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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS MATEMÁTICA 2º GRAU
Exercícios de Matemática 2º Grau
Exercícios: Matemática - Resolvidos
2
Assunto:
Exercícios Resolvidos de Matemática
EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMUNS EM CONCURSOS PÚBLICOS RESOLVIDOS E COMENTADOS
Exercícios: Matemática - Resolvidos
3
Exercícios: Matemática - Resolvidos
4
EXERCÍCIOS
1. Uma torneira enche um tanque em 3 horas e uma segunda torneira pode fazê-lo em 15 horas. Qual será o tempo necessário para encher 2/3 do reservatório se as duas torneiras forem ligadas simultaneamente? SOLUÇÃO
• Uma torneira leva três horas, 3
x representa a potência dela. Outra torneira leva 15 horas,
15
x representa a potência dela. Trabalho a realizar corresponde a
3
2
Cálculo; Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado
3
x +
15
x=
3
2
• multiplique tudo pelo MMC que é 15;
(3
x +
15
x=
3
2)*15
5x + x= 10 6x=10 x=6
10 x=
3
5
• observe que o tempo é dado em hora, logo já sabemos que x representa o tempo, então
o tempo gasto será 3
5 de horas. Vamos descobrir o tempo em uma linguagem mais comum,
substituindo horas por minutos.
3
5 * 60 minutos =
3
300 minutos que é equivalente a 1 hora e 40 minutos.
======================================================================= 2. Recebi uma quantia e gastei 3/7 da mesma. Sabendo que me restam R$ 6000,00, qual foi a quantia que recebi? SOLUÇÃO Vamos representar a mesada por W. W= Mesada
Exercícios: Matemática - Resolvidos
5
• Ele gastou 7
3 da mesada, ou seja
7
3 de W, que representamos da seguinte maneira:
7
3W.
• 7
3W para W, faltam
7
4W, que é o resto.
• Sobraram 6000, logo, 7
4W= 6000
Cálculo:
7
4W= 6000 W=
4
6000 * 7 W= 1500 * 7 W= R$ 10.500,00
======================================================================= 3. Com 240 litros, preenchi 5/12 de um tanque. Quantos litros são necessários para encher o tanque? SOLUÇÃO Vamos representar a capacidade do tanque pela letra Y Y= capacidade
• Ele colocou 240 litros e ocupou 12
5 da capacidade do tanque, logo.
12
5Y= 240 Y=
5
12*240 Y= 48*12 Y= 576
• A capacidade do tanque é para 576 litros d’água. ======================================================================= 4. Três irmãos receberam uma herança. Ao mais velho coube 1/3 dessa herança. Ao mais jovem couberam ¾ do resto, ficando R$ 1200,00 para o terceiro irmão. Qual foi o valor da herança deixada? SOLUÇÃO Herança = X
Mais velho = 3
1X Mais jovem =
4
3do resto Resto = X -
3
1X
Exercícios: Matemática - Resolvidos
6
Outro Irmão = 1200 Cálculo:
X - 3
1X -
4
3( X -
3
1X) = 1200 Obs. Multiplique tudo pelo MMC, que é 12
(X - 3
1X -
4
3( X -
3
1X) = 1200)* 12 12X – 4X - 9( X -
3
1X)= 1200*12
8X – 9X + 3X = 1200*12 2X= 1200*12 X= 2
12*1200 X= 7200
• O valor total da Herança era R$ 7.200,00. ======================================================================= 5. Maria saiu de casa para fazer compras. Gastou 2/7 do que possuía no armazém e ¼ do que restou numa butique. Sabendo que Maria chegara em casa com R$ 3000,00, com que quantia Maria saiu de casa? SOLUÇÃO O dinheiro que ela saiu de casa é K Dinheiro = K
Supermercado = 7
2K Loja de Tecidos =
4
1 do resto Chegou em casa com R$
3000,00
Resto = K - 7
2K Loja de Tecidos =
4
1 (K -
7
2K)
Cálculo :
K - 7
2K -
4
1 (K -
7
2K)= 3000 Obs. Multiplique tudo pelo MMC, para facilitar.
(K - 7
2K -
4
1 (K -
7
2K)= 3000 )*28
28K – 8K – 7K + 2K = 28*3000 15K= 28*3000 K= 15
3000*28
K= 28 * 200 K= 5.600 • Ela saiu de casa com R$ 5.600,00. =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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6. Carpinteiro fez num primeiro dia de trabalho, 2/9 de uma cerca; no segundo dia fez 5/8 desta mesma cerca. Sabendo que no terceiro dia ele fez 220 centímetros e completou a obra, qual é o comprimento desta cerca? SOLUÇÃO Comprimento do muro = X
1º dia = 9
2X 2º dia =
8
5X 3º dia = 220 centímetros
Cálculo:
9
2X +
8
5X + 220= X 220= X -
8
5X -
9
2X Obs. Multiplique pelo MMC.
