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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS
ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR
FLUJOS EN CANALES ABIERTOS
INFORME FINAL DE LA PRACTICA PRE-PROFESIONAL
PARA OPTAR AL TITULO DE:
LICENCIADO EN MATEMATICAS
AUTOR: Br. RODIAK NICOLAI FIGUEROA LOPEZ
ASESOR: Dr. OBIDIO RUBIO MERCEDES
Trujillo - Peru
2017
Biblioteca Digital - Dirección de Sistemas de Informática y Comunicación - UNT
Esta obra ha sido publicada bajo la licencia Creative Commons Reconocimiento-No Comercial-Compartir bajola misma licencia 2.5 Perú. Para ver una copia de dicha licencia, visite http://creativecommons.org/licences/by-nc-sa/2.5/pe/
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS Y MATEMATICAS
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE MATEMATICAS
ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR
FLUJOS EN CANALES ABIERTOS
INFORME FINAL DE LA PRACTICA PRE-PROFESIONAL
PARA OPTAR AL TITULO DE:
LICENCIADO EN MATEMATICAS
Autor:
Br. Rodiak Nicolai Figueroa Lopez
Asesor:
Dr. Obidio Rubio Mercedes
Trujillo - Peru
2017
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Jurado
Dr. Jose Olivencia Quinones
Presidente
Dr. Ulices Zavaleta Calderon
Secretario
M.Sc. Ronald Wiston Leon Navarro
Vocal
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Dedicatoria
Dedicado a mis papas, Manuel y Felisa,
a mis queridas hermanas, Milenka y Tatiana,
a mi tıa Carmela y a mi abuelita Yolita.
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Agradecimiento
En primer lugar, quiero agradecer a Dios, por todas las alegrıas y oportunidades
maravillosas para ser feliz.
Mis agradecimientos con todo carino y amor para mi familia, mis papas, Manuel
y Felisa, a mis hermanas, Milenka y Tatiana, a mis tıas, Carmelita y Nelly, y a
mi novia Rebecca por ser siempre mi apoyo, fuerza, inspiracion y alegrıa en este
caminar de la vida. A mi abuelita, Yolita (In Memorian), por todas las ensenanzas
y amor recibido.
Quiero agradecer igualmente a mi asesor Dr. Obidio Rubio Mercedes por la
orientacion, paciencia, amistad y por todos los conocimientos transmitidos. Tambien
a mi co-asesor M.Sc. Orlando Hernandez Bracamonte por toda la ayuda y las largas
conversaciones matematicas.
Me gustarıa agradecer de igual modo a los miembros del jurado, los profesores:
Dr. Jose Olivencia Quinones, Dr. Ulices Zavaleta Calderon y M.Sc. Ronald Leon
Navarro, por la disponibilidad y las excelentes sugerencias para mejorar esta inves-
tigacion.
Gracias tambien al profesor Dr. Enrique Domingo Fernandez Nieto de Universi-
dad de Sevilla por la ayuda e incentivo para desarrollar esta investigacion y tambien
enviandome su tesis doctoral. Asimismo, agradecer a la profesora Dra. Maria Elena
Vazquez Cendon de la Universidad de Santiago de Compostela por el envıo de su
tesis doctoral.
A mis amigos, que siempre me apoyaron e incentivaron en todo este tiempo y
por su paciencia en mis malos ratos.
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A todas las personas, que de alguna forma contribuyeron a la conclusion de esta
investigacion.
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Presentacion
Senores miembros del jurado:
En cumplimiento a lo estipulado en el reglamento de Grados y Tıtulos de la
Facultad de Ciencias Fısicas y Matematicas de la Universidad Nacional de Trujillo,
es un honor presentar a vuestra consideracion el presente trabajo titulado:
ECUACIONES DE SAINT – VENANT PARA SIMULAR FLUJOS
EN CANALES ABIERTOS.
Con el proposito de obtener el Tıtulo Profesional de Licenciado en Matematicas.
Agradezco anticipadamente sus opiniones y crıticas, pues me serviran como
estımulo para continuar mejorando.
El Autor
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Indice general
Resumen XIV
Abstract XVI
INTRODUCCION XIX
I. FLUIDOS Y FLUJOS 1
1.1. Mecanica de Fluidos, Hidrostatica e Hidrodinamica . . . . . . . . . . 1
1.2. Fluido y Continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Propiedades de los Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.4. Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.1. Tipos de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4.2. Ecuacion de continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.4.3. Ecuacion de cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4.4. Enfoque Euleriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4.5. Descripcion del movimiento de fluidos . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4.6. Ecuacion general de conservacion de masa en un volumen de
control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.4.7. Cinematica de flujos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
II. HIDRAULICA DE LOS CANALES 23
2.1. Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1.1. Descripcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
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xii INDICE GENERAL
2.1.2. Tipos de flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.3. Estado del flujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2. Canales Abiertos y Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.1. Tipos de canales abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.2. Geometrıa del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2.3. Elementos geometricos de la seccion del canal . . . . . . . . . 29
2.2.4. Distribucion de velocidad en la seccion de un canal . . . . . . 31
2.2.5. Distribucion de presion en la seccion de un canal . . . . . . . 32
2.2.6. Efecto de la pendiente sobre la distribucion de presion . . . . 33
2.2.7. Propagacion de la onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
III. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS 41
3.1. Esquema de Diferencias Finitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1. Discretizacion del dominio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2. Discretizacion de la variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1.3. Discretizacion de la ecuacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2. Convergencia, Consistencia y Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.1. La condicion de Courant-Friedrichs-Lewy . . . . . . . . . . . . 48
3.2.2. Analisis de estabilidad de Von Neumann . . . . . . . . . . . . 51
3.3. Metodo de Solucion de Double - Sweep . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.3.1. Condicion de Frontera del tipo Dirichlet: un+1J conocido. . . . 62
IV. LAS ECUACIONES DE SAINT - VENANT 63
4.1. Sistema Natural de Coordenadas e Hipotesis Basicas . . . . . . . . . 63
4.2. Modelo Unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.3. Ecuacion de Conservacion de Masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4. Ecuacion de Conservacion de Momento . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.4.1. Componente del peso en la direccion x . . . . . . . . . . . . . 68
4.4.2. Fuerza de presion en la direccion x . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.5. Fuerza de la resistencia en la direccion x . . . . . . . . . . . . . . . . 72
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INDICE GENERAL xiii
4.6. Caso Particular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.1. Geometrıa del canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.2. Conservacion de la masa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.6.3. Conservacion de momento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
V. ESQUEMA DE DIFERENCIAS FINITAS DE ABBOTT - IONES-
CU 77
5.1. Algunas soluciones particulares para las ecuaciones de Saint – Venant 78
5.2. Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu . . . . . . . . . . . 81
5.2.1. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
5.2.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.2.4. Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3. Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu . . . . . . . . . 93
5.3.1. Consistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.3.2. Estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.3.3. Convergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.3.4. Solucion numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
Conclusiones 102
Sugerencias 103
Bibliografia 107
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Resumen
En la presente investigacion estudiamos las Ecuaciones de Saint–Venant (ESV)
unidimensionales como un modelo matematico para canales abiertos rectangulares
con condiciones de frontera del tipo Dirichlet y el esquema de diferencias finitas
implıcito de Abbott–Ionescu que aproxima las soluciones de las (ESV). El analisis
de convergencia de las soluciones aproximadas es hecho mediante el uso del Teorema
de Equivalencia de Lax–Richtmyer; es decir, analizamos la consistencia y estabilidad
del esquema de Abbott–Ionescu.
