Experimentos Balanceados com Dois Fatoresbotter/mae317/Exp_2_fatores...Experimentos com dois fatores...

Experimentos Balanceadoscom Dois Fatores

Experimentos com dois fatores cruzados fixos

Exemplo1. Objetivo. Investigar os efeitos do preco de venda e

do tipo de campanha promocional nas vendas de certo produto.

Preco: R$ 1,00, R$ 1,20 e R$ 1,50. Campanha: Jornal, Tele-

visao.

Tratamentos Descricao1 R$ 1,00; Jornal2 R$ 1,20; Jornal3 R$ 1,50; Jornal4 R$ 1,00; Televisao5 R$ 1,20; Televisao6 R$ 1,50; Televisao

1

Doze comunidades de mesma densidade populacional e carac-

terısticas socio-economicas foram escolhidas ao acaso. Os tra-

tamentos foram atribuıdos a elas de forma aleatoria, de modo

que o mesmo tratamento foi alocado a 2 comunidades.

Resumo. Estudo experimental balanceado, completamente ca-

sualizado com dois fatores fixos e cruzados.

2

Exemplo 2. Objetivo. Estudar os efeitos da renda familiaranual e estagio da vida familiar nas aplicacoes financeiras.

Renda Familiar: R$ < 15000,00, R$ 15000,00 a menos de30000,00, R$ 30000,00 a menos de R$ 50000,00 e igual ousuperior a R$ 50000,00. Fator A - 4 nıveis.

Estagio da vida familiar: 1, 2, 3 e 4. Fator B - 4 nıveis.

Numero de tratamentos: 16; Unidade experimental: famılia.

Foram selecionadas 20 famılias com as caracterısticas de rendafamiliar e estagio de vida familiar requeridos para cada trata-mento definido. No total foram selecionadas 320 famılias.

Resumo. Estudo observacional balanceado, completamente ca-sualizado com dois fatores fixos e cruzados.

3

Exemplo 3. Objetivo. Estudar os efeitos genero e de tresdrogas para tratar a hipertensao sobre a pressao sanguınea.

Drogas: A, B e C. Fator A - 3 nıveis.

Genero: Masculino, Feminino. Fator B (Bloco) - 2 nıveis.

Numero de tratamentos: 6; Unidade experimental: paciente hi-pertenso.

Foram selecionados 30 pacientes homens hipertensos e 30 paci-entes mulheres hipertensas. Dos 30 homens, 10 foram sorteadospara receber cada droga. O mesmo ocorreu para as 30 mulheres.No total foram selecionados 60 pacientes.

Resumo. Temos um fator observacional (genero) e um fatorexperimental (droga).

4

Estudos fatoriais completos e fracionarios

Completos: Todas as possıveis combinacoes dos nıveis dos fa-

tores (tratamentos) sao incluıdas no estudo.

Fracionarios: Ocorre quando o numero de combinacoes de

nıveis dos fatores (tratamentos) e muito grande. Apenas uma

fracao dessas combinacoes e considerada. O planejamento e re-

alizado de modo que informacoes sobre os efeitos principais dos

fatores possam ser estabelecidas.

5

Interpretacao dos elementosdo modelo de ANOVA

Vamos considerar a princıpio que as medias populacionais sao

conhecidas.

Exemplo 4. Objetivo. Estudar os efeitos de genero e idade

no aprendizado de certa tarefa, avaliado por meio do tempo de

aprendizado da tarefa (em minutos).

Vamos considerar os fatores A (genero) e B (idade) fixos e cru-

zados sendo os nıveis de A, masculino e feminino, e de B, jovem,

meia-idade e idoso.

6

Medias dos tratamentos

µij: resposta media populacional onde i refere-se ao nıvel do fator

A (i = 1, . . . , a) e j refere-se ao nıvel do fator B (j = 1, . . . , b).

Tabela 1. Valores reais de µij para o Exemplo 4.

Idade (B)j = 1 j = 2 j = 3 Media

Sexo (A) Jovem Meia-idade Velho por linhai = 1 Masculino 9 11 16 12i = 2 Feminino 9 11 16 12Media por coluna 9 11 16 12

7

Interpretacao de µij

Estudo observacional: corresponde a media populacional da

variavel resposta para os elementos tendo as caracterısticas do

nıvel i do fator A e do nıvel j do fator B. No exemplo, µ11

e o tempo medio de aprendizado para a populacao de homens

jovens.

Estudo experimental: resposta media que seria obtida se o

tratamento consistindo do nıvel i do fator A e do nıvel j do fa-

tor B fosse aplicado a todas as unidades experimentais de uma

populacao sobre a qual queremos realizar inferencias. No exem-

plo do Preco versus Campanha promocional, µij seria a venda

media do produto se o preco i e a campanha j fossem atribuıdos

a todas as comunidades de uma populacao.