(220= X - 8
5X -
9
2X)* 72 220 *72= 72X – 45X – 16X 11X= 72 * 220
X= 11
220*72 X= 20 * 72 X= 1440
• O comprimento do muro é 1440 centímetroS ou 14,40 metros. ======================================================================= 7. Fui fazer compras com uma certa quantia de dinheiro. 1/8 desta quantia foi gasto com açougue, ¼ no armazém, a farmácia consumiu a metade do dinheiro e sobraram-me R$ 1000,00. Qual era a quantia inicial? SOLUÇÃO O dinheiro que ela levou = B
Açougue =8
1B Armazém =
4
1B Farmácia =
2
1B Sobrou =
1000
B - 8
1B -
4
1B -
2
1B= 1000 Obs. Multiplique pelo MMC.
(B - 8
1B -
4
1B -
2
1B= 1000)* 8 8B - B - 2B – 4B= 8000 B= 8000
• A quantia inicial era R$ 8.000,00 =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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8. Qual é o número de alunos de uma escola sabendo-se que os homens somam 600 alunos e as mulheres representam 2/3 de todos os alunos da escola? SOLUÇÃO
O total de alunos = Q Mulheres = 3
2Q Homens = 600
• Se as mulheres são 3
2Q, os homens só podem ser
3
1Q, pois, Q são todos os alunos e :
3
2Q +
3
1Q= Q
Homens = 600 3
1Q= Homens, substituindo teremos,
3
1Q= 600 1Q= 600*3 Q= 1800
• Na escola estudam 1800 alunos. ======================================================================= 9. Qual é o tempo gasto por duas torneiras trabalhando juntas para encher uma caixa d’água; sabendo que individualmente uma leva 5 horas e a outra 7 horas? SOLUÇÃO • Similar ao exercício 1.
1ª torneira leva 5 horas para encher sozinha o reservatório, logo a potência dela será 5
P. A
2ª torneira leva 7 horas para encher o mesmo reservatório sozinha, logo sua potência será
7
P. Devemos colocar as duas juntas para encher o reservatório todo, ou seja, 1 reservatório,
logo o trabalho a ser realizado é 1. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado
5
P+
7
P= 1 (
5
P+
7
P= 1 )*35 7P + 5P= 35 12P= 35 P=
12
35 horas
• Multiplicando por 60 para sabermos a quantidade de minutos:
P= 12
35 *60 P= 5*35 minutos P= 175 minutos P= 2 horas e 55 minutos
=======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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10. Uma torneira enche um tanque em 4 horas e outra em 6 horas. As duas torneiras ligadas simultaneamente, encherão o tanque em quanto tempo? SOLUÇÃO Similar ao anterior, mesmo raciocínio;
4
1G +
6
1G= 1 (
4
1G +
6
1G= 1 )*12 3G + 2G= 12 5G= 12
G= 5
12 horas G=
5
12* 60 minutos G= 144 minutos
G= 2 horas e 24 minutos. ======================================================================= 11. Se uma torneira encher um reservatório em 2 horas e outra o esvaziar em 3 horas. Estando as duas simultaneamente abertas, qual será o tempo necessário para encher o reservatório? SOLUÇÃO
1ª torneira enche o tanque em duas horas, logo sua potência será 2
K.
2ª Torneira esvazia o tanque em 3 horas, logo sua potência será -3
K, observe que esta faz
justamente o contrário da primeira, ou seja, a primeira enche e ela esvazia, logo, ela é uma potência negativa. O trabalho a ser realizado é 1, pois precisamos encher 1 tanque. Cálculo . Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado
2
K + (-
3
K)= 1
2
K -
3
K= 1 (
2
K -
3
K= 1)*6 3K - 2K= 6
K= 6 horas • O tempo necessário será de 6 horas. =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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12. Subtraindo-se 3/8 de um número, obtermos 60. Qual é o número? SOLUÇÃO O número é X
X - 8
3X= 60 (X -
8
3X= 60)*8 8X – 3X= 60*8 5X= 60*8
X= 5
8*60 X= 12*8 X= 96
• O número é 96 ======================================================================= 13. Comprei uma moto por R$ 6000,00, dando de entrada uma quantia equivalente a um número cuja soma entre ele e seus 5/6 é R$ 2.200,00. Se o restante for pago em prestações mensais de R$ 200,00, quanto tempo será necessário para quitar o resto da dívida? SOLUÇÃO Preço da moto = 6000 Na entrada tem uma charadinha simples. X= entrada
X + 6
5X= 2200 Obs. Multiplique tudo pelo MMC.