Palabras claves: Ecuaciones de Saint–Venant, Esquema de Abbott–Ionescu,
Metodo de doble barrido, Teorema de Lax–Richtmyer.
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Abstract
In the present investigation we study the one–dimensional Saint–Venant equa-
tions (ESV) as a mathematical model for rectangular open channels with boun-
dary conditions of the Dirichlet type and the implicit finite difference scheme of
Abbott–Ionescu which approximate the solutions of the (ESV). The convergence
analysis of the approximate solutions is done by using the Equivalence Theorem of
Lax–Richtmyer; that is, we analyze the consistency and stability of Abbott–Ionescu
scheme.
Key words: Saint–Venant equations, Abbott–Ionescu scheme, Double–Sweep
method, Theorem of Lax–Richtmyer.
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INTRODUCCION
La investigacion de los flujos de agua en canales abiertos es motivada debido a la
existencia de sistemas de regadıo y alcantarillado en nuestra region. Actualmente la
simulacion matematica de tales flujos es empleada para el estudio de prefactibilidad
en la construccion de canales abiertos. De allı su gran importancia para estudiar
y analizar los flujos de fluido en canales abiertos con cierta seccion transversal,
empleando los modelos de la fısica–matematica.
El presente trabajo tiene por objetivos estudiar el modelo matematico de las
ecuaciones de Saint–Venant unidimensionales que describen el fenomeno del flujo
en canales abiertos inclinados con seccion transversal rectangular [10], realizar el
analisis de convergencia del esquema de diferencias finitas de Abbott–Ionescu [3]
que aproxima las soluciones de las ecuaciones de Saint–Venant y usar el metodo de
Double–Sweep para hallar las soluciones de la matriz tridiagonal asociada al esquema
de diferencias finitas de Abbott–Ionescu [2].
Las ecuaciones de Saint–Venant son dados por:
∂h
∂t+ u
∂h
∂x+ h
∂u
∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,
∂u
∂t+ g
∂h
∂x+ u
∂u
∂x= gS0 − gSf , (x, t) ∈ [0, L]× R+,
h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],
h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,
(ESV)
donde u es la velocidad del flujo, h es la altura del fluido, L es la longitud del canal,
S0 es la pendiente del lecho del canal, Sf es la pendiente de la friccion.
En el primer capıtulo, introducimos las definiciones y conceptos basicos de fluido,
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xx INDICE GENERAL
flujo, propiedades, tipos, ecuacion de continuidad, ecuacion de movimiento, volumen
de control.
En el segundo capıtulo, describimos algunos comportamientos del flujo dentro de
un canal abierto y algunas de sus propiedades basicas, la geometrıa de los canales,
la definicion del numero de Froude y de un campo de presion hidrostatica.
En el tercer capıtulo, definiremos los conceptos matematicos a seran usados en el
analisis del esquema de diferencias finitas de Abbott–Ionescu empleado para solucio-
nar numericamente las ecuaciones de Saint–Venant (ESV), definimos los esquemas
de diferencias finitas, convergencia, estabilidad y consistencia de los esquemas de
diferencias finitas, el Teorema de equivalencia de Lax–Richtmyer, el analisis de Von
Neumann y el metodo de Double - Sweep.
En el cuarto capıtulo, utilizaremos el enfoque euleriano para estudiar el diagrama
de cuerpo libre y obtener el modelo matematico de las ecuaciones de Saint–Venant
(ESV), a traves de las leyes basicas de la mecanica de fluidos: Ley de conservacion
de la masa y ley de conservacion de momento.
En el quinto capıtulo, las soluciones de las ecuaciones de Saint–Venant (ESV)
seran aproximadas por medio del esquema de diferencias finitas implıcito de Abbot–
Ionescu, dicho esquema tiene asociado un sistema tridiagonal general. Para resolver
este sistema tridiagonal haremos uso del metodo de Double–Sweep. El estudio se
centrara en encontrar las soluciones de la altura “h” y la velocidad “u” en ciertos
puntos de la malla y tendiendo en cuenta que el flujo puede subcrıtico o supercrıtico.
Tambien haremos un estudio detallado del analisis de la convergencia del esquema
de Abbot–Ionescu, usando del Teorema de Equivalencia de Lax–Richtmyer junto
con el criterio de Von Neumann para la estabilidad empleando la linealizacion de
las ecuaciones de Saint–Venant.
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Capıtulo I
FLUIDOS Y FLUJOS
Comenzamos este capıtulo com algunos conceptos y definiciones que nos dan las
nociones necesarias para entender los fenomenos del flujo de un fluido.
Para este capıtulo hemos utilizado basicamente las referencias [26] y [23], para
lecturas complementarias se puede ver [12] y [21].
1.1. Mecanica de Fluidos, Hidrostatica e Hidrodi-
namica
La mecanica de fluidos es la rama de la fısica que se ocupa de la accion de
los fluidos en reposo o en movimiento, ası como de las aplicaciones y mecanismos
de ingenierıa que utilizan fluidos. Es fundamental en areas tan diversas como la ae-
ronautica, la ingenierıa quımica, civil e industrial, la meteorologıa, las construcciones
navales y la oceanografıa. Puede dividirse en dos campos principales: la estatica de
fluidos o hidrostatica y la dinamica de fluidos o hidrodinamica.
La hidrostatica es la rama de la mecanica de fluidos que estudia los fluidos en
reposo. Se ha establecido que no existen esfuerzos tangenciales o rasantes entre
las partıculas de un fluido en reposo. En la hidrostatica, todas las fuerzas actuan
normalmente a una superficie de contorno y son independientes de la viscosidad.
Como resultado, las leyes que rigen son relativamente simples y el analisis se basa
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2
en una aplicacion directa de los principios mecanicos de fuerzas y momentos. Las
soluciones son exactas y no hay necesidad de recurrir a la experimentacion.
La hidrodinamica es la rama de la mecanica de fluidos que se ocupa de las leyes
de los fluidos en movimiento; estas leyes son enormemente complejas debido a la
influencia de la viscosidad, que produce tensiones rasantes o de rozamiento entre
las partıculas del fluido en movimiento y el contorno que lo rodea. El movimiento
relativo que puede existir entre diferentes elementos del cuerpo fluido, hace que la
presion y las tensiones rasantes puedan variar considerablemente de un punto a otro
de acuerdo con las condiciones del fluido.
1.2. Fluido y Continuo
Fluido: es una sustancia que cambia su forma continuamente siempre que este
sometida a un esfuerzo cortante o rasante, sin importar que tan pequeno sea, carece
de forma, es ligeramente compresible, tiene superficie libre cuando esta contenido en
un recipiente abierto y posee volumen determinado; poca cohesion (atraccion) entre
sus moleculas. Los fluidos pueden dividirse en lıquidos y gases.
Continuo: es la distribucion continua hipotetica de la materia, es decir; el estu-
dio de la materia se centra en las manifestaciones promedio medibles del conjunto de
moleculas en cada parte del recorrido, en lugar de las manifestaciones del conglome-
rado real complejo de la moleculas discretas, en otras palabras, no existen rupturas
o discontinuidades.