8

Medias dos nıveis dos fatores

• µ.j =∑ai=1 µija , µi. =

∑bj=1 µijb ,

µ.. =

∑ai=1

∑bj=1 µij

ab =∑ai=1 µi.a =

∑bj=1 µj.b

• µ1.: media populacional de tempo de aprendizado para o sexomasculino (12)

• µ.2: media populacional de tempo de aprendizado para ameia-idade (11)

• µ..: media geral populacional de tempo de aprendizado paratodas as idades e ambos os sexos (12)

9

Efeitos Principais

• αi = µi. − µ..: efeito principal do nıvel i do fator A

• βj = µ.j − µ..: efeito principal do nıvel j do fator B

• Da definicao de µ.. segue que

a∑i=1

αi =b∑

j=1

βj = 0

O efeito principal indica quanto a media do nıvel do fator desvia-

se da media geral.

10

Exemplo 4: Tabela 1

• β1 = µ.1 − µ.. = 9 − 12 = −3 (efeito principal para pessoas

jovens)

• α1 = µ1. − µ.. = 12 − 12 = 0 (efeito principal para o sexo

masculino)

Observar que α1 = α2 = 0, ou seja, o fator sexo nao afeta o

tempo medio de aprendizado.

11

Aditividade dos efeitos dos fatores

µij = µ.. + αi + βj

Neste caso,

µij − µi′j = c, i 6= i′, todo j

ou

µij − µij′ = c, j 6= j′, todo i

12

• Quando os efeitos de A e B sao aditivos temos que toda a

informacao sobre os efeitos dos fatores A e B sobre a variavel

resposta pode ser obtida fazendo-se inferencias apenas sobre

as medias populacionais µi. e µ.j.

• Dizer que os efeitos dos fatores sao aditivos, equivale a di-

zer que os fatores nao interagem ou que nao ha efeito de

interacao entre os fatores. Em outras palavras, o efeito de

cada fator nao depende do nıvel do outro fator.

13

MasculinoFeminino

16

15

14

13

12

11

10

9

Gênero

Tem

po m

édio

de

apre

ndi

zado

IdosoJovemMeia-idade

Idade

Grafico 1. Grafico de interacao para as medias da Tabela 1

Os fatores Genero e Idade nao interagem. Ha efeito de Idademas nao de Genero.

14

Meios de reconhecer que dois fatores nao interagem

• A diferenca entre as respostas medias para quaisquer doisnıveis do fator B e a mesma para todos os nıveis do fatorA. Notar que nao e necessario que as diferencas, digamos,entre os nıveis 1 e 2 e entre os nıveis 2 e 3 do fator B sejamas mesmas.

• A diferenca entre as respostas medias para quaisquer doisnıveis do fator A e a mesma para todos os nıveis do fator B.

• As curvas das respostas medias para os diferentes nıveis deum fator sao todas paralelas.

Todas essas condicoes sao equivalentes.

15

Tabela 2. Valores reais de µij para o Exemplo 4.

IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha

Masculino 11 13 18 14Feminino 7 9 14 10

Media - Coluna 9 11 16 12

16

Meia-idadeJovemIdoso

18

16

14

12

10

8

6

Idade

Tem

po m

édio

de

apre

ndi

zado

FemininoMasculino

Gênero

Grafico 2. Grafico de interacao para as medias da Tabela 2

Os fatores Genero e Idade nao interagem. Ha efeito de Idade ede Genero.

17

Interacao entre os efeitos dos fatores

Tabela 3. Valores reais de µij para o Exemplo 4.

IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha

Masculino 9 12 18 13Feminino 9 10 14 11

Media - Coluna 9 11 16 12

18

Meia-idadeJovemIdoso

18

16

14

12

10

Idade

Tem

po m

édio

de

apre

ndi

zado

FemininoMasculino

Gênero

Grafico 3. Grafico de interacao para as medias da Tabela 3

Os fatores Genero e Idade interagem.

19

A Tabela 3 e o Grafico 3 mostram que nao ha efeito de Genero

sobre o tempo medio de aprendizado para os Jovens. No entanto,

esse efeito e consideravel para os idosos. Essa diferenca no efeito

de Genero sobre o tempo medio de aprendizado em funcao da

Idade, implica que os efeitos de Genero e de Idade interagem.

Definicao de interacao

Se µij = µ..+αi+βj, os efeitos sao aditivos, ou seja, nao intera-

gem. Para as medias da Tabela 3, temos µ11 = 9, enquanto que

µ.. + α1 + β1 = 12 + 1 + (−3) = 10. Logo, os efeitos de Genero

e de Idade interagem.

20

Efeito de interacao. Diferenca entre µij e µ.. + αi + βj (valor

esperado para µij se os fatores forem aditivos).

Formalmente, o efeito de interacao ou interacao entre o i-

esimo nıvel do fator A e o j-esimo nıvel do Fator B e denotado

por (αβ)ij e definido por

(αβ)ij = µij − (µ.. + αi + βj)

ou

(αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ...