(X + 6
5X= 2200)* 6 6X + 5X= 2200*6 11X= 2200*6
X= 11
6*2200 X= 200*6 X= 1200
Agora que achamos o valor da entrada, podemos calcular o restante e dividir por 200 para ver em quantas parcelas vamos pagar. Restante = 6000- entrada Restante = 6000- X Restante = 6000 - 1200
Restante = 4800 Quantidade de Parcelas = 200
tanRe tes
Quantidade de parcelas = 200
4800 Quantidade de parcelas = 24
=======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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14. Somando minha idade a ¾ da idade de gêmeo, obtermos 35 anos. Há quantos anos eu nasci? SOLUÇÃO • Se for meu irmão gêmeo, logo temos a mesma idade. Idade = K
K + 4
3K= 35 (K +
4
3K= 35)* 4 4K + 3K= 140 7K= 140
K= 7
140 K= 20
======================================================================= 15. A soma da idade do tio e do sobrinho é 52. Descubra a idade de cada um, sabendo que o sobrinho tem a idade correspondente a 1/3 da idade do tio? SOLUÇÃO
Idade do pai = W idade do filho = 3
1W (idade do pai)+(idade do filho)= 52 anos
W + 3
1W= 52 (W +
3
1W= 52)* 3 3W + W= 52*3
4W=52 * 3 W= 4
3*52 W= 13 * 3 W= 39
3
1W=
3
1*39
3
1W= 13
• A idade do pai é 39 anos e a idade do filho corresponde a 13 anos. ======================================================================= 16. Meu salário diminuído de 20%, corresponderá a R$ 720,00. Qual é o meu salário? SOLUÇÃO • Meu salário = X X – 20%X= 720 X= 100%X 100%X – 20%X=
720 • 80%X= 720
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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• Se eu retirar 20% de alguma coisa, é óbvio que o que sobrar será correspondente a 80% desta mesma coisa.
Cálculo. Regra de Três
100
80
%
= X
Valor
720 80X= 720 * 100 X=
80
100*720 X = 9* 100
X= 900 • Meu salário é R$ 900,00, mixaria não é? ======================================================================= 17. Gastei 1/3 do meu dinheiro para pagamento de dívidas atrasadas, do que restou, coloquei 2/3 na poupança e ainda fiquei com R$ 400,00. Qual era o valor correspondente a meu dinheiro? SOLUÇÃO Similar ao anterior.
• Salário = Z Aluguel = 3
1Z Poupança =
3
2(Z -
3
1Z ) Resto = 400
Cálculo
Aluguel + poupança + resto = salário 3
1Z+
3
2(Z -
3
1Z ) + 400= Z
3
1Z +
3
2Z -
9
2Z + 400= Z (
3
1Z +
3
2Z -
9
2Z + 400= Z)* 9
3Z + 6Z – 2Z + 9 * 400= 9Z 400*9 = 9Z – 3Z - 6Z + 2Z
2Z= 400 * 9 Z= 2
9*400
Z= 200 * 9 Z= 1800 • A resposta é R$ 1.800,00 =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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18. A soma da idade da idade do pai com a do filho é igual a 55 anos. Determine a idade de cada um sabendo que a idade do filho é 3/8 da idade do pai? SOLUÇÃO
• A soma da idade dos dois é 55 A de um corresponde a 8
3 da idade do outro
• A idade do mais velho é X Cálculo;
X + 8
3X= 55 (X +
8
3X= 55)* 8 8X + 3X= 55 * 8 11X= 55*8
X= 11
8*55 X= 5*8 X= 40
• O mais velho tem 40 anos e o mais novo tem 15 anos. ======================================================================= 19. José recebeu o pagamento de um acerto feito com a firma onde trabalha. Gastou o dinheiro da seguinte maneira: 1/3 pagou dívidas, ¼ comprou presentes para sua esposa e sobrou-lhe R$ 500,00. Qual era o valor do acerto? SOLUÇÃO • Similar aos anteriores, por isto vou fazer o cálculo • X= o que ele recebeu Sobra = 500 Cálculo.
X - XX4
1
3
1 − = 500 (X - XX4
1
3
1 − = 500)* 12 12X-4X-3X= 500*12
5X= 500*12 X= 5
12*500 X= 100*12 X= 1200
• A resposta é R$ 1.200,00. ======================================================================= 20. Maria percorreu numa primeira parte, um quinto da maratona, na segunda parte percorreu 2000 m e ainda ficaram faltando 2/3 da maratona a serem percorridos até o final da corrida. Quantos metros compreendia todo o percurso?
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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SOLUÇÃO
• X= comprimento da maratona 1ª parte = 5
1X 2ª parte =
3
2(X -
5
1X )
• Ficaram faltando = 2000 metros Cálculo;
X- 5
1X -
3
2(X -
5
1X )= 2000 (X-
5
1X -
3
2(X -
5
1X )= 2000 )* 15
(X - 5
1X -
3
2X + 2000
15
2 =X )* 15 15X - 3X -10X + 2X= 2000*15
4X= 2000*15 X= 4
15*2000 X= 500 * 15 X= 7.500
• A resposta é 7.500 metros; ======================================================================= 21. Dois datilógrafos estão trabalhando simultaneamente para cumprir uma determinada tarefa. Quanto tempo será necessário, se um deles sozinho a realizaria em 20 horas e o outro, trabalhando sozinho a realizaria em 12 horas? SOLUÇÃO Este é similar aos exercícios 1,9, 10, 11...
• Temos duas potências: 1º datilógrafo, potência 20
x; 2º datilógrafo, potência
12
x.