1.3. Propiedades de los Fluidos
Debido a la hipotesis del “Continuo” para los fluidos, se definen los siguientes
conceptos:
-Masa (m) de un fluido: es la cantidad de materia que contiene un fluido, esto
es, inercia que el ofrece al movimiento o al reposo.
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1.3 Propiedades de los Fluidos 3
-Peso (W ) de un fluido: es la accion que ejerce la fuerza de la gravedad sobre
un cuerpo.
Observacion 1.1 Segun la segunda ley de Newton y dado que la fuerza de la
gravedad (g) es practicamente constante, tendremos
W = m.g. (1.1)
-Densidad (ρ) de un fluido: es la relacion de la masa m por unidad de volumen
V ; es decir,
ρ =m
V. (1.2)
-Peso especıfico (γ) de un fluido: es la relacion del peso W por unidad de
volumen V ; es decir,
γ =W
V. (1.3)
Observacion 1.2 El Peso Especıfico, la Densidad y la gravedad (g) se relacionan
de la siguiente manera
γ = ρ.g. (1.4)
-Compresibilidad de un fluido: es la medida del cambio de volumen de un
fluido sometido a fuerzas externas, cuando desaparecidas dichas fuerzas vuelve a su
volumen original y se expresa por el Modulo de Elasticidad (K).
En la practica, los lıquidos pueden considerarse incompresibles. Sin embargo,
hay casos, como el flujo variable en tuberıas, en los que hay que tener en cuenta la
compresibilidad.
-Presion atmosferica (Pa): es la presion que ejerce la atmosfera sobre la su-
perficie terrestre, se mide por medio del barometro. La mayorıa de las presiones
que encontramos en la hidraulica estan por encima de la atmosferica y se miden
con instrumentos de medida relativa, por lo tanto, es conveniente tomar la presion
atmosferica como origen. En este caso, se denominan presiones manometricas
cuando estan por encima de la atmosferica y presiones de vacıo cuando estan
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4
por debajo de ella. Si se toma como origen la verdadera presion cero, se dice que las
presiones son absolutas.
-Presion (P): es la fuerza F normal o perpendicular que actua sobre cada unidad
de superficie A; es decir,
P =F
A. (1.5)
En el caso de un lıquido incompresible en contacto con la atmosfera (ver figura
1.1), la sobrepresion (o presion manometrica), Pm, equivale a
Pm = γ.η, (1.6)
donde γ es el peso especıfico y η es la profundidad bajo la superficie libre.
Figura 1.1: Fuerzas de presion sobre una lamina horizontal sumergida.
Este ultimo termino es la Cota de Presion y generalmente se expresa en al-
tura de columna lıquida. La forma de la ecuacion muestra que la presion aumenta
linealmente con la profundidad. Como la gravedad es la ley fısica que rige estos
fenomenos, la superficie libre de un lıquido en reposo es siempre horizontal y la pre-
sion es la misma en todos los puntos de un plano horizontal dentro de la masa del
lıquido. Mas aun, se demuestra que la presion sobre cualquier partıcula elemental
es la misma en todas direcciones e independiente del angulo de inclinacion de la
superficie elemental.
-El Modulo de elasticidad (K): es dada por
K =∆P
∆V/V, (1.7)
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1.3 Propiedades de los Fluidos 5
donde ∆P es el aumento de presion que aplicado a un volumen V provoca una
variacion del mismo ∆V . La disminucion del volumen se asocia a un aumento pro-
porcional de la densidad, ası; la expresion (1.5) se puede enunciar tambien como:
K =∆P
∆ρ/ρ. (1.8)
La compresibilidad del agua es despreciable, salvo en algunos estudios especıficos
como los de transmision de ondas elasticas, golpe de ariete, entre otros, se considera
como incomprensible y este es nuestro caso a estudiar.
Cuando los incrementos o aumentos tienden a cero (∆ρ→ 0), tendremos que el
modulo de elasticidad se puede expresar como
K = ρdPdρ, (1.9)
donde P es la presion.
-Velocidad de propagacion (cP): es la variacion de la presion en un fluido, se
mide por
cP =
√K
ρ. (1.10)
-Viscosidad (µ): es la medida de resistencia de un fluido a los esfuerzos tangen-
ciales o rasantes. Dicha resistencia nace de la interaccion y cohesion de las moleculas
del fluido. Todos los fluidos reales tienen viscosidad, aunque en distinto grado. La
tension rasante en un fluido es proporcional a la variacion de este esfuerzo. Se com-
prende que no puede haber tensiones rasantes en un fluido en reposo. Consideramos
un fluido comprendido entre dos placas situadas a muy corta distancia η (Figura
1.2). La placa inferior permanece en reposo, mientras que la superior se mueve con
una velocidad υ.
Se estima que el movimiento del fluido tiene lugar en una serie de capas o lami-
nas infinitamente delgadas, libres para deslizar unas sobre otras. No existe flujo
transversal ni turbulencia. La capa adyacente a la placa estacionaria permanece en
reposo, mientras que la adyacente a la placa en movimiento tiene una velocidad υ.
El ındice de variacion del esfuerzo o gradiente de la velocidad es dυdη
. La viscosidad,
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Figura 1.2: Deformacion debida a la viscosidad.
se define como
µ =tension rasante
gradiente de velocidad=
τdυdη
, (1.11)
de donde
τ = µdυ
dη. (1.12)
Esta expresion para la tension viscosa fue establecida por Newton y se conoce como
Ecuacion de la Viscosidad de Newton. Casi todos los fluidos tienen un coeficiente
de proporcionalidad µ constante, denominandose entonces fluidos Newtonianos.
Observacion 1.3 En muchos problemas concernientes al movimiento de fluidos,
la viscosidad aparece con la densidad en la forma
ν =µ
ρ, (1.13)
donde ν es llamado como Viscosidad Cinematica.
-Fluido ideal o perfecto: es aquel en el que no existen tensiones tangenciales o
rasantes entre las partıculas del fluido. Las fuerzas siempre actuan normalmente a la
seccion y se limitan a fuerzas de presion o de aceleracion. Ningun fluido real cumple
completamente estas condiciones, ya que en todos los fluidos en movimiento existen
tensiones tangenciales que producen un efecto amortiguador en el movimiento. Sin
embargo, el agua, se encuentra proximo al fluido ideal y esta hipotesis simplifica-
dora permite adoptar metodos matematicos o graficos en la resolucion de ciertos
problemas de flujo.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 7
Figura 1.3: Relacion entre la tension y gradiente de velocidad.
La figura 1.3 es una representacion grafica de la ecuacion (1.12) y muestra el
diferente comportamiento de solidos y lıquidos bajo tension rasante.
-Caudal (Q): es la velocidad υ por unidad de area de la seccion transversal A,
en el cual el flujo es perpendicular a la direccion de este; es decir,
Q = υ.A. (1.14)
1.4. Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos
El movimiento de los fluidos ocasionado por la accion de alguna fuerza (gene-
ralmente la gravedad) se le denomina “Flujo”. Cuando se considera un fluido en
movimiento, el problema de un analisis global se hace mucho mas complejo. No solo
se debe tener en cuenta la magnitud y direccion de la velocidad de las partıculas,
sino que tambien debemos considerar la viscosidad, que produce tensiones rasantes
entre las partıculas del fluido en movimiento.
El analisis matematico aplicado al flujo de fluidos no es aplicable en todos los
casos, debido a las complejidades asociadas al fenomeno del flujo, por este moti-
vo para una manera de facilitar una solucion teorica es la adopcion de hipotesis
simplificadoras o mediante la experimentacion.