21

Se os fatores A e B forem aditivos (nao interagem), todos os

efeitos de interacao sao nulos, isto e, (αβ)ij = 0, para todo i e

j.

Para as medias da Tabela 3, temos

(αβ)13 = µ13 − (µ.. + α1 + β3) = 18− (12 + 1 + 4) = 1.

Reconhecimento das interacoes. Para decidir se os efeitos de

interacao estao ou nao presentes, devemos:

• Examinar se todos os µij podem ser expressos como µ.. +

αi + βj;

22

• Examinar se a diferenca entre as respostas medias para

quaisquer dois nıveis do fator B e a mesma para todos os

nıveis do fator A;

• Examinar se a diferenca entre as respostas medias para

quaisquer dois nıveis do fator A e a mesma para todos os

nıveis do fator B;

• Examinar se as curvas das medias dos tratamentos num

grafico de interacao sao paralelas.

23

Comentarios.

• Podemos ter alguns efeitos de interacao nulos embora os doisfatores interajam. Todos os efeitos de interacao devem sernulos para que os dois fatores sejam aditivos;

• Temos os seguintes resultados:∑i

(αβ)ij = 0, j = 1, . . . , b;

∑j

(αβ)ij = 0, i = 1, . . . , a;

∑i

∑j

(αβ)ij = 0.

24

Interacoes importantes e nao importantes.

• Importantes. Quando 2 fatores interagem, nao ha sentido

em examinar os efeitos de cada fator separadamente em ter-

mos das medias µi. e µ.j;

• Nao importantes. Os efeitos de interacao sao tao peque-

nos que nao sao considerados importantes (as curvas medias

sao quase paralelas). Neste caso, a analise dos efeitos dos

fatores pode ser realizada como se nao existisse interacao.

Cada fator pode ser estudado separadamente, com base em

µi. e µ.j, respectivamente. A analise e mais simples do que a

baseada em µij, quando o efeito de interacao esta presente.

25

Tabela 4. Valores reais de µij para o Exemplo 4.

IdadeSexo Jovem Meia-idade Velho Media - Linha

Masculino 9,75 12 17,75 13Feminino 8,25 10 14,75 11

Media - Coluna 9 11 16 12

26

Meia-idadeJovemIdoso

17

16

15

14

13

12

11

10

9

8

Idade

Tem

po m

édio

de

apre

ndi

zado

FemininoMasculino

Gênero

Grafico 4. Grafico de interacao para as medias da Tabela 4

Os fatores Genero e Idade interagem, mas os efeitos de interacaosao pequenos.

27

Comentarios.

• Decidir se os efeitos de interacao sao ou nao importantes e

muito difıcil e, em geral, depende do contexto em que ocorre

o estudo;

• Em algumas situacoes, os efeitos de interacao sao impor-

tantes e mesmo assim os efeitos dos fatores sao analisados

separadamente em termos de µi. e µ.j.

28

Exemplo 5. Fator A: Metodo de ensino de Matematica. Dois

nıveis: Concreto e Abstrato. Fator B: Habilidade em Matematica.

Tres nıveis: Excelente, Boa e Moderada.

Efeitos de interacao presentes. Alunos excelentes tem bom de-

sempenho com os dois metodos de ensino. Ja, alunos com habili-

dades boa ou moderada tem melhor desempenho com os metodo

concreto. No entanto, ha interesse em saber qual metodo produz

o melhor desempenho independentemente da habilidade. Isto

pode ser avaliado escolhendo-se o metodo que produz o maior

desempenho medio. Assim, mesmo na presenca do efeito de in-

teracao, os metodos podem ser comparados em termos de suas

medias marginais.

29

Interpretacao das interacoes.

Tabela 5. Valores reais de µij para a Produtividade de

executivos (Exemplo 6).

AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 72Alto 74 75

30

BaixoAlto

75

70

65

60

55

50

Salário

Méd

ia d

a pr

odu

tivi

dade

MuitaPouca

Autoridade

Grafico 5. Grafico de interacao para as medias da Tabela 5

Os fatores Salario e Autoridade interagem.

31

Tabela 6. Valores reais de µij para a Produtividade de

executivos (Exemplo 6).

AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 52Alto 53 75

Tabela 7. Valores reais de µij para a Produtividade de

executivos (Exemplo 6).

AutoridadeSalario Pouca MuitaBaixo 50 72Alto 72 50

32

BaixoAlto

75

70

65

60

55

50

Salário

Méd

ia d

a P

rodu

tivi

dade

MuitaPouca

Autoridade

Grafico 6. Grafico de interacao para as medias da Tabela 6

Os fatores Salario e Autoridade interagem.

33

BaixoAlto

75

70

65

60

55

50

Salário

Méd

ia d

a P

rodu

tivi

dade

MuitaPouca

Autoridade

Grafico 7. Grafico de interacao para as medias das Tabela 7

Os fatores Salario e Autoridade interagem.

