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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS
Página 1 de 27
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
CONTENIDO
1. Diseño factorial de dos factores
2. Diseño factorial de dos factores
3. Comparaciones múltiples
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
1. Diseño factorial completo de 2 factores Ul ingeniero decide probar los tres materiales de la cubierta, único
factor controlable a tres niveles de temperatura (15, 70 y 125 °F)
consistentes en el entorno de uso final del producto. Se prueban
cuatro baterías a cada combinación de material de la cubierta y
temperatura, y las 36 pruebas se ejecutan al azar.
En la tabla 1 se presentan el experimento y los datos resultantes de
duración observada de las baterías.
En este problema, el ingeniero desea contestar las siguientes
preguntas:
1. ¿Qué efecto tienen el tipo de material y la temperatura sobre la
duración de la batería?
2. ¿Existe una elección del material que dé por resultado una
duración uniformemente larga sin importar la temperatura?
Tipo de
material
Temperatura F
15 70 125
1 13
0
15
5
34 40 2
0
70
74 18
0
80 75 8
2
58
3 15
0
18
8
12
6
12
2
2
5
70
15
9
12
6
10
6
11
5
5
8
45
3 13
8
11
0
17
4
12
0
9
6
10
4
16
8
16
0
15
0
13
9
8
2
60
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Tabla 1. Duración en horas para el ejemplo del diseño de una batería
Esta última pregunta reviste particular importancia. Existe la
posibilidad de hallar un material que no sea muy afectado por la
temperatura. De ser así, el ingeniero puede hacer que la batería sea
robusta a la variación de temperatura en el campo. Éste es un
ejemplo del uso del diseño experimental estadístico para el diseño de
un producto robusto (o consistente), un importante problema de
ingeniería.
Este diseño es un ejemplo específico del caso general de un diseño
con dos factores (bifactorial). Para pasar al caso general, sea Yijk la
respuesta observada cuando el factor A se encuentra en el i-ésimo
nivel (i -1, 2,..., n). En general, los datos observados se verán como en
la tabla 2. El orden en el cual se toman las abn observaciones es
aleatorio, de modo que éste es un diseño completamente
aleatorizado.
Tabla 2. Disposición general para un diseño bifactorial
Las observaciones pueden describirse mediante el modelo estadístico
lineal:
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Y111,Y112,...,Y11n
Factor A
Factor B
Y211,Y212,...,Y21n
...
Ya11,Ya12,...,Ya1n
... ... ...
Y121,Y122,...,Y12n
...Y1b1,Y1b2,
...,Y1bn
Y221,Y222,...,Y22n
...
...
Y2b1,Y2b2,...,Y2bn
Ya21,Ya22,...,Ya2n
Yab1,Yab2,...,Yabn
1 2 ... b
1
2
...
a
Y111,Y112,...,Y11n
Factor A
Factor B
Y211,Y212,...,Y21n
...
Ya11,Ya12,...,Ya1n
... ... ...
Y121,Y122,...,Y12n
...Y1b1,Y1b2,
...,Y1bn
Y221,Y222,...,Y22n
...
...
Y2b1,Y2b2,...,Y2bn
Ya21,Ya22,...,Ya2n
Yab1,Yab2,...,Yabn
1 2 ... b
1
2
...
a
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
En donde es el efecto medio general, i es el efecto del i-ésimo nivel
del factor renglón A, j es el efecto del j-ésimo nivel del factor
columna B, ()ij es el efecto de la interacción entre i y j, ijk es el
componente del error aleatorio. Inicialmente se supone que ambos
factores son fijos y que los efectos de tratamiento se definen como
desviaciones de la media general, por lo tanto. Se
supone que los efectos de interacción son fijos y que se definen dé
manera que: . Hay un total de abn observaciones porque
se realizan n réplicas.