La hipotesis simplificadora mas comun es que el fluido sea ideal o perfecto, elimi-
nando ası los complicados efectos de la viscosidad. Esta es la base de la hidrodinamica
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clasica, una rama de la matematica aplicada. Debido a que el agua tiene una visco-
sidad relativamente baja, se encuentra que su comportamiento es en muchos casos
el de un fluido ideal.
La presente seccion esta dedicada a la dinamica fundamental del movimiento
de los fluidos y sirve de introduccion basica con los problemas mas especıficos que
plantea la hidraulica. Las ecuaciones basicas del movimiento de fluidos son: “Ecua-
cion de Continuidad” y “Ecuacion de la Cantidad de Movimiento”; seran deducidas
y se explicara su significado. A todos los efectos, se considerara que el fluido es
incompresible.
1.4.1. Tipos de flujos
-Flujo turbulento: es el regimen en donde la estructura del flujo se caracteriza
por una velocidad variable y fluctuante, superpuesta a una velocidad media; es decir,
el avance de las partıculas es irregular; estas estan sujetas a velocidades transver-
sales fluctuantes con lo que el movimiento resulta mas bien revuelto y sinuoso que
rectilıneo (ver figura 1.4).
-Flujo laminar: es el regimen en donde las partıculas fluidas discurren segun
filetes paralelos, no existiendo componente transversal de la velocidad. El avance
ordenado es tal que cada partıcula sigue exactamente el camino de la partıcula
precedente sin ninguna desviacion. Este flujo esta asociado a bajas velocidades y
fluidos viscosos (ver figura 1.4).
Figura 1.4: Flujo laminar y turbulento.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 9
-Flujo permanente: es cuando las propiedades y caracterısticas del flujo en
cualquier punto son constantes con respecto al tiempo, tambien es llamado flujo
estacionario o constante.
-Flujo no permanente: es cuando las propiedades y caracterısticas del flujo
varıan respecto al tiempo. Este fenomeno es tambien conocido como no estacionario,
transitorio o variable.
-Flujo uniforme: es cuando no hay variacion en la magnitud y direccion del
vector velocidad de un punto a otro punto del camino seguido por el flujo. Para
cumplir esta definicion, tanto la superficie atravesada por el flujo como la velocidad
deben ser las mismas en cualquier seccion.
-Flujo no uniforme: es cuando el vector velocidad varıa en magnitud y direc-
cion de un punto a otro punto del camino seguido por el flujo.
1.4.2. Ecuacion de continuidad
El tubo de flujo elemental de la figura 1.5 esta constituido por lıneas de corriente
envolventes. Si no existe flujo a traves de las lıneas de corriente, el fluido tiene que
entrar y salir del tubo unicamente a traves de las secciones externas. Suponiendo
que las superficies de las secciones extremas son dA1 y dA2 y las correspondientes
velocidades supuestas uniformes, son υ1 y υ2. Es evidente que el Caudal elemental
dQ esta dado por
dQ = υ1.dA1 = υ2.dA2. (1.15)
Integrando para el Caudal Total Q, obtenemos
Q = V1.A1 = V2.A2, (1.16)
donde V1 y V2 son las velocidades medias en las secciones extremas de las areas A1
y A2 respectivamente. La Ecuacion General de Continuidad puede expresarse de la
forma
Q = V A = constante. (1.17)
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Figura 1.5: Tubo de flujo elemental.
1.4.3. Ecuacion de cantidad de movimiento
Analogamente a la mecanica de los cuerpos solidos existe tambien el principio de
cantidad de movimiento aplicada a los fluidos, diferenciandose unicamente en que la
accion del flujo del fluido en el primer caso se realiza de forma constante. El fluido
que esta dentro del tubo representado en la figura 1.6, se considera en equilibrio y
sus coordenadas estan ubicadas en los ejes x, y, z. Asumiendo que dt es el tiempo
necesario para que un elemento de fluido recorra el tubo de flujo entonces la masa
(dm) del fluido sera ρdQdt.
La tercera ley de Newton dice que si, las presiones internas se equilibran, la
variacion de la cantidad de movimiento de la masa total, es posible calcularla solo
con el cambio del vector velocidad a la entrada y salida. De acuerdo con esto y con la
segunda ley de Newton (fuerza = masa x aceleracion), entonces la fuerza resultante
en la direccion x esta dada por:
dFx = ρdQdtdυxdt
; (1.18)
es decir,
dFx = ρdQ(υx)2 − (υx)1. (1.19)
Suponiendo una distribucion uniforme de velocidades en la secciones de entrada
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 11
Figura 1.6: Diagrama para la ecuacion de cantidad de movimiento.
y de salida, se tiene que la totalidad del flujo es
Fx = ρQ(Vx)2 − (Vx)1, (1.20)
donde Q es el Caudal Total y (Vx)1, (Vx)2 son las respectivas componentes de la
velocidad. Analogamente:
Fy = ρQ(Vy)2 − (Vy)1 (1.21)
y
Fz = ρQ(Vz)2 − (Vz)1, (1.22)
estas son las tres ecuaciones del balance de Cantidad de Movimiento. La ecuacion
establece que una componente de la resultante que actua sobre una masa libre de
fluido, es igual a la diferencia entre las componentes correspondientes de la cantidad
de movimiento en las secciones de entrada y salida.
1.4.4. Enfoque Euleriano
El enfoque Euleriano se adopta en la mayorıa de los analisis hechos para el flujo
de un fluido. Considerando un Volumen de Control o un punto fijo en el espacio,
se deducen las ecuaciones para expresar cambios en la masa, momentum y energıa a
medida que el fluido pasa a traves o cerca del volumen de control o punto fijo. En este
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caso, la frontera es la Superficie de Control; el tamano y la forma del volumen
de control son completamente arbitrarios, pero frecuentemente se hacen coincidir
con las fronteras solidas, en otros casos se dibujan perpendiculares a la direccion
del flujo para simplificar el problema y generalmente conduce a una descripcion de
sistema abierto.
1.4.5. Descripcion del movimiento de fluidos
Aplicando algunos conceptos geometricos como: Lınea de Corriente, Lınea
de Trayectoria y Lınea de Filamento, es posible representar de forma analıtica y
visual los patrones de flujo. Tomando la velocidad del fluido en el enfoque euleriano,
entonces el vector velocidad se define como
v(x, y, z, t) = ui + vj + wk, (1.23)
donde u, v y w son las velocidades en las direcciones x, y y z, respectivamente y cada
una de ellas puede variar en el tiempo o espacio.
-Lınea de corriente: es una lınea continua que se dibuja en el fluido, de tal
manera que tenga la direccion del vector velocidad v en cada punto; debido a que
una partıcula se mueve en la direccion de la lınea de corriente, en cualquier instante,
su desplazamiento esta definido como δs, con componentes δx, δy y δz, tiene la
direccion del vector velocidad v con componentes u, v y w en las direcciones x, y y
z, respectivamente. Entonces
δx
u=δy
v=δz
w. (1.24)
La ecuacion (1.24), establece que las componentes correspondientes son proporcio-
nales y por consiguiente, que δs y v tienen la misma direccion. Al expresar los
desplazamientos en forma
dx
u=dy
v=dz
w, (1.25)
se obtiene la Ecuacion Diferencial de la Lınea de Corriente. Cualquier lınea continua
que satisfaga la ecuacion (1.25), es una lınea de corriente.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 13
En flujo permanente, ya que no existe cambio en la direccion del vector velocidad
en ningun punto, la lınea de corriente tiene una inclinacion fija en cada punto y, por
consiguiente, esta fija en el espacio. Una partıcula se mueve tangente a la lınea de
corriente; por lo tanto, en flujo permanente, la trayectoria de una partıcula es
una lınea de corriente. En flujo no permanente, debido a que la direccion del vector
velocidad en cualquier punto puede cambiar con el tiempo, una lınea de corriente
puede moverse en el espacio de un instante a otro. Luego, una partıcula sigue una
lınea de corriente en un instante, otra en el instante siguiente y ası sucesivamente,
de tal manera que la trayectoria de la partıcula puede no parecerse a ninguna lınea
de corriente en un instante dado.