34

Tabela 8. Valores reais de µij para a Produtividade por

funcionario em um grupo (Exemplo 7).

Personalidade do chefe do grupoTamanho do grupo Extrovertida Introvertida

4 pessoas 28 206 pessoas 22 208pessoas 20 19

10 pessoas 17 18

35

10864

28

26

24

22

20

18

16

No. De pessoas no grupo

Méd

ia d

a P

rodu

tivi

dade

por

fu

nci

onár

io

ExtrovertidaIntrovertida

do chefePersonalidade

Grafico 8. Grafico de interacao para as medias da Tabela 8

Os fatores Tamanho do grupo e Personalidade do chefe do grupointeragem.

36

Modelo I: Dois fatores cruzados fixos

• Estudos balanceados;

• Todas as medias tem igual importancia;

• Estudos observacionais;

• Estudos experimentais completamente casualizados.

37

Situacao Basica

• Fator A: a nıveis de interesse (fator fixo);

• Fator B: b nıveis de interesse (fator fixo);

• Todos os ab tratamentos estao incluıdos no estudo;

• O numero de unidades experimentais em cada tratamento e

igual a m > 1;

• O numero total de unidades experimentais e n = abm;

38

• Indice k: denota uma observacao dentro de cada tratamento;

• Indice i: denota um nıvel do Fator A;

• Indice j: denota um nıvel do Fator B;

• yijk: valor da variavel resposta avaliada na k-esima unidade

experimental submetida ao tratamento formado pelo i-esimo

nıvel do Fator A e j-esimo nıvel do Fator B, k = 1, . . . ,m;

i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b.

39

Modelo de medias de caselas

Consideramos os ab tratamentos sem explicitar a estrutura fato-rial (cruzada) do estudo.

Formulacao do modelo:

yijk = µij + eijk,

sendo

• µij parametros;

• eijk ∼ N(0, σ2) independentes;

• i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . ,m.

40

Caracterısticas do modelo:

• µij: resposta media sob o tratamento definido pelo i-esimonıvel do Fator A e j-esimo nıvel do Fator B. Como E(eijk) = 0vem que E(yijk) = µij;

• Como µij e uma constante temos var(yijk) = var(eijk) = σ2;

• Como eijk ∼ N(0, σ2) independentes, temos yijk ∼ N(µij, σ2)

independentes;

• O modelo de medias de caselas e um modelo linear similar aomodelo de medias definido para estudos com um fator fixo.

41

Modelo de efeitos dos fatores

Sabendo que (αβ)ij = µij − (µ.. + αi + βj), podemos escrever

µij = µ.. + αi + βj + (αβ)ij, com

• µ.. =∑i∑j µij/ab,

• αi = µi. − µ..,

• βj = µ.j − µ..,

• (αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ...

42

Formulacao do modelo:

yijk = µij + eijk = µ.. + αi + βj + (αβ)ij + eijk,

• µ.. uma constante (parametro);

• αi e βj constantes sujeitas as restricoes∑iαi = 0 e

∑j βj = 0,

respectivamente;

• (αβ)ij constantes sujeitas as restricoes∑i(αβ)ij =

∑j(αβ)ij =∑

i∑j(αβ)ij = 0,

• eijk ∼ N(0, σ2) independentes, i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k =1, . . . ,m.

43

Consequencias do modelo:

• E(yijk) = µij = µ.. + αi + βj + (αβ)ij;

• V ar(yijk) = var(eijk) = σ2;

• yijk ∼ N(µ.. + αi + βj + (αβ)ij, σ2) independentes;

• O modelo de efeitos dos fatores e um modelo linear.

44

Exemplo 8. Uma panificadora fornece pao italiano para varios

supermercados de uma cidade. Um estudo experimental foi de-

senvolvido para avaliar os efeitos do fator A, altura da prateleira,

cujos nıveis sao em baixo, no meio e em cima, e do fator

B, largura da prateleira, com nıveis regular e larga, nas ven-

das (em numero de unidades) deste pao durante certo perıodo.

Doze supermercados similares em termos de volume de vendas

e clientela, foram utilizados no estudo. Cada um dos 6 trata-

mentos foi atribuıdo ao acaso a duas lojas de acordo com um

planejamento completamente casualizado e a localizacao do pao

em cada loja seguiu as especificacoes do tratamento para aquela

loja. Os resultados estao apresentados a seguir.

45

Tabela 9. Vendas (em no. de unidades) de pao italiano.

Largura da prateleira (B)Altura da prateleira Regular Larga

Em baixo 47 4643 40

No meio 62 6768 71

Em cima 41 4239 46

46

No meioEm cimaEm baixo

70

65

60

55

50

45

40

Altura

Média do no. de unidades vendidas

Larga

Regular

Largura

Grafico 9. Grafico de interacao para as medias dono. de unidades vendidas de pao italiano

47

Notacao.