• Trabalho = 1, pois, trata-se de uma 1 tarefa. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado
20
x +
12
x= 1 (
20
x +
12
x= 1)* 60 3x + 5x= 60 8x= 60
X=8
60 X=
2
15 Horas X=
2
15* 60 minutos
X= 15*30 X= 450 X= 7 horas e 30 minutos =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
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22. Um fruticultor, para encher uma camioneta de melões, demora 45 minutos. Sua mulher, para vender todos os melões, estando a camioneta cheia, demora 60 minutos. Se os dois iniciarem as atividades juntos, em quanto tempo o veículo estará cheio? SOLUÇÃO Este exercício é similar ao anterior
• Fruticultor = 1X Mulher = -
4
3X
= - 3
4x (negativo devido ela está trabalhando em
sentido contrário ao de seu marido) • Trabalho = 1, pois, só se refere a encher uma camioneta. Potência 1 + Potência 2= trabalho realizado
X + (-3
4x)= 1 (X + (-
3
4x)= 1)*3 3x – 4x= 3 -x= 3 horas
Obs. Como não existe tempo negativo, então podemos dizer que a resposta será: x= 3 horas ======================================================================= 23. Uma torneira enche um tanque em 9 horas e outra em 12 horas. Essas duas funcionando juntas, mais uma terceira, o tanque ficará cheio em 4 horas. Quanto tempo a terceira torneira necessita para encher o mesmo tanque funcionando sozinha? SOLUÇÃO • Observe que neste exercício, não o tempo que estamos procurando e sim, uma das
potências, portanto, a variável K, deve representar este valor.
• 1ª potência = 9
1 2ª potência =
12
1 3ª potência =
K
1 Tempo = 4
horas
• Potência Total = tempo
Trabalho=
4
1
Potência 1 + Potência 2 + potência 3= potência total
9
1 +
12
1 +
K
1=
4
1 (
9
1 +
12
1 +
K
1=
4
1)* 36K 4K+3K+36=9K
36= 9K-4K-3K 2K=36 K= 2
36 K= 18
Exercícios: Matemática - Resolvidos
16
• Como os denominadores representam o tempo que cada torneira leva para fazer o trabalho sozinha, logo, o tempo gasto pela terceira torneira será 18 horas.
======================================================================= 24. João recebeu seu 13º salário e resolveu gastá-lo da maneira seguinte: metade guardou na caderneta de poupança; 3/5 do que sobrou, comprou presentes para a família e o restante, R$ 50,00, usou para a ceia de natal. Quanto ele recebeu de 13º salário? SOLUÇÃO Este exercício é similar ao exercício 17, portanto farei somente o cálculo. Salário =X
X - 50)2
1(
5
3
2
1 =−− XXX (X - 50)2
1(
5
3
2
1 =−− XXX )*10
10X – 5X – 6X + 3X= 500 2X= 500 X=2
500 X= 250
======================================================================= 25. Ivete usou 2/5 de seu salário em alimentação, 1/3 em aluguel e outras contas, gastando também R$ 200,00 com roupas. Quando percebeu, só tinha R$ 300,00, portanto, qual era o salário recebido por Ivete? SOLUÇÃO Este é similar ao 20. Salário = S
3002003
1
5
2 =−−− SSS ( 3002003
1
5
2 =−−− SSS )*15
15*)2003003
1
5
2( +=−− SSS 15*)500
3
1
5
2( =−− SSS
15*5005615 =−− SSS 500*154 =S S= 4
500*15
S= 125*15 S= 1875 =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
17
26. Numa corrida de 5000 m, sob um calor de 38 graus, um quarto dos competidores abandonou a prova nos primeiros 2000 m, e, em seguida, aos 3500 m, um sétimo dos competidores abandonaram também a prova. Sabendo que somente 17 competidores terminaram a prova, quantos competidores iniciaram a prova? SOLUÇÃO Similar ao anterior veja o cálculo. C= número de competidores que iniciaram a corrida
177
1
4
1 =−− CCC ( 177
1
4
1 =−− CCC )*28
28C-7C- 4C=17*28 17C=17*28
C=17
28*17 C=28
======================================================================= 27. Numa indústria o número de mulheres é igual a 3/5 do número de homens. Se fossem admitidas mais 20 mulheres, o número de mulheres seria igual a metade dos funcionários. Quantos homens e quantas mulheres trabalham na indústria? SOLUÇÃO
H= homens M= mulheres M= H5
3
• No problema fala que contratando mais 20 mulheres, o número de mulheres se equipara ao número de homens, logo: M+20=H
M+20=H Substituindo M= H5
3, termos
HH =+ 205
3 5*)20
5
3( HH =+ HH 51003 =+
HH 35100 −= H2100 = 2
100=H 50=H
• Agora que sabemos que a quantidade de homens é 50, fica fácil descobrir a quantidade de mulher.