-Lınea de trayectoria: es la que describe una partıcula en el flujo. Si R indica
la posicion de la partıcula, su velocidad es
dR
dt= v(x, y, z, t). (1.26)
De la solucion de esta ecuacion se obtienen las ecuaciones parametricas de las lıneas
de trayectoria.
-Lınea de filamento: es el rastro resultante de la tinta o del humo esparcidos
experimentalmente en el fluido con el fin de seguir su movimiento.
Observacion 1.4 En flujo permanente, una lınea de filamento es una lınea de
corriente y una trayectoria de la partıcula.
El metodo para determinar las ecuaciones de las lıneas de corriente se muestra
en el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.1 Dado el campo de velocidad bidimensional, v(x, y, z, t) = xi− (y+
t)j. Calcule las ecuaciones de
a. La lınea de corriente en t=0 que pasa por (1,1).
b. La lınea de trayectoria de la partıcula que tiene posicion (1,1) en t=0.
c. La lınea de filamento cuando t=0 de las partıculas que pasaron por (1,1).
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La soluciones son las siguientes:
a. De la ecuacion (1.25), se tiene que:
dx
x= − dy
(y + t)
⇒ lnx = −ln(y + t) + lnc
⇒ x = c(y + t)−1 .
Para (1, 1) y t = 0, tenemos c = 1. Entonces,
x(y + t) = 1,
es la ecuacion de la lınea de corriente.
b. De la ecuacion (1.26), se establece:
dx
dt= x,
dy
dt= −(y + t).
La solucion es
x(t) = c1et, y(t) = c2e
−t + t− 1, (1.27)
para (1, 1) y t = 0 tenemos que: c1 = 1 y c2 = 2.
De donde las ecuaciones parametricas de la lınea de trayectoria son
x(t) = et, y(t) = 2e−t + t− 1.
Eliminando t se obtiene la ecuacion de esta lınea:
y =2
x+ lnx− 1
c. Las ecuaciones de (1.27), representan la posicion de una partıcula. Conside-
remos la posicion de las partıculas que han pasado por (1, 1) cuando t = ζ (ζ
es una variable que depende de cada partıcula).
Sustituyendo estas condiciones en las ecuaciones (1.27) , se obtiene
c1 = e−ζ , c2 = (2− ζ)eζ .
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 15
Las ecuaciones parametricas de la lıneas de filamento para un tiempo t son:
x(t) = et−ζ , y(t) = (2− ζ)eζ−t + t− 1.
Para t=0, tienen la forma:
x = e−ζ , y = (2− ζ)eζ − 1
Eliminando ζ se obtiene la ecuacion de la lınea de filamento y =2 + lnx
x− 1.
Puede observarse que las tres lıneas de flujo son distintas; pero para el caso de
flujo permanente son iguales.
1.4.6. Ecuacion general de conservacion de masa en un vo-
lumen de control
Sin importar su naturaleza, todas las situaciones de flujo estan sujetas a las
siguientes relaciones, las cuales pueden expresarse en forma analıtica:
1. Las leyes de movimiento de Newton, las cuales deben cumplirse para cualquier
partıcula en cualquier instante.
2. La relacion de continuidad, es decir, la ley de conservacion de la masa (dmdt
= 0).
3. La conservacion de masa aplicada a mezclas de componentes dentro del fluido.
4. La primera y segunda ley de la termodinamica.
5. Las condiciones de frontera: declaraciones analıticas, por ejemplo, un fluido
real tiene velocidad cero con respecto a una frontera o los fluidos sin friccion
no pueden penetrar una frontera.
Tambien es posible aplicar otras relaciones y ecuaciones, tales como una ecuacion
de estado o la ley de viscosidad de Newton. En la siguiente deduccion, el concepto
de volumen de control se relaciona con sistema (masa fija definida de un material)
en terminos de una propiedad general del mismo.
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Para establecer la relacion entre las ecuaciones que se aplican a un sistema y
aquellas que se aplican a un volumen de control, se consideran algunas situaciones
generales de flujo, ver figura 1.7, en las cuales la velocidad de un fluido esta dada
con respecto a un sistema coordenado xyz. En el tiempo t considere una cantidad de
masa de un fluido contenida dentro de un sistema, el cual tiene las fronteras de lınea
punteadas. Tambien considere un volumen de control, fijo con relacion a los ejes
xyz, que coincide exactamente con el sistema en el tiempo t. En t+ δt el sistema se
ha movido un poco, debido a que cada partıcula de masa se mueve a una velocidad
asociada con su posicion.
Sea N la cantidad total de alguna propiedad (masa, energıa o momentum) dentro
del sistema en el tiempo t y sea η la cantidad de esta propiedad, por unidad de masa,
a traves del fluido. La tasa temporal de incremento de N para el sistema se formula
en terminos del volumen de control.
En t+δt de la figura 1.7(b), el sistema comprende los volumenes II y III, mientras
que en el tiempo t este ocupa el volumen II, en la figura 1.7(a). El incremento en la
propiedad N en el sistema en el tiempo δt esta dado por:
NSistemat+δt −NSistemat =
∫II
ηρdV +
∫III
ηρdV
t+δt
−
∫II
ηρdV
t
, (1.28)
en donde dV es el elemento del volumen.
Reordenando, se tiene
NSistemat+δt −NSistemat
δt=
(∫IIηρdV +
∫IηρdV
)t+δt−(∫
IIηρdV
)t
δt
+
(∫III
ηρdV)t+δt
δt−(∫
IηρdV
)t+δt
δt.
(1.29)
El termino de la izquierda es la tasa temporal promedio de incremento de N dentro
del sistema durante el tiempo δt. En el lımite cuando δt se aproxima a cero, este se
convierte en dNdt
. Entonces, en el primer termino del lado derecho de la ecuacion, las
primeras dos integrales son la cantidad de N dentro del volumen de control en t+ δt
y la tercera integral es la cantidad de N en el volumen de control en el tiempo t.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 17
Figura 1.7: Sistema con volumen de control identico en el tiempo t en un campo de
velocidad.
El lımite es∂
∂t
∫vc
ηρdV,
utiliza derivadas parciales debido a que el tamano del volumen se mantiene constante
a medida que δt→ 0.
El siguiente termino es la tasa temporal del flujo de N hacia fuera del volumen
de control en el lımite y puede escribirse como
lımδ→0
(∫III
ηρdV )t+δt
δt=
∫area del flujo de salida
ηρv.dA =
∫ηρvcosαdA, (1.30)
en la cual dA, de la figura 1.7(c), es el vector que representa un elemento de area
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superficial en el volumen de control, siendo positivo hacia fuera y α es el angulo
entre el vector velocidad y el vector de area elemental.