• yijk: valor da variavel resposta avaliada na k-esima unidadeexperimental submetida ao tratamento formado pelo i-esimonıvel do fator A e j-esimo nıvel do fator B;

• yij. =∑k

yijk: soma dos valores observados sob o tratamento

formado pelo i-esimo nıvel do fator A e j-esimo nıvel do fatorB;

• yij. =

∑k yijk

m: media dos valores observados sob o trata-

mento formado pelo i-esimo nıvel do fator A e j-esimo nıveldo fator B;

48

• yi.. =∑j

∑k

yijk: soma dos valores observados sob o i-esimo

nıvel do fator A;

• yi.. =

∑j∑k yijk

bm: media dos valores observados sob o i-esimo

nıvel do fator A;

• y.j. =∑i

∑k

yijk: soma dos valores observados sob o j-esimo

nıvel do fator B;

• y.j. =

∑i∑k yijk

am: media dos valores observados sob o j-esimo

nıvel do fator B;

49

• y... =∑i

∑j

∑k

yijk: soma de todos os valores observados;

• y... =

∑i∑j∑k yijk

abm: media de todos os valores observados;

Tabela 10. Medias amostrais das vendas de pao italiano.

Largura da prateleira (B)Altura da prateleira Regular Larga Media linha

Em baixo 45 43 y1.. = 44

No meio 65 69 y2.. = 67

Em cima 40 44 y3.. = 42Media coluna y.1. = 50 y.2. = 52 y... = 51

50

Ajuste do modelo de analise de variancia

O metodo de mınimos quadrados e equivalente ao de maximaverossimilhanca. No modelo de medias de caselas queremosminimizar

Q =∑i

∑j

∑k

(yijk − µij)2.

Obtemos µij = yij.. Logo, o valor ajustado de yijk e yijk = yij..Os resıduos eijk sao dados por eijk = yijk− yijk = yijk− yij.. Essesresıduos sao uteis para validar o ajuste do modelo.

No modelo de de efeitos dos fatores queremos minimizar

Q =∑i

∑j

∑k

(yijk − µ.. − αi − βj − (αβ)ij)2,

sujeita as restricoes∑iαi =

∑j βj = 0 e

∑i(αβ)ij =

∑j(αβ)ij =∑

i∑j(αβ)ij = 0, i = 1, . . . , a; j = 1, . . . , b; k = 1, . . . ,m.

51

Obtemos

Tabela 11. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de

interacao.

Parametro Estimativaµ.. µ.. = y...αi αi = yi.. − y...βj βj = y.j. − y...(αβ)ij = µij − µi. − µ.j + µ.. (αβ)ij = yij. − yi.. − y.j. + y...

Novamente, yijk = yij. e eijk = yijk − yij..

52

Tabela 12. Estimativas dos efeitos principais e dos efeitos de

interacao - Pao italiano.

Parametro Estimativaα1 44− 51 = −7α2 67− 51 = 16α3 42− 51 = −9β1 50− 51 = −1β2 52− 51 = 1

(αβ)11 45− 51− (−7)− (−1) = 2(αβ)12 43− 51− (−7)− 1 = −2(αβ)21 65− 51− 16− (−1) = −1(αβ)22 69− 51− 16− 1 = 1(αβ)31 40− 51− (−9)− (−1) = −1(αβ)32 44− 51− (−9)− 1 = 1

53

Particao da soma de quadrados total

Sejam

• Desvio total = yijk − y...;

• Efeito principal estimado do fator A = yi.. − y...;

• Efeito principal estimado do fator B = y.j. − y...;

• Efeito estimado da interacao entre A e B = yij.−yi..−y.j.+y...;

54

• Desvio em relacao a media estimada do tratamento = eijk =

yijk − yij.;

• Desvio da media estimada do tratamento em relacao a media

geral = yij.− y... = yi..− y... + y.j.− y... + yij.− yi..− y.j. + y....

Sejam

• SQT =∑i∑j∑k (yijk − y...)2: soma de quadrados total;

• SQtrat = m∑i∑j (yij.− y...)2: soma de quadrados devida aos

tratamentos;

55

• SQR =∑i∑j∑k (yijk−yij.)2: soma de quadrados dos resıduos;

• SQA = mb∑i (yi.. − y...)2: soma de quadrados devida a A;

• SQB = ma∑i (y.j. − y...)2: soma de quadrados devida a B;

• SQAB = m∑i∑j (yij.− yi..− y.j. + y...)2: soma de quadrados

devida a interacao entre A e B.

56

E facil mostrar que

• SQtrat = SQA+ SQB + SQAB;

• SQT = SQtrat + SQR;

• SQT = SQA+ SQB + SQAB + SQR.

57

Tabela 13. Somas de quadrados - Pao italiano.