M= H5
3 M=
5
3*50 M= 3*10 M=30
50 homens e 30 mulheres. =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
18
28. Num terreno de 490m2, a área construída é de 2/7 da metade do terreno acrescida de 68m2. Quanto mede a área livre do terreno? SOLUÇÃO
• 490 m2 é a área total 72 é da metade da área 245 m2 é a metade da
área
• Área livre = 490 m2 – ( 72 *245 + 68 m2)
Área livre = 490 – ( 72 *245 +68) Área livre = 490 – 138
Área livre = 352 m2
======================================================================= 29. O triplo da quantia que Rui tem, menos R$ 100,00 é igual a R$ 500,00. Qual é a quantia que Rui possui? SOLUÇÃO Muito elementar • X= valor
5001003 =−X 1005003 +=X 6003 =X
3
600=X 200=X
O valor é R$ 200,00. ======================================================================= 30. Cristina e Karina possuem juntas R$ 280,00. Cristina têm R$ 60,00 a mais que Karina. Qual é a quantia que cada uma possui? SOLUÇÃO Cristina = C Karina = K
280=+ KC 60+= KC agora vamos substituir C por (K+60)
Exercícios: Matemática - Resolvidos
19
28060 =++ KK 602802 −=K 2202 =K
2
220=K 110=K
Karina = R$ 110,00 Cristina = Karina +60 Cristina = 110 + 60 Cristina = R$ 170,00 ======================================================================= 31. Uma TV e uma geladeira custam, juntas, R$ 1800,00. A geladeira custa R$ 400,00 a mais que a TV. Qual é o preço de cada objeto? SOLUÇÃO Objeto = X Objeto = K 800.1=+ KX 400+= KX
800.1400 =++ KK 400800.12 −=K 14002 =K 2
400.1=K
700=K 400700 +=X 1100=X • Um custa R$ 700,00 e o outro R$ 1100,00. ======================================================================= 32. Num torneio internacional, Luiz Fabiano e Ronaldo marcaram juntos 12 gols. Como Ronaldo marcou dois gols a mais que o companheiro Luiz Fabiano, quantos gols marcaram cada um? SOLUÇÃO
12=+ RL 2+= LR 122 =++ LL 102 =L 5=L 7=R
======================================================================= 33. Pedro tem um terreno de 540m2. Pedro realizou uma construção nesse terreno. Sabe-se que a área construída é de 2/9 da propriedade. Sabendo-se que 20% da área construída consumiu 38 sacos de cimento e que, o saco de cimento custa R$ 15,00. Quanto foi gasto com cimento na obra?
Exercícios: Matemática - Resolvidos
20
SOLUÇÃO
• Área do terreno = 540 m2 Área construída = 120540*9
2 = m2
• 20% da área construída consumiram 38 sacos de cimentos • Um saco de cimento = R$ 15,00 • 20% da área construída = 38*15= R$ 570,00
• 20% da área construída = 5
1 da área construída
• Área construída total = 5
1*5
• Custo total em cimentos = 15*38*5 • Custo total em cimentos = R$ 2850,00 ======================================================================= 34. A soma de dois números consecutivos é 41. Quais são estes números? SOLUÇÃO • Lembre-se: o sucessor de X e ( X + 1)
• 41)1( =++ XX 402 =X 2
40=X 20=X
• A+B=41 A=X B= X+1 A=20 • B= 21 ======================================================================= 35. A soma de dois números pares consecutivos, é equivalente a 86. Calcule estes dois números. SOLUÇÃO • Lembre-se: o sucessor X, qdo. ele é par; é (X+2) e, (X+2) também será par. A= X B= X+2 A+B=86 86)2( =++ XX 842 =X
2
84=X 42=X
A=42 B=44 =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
21
36. 51 bolinhas devem ser repartidas entre 3 crianças, de modo que, a segunda tenha 3 bolinhas a mais que a primeira e a terceira tenha o dobro de bolinhas da primeira. Quantas bolinhas devem ser entregues a cada criança? SOLUÇÃO • AS caixas são respectivamente A, B e C. • 3+= AB AC 2=
51=++ CBA 512)3( =+++ AAA 3512 −=++ AAA
484 =A 4
48=A 12=A
12=A 15=B 24=C ======================================================================= 37. Roberto, Cíntia e Raquel têm, juntos, 38 anos. Roberto tem o dobro da idade de Raquel e Cíntia tem 6 anos a mais que Raquel. Qual a idade de Raquel? SOLUÇÃO • 38=++ RAQUELCÍNTIAROBERTO RAQUELROBERTO 2=
• 6+= RAQUELCÍNTIA • 3862 =+++ RAQUELRAQUELRAQUEL 6384 −=RAQUEL
• 324 =RAQUEL 4
32=RAQUEL
• ANOSRAQUEL 8= ======================================================================= 38. Quantos anos têm Rogério, sabendo-se que o dobro da idade somado a sexta parte desta mesma idade, é igual a 26? SOLUÇÃO
• 266
12 =+ ROGÉRIOROGÉRIO 6*)26
6
12( =+ ROGÉRIOROGÉRIO
• 6*2612 =+ ROGÉRIOROGÉRIO 6*2613 =ROGÉRIO
Exercícios: Matemática - Resolvidos
22
• 13
6*26=ROGÉRIO 6*2=ROGÉRIO
• ANOSROGÉRIO 12= ======================================================================= 39. Subtraindo 18 do triplo de um número, obtém-se ¾ desse número. Descubra o número? SOLUÇÃO
• XX4
3183 =− 4*)
4
3183( XX =− XX 318*412 =−
• 4*18312 =− XX 4*189 =X 9
4*18=X