Similarmente, el ultimo termino de la ecuacion (1.29), el cual es la tasa de flujo
de N hacia adentro del volumen de control, es en el lımite, igual a
lımδ→0
(∫IηρdV )t+δt
δt= −
∫area del flujo de entrada
ηρv.dA = −∫ηρvcosαdA. (1.31)
El signo negativo es necesario debido a que v.dA (o cosα) es negativo para el flujo
de entrada, de la figura 1.7(d). Los dos ultimos terminos de la ecuacion (1.29), dados
por las ecuaciones (1.30) y (1.31), pueden combinarse en un termino unico que es
una integral sobre toda la superficie del volumen de control, denotada por (sc), ası
obtenemos
lımδ→0
((∫III
ηρdV )t+δt
δt−
(∫IηρdV )t+δt
δt
)= −
∫sc
ηρv.dA = −∫sc
ηρvcosαdA. (1.32)
En donde no exista flujo de entrada o de salida v.dA = 0; por consiguiente, la ecua-
cion puede evaluarse sobre toda la superficie de control. Reuniendo y reorganizando
los terminos de la ecuacion (1.29) nos lleva a:
dN
dt=
∂
∂t
∫vc
ηρdV +
∫sc
ηρv.dA. (1.33)
En palabras, la ecuacion (1.33) establece que la tasa temporal de incremento de N
dentro de un sistema es exactamente igual a la tasa temporal de incremento de la
propiedad N dentro del volumen de control (fijo respecto a xyz) mas la tasa neta
de flujo de N a traves de la frontera del volumen de control.
1.4.7. Cinematica de flujos
El uso del enfoque euleriano en el analisis de fluidos requiere una descripcion mas
cuidadosa del movimiento de un paquete de fluidos y la distribucion de paquetes
resultante del movimiento. En esta seccion se presentan metodos para describir la
velocidad y la aceleracion de paquetes de fluido.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 19
Aceleracion de un punto
Considere, en la figura 1.8, un paquete de fluido moviendose desde el punto 1 al
punto 2 durante el tiempo dt. El vector posicion R, se define como
R = x(t)i + y(t)j + z(t)k. (1.34)
La tasa temporal de cambio de R se encuentra con la diferenciacion total de la
ecuacion (1.34)
dR
dt=dx
dti +
dy
dtj +
dz
dtk. (1.35)
Vector velocidad total v de un punto se define notando que la componente
de velocidad del paquete de fluido en la direccion x es dxdt
= u, en la direccion y es
dydt
= v y en la direccion z es dzdt
= w, entonces
v(x, y, z, t) =dR
dt= ui + vj + wk. (1.36)
Se debe notar que el vector velocidad es una funcion de la posicion y del tiempo.
Figura 1.8: Definiciones de coordenadas y de velocidad.
Vector aceleracion se define mediante el siguiente procedimiento
a(x, y, z, t) =dv
dt=du
dti +
dv
dtj +
dw
dtk. (1.37)
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Mirando la componente x, la regla de la cadena obtiene:
ax =du
dt(x, y, z, t)
=∂u
∂t
dt
dt+∂u
∂x
dx
dt+∂u
∂y
dy
dt+∂u
∂z
dz
dt,
la cual puede ser escrita
ax =du
dt=∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ v
∂u
∂y+ w
∂u
∂z. (1.38)
Se pueden encontrar expresiones similares para ay y az:
ay =dv
dt=∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z, (1.39)
az =dw
dt=∂w
∂t+ u
∂w
∂x+ v
∂w
∂y+ w
∂w
∂z. (1.40)
Escribimos las ecuaciones (1.38), (1.39) y (1.40) en forma vectorial, se obtiene
a =∂v
∂t+ u
∂v
∂x+ v
∂v
∂y+ w
∂v
∂z=∂v
∂t+ (v.∇)v. (1.41)
Aquı v.∇ es un operador vectorial de la forma
(v.∇)() = u∂()
∂x+ v
∂()
∂y+ w
∂()
∂z.
Ejemplo 1.2 Para un vector posicion dado por
R = (5xyt2 + zt)i + (−2,5y2t2 + zt+ 3yt)j + (−3zt+x
2t2)k
encontrar las funciones de velocidad y aceleracion.
Para hallar la velocidad usamos la ecuacion (1.35), obtenemos
v =dR
dt=
[d
dt(5xyt2 + zt)
]i +
[d
dt(−2,5y2t2 + zt+ 3yt)
]j +
[d
dt(−3zt+
x
2t2)
]k.
Entonces
v = (10xyt+ z)i + (−5y2t+ z + 3y)j + (−3z + xt)k.
Utilizando la ecuacion (1.41), se encuentra el vector aceleracion
a =∂v
∂t+ (10xyt+ z)
∂v
∂x+ (−5y2t+ z + 3y)
∂v
∂y+ (−3z + xt)
∂v
∂z.
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1.4 Conceptos Basicos del Flujo de Fluidos 21
Examinando individualmente las derivadas parciales, podemos ver
∂v
∂t= 10xyi− 5y2j + xk ,
∂v
∂x= 10yti + 0j + tk ,
∂v
∂y= 10xti + (−10yt+ 3)j + 0k ,
∂v
∂z= 1i + 1j− 3k
y recogiendo todos los terminos se obtiene:
a = 50xy2t2 + 10xzt+ 10yzt+ 10xy + 30xyt− 3z + xt)i
+ (50y3t2 − 30y2t− 20y2 − 10yzt+ 3xt+ 9y)j
+ (10xyt2 + zt− 3xt+ x+ 9z)k.
La inspeccion de las ecuaciones (1.38), (1.39), (1.40) y (1.41) revela que la aceleracion
esta compuesta por dos clases generales de terminos, la aceleracion temporal, es
decir, los gradientes temporales del vector velocidad y la aceleracion inercial que
incluye los terminos de los productos de la velocidad y los gradientes espaciales
de flujo. El hecho de que los terminos que incluyen los gradientes espaciales sean
llamados aceleraciones es uno de los resultados de la aproximacion euleriana.
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Capıtulo II
HIDRAULICA DE LOS
CANALES
En este capıtulo vamos a describir y clasificar los comportamientos del flujo
dentro de un canal abierto y sus fenomenos.
Este capıtulo fue basado casi enteramente en la referencia [7], para complementar
algunos conceptos usamos las referencias [6], [8], [17], [23] y [26].
2.1. Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion
2.1.1. Descripcion
El escurrimiento o flujo de agua en un conducto puede ser a traves de canales
abiertos o tuberıas.
-Superficie Libre: es cuando la interfaz entre el aire y la capa superior del flujo,
esta expuesta a la presion atmosferica.
-Canal Abierto: es un conducto que se caracteriza por la presencia de una
superficie libre.
Ejemplo 2.1 Rıos, lagos y mares.
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-Tuberıa: es cuando el flujo no tiene superficie libre; es decir, es un conduc-
to cerrado, el fluido debe llenar el conducto totalmente y no se ejerce la presion
atmosferica directa sino la presion hidraulica.
Ejemplo 2.2 Canerıas, tubos plasticos.
En la figura 2.1 se comparan las dos clases de flujo. En la parte izquierda se indica
el flujo en canerıa. Dos tubos piezometricos se han instalado en la canerıa en las sec-
ciones 1 y 2. Los niveles del agua en los tubos se mantiene por la presion en la canerıa
a elevaciones representadas por la denominada pendiente o gradiente hidraulica.