Somas de quadrados (SQ)SQT = 1642SQtrat = 1580SQR = 62SQA = 1544SQB = 12SQAB = 24SQtrat = SQA+ SQB + SQAB = 1544 + 12 + 24SQT = SQtrat + SQR = 1580 + 62SQT = SQA+ SQB + SQAB + SQR = 1544 + 12 + 24 + 62

Observar que a variabilidade em torno da media geral (SQT ) e

devida ao fator A.

58

Particao dos graus de liberdade

Tabela 14. Graus de liberdade.

SQ Graus de liberdade (gl)SQT n− 1 = mab− 1SQtrat ab− 1SQR ab(m− 1)SQA a− 1SQB b− 1SQAB (a− 1)(b− 1)

Observar que mab−1 = (a−1)+(b−1)+(a−1)(b−1)+ab(m−1).

59

Tabela 15. Graus de liberdade - Pao italiano.

SQ Graus de liberdade (gl)SQT 2× 3× 2− 1 = 12− 1 = 11SQtrat 3× 2− 1 = 5SQR 3× 2× (2− 1) = 6SQA 3− 1 = 2SQB 2− 1 = 1SQAB (3− 1)× (2− 1) = 2

Temos que 11 = (3−1)+(2−1)+(3−1)×(2−1)+3×2×(2−1).

60

Quadrados medios

QMA =SQA

a− 1QMB =

SQB

b− 1

QMAB =SQAB

(a− 1)(b− 1)QMR =

SQR

ab(m− 1)

Quadrados medios - Pao italiano

QMA =1544

2= 772 QMB =

12

1= 12

QMAB =24

2= 12 QMR =

62

6= 10,33

61

Valores esperados dos quadrados medios

Mostrar que

E(QMR) = σ2

E(QMA) = σ2 +mb

∑iα

2i

a− 1= σ2 +mb

∑i(µi. − µ..)2

a− 1

E(QMB) = σ2 +ma

∑j β

2j

b− 1= σ2 +ma

∑j(µ.j − µ..)2

b− 1

E(QMAB) = σ2+m

∑i∑j(αβ)2

ij

(a− 1)(b− 1)= σ2+m

∑i∑j(µij − µi. − µ.j + µ..)2

(a− 1)(b− 1)

62

Estatısticas de teste

Para testar

1. H01 : µij − µi. − µ.j + µ.. = 0, para todo i e j versus

H11 : µij − µi. − µ.j + µ.. 6= 0, para algum i, j

ou, equivalentemente,

H01 : (αβ)ij = 0, para todo i e j versus

H11 : (αβ)ij 6= 0, para algum i, j,

consideramos a seguinte estatıstica de teste

F ∗1 =QMAB

QMR.

2. H02 : µ1. = . . . µa. versus

H12 : nem todos os µi. sao iguais

63

ou, equivalentemente,H02 : αi = 0, para todo i, versusH12 : αi 6= 0, para algum i,consideramos a seguinte estatıstica de teste

F ∗2 =QMA

QMR.

3. H03 : µ.1 = . . . µ.b versusH12 : nem todos os µ.j sao iguaisou, equivalentemente,H03 : βj = 0, para todo j, versusH13 : βj 6= 0, para algum j,consideramos a seguinte estatıstica de teste

F ∗3 =QMB

QMR.

64

Supondo as hipoteses nulas verdadeiras, o teorema de Cochranse aplica e, entao, F ∗i ∼ F − Snedecor, com gl apropriados, ouseja,

1. F ∗1 ∼ F[(a−1)(b−1),ab(m−1)]

2. F ∗2 ∼ F[a−1,ab(m−1)]

3. F ∗3 ∼ F[b−1,ab(m−1)]

Fixado um nıvel de significancia α, rejeitamos H0i, i = 1,2,3, seF ∗i > F[1−α; gl num., gl den.], sendo F[1−α; gl num., gl den.] o quantilde ordem 1− α da distribuicao F[gl num., gl den.]. Caso contrario,nao rejeitamos H0i. O nıvel descritivo P e dado porP = P (F[gl num., gl den.] > F ∗i ).

65

Tabela 16. Tabela de ANOVA

FV SQ gl QM FA SQA a− 1 QMA F ∗2B SQB b− 1 QMB F ∗3

AB SQAB (a− 1)(b− 1) QMAB F ∗1Resıduo SQR ab(n− 1) QMR

Total SQT nab− 1

Observacao: Sejam α1, o nıvel de significancia para o teste

do efeito de interacao entre os fatores A e B, α2, o nıvel de

significancia para o teste do efeito do fator A e α3, o nıvel de

significancia para o teste do efeito do fator B. Seja α, o nıvel de

significancia para a famılia dos 3 testes.

66

(a) Desigualdade de Bonferroni

α ≤ α1 + α2 + α3

(b) Desigualdade de Kimball

α ≤ 1− (1− α1)(1− α2)(1− α3)

Se α1 = α2 = α3 = 0,05 temos

(a) α ≤ 0,15, pela desigualdade de Bonferroni;

(b) α ≤ 1− (1− 0,05)3 = 0,143, pela desigualdade de Kimball.

