturulmasına önemli katkıda bulunan, 1899 yılında geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bir sentezi olan “Geometrinin Temelleri” adlı eseri yayınlayan matematikçi aşağıdakilerden hangisidir? A) Euclid B) David Hilbert C) Bertrand Russell D) Henri Poincare E) Leonhard Euler

Soruda özellikleri verilen matematikçi Alman David Hilbert’tir. Dolayısıyla doğru cevap B seçeneğidir. NOT: Hilbert kadar Euclid’in, Russell’ın, Poincare’ın ve Euler’in matematik adına yapmış olduğu çalışmalar da önemlidir. Bu matematikçilerin hayatları, çalışmaları ve özgeçmişleri sorulabilir