La presion ejercida por el agua en cada seccion de la canerıa se indica en el tubo
correspondiente por la altura “y” de la columna de agua sobre la lınea central de la
canerıa.
Figura 2.1: Comparacion entre flujo en canerıa y en canal abierto.
La energıa total en el flujo de la seccion correspondiente a la lınea de referencia
es la suma de la eleccion “z” de la lınea central de la canerıa, la altura piezometrica
“y” y la altura o carga debida a la velocidad υ2/2g, en donde υ es la velocidad
media del flujo (uniforme). La energıa esta representada en la figura por lo que se
llama pendiente o lınea de energıa. La perdida de energıa que resulta cuando
el agua fluye desde la seccion 1 a la seccion 2, esta representada por hf . En el
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2.1 Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion 25
lado derecho de la figura 2.1, se indica un diagrama similar para flujo en canales
abiertos. Por simplicidad, se ha supuesto que el flujo es paralelo y tiene distribucion
de velocidad uniforme y que la pendiente del canal es pequena. En este caso, la
superficie del agua es la pendiente hidraulica y la profundidad del agua corresponde
a la altura piezometrica. No obstante, la similitud entre los dos tipos de flujo, para
resolver problemas de flujo en canales abiertos es mucho mas difıcil que en canerıas
a presion. Las condiciones de flujo en canales abiertos son complicadas por el hecho
de que la posicion de la superficie libre cambie en funcion del tiempo, espacio y
porque la profundidad del flujo, el canal y las pendientes del fondo del canal y de la
superficie libre son interdependientes.
2.1.2. Tipos de flujo
El flujo en un canal abierto puede clasificarse de muchos tipos y puede ser descrito
en diferentes formas. La siguiente clasificacion se ha hecho de acuerdo al cambio de
la profundidad del flujo en funcion del tiempo y el espacio.
-Flujo permanente y no permanente: el tiempo es el criterio. El flujo en
un canal abierto se dice que es permanente si la profundidad del flujo no cambia
o se supone constante durante el intervalo de tiempo considerado. El flujo es no
permanente si la profundidad cambia con el tiempo.
-Flujo uniforme y variado: el espacio es el criterio. El flujo en canal abierto
se dice que es uniforme si la profundidad del flujo es la misma en cada seccion del
canal. El flujo es variado si la profundidad del flujo cambia a lo largo del canal.
-Flujo rapidamente y gradualmente variado: el flujo variado puede ser cla-
sificado como rapidamente o gradualmente variado. El flujo es rapidamente variado
si la profundidad cambia abruptamente en una distancia comparativamente corta y
si ası no fuera, es gradualmente variado.
El problema del flujo no permanente y mas comunmente encontrado en canales
abiertos, son las olas traslatorias. La onda traslatoria es una onda de gravedad
que se propaga en un canal abierto y resulta de un desplazamiento apreciable de las
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partıculas de agua en una direccion paralela al flujo.
-Flujo no permanente gradualmente variado: es cuando la curvatura del
perfil de la ola es moderada y el cambio en profundidad es gradual. La componente
vertical de la aceleracion de las partıculas de agua, es despreciable en comparacion
con la aceleracion total, mientras que el efecto de la friccion del canal es usualmente
apreciable y deberıa tomarse en cuenta en un analisis cuidadoso.
-Flujo no permanente rapidamente variado: es cuando la curvatura del per-
fil de la ola es muy grande y ası la superficie del perfil puede hacerse virtualmente
discontinua. La componente vertical de la aceleracion, desempena un papel impor-
tante en el fenomeno, mientras que el efecto de la friccion del canal es practicamente
despreciable en comparacion con el efecto dinamico del flujo.
2.1.3. Estado del flujo
El estado o comportamiento del flujo en canal abierto es gobernado basicamente
por los efectos de viscosidad y gravedad relativa a las fuerzas de inercia del flujo.
Dependiendo del efecto de la viscosidad relativa a la inercia, el flujo puede ser
laminar, turbulento o de transicion.
-Flujo laminar: es cuando las fuerzas viscosas son tan fuertes comparadas con
las fuerzas de inercia. En este caso las partıculas de agua parecen moverse en reco-
rridos calmados definidos, en lıneas de corriente y las capas son infinitesimalmente
delgadas que parecen deslizarse sobre las capas adyacentes.
-Flujo turbulento: es cuando las fuerzas viscosas son debiles comparadas con la
fuerzas de inercia. En este caso las partıculas del agua se mueven en recorridos irre-
gulares, los cuales no son ni calmados ni determinados pero en su conjunto todavıa
representan el movimientos hacia adelante de la corriente total.
-Flujo de transicion: es cuando entre los estados laminar y turbulento hay uno
mixto o estado de transicion.
El efecto de viscosidad relativa al de inercia puede representarse por el Numero
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2.1 Flujo en Canales Abiertos y su Clasificacion 27
de Reynolds, definido por
Re =υL
ν, (2.1)
donde υ es la velocidad del flujo, L es la longitud caracterıstica, considerada aquı
al radio hidraulico R de un conducto y ν es la viscosidad cinematica del fluido. Un
flujo en canal abierto es laminar si el numero de Reynolds Re es menor de 2100 y
es turbulento si Re es mayor que 4000.
El efecto de la gravedad sobre el estado del flujo se representa por una relacion de
las fuerzas inerciales y las fuerzas de gravedad. Esta relacion se da por el Numero
de Froude, definido por
Fr =υ√gL, (2.2)
donde υ es la velocidad media del flujo, g es la aceleracion de la gravedad y L es
la longitud caracterıstica. Para flujos en canales abiertos, la longitud caracterıstica
se hace igual a la profundidad hidraulica D, la cual es definida como el area de
la seccion transversal del agua, normal a la direccion del flujo en el canal, dividida
por el ancho de la superficie libre. Para canales rectangulares esto es igual a la
profundidad de la seccion del flujo.
Cuando Fr es igual a la unidad, la ecuacion (2.2) resulta
υ =√
gD (2.3)
y el flujo se dice que esta en estado Crıtico.
Si Fr es menor que la unidad o υ <√
gD, el flujo es Subcrıtico. En este estado el
papel jugado por las fuerzas de gravedad es mas pronunciado, entonces el flujo tiene
baja velocidad y se describe a menudo como tranquilo y lento.
Si Fr es mayor que la unidad o υ >√
gD, el flujo es Supercrıtico. En este estado,
las fuerzas de inercia se hacen dominantes, entonces el flujo tiene una gran velocidad
y se describe normalmente como rapido o torrentoso.
En la mecanica de las ondas de agua, la velocidad crıtica
c =√
gD, (2.4)
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se identifica como la Celeridad de las pequenas ondas de gravedad que ocurren
en aguas bajas en los canales como resultado de un cambio momentaneo en la
profundidad local del agua.
2.2. Canales Abiertos y Propiedades
El canal es normalmente un trazado largo y de pendiente suave construida en la
tierra y puede ser revestido o no con hormigon, cemento, madera, entre otros.
2.2.1. Tipos de canales abiertos
Los canales se pueden clasificar de acuerdo a su origen, en canal natural o arti-
ficial.