67

Estrategia de analise

1. Teste primeiramente H01.

2. Se H01 nao for rejeitada, reduza o modelo para o modelo aditivo, con-tendo apenas os efeitos dos fatores A e B. Teste os efeitos dos fatoresA e B (H02 e H03) nesse novo modelo. Se as duas hipoteses forem re-jeitadas, trabalhe com as medias µi. e µ.j. Se apenas uma das hipotesesfor rejeitada, pode ser indicado reduzir o modelo para um modelo comum unico fator. Se ambas as hipoteses nao forem rejeitadas obtenha umintervalo de confianca para µ...

3. Se H01 for rejeitada, verifique se os efeitos de interacao sao ou naoimportantes.

4. Se os efeitos de interacao nao forem importantes, volte para o item 2.

5. Se os efeitos de interacao forem importantes, trabalhe com as mediasµij dos tratamentos.

68

Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 17) do modelo ajustado

com os efeitos dos fatores Altura e Largura e de interacao entre

Altura e Largura.

Tabela 17. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.

FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772

B - Largura 12 1 12AB 24 2 12 12/10,33 = 1,16 0,375

Resıduo 62 6 10,33Total 1642 11

Nao ha efeito de interacao entre Altura e Largura da prateleira.

69

Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 18) do modelo ajustado

apenas com os efeitos dos fatores Altura e Largura (modelo

aditivo).

Tabela 18. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.

FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772 772/10,75 = 71,81 < 0,001

B - Largura 12 1 12 12/10,75 = 1,12 0,322Resıduo 86 8 10,75

Total 1642 11

Ha efeito do fator Altura mas nao ha efeito do fator Largura da

prateleira.

70

Segue abaixo a tabela de Anova (Tabela 19) do modelo ajustado

apenas com o efeito do fator Altura (modelo com 1 fator).

Tabela 19. Tabela de ANOVA - Exemplo 8.

FV SQ gl QM F PA - Altura 1544 2 772 772/10,75 = 70,90 < 0,001

Resıduo 98 9 10,89Total 1642 11

Comparacoes entre as medias sob os tres nıveis do fator Altura

seguem na Tabela 20. Metodo de Tukey. Coeficiente de con-

fianca global igual a 0,95.

71

Tabela 20. Comparacoes multiplas - metodo de Tukey -

Exemplo 8.

Comparacao Estimativa Variancia estimada Limites de confianca

µM − µC 25,00 10,89 [18,480; 31,520]

µM − µB 23,00 10,89 [16,483; 29,517]

µB − µC 2,00 10,89 [−4,517; 8,517]

Nao ha diferenca no volume medio de vendas sob as alturas Em

baixo e Em cima. O volume medio de vendas e maior quando a

prateleira esta No meio.

72

Modelo linear - Parametrizacao de medias de caselas

Para expressar o modelo de analise de variancia (efeitos dos fa-

tores) como um modelo linear, vamos considerar para os αi´s

(a− 1) variaveis indicadoras, que vao assumir os valores 1, -1 e

0. Para os βj´s vamos considerar (b − 1) variaveis indicadoras,

que vao assumir os valores 1, -1 e 0. Para representar todos

os efeitos de interacao (αβ)ij´s precisamos considerar apenas

(a− 1)(b− 1) variaveis indicadoras.

73

Exemplo: Pao italiano

Modelo de analise de variancia

yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + eijk,

i = 1,2,3, j = 1,2.

Suposicao: eijk ∼ N(0, σ2).

Restricoes:

2. α3 = −α1 − α2;

1. β2 = −β1;

74

3. (αβ)12 = −(αβ)11;

4. (αβ)22 = −(αβ)21;

5. (αβ)31 = −(αβ)21 − (αβ)11.

6. (αβ)32 = −(αβ)31 = (αβ)21 + (αβ)11;

Modelo de regressao equivalente

a − 1 = 3 − 1 = 2 variaveis indicadoras para os efeitos do fator

A;

b− 1 = 2− 1 = 1 variavel indicadora para os efeitos do fator B;

75

(a−1)(b−1) = 2 variaveis indicadoras para os efeitos de interacao

entre os fatores A e B.

yijk = µ+α1Xijk1+α2Xijk2+β1Xijk3+(αβ)11Xijk4(αβ)21Xijk5+eijk,

onde Xijk4 = Xijk1 ×Xijk3 e Xijk5 = Xijk2 ×Xijk3, sendo

76

X1 =

1, se a observacao esta no nıvel 1 (Em baixo) do fator A;

−1, se a observacao esta no nıvel 3 (Em cima) do fator A;

0, caso contrario.

X2 =

1, se a observacao esta no nıvel 2 (No meio) do fator A;

−1, se a observacao esta no nıvel 3 (Em cima) do fator A;

0, caso contrario.