En un diseño factorial de dos factores, tanto los factores (o
tratamientos) de renglón como de columna tienen la misma
importancia, específicamente el interés consiste en probar hipótesis
acerca de la igualdad de los efectos de tratamiento de renglón, es
decir:
Y de la igualdad de los efectos de tratamiento de columna:
También es interesante determinar sí los tratamientos de renglón y
columna interaccionan. En otras palabras, resulta conveniente
probar:
A continuación, se muestra cómo pueden probarse estas hipótesis
usando un análisis de variancia bifactorial o bidireccional (de dos
factores o en dos sentidos).
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Análisis Estadístico del Modelo de Efectos Fijos
ea Yi..; el total de las observaciones bajo el i-ésimo nivel del
factor A; Y.j. El total de las observaciones bajo el j-ésimo nivel
del factor B, Yij. El total de las observaciones de la ij-ésima celda, e
Y... el total general de todas las observaciones. Se definen
como los promedios de renglón, columna, celda y
general, respectivamente, matemáticamente:
S
La suma total de cuadrados corregida puede expresarse mediante:
Porque los seis productos cruzados del segundo miembro de la
ecuación anterior son iguales a cero. Se observa que la suma total de
cuadrados se ha descompuesto en una suma de cuadrados debida a
los “renglones” o al “factor” A (SSA) en una suma de cuadrados
debida a las "columnas" o al factor B (SSB), en una suma de
cuadrados debida a la interacción entre A y B (SSAB), y en una suma
de cuadrados debida al error (SSE): Analizando el último término del
miembro derecho de la Ecuación anterior es posible observar que es
necesario tener al menos dos réplicas (n 2) para poder obtenerla
suma de cuadrados del error.
Simbólicamente, la Ecuación anterior puede expresarse mediante:
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Los grados de libertad asociados a cada suma de cuadrados son:
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Efecto Grados de
libertad
A a-1
B b-1
Interacción
AB
(a-1)(b-1)
Error ab(n-1)
Total abn-1
Esta descomposición del total de abn -1 grados de libertad para las
sumas de cuadrados se puede justificar como sigue: Los efectos
principales de A y B tienen a y b niveles, respectivamente, por lo
tanto, tienen a -1 y b -1 grados de libertad como se muestra.
Los grados de libertad de la interacción simplemente corresponden a
los grados de libertad de cada celda (los cuales son iguales a ab -1)
menos los grados de libertad de los dos efectos principales A y B en
otras palabras, ab -1 -(a -1) -(b -1) -(a- 1)(b -1). Dentro de cada una de
las ab celdas hay n -1 grados de libertad entre las n réplicas, por lo
tanto, hay ab(n -1) grados de libertad del error.
Se observa que la suma de los grados de libertad de los términos del
miembro derecho de la ecuación anterior es igual al total de los
grados de libertad.
Cada suma de cuadrados dividida entre sus grados de libertad
produce una media de cuadrados. Los valores esperados de las
medias de cuadrados son:
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Hay que notar, que si las hipótesis nulas, las cuales consisten en
proponer que no hay efectos de tratamiento de renglón, columna e
interacción, son verdaderas, entonces MSA, MSB, MSAB y MSE son
estimadores de 2. Sin embargo, si por ejemplo existen diferencias
entre los tratamientos de renglón, entonces MSA será mayor que MSE.
En forma similar, si hay efectos de tratamiento de columna o
interacción, las medias de cuadrados correspondientes serán
mayores que MSE.
Por lo tanto, para probar el significado de ambos efectos principales,
así como de su interacción, simplemente deben dividirse las medias
de cuadrados correspondientes entre la media de cuadrados del
error. Valores grandes de estas razones implican que los datos no
concuerdan con las hipótesis nulas.
Si se considera que el modelo estadístico es adecuado y que los
términos del error ijk son independientes con distribuciones
normales con variancia constante 2, entonces las razones de las
medias de cuadrados MSA/MSE, MSB/MSE y MSAB/MSE tienen
distribución F con a -1, b- 1 y (a -1)(b -1) grados de libertad en el
numerador, respectivamente, y ab(n -1) grados de libertad en el
denominador. Las regiones críticas corresponden al extremo superior
de la distribución F. Usualmente la prueba se presenta en una tabla
de análisis de variancia como la que aparece en la tabla 2.