• 4*2=X 8=X ======================================================================= 40. A medida da altura de um retângulo é equivalente a 2/3 da medida da base. Determine as dimensões sabendo que o perímetro é 60 m. SOLUÇÃO • A figura acima é um retângulo;
• Segundo dados do problema, BA3
2=
• O perímetro é a soma de todos o lados = BA 22 + • Perímetro = 60 m
• BA 22 + = 60 6023
2*2 =+ BB 3*)602
3
2*2( =+ BB
• 3*6064 =+ BB 18010 =B 10
180=B
• Base = 18 meros Altura = 12 metros =======================================================================
Lado A
Base B
Exercícios: Matemática - Resolvidos
23
41. Sabendo que o comprimento da base retângulo é equivalente ao triplo do comprimento da altura e que o perímetro é 80 metros. Qual é o valor correspondente a base e a altura deste retângulo? SOLUÇÃO • Similar ao anterior, então veja só o cálculo; • AB 3= B= base A= altura perímetro=80 perímetro
= AB 22 +
• AB 22 + =80 8023*2 =+ AA 808 =A 8
80=A
• 10=A 30=B ======================================================================= 42. As idades de dois irmãos são correspondentes a dois números pares consecutivos cuja soma resulta 38. Quais são as idades dos dois? SOLUÇÃO • Similar ao 35, então veja somente o cálculo; • XA = 2+= XB 38=+ BA 38)2( =++ XX
• 3822 =+X 2382 −=X 362 =X 2
36=X
• 18=X 18=A 20=B ======================================================================= 43. Determine dois números ímpares consecutivos sabendo que a soma deles corresponde a 44. SOLUÇÃO • Sempre que o problema falar em número pares ou ímpares consecutivos, você vai usa X
e ( X+2), caso sejam apenas números consecutivos, x e ( x+1). • XA = 2+= XB 44=+ BA 44)2( =++ XX
• 2442 −=X 2
42=X 21=X
• 21=A 23=B =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
24
44. A medida da base e da altura de retângulo são correspondente a dois números ímpares e consecutivos. Sabendo que o perímetro deste retângulo é 64 metros, determine a medida da base e da altura. SOLUÇÃO • Já fizemos um exercício envolvendo perímetro • Perímetro = 2A+2B=64 Somados da base com a altura = A+B=32 • A= X B= X+2
• 322 =++ XX 302 =X 2
30=X 30=X
• A= 15m B= 17m =======================================================================
45. A soma da idade do pai e do filho é 55 anos, e que a idade do filho corresponde a 8
3 da
idade do pai. Qual a idade de cada um? SOLUÇÃO • Este exercício já foi resolvido anteriormente;
• Pai =X filho = X8
3
• 558
3 =+ XX 8*)558
3( =+ XX 8*5538 =+ XX 8*5511 =X
• 11
8*55=X 8*5=X 40=X
• Pai = 40 anos Filho = X8
3 Filho = 40*
8
3 Filho = 15 anos
======================================================================= 46. A idade do filho é igual a quinta parte da idade de seu pai acrescida de 2. Qual a idade de cada um se a idade dos dois juntas somariam 50? SOLUÇÃO • Similar ao anterior
• Pai = X Filho = 25
1 +X 50=+ FilhoPai
Exercícios: Matemática - Resolvidos
25
• 5025
1 =++ XX ( 5025
1 =++ XX )* 5 250105 =++ XX
• 102506 −=X 2406 =X 6
240=X 40=X
• Pai = 40 anos Filho = 240*5
1 + Filho = 10 anos
======================================================================= 47. Um aluno perguntou ao professor de matemática qual era sua idade. O professor
respondeu:_ 5
2 de minha idade adicionado a 3 é igual à metade de minha idade. Qual era a
idade do professor? SOLUÇÃO • Similar ao 39.
• Idade = X XX2
13
5
2 =+ XX5
2
2
13 −=
• 10*)5
2
2
13( XX −= XX 4530 −= 30=X
• A idade do professor é 30 anos. ======================================================================= 48. Numa escola os alunos da 5ª série estão agrupados em turmas de 40 alunos, distribuídas em 2 andares com 3 turmas cada um. Quantos alunos da 5ª série existem nessa escola? SOLUÇÃO
• Este é uma simples multiplicação; • =alunosturmasandares ** quantidade de alunos da 5ª série
alunos24040*3*2 = =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
26
49. A família A, de 5 pessoas e a família B, de 4 pessoas, combinaram de passar as férias em uma casa de campo, com as despesas comum, distribuída conforme o número de pessoas de cada família. Terminadas as férias, verificou-se que a família A gastara R$ 842,40 e família B gastara R$ 934,20; razão pela qual tiveram que fazer uns ajustes nas contas. Que quantia a família A teve que dar à família B, já que as despesas eram comuns? SOLUÇÃO • Família A = 5 pessoas Família B = 4 pessoas Família A gastou R$ 842,40 • Família B gastou R$ 934,20 Gasto total = R$ 1776,60 • Lembre-se, as despesas são comuns, divididas conformes o número de integrantes de
cada família. O gasto total será dividido em 9 cotas iguais, sendo que 4 destas cotas serão pagas pela família B e as outras 5 cotas serão pagas pela família A.