X3 =

1, se a observacao esta no nıvel 1 (Regular) do fator B;

−1, se a observacao esta no nıvel 2 (Larga) do fator B.

Temos:

77

i j k y Xijk1 Xijk2 Xijk3 Xijk4 Xijk51 1 1 47 1 0 1 1 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 2 40 1 0 -1 -1 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1 2 68 0 1 1 0 12 2 1 67 0 1 -1 0 -1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1 2 39 -1 -1 1 -1 -1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 2 46 -1 -1 -1 1 1

O vetor de parametros e β> = {µ, α1, α2, β1, (αβ)11, (αβ)21}.

78

Modelo linear - Parametrizacao de casela de referencia

Para expressar o modelo de analise de variancia como um modelo

linear, usando a parametrizacao de casela de referencia, vamos,

primeiramente, escolher uma das medias µij como referencia.

Em seguida, vamos considerar, para (a−1) variaveis indicadoras,

que vao assumir os valores 0 e 1, para representar os a nıveis do

fator A. Para os b nıveis do Fator B, vamos considerar (b − 1)

variaveis indicadoras, que vao assumir os valores 0 e 1. Para

representar os efeitos de interacao vamos utilizar apenas (a −1)(b−1) variaveis indicadoras, que irao assumir os valores 0 e 1.

79

Exemplo: Pao italiano

Modelo de analise de variancia

yijk = µ+ αi + βj + (αβ)ij + eijk,

i = 1,2,3, j = 1,2.

Suposicao: eijk ∼ N(0, σ2).

Casela de referencia: tratamento cuja media e µ32.

Modelo de regressao equivalente

a − 1 = 3 − 1 = 2 variaveis indicadoras para os efeitos do fator

A;

80

b− 1 = 2− 1 = 1 variavel indicadora para os efeitos do fator B;

(a−1)(b−1) = 2 variaveis indicadoras para os efeitos de interacao

entre os fatores A e B.

yijk = γ0 +γ1Xijk1 +γ2Xijk2 +γ3Xijk3 +γ4Xijk4 +γ5Xijk5 + eijk,

onde Xijk4 = Xijk1 ×Xijk3 e Xijk5 = Xijk2 ×Xijk3, sendo

81

X1 =

1, se a observacao esta no nıvel 1 (Em baixo) do fator A;

0, caso contrario.

X2 =

1, se a observacao esta no nıvel 2 (No meio) do fator A;

0, caso contrario.

X3 =

1, se a observacao esta no nıvel 1 (Regular) do fator B;

0 se a observacao esta no nıvel 2 (Larga) do fator B.

Temos:

82

i j k y Xijk1 Xijk2 Xijk3 Xijk4 Xijk51 1 1 47 1 0 1 1 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 2 2 40 1 0 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 1 2 68 0 1 1 0 12 2 1 67 0 1 0 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 1 2 39 0 0 1 0 0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 2 2 46 0 0 0 0 0

O vetor de parametros e β> = {γ0, γ1, γ2, γ3, γ4, γ5}.

83

Nesse modelo de regressao, temos as seguintes interpretacoes:

• µ32= γ0;

• µ12 = γ0 + γ1; µ22 = γ0 + γ2;

• µ31 = γ0 + γ3;

• µ11 = γ0 + γ1 + γ3 + γ4;

• µ21 = γ0 + γ2 + γ3 + γ5;

84

• γ1: variacao na media da v. resposta quando passamos daaltura Em cima para Em baixo, fixada a largura Regular;

• γ2: variacao na media da v. resposta quando passamos daaltura Em cima para No meio, fixada a largura Regular;

• γ3: variacao na media da v. resposta quando passamos dalargura Larga para Regular, fixada a altura Em cima;

• γ3 + γ4: variacao na media da v. resposta quando passamosda largura Larga para Regular, fixada a altura Em baixo;

• γ3 + γ5: variacao na media da v. resposta quando passamosda largura Larga para Regular, fixada a altura No meio.

85

Comentarios:

• Os testes de hipoteses sao realizados utilizando-se testes F

parciais.

• Testa-se primeiro a hipotese de inexistencia de efeito de in-

teracao entre os fatores A e B. Para tanto, ajustam-se o

modelo completo com todos os efeitos (principais e de in-

teracao) e um modelo reduzido, sem os efeitos de interacao.

Realizado o teste F parcial, verifica-se se o efeito de interacao

e ou nao e significante.

86

• Se o efeito de interacao nao for significante, reformula-se o

modelo completo. Neste caso, o novo modelo de regressao

completo passa a ter apenas os efeitos principais de A e de

B. Ajustam-se, em seguida, dois modelos reduzidos, um com

os efeitos principais de A e outro com os efeitos principais

de B e testam-se os efeitos principais de A e de B, por meio

de testes F parciais.

• Os testes F parciais, desenvolvidos por meio de modelos de

regressao, sao analogos aos obtidos, por exemplo, por meio

da funcao GLM do MINITAB.

87