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Fuente de
Variación SS G.L. MS FoTratamientos A
SSA a - 1
Tratamientos B
SSB b - 1
Interacción SSA
B
(a - 1)(b - 1)
Error SSE ab(n-1)
Total SST abn - 1
Tabla 2 ANOVA para el modelo bifactorial de efectos fijos
Es posible obtener las fórmulas para calcular las sumas de cuadrados
de la ecuación anterior. La suma total de cuadrados se calcula en
forma usual mediante:
Las sumas de cuadrados para los efectos principales son:
Es conveniente obtener SSAB en dos etapas. Primero se calcula la
suma de cuadrados entre los totales de las ab celdas, conocida como
la suma de cuadrados debido a los "subtotales":
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Esta suma de cuadrados contiene a la SSA y SSB. Por lo tanto, la
segunda etapa consiste en calcular SSAB mediante:
La SSE se calcula por diferencia:
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Ejemplo: Más sobre el experimento de diseño de una batería. En la
tabla 3 se presenta la duración efectiva (en horas) observada en el
ejemplo de diseño de una batería descrito en la anterior Los totales
de renglón y de columna se indican en los márgenes de la tabla; los
números subrayados son los totales de celda.
Tipo de
Mat.
Temperatura (F)
15 70 125 Yi..
1 130
155
34 40229
20
70230
99874 18
080 75 8
258
2 150
188
623
136
122 47
9
25
70198
130015
9126
106
115
58
45
3 138
110
576
174
120 58
3
96
104 34
2150116
8160
150
139
82
60
Y.j.=
1738 1291 770 Y...=
3799
Tabla 3. Duración (en horas) para el experimento de diseño de una
batería
Las sumas de cuadrados se calculan a continuación:
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El análisis de variancia aparece en la tabla 4. Se concluye que existe
una interacción significativa entre el tipo de material y la temperatura
porque F0.05,4.27 = 2.73. Además, también son significativos los efectos
principales del tipo de material y de la temperatura, porque FO.O5.2.27 =
3.35.
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Fuente de
variación SS
G.L
. MS Fo
Tipo de material 10,683.
72
2 5,341.8
6
7.91
Temperatura 39,118.
72
2 19,558.
36
28.9
7
Interacción 9,613.7
8
4 2,403.4
4
3.56
Error 18,230.
75
27 675.21
Total 77,646.
97
35
Tabla 4. ANOVA para los datos de la duración de la batería
Como auxiliar en la interpretación de los resultados de este
experimento resulta útil la construcción de una gráfica de las
respuestas promedio de cada combinación de tratamiento. Esta
gráfica se muestra en la figura 1.
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Material tipo 225
50
75
100
125
150
Dur
acio
n pr
om
edio
Temperatura 15 70 125
175
.ijY
Material tipo 1
Material tipo 3
Material tipo 225
50
75
100
125
150
Dur
acio
n pr
om
edio
Temperatura 15 70 125
175
.ijY
Material tipo 1
Material tipo 3
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Figura 1. Gráfica de respuesta vs temperatura
El hecho de que las rectas no sean paralelas indica una interacción
significativa. En general, a menor temperatura mayor duración,
independientemente del tipo de material.
Al variar la temperatura de baja a intermedia, la duración aumenta
con el material tipo 3, mientras que disminuye con los materiales tipo
1 y 2,
Cuando la temperatura varía de intermedia a alta, la duración
disminuye con los materiales tipo 2 y 3, mientras que con el tipo 1
esencialmente permanece sin cambio. Al parecer, el material tipo 3
da los mejores resultados si lo que se desea es menor perdida de
duración efectiva al cambiar la temperatura.
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
3. Comparaciones Múltiples
i el análisis de variancia indica que hay diferencia en el nivel
medio de los renglones o columnas, resulta de interés llevar a
cabo comparaciones entre las medias individuales de renglón o
columna para descubrir las diferencias específicas para esto, los
métodos de comparación múltiple analizados en él capitulo anterior
resultan útiles.