• 9
cotfamíliaBFamíliaA
a+=
9
2,9344,842cot
+=a 9
6,1776cot =a
• 4,197cot =a • 6,197*5=FamíliaA 4,197*4=FamíliaB • 00,987$RFamíliaA= 40,790$RFamíliaB = • Observe que a Família A gastou bem menos do que teve que pagar, visto que as
despesas eram comuns; observe também, que a Família B, gastou bem mais que o que deveria pagar, este excesso, fora pago pela família A. Calculemos esta diferença:
• (Família A teve de pagar) – (Família A gastou) = (Gasto da Família B, pago pela Família A)
• excesso=− 40,84200,987 60,144=excesso • A Família A, pagou R$ 144,60 dos gastos feito pela família B. ======================================================================= 50. A quantidade de selos que tenho, mais a sua metade, mais a quinta parte, mais sua terça parte menos 200 somam um total de 410 selos. Quanto representa 30% de selos que possuo? SOLUÇÃO • Vários exercícios similares a este já foram solucionados, então veja somente o cálculo; • X= quantidade de selos
• 4102005
1
3
1
2
1 =−+++ XXXX
• 30*)6105
1
3
1
2
1( =+++ XXXX
• 30*6106101530 =+++ XXXX
Exercícios: Matemática - Resolvidos
27
• 300*6161 =X 61
300*61=X
• 300=X • A quantidade de selos do camarada é 300, mas ele está solicitando somente uma
informação referente à 30% destes selos;
• 9030*310
300*3300*
10
3300*
100
30300*%30Re ======sposta
======================================================================= 51. A idade do filho é igual a ¼ da idade do pai. Qual a idade do filho, sabendo que a soma das duas é 50? SOLUÇÃO • Já foram resolvidos vários exercícios similares a este, então veja o cálculo
• Pai = B Filho = B4
1 Pai + Filho = 50
• 504
1 =+ BB 504
5 =B
5
4*50=B
• 40=B Pai • = 40 anos Filho = 10 anos ======================================================================= 52. Pedro, funcionário de uma empresa, recebeu o salário do mês e o gastou da seguinte
maneira: 5
1 comprou roupas; 20% do que sobrou, comprou alimentação. Sobraram R$
160,00. Quanto Pedro gastou com alimentação? SOLUÇÃO
• )5
1(*%20lim SSentaçãoA −= )250*
5
1250(*%20lim −=entaçãoa
• )50250(*5
1lim −=entaçãoA 200*
5
1lim =entaçãoA
• 00,40$lim RentaçãoA = =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
28
53. Carlos recebeu o salário e o gastou da seguinte maneira: 40% do salário comprou
roupas; 5
2 comprou sapatos; metade do que sobrou comprou presentes para a namorada.
Sobraram R$ 50,00. Qual o salário de Carlos? SOLUÇÃO • Este é similar ao anterior, inclusive, mais fácil, pois, pede apenas o salário.
• Salário = X Roupas = 40% de X Sapatos = X5
2
5
2
100
40%40 == )
5
2*%40(Re XXXsto +−=
• 50)5
2
100
40(
2
1
5
2
100
40 =−−−−− XXXXXX
• 50)5
2
5
2(
2
1
5
2
5
2 =−−−−− XXXXXX
• 50)5
4(
2
1
5
2
5
2 =−−−− XXXXX
• 50)5
1(
2
1
5
4 =−− XXX 10*)5010
1
5
4( =−− XXX
• 500810 =−− XXX 500=X • O salário corresponde a R$ 500,00 ======================================================================= 54. Uma senhora comprou 10 dúzias de ovos e 3 galinhas por R$ 1.500,00 ( que diabo de galinha cara é esta). Quanto custou cada ovo e cada galinha sabendo que uma galinha custa o mesmo que 10 ovos? SOLUÇÃO • Para resolver este problema, temos de desenvolver um sistema de equações do primeiro
grau, onde uma das equações será referente ao preço e outra à igualdade entre ovos e galinhas.
• 15003120 =+ GALINHASOVOS OVOSGALINHA 101 = • 150010*3120 =+ OVOSOVOS 150030120 =+ OVOSOVOS
• 1500150 =OVOS 150
1500=OVOS 10=OVOS
• 10010*10 ==GALINHA =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
29
55. Um operário ganha R$ 120,00 por dia trabalhado e paga multa de R$ 50,00 por falta injustificada. Depois de 60 dias, este operário recebeu proventos na ordem de R$ 6.350,00. Quantos dias ele efetivamente trabalhou? SOLUÇÃO • Dia trabalhado =R$ 120,00 Falta não justificada = R$ 50,00 • T é dia trabalhado F é falta não justificada • Somando os dias trabalhados e as faltas, resultará em 60 dias, • O dinheiro que ele recebeu pelos dias trabalhados, é equivalente a 120T, onde T
representa o número de dias trabalhados; • O dinheiro pago pelas faltas não justificadas, é 50F, onde F representa o número de
faltas. • A quantidade que ele recebeu é equivalente ao dinheiro recebido pelos dias trabalhados,
subtraindo o valor pago palas faltas, • Observando as informações acima, procedamos ao cálculo; • 60=+ FT 635050120 =− FT • Somando as duas equações acima, teremos uma solução.
• 635050120
60
=−=+
FT
FT
, para somarmos este sistema com maior facilidade, vamos multiplicar
a primeira parcela por (50), isto não é necessário, só estou fazendo para facilitar o cálculo, podes somar da maneira em que o sistema está posto acima, mas o cálculo ficará bem mais complexo. Veja que ao multiplicar a primeira parcela por (50), a variável F, desaparecerá.
• 635050120
50*)60(
=−=+
FT
FT
635050120
30005050
=−=+
FT
FT
• 9350170
6350120
300050
==
=
T
T
T
9350170 =T 170
9350=T
• 55=T • Agora sabemos que ele trabalhou somente 55 dias, e faltou 5 dias. =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
30
56. Cláudia comprou 25 metros de cambraia e 12 metros de seda por R$ 4.800,00. Pergunta-se, quanto custou o metro de cada fazenda, já que o metro de cambraia custa R$ 30,00 menos que o metro de seda? SOLUÇÃO • Este exercício se resolve com sistemas de equações, igual aos 2 anteriores. • C = cambraia S = seda C = 25 metros S = 12 metros • Como esta mercadoria é vendida por metros, então procedamos; • C = S – 30 25C +12S= 4.800 substituindo, teremos; • 800.412)30(25 =+− SS 800.41275025 =+− SS
• 750480037 +=S 555037 =S
• 37
5550=S 150=S 120=C
• A seda custa R$ 150,00 o metro, e a cambraia custa R$ 120,00. ======================================================================= 57. Numa festa filantrópica, o convite para homens custava R$ 15,00 e para mulheres, R$ 10,00 ( a graça de uma festa são as mulheres, não tem nem lógica se os convites custassem o mesmo preço para homens e mulheres, as mulheres deveriam entrar de graça). Sabendo que o número de mulheres excede o número de homens em 5 e que o valor arrecadado com os convites corresponde a R$ 550,00. Quantas mulheres foram a festa? SOLUÇÃO
• 00,15$
00,10$
RHomens
RMulheres
==
5+= HomensMulheres 00,550$RoArrecadaçã =
• Sabemos que a arrecadação é a soma do dinheiro dos ingressos de homens e mulheres. • Vamos armar as relações demos: 550hom1510 =+ ensmulheres • 5hom =− ensMulheres
• 550155010
550hom15)5(hom10
=++
=++
HomnesHomens
ensens
50025
5055025
=−=
Homens
Homens
• 25
500=Homens 20=Homens
• Na festa havia 20 homens e 25 mulheres. =======================================================================
Exercícios: Matemática - Resolvidos
31
58. Numa granja ha 870 aves, entre galinhas e frangos. Cada galinha abatida vale R$ 3,00 e o frango abatido vale R$ 5,00. Considerando que o total apurado com o abate foi de R$ 3.150,00, quantos frangos foram abatidos? SOLUÇÃO
• 00,150.353
870
=+=+
frangosgalinhas
frangosgalinhas
00,5$
00,3$
Rfrangos
Rgalinhas
==
• 150.353
)3(*)870(
=+−=+
frangosgalinhas
frangosgalinhas
Multiplicando por (-3), facilita.
• 5402
150.353
261033
==+
−=−−
frangos
frangosgalinhas
frangosgalinhas
• 2
540
5402
=
=
frangos
frangos
270=frangos
======================================================================= 59. Num edifício ha apartamentos de 2 e 4 quartos para alugar. Ao todo são 58 apartamentos. O aluguel de um apartamento de 2 quartos custa R$ 400,00. Se todos os apartamentos fossem alugados, a receita seria de R$ 30.600,00. Acontece que somente apartamentos de 2 quartos foram alugados, resultando assim, num prejuízo de R$ 22.200,00. Pergunta-se quantos apartamentos não foram alugados e qual o valor do aluguel de cada um deles? SOLUÇÃO
• qY
qX
4
2
==
X representa os apartamentos de 2 quantos e Y os de 4 quartos
•
?
00,400$
58
==
=+
Y
RX
YX
prejuízoreceitaAlugueisX
Rejuízo
Rreceita
−==
=00,200.22$Pr
00,600.30$
Exercícios: Matemática - Resolvidos
32
• Todos os apartamento de 2 quartos foram alugados, o prejuízo corresponde ao aluguel dos apartamentos de 4 quartos. Basta-nos, descobrir agora quantos são os apartamentos de 2 quantos?
•
00,400$
00,400.8$
00,400.8$
R
RX
RAluguéisX
=
= 21=X
• osapartamentY 37= 37
22200=Y 00,600$RY =
======================================================================= 60. Num estacionamento há 76 veículos entre carros e motos. Sabendo que o total de rodas no estacionamento é de 212, pergunta-se, quantos carros e quantas motos há neste estacionamento? SOLUÇÃO
•
212
2
4
76
===
=+
rodas
rodasmotos
rodascarros
motoscarros
Vamos armar o sistema
21224
76
=+=+
motoscarros
motoscarros
Vamos multiplicar por (-2) para facilitar
• 21224
)2(*)76(
=+−=+
motoscarros
motoscarros
602
21224
15222
==+
−=−−
carros
motoscarros
motoscarros
•
2
60
302
=
=
carros
carros
46
30
==
motos
carros
=============================== F I M ==================================
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