S
A continuación, se ilustra la aplicación de la prueba de intervalos
múltiples de Duncan a los datos de duración de las baterías del
ejemplo 1. Se recordará que en este experimento la interacción
resultó significativa. Cuando esto ocurre, las diferencias en las medias
de un factor (por ejemplo el A) pueden ser ocultadas por la
interacción AB. Un enfoque consiste en fijar el factor B en un nivel
específico, y aplicar la prueba de intervalos múltiples de Duncan a las
medias del factor A en ese nivel. Para ilustrar esto, supongamos que
en el ejemplo 1 se desea detectar diferencias en el nivel medio de los
tres tipos de material. Como la interacción es significativa, las
comparaciones se realizan en un solo nivel de la temperatura, por
ejemplo el nivel 2 (70 grados). Se supone que el mejor estimador de
la variancia del error es la MSE obtenida de la tabla del análisis de
variancia. Además, se utiliza la suposición de que la variancia del
error experimental es la misma en todas las combinaciones de
tratamientos. Los promedios de los tres tipos de material,
organizados en arden ascendente son:
El error estándar de estos promedios o medias de tratamiento es:
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Ya que cada promedio se calcula mediante n = 4 observaciones.
Usando la Tabla VII del Apéndice se obtienen los valores de r0.05(2, 27) =
2.91 y de r0.05(3, 27) = 3.06. Los intervalos mínimos significativos son:
R2 = r0.05(2,27) = (2.91)12.99) = 37.80
R3=r0.05(3,27) = (3.26)(12.99) = 39.75
Y las comparaciones proporcionan:
3 vs. 1 = 145.75 – 57.25 = 88.50 >39.75(R3)
3 vs. 2 = 145.75 – 119.75 = 26.00 <37.80(R2)
2 vs. 1 = 119.75 – 57.25 = 62.50 >37.80(R2)
Este análisis indica que en el nivel de temperatura de 70 grados, el
voltaje medio producido por los materiales 2 y 3 es el mismo y que el
voltaje medio del material 1 es significativamente menor que el
producido por los materiales tipo 2 y 3. Si la interacción resulta ser
significativa, el investigador puede comparar las medias de todas las
ab celdas para determinar en cuáles hay una diferencia significativa.
En este análisis las diferencias entre las celdas incluyen tanto los
efectos principales como el efecto de interacción. En el ejemplo 1
este método producirá 36 comparaciones entre todos los posibles
pares de medias de nueve celdas.
Variabilidad del modelo
plicando el procedimiento general a los datos del voltaje de las
baterías del APágina 17 de 27
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Ejemplo 1. Debe observarse que
SSModelo = SSMaterial + SStemperatura + SSinteracción
SSModelo = 10,683.72 + 39,118.72 + 9613.78 = 59,416.22
Y que
R2 = SSModelo/SST = 59,416.22/77,646.97 = 0.765210
En otras palabras, cerca de 77% de la variabilidad en la caída del
voltaje se explica por el tipo de material de las placas de la batería,
por la temperatura y por la interacción entre el tipo de material y la
temperatura.
AComprobación de la idoneidad del Modelo
ntes de poder adoptar las conclusiones del análisis de variancia, debe
probarse la adecuación del modelo supuesto. Como antes, la
herramienta principal es el análisis de residuos. Los residuos para el
modelo factorial de dos factores son:
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Para los residuos del ejemplo 3.1 tenemos que:
Tipo deMat.
Temperatura grados Fahrenheit15 70 125
1 130-134.75=-4.75
155-134.75=20.25
-23.25
-17.25
-37.25
12.50
74-134.750=-60.75
180-134.75=45.25
22.75
17.25
24.50
0.50
2 -5.75 32.25 16.25
2.25 -24.50
20.50
3.25 -29.75
-13.75
-4.75
8.50 -4.50
3 -6.00 -34.00
28.25
-25.75
10.50
18.50
24.00 16.00 4.25 -6.75
-3.50
-25.50
Tabla 5. Residuos para el ejemplo 1
Página 19 de 27
J X(J) (j-.5)/n J X(J) (j-.5)/n J X(J) (j-.5)/n
1 -60.8 1.3889 13 -5.8 34.722 25 16 68.056
2 -37.5 4.1667 14 -4.8 37.5 26 16.3 70.833
3 -34 6.9444 15 -4.8 40.278 27 17.8 73.611
4 -29.8 9.7222 16 -4.5 43.056 28 18.5 76.389
5 -25.8 12.5 17 -3.5 45.833 29 20.3 79.167
6 -25.5 15.278 18 0.5 48.611 30 20.5 81.944
7 -24.5 18.056 19 2.3 51.389 31 22.8 84.722
8 -23.3 20.833 20 3.3 54.167 32 24 87.5
9 -17.3 23.611 21 4.3 56.944 33 24.5 90.278
10 -13.8 26.389 22 8.5 59.722 34 28.8 93.056
11 -6.8 29.167 23 10.5 62.5 35 32.3 95.833
12 -6 31.944 24 12.5 65.278 36 45.3 98.611
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Figura 2. Grafica de probabilidad normal e histograma de residuos
para el ejemplo 1.
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EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Tabla 6. Residuos
Figura 3. Gráfica de Residuos versus respuesta estimada
Página 21 de 27
eijk eijk eijk
134.75 -4.75 57.25 -23.25 57.5 -37.5
134.75 -60.75 57.25 22.75 57.5 24.5
134.75 -5.75 57.25 16.25 57.5 -24.5
134.75 3.25 57.25 -13.75 57.5 8.5
155.75 -6 119.75 28.25 49.5 10.5
155.75 24 119.75 4.25 49.5 -3.5
155.75 20.25 119.75 -17.75 49.5 12.5
155.75 45.25 119.75 2.25 49.5 0.5
144 32.25 145.75 -4.75 85.5 20.5
144 -29.75 145.75 -25.75 85.5 -4.5
144 34 145.75 -6.75 85.5 18.5
144 16 145.75 -37.5 85.5 -25.5
.Yij .Yij .Yij
Grafica de residuos vs Yijk(estimador)
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 50 100 150 200
Estimador Yijk
eijk
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Y ya que los valores ajustados son (el promedio de las
observaciones en la ij-ésima celda), la Ecuación de residios se
transforma en:
Los residuos de los datos de duración de las baterías del ejemplo 1 se
muestran en la tabla 6. La gráfica de probabilidad normal y el
histograma de estos residuos no revelan algo que pudiera causar
problemas, a pesar de que el residuo menor (-60.75 a 65 °F y para el
tipo de material 1) parece alejarse de los demás. El valor
estandarizado de este residuo es (-60,75)/ (675.21) 1/2 = - 2.34. Éste es
el único residuo cuyo valor absoluto es mayor que dos. En la tabla 7
se presenta una gráfica de los residuos contra los valores ajustados
. Esta gráfica muestra una ligera tendencia de la variancia de los
residuos a aumentar, a medida que aumenta el voltaje.
Tabla 7 Residuos del material
Página 22 de 27
T. Mat eijk T. Mat eijk T. Mat eijk
1 -4.75 1 -23.3 1 -37.5
1 -60.8 1 22.75 1 24.5
1 5.75 1 16.25 1 -24.5
1 3.25 1 -13.3 1 8.5
2 -6 2 28.25 2 10.5
2 24 2 4.25 2 -3.5
2 20.25 2 -17.3 2 12.5
2 45.25 2 17.75 2 0.5
3 32.25 3 2.25 3 20.5
3 -29.8 3 -4.75 3 -4.5
3 -34 3 -25.8 3 18.5
3 16 3 -6.75 3 -25.5Grafica de residuos vs. tipo de material
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5
eijk
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Figura 4. Gráfica de residuos versus tipo de material
Tabla 8 Residuos de Temperatura
Página 23 de 27
Temp. eijk Temp. eijk Temp. eijk
15 -4.75 15 -23.25 15 -37.5
15 -60.75 15 22.75 15 24.5
15 -5.75 15 16.25 15 -24.5
15 3.25 15 -13.75 15 8.5
70 -6 70 28.25 70 10.5
70 24 70 4.25 70 -3.5
70 20.25 70 -17.03 70 12.5
70 45.25 70 17.75 70 0.5
125 32.25 125 2.25 125 20.5
125 -29.75 125 -4.75 125 -4.5
125 -34 125 -25.75 125 18.5
125 16 125 -6.75 125 -25.5
EXPERIMENTOS FACTORIALES COMPLETOS P. Reyes / Sept. 2007
Figura 5 Gráfica de residuos de temperatura versus tipo de material
En la tabla 7 y figura 5 aparecen las gráficas de los residuos contra el
tipo de material y contra la temperatura, respectivamente. Ambas
gráficas indican una ligera desigualdad en la variancia siendo quizá
mayor la variancia de la combinación de 65 °F y tipo de material 1
que la de cualquier otra combinación.
La celda correspondiente a 70 °F y el tipo de material es la que
contiene ambos residuos extremos (-60.75 y 45.25). Estos dos
residuos son los principales responsables de la desigualdad de la
variancia detectada en las Fig. 7,8 y 9.
Un examen posterior de los datos no reveló ningún problema obvio,
como por ejemplo, errores en el registro de los datos y, por lo tanto,
estas observaciones deben ser aceptadas como legítimas. Es posible
que en esta combinación de tratamiento particular se produzcan
voltajes ligeramente más erráticos que en las otras combinaciones.
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Temperatura
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Sin embargo, el problema no es tan severo como para tener un efecto
importante en el análisis y las conclusiones.
Estimación de los Parámetros del Modelo
os parámetros en el modelo de análisis de variancia de
clasificación en dos sentidos:L
Pueden estimarse usando el método de mínimos cuadrados. Como
hay 1 + a + b + ab parámetros del modelo que deben ser estimados
habrá 1 + a + b + ab ecuaciones normales. No es difícil mostrar que
las ecuaciones normales son:
Para mayor claridad se muestra el parámetro correspondiente a cada
ecuación normal, a la izquierda de las Ecuaciones anteriores.
Con el fin de obtener una solución óptima a las ecuaciones anteriores,
tenemos que imponer las siguientes restricciones:
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Al aplicar estas restricciones, las ecuaciones normales se simplifican
considerablemente y se obtienen las soluciones:
Estas soluciones son intuitivamente atractivas. Los efectos de los
tratamientos de renglón se estiman mediante la diferencia entre el
promedio del renglón y el promedio general; los efectos de los
tratamientos de columna mediante la diferencia entre el promedio de
la columna y el promedio general, y la ij-ésima interacción se estima
restando el promedio general, el efecto del renglón i y el de la
columna j al promedio de la ij-ésima celda.
Usando la ecuación anterior puede determinarse el valor ajustado de
Yijk mediante:
En otras palabras, la k-ésima observación de la ij-ésima celda se
estima mediante el promedio de las n observaciones de dicha celda.
Suposiciones del análisis de varianza
l aplicar un análisis de varianza se hacen las suposiciones
siguientes:A1. El proceso esta en control estadístico (estable). Esto es, se
pueden repetir y las causas de variación se han eliminado.
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2. La distribución de la población que se muestra es normal.
3. La varianza de los errores dentro de los k niveles del factor es la
misma: Esto es, la variabilidad natural dentro de cada tratamiento
es la misma de un tratamiento a otro.
Cuando se observa que no se puede suponer igual varianza (por
ejemplo un proceso Poisson: donde la varianza varia con la media), se
tiene dos opciones; Transformar los datos, o pruebas no
parametricas. En particular una prueba no parametrica que se usa es
la Kruskal – Wallis.
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