-Canal natural: son todos los cursos de agua que existen naturalmente sobre
la tierra, variando en tamano desde pequenos arroyos o corrientes, rıos pequenos y
grandes hasta estuarios de mareas. Las corrientes subterraneas que lleven agua con
superficie libre se consideran tambien canales abiertos. Las propiedades hidraulicas
de los canales naturales son generalmente irregulares.
-Canal artificial: son aquellos canales construidos o desarrollados por el esfuer-
zo humano, ası como canales modelos que son construidos en el laboratorio para
propositos experimentales. Las propiedades hidraulicas de tales canales pueden ser
controladas en la extension deseada o proyectada para cumplir requerimientos es-
tablecidos. La aplicacion de las teorıas hidraulicas a canales artificiales produciran
resultados aproximados a las condiciones actuales y por lo tanto, razonablemente
seguros para propositos de diseno practico.
2.2.2. Geometrıa del canal
-Seccion transversal: es la seccion de un canal tomada perpendicularmente a
la direccion del flujo.
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 29
-Canal prismatico: es un canal construido con seccion transversal y pendiente
del fondo constantes.
-Seccion regular: es cuando la seccion transversal del canal no varıa su forma
geometrica a lo largo del canal.
-Seccion irregular: es cuando la seccion transversal experimenta cambios de
geometrıa a lo largo del canal.
Las secciones transversales de los canales naturales son en general muy irregu-
lares, variando normalmente de una parabola a un trapezoide aproximadamente.
Lo canales artificiales se proyectan usualmente con seccion de formas geometricas
regulares.
2.2.3. Elementos geometricos de la seccion del canal
Son las propiedades de una seccion del canal que puede ser definida enteramente
por la geometrıa del canal y la profundidad del flujo.
-Profundidad del flujo (y): es la distancia vertical del punto mas bajo de la
seccion transversal de un canal a la superficie; este termino se usa a menudo indis-
tintamente con la profundidad de la seccion transversal del flujo d. Estrictamente
hablando, la profundidad de la seccion transversal del flujo es la profundidad del
flujo normal a la direccion del flujo o la altura de la seccion del canal conteniendo el
agua. Para un canal con una pendiente longitudinal de angulo θ, se puede ver que la
profundidad del flujo es igual a la profundidad de la seccion transversal dividida por
cosθ (ver figura 2.2). En el caso de canales con grandes pendientes, los dos terminos
deberıan usarse adecuadamente distintamente.
-Cota: es la elevacion o distancia vertical de la superficie libre sobre una re-
ferencia dada. Si el punto mas bajo de la seccion del canal se ha elegido como la
referencia, la cota es identica con la profundidad del flujo.
-Ancho superior (T ): es el ancho de la seccion del canal en la superficie libre
(ver figura 2.3).
-Area mojada (A): es el area de la seccion transversal del flujo normal a la
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Figura 2.2: Canal con pendiente.
Figura 2.3: Elementos de una seccion transversal.
direccion del flujo (ver figura 2.3).
-Perımetro mojado (P ): es la longitud de la lınea de interseccion de la super-
ficie mojada del canal con el plano de la seccion transversal normal a la direccion
del flujo (ver figura 2.3).
-Radio Hidraulico (Rh): es la relacion del area mojada a su perımetro mojado,
ası
Rh =A
P. (2.5)
-Profundidad hidraulica (D): es la relacion del area mojada del ancho supe-
rior, o
D =A
T. (2.6)
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 31
-Factor de la seccion (Z): es el producto del area mojada por la raız cuadrada
de la profundidad hidraulica, o
Z = A√D. (2.7)
En la figura 2.4, se muestran dos formas geometricas que tienen uso frecuente en
el diseno de canales abiertos.
Figura 2.4: Elementos geometricos de las secciones del canal.
2.2.4. Distribucion de velocidad en la seccion de un canal
Debido a la presencia de una superficie libre y a la friccion a lo largo de las pare-
des del canal, las velocidades en un canal no estan uniformemente distribuidas en la
seccion del canal. La velocidad maxima medida en canales comunes, normalmente
parece ocurrir debajo de la superficie libre a una distancia de 0,05 a 0,25 de la pro-
fundidad. La distribucion de la velocidad en una seccion del canal depende tambien
de otros factores como la forma poco comun de la seccion, la rugosidad del canal y la
presencia de codos o curvas, entre otros. En un curso de agua ancha, baja y rapida o
en un canal muy liso, la velocidad maxima se puede encontrar muy a menudo en la
superficie libre. La rugosidad del canal causara el incremento de la curvatura de la
curva que relaciona la profundidad con la distribucion de la velocidad (figura 2.5).
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Figura 2.5: Efecto de la rugosidad en la distribucion de velocidades en un canal
abierto.
2.2.5. Distribucion de presion en la seccion de un canal
La presion en cualquier punto de una seccion transversal del flujo en un canal de
pendiente pequena, se puede medir por la altura de la columna de agua en un tubo
piezometrico (altura piezometrica h) (figura 2.6). Eliminando disturbios menores
debido a la turbulencia, es evidente que la columna de agua deberıa alzarse desde el
punto de medida hasta la lınea del gradiente hidraulico o la superficie del agua. De
este modo, la presion en cada punto de la seccion, es directamente proporcional a la
profundidad del punto debajo de la superficie libre e igual a la presion hidrostatica
(altura hidrostatica hs) correspondiente a esta profundidad. En otras palabras, la
distribucion de presion sobre la seccion transversal del canal es la misma que la
distribucion de presion hidrostatica; es decir, la distribucion es lineal y puede ser
representada por una lınea recta AB. Esto se conoce como: Ley Hidrostatica de
la Distribucion de Presion.
Estrictamente hablando, la aplicacion de la ley hidrostatica a la distribucion de
presion en la seccion transversal de un canal es valida solamente si los filamentos
del flujo no tienen componentes de la aceleracion en el plano de la seccion trans-
versal. Este tipo de flujo es conocido como flujo paralelo; es decir, que las lıneas
de corriente no tienen curvatura sustancial ni divergencia. Consecuentemente, no
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 33
Figura 2.6: Distribucion de presion en canales (Flujo Paralelo).
hay componentes apreciables a la aceleracion normales a la direccion del flujo que
podrıan deformar la distribucion hidrostatica de la presion en la seccion transversal
del flujo paralelo.
Actualmente, el flujo uniforme es practicamente flujo paralelo. Flujo gradualmente
variado puede ser tambien considerado como flujo paralelo, ya que el cambio en
profundidad del flujo es tan suave que las lıneas de corriente no tienen curvatura
apreciable ni divergencia; es decir, la curvatura y divergencia son tan pequenas que
el efecto de las componentes de la aceleracion en el plano de la seccion transversal
es despreciable. Por lo tanto, para propositos practicos, la ley hidrostatica de distri-
bucion de presion es aplicable al flujo gradualmente variado y al flujo uniforme.
2.2.6. Efecto de la pendiente sobre la distribucion de presion
Con referencia a un canal inclinado recto de ancho unitario y angulo de pendiente
θ (figura 2.7), el peso del elemento de agua sombreado de longitud dL es igual a
γy cos θdL. La presion debida a este peso es γy cos2 θdL.
La presion unitaria es igual a γy cos2 θ y la altura es
h = y cos2 θ (2.8)
o tambien
h = d cos θ, (2.9)
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Figura 2.7: Distribucion de presiones en un flujo paralelo en canales de pendiente
alta.
donde d = y cos θ, es la profundidad media perpendicularmente desde la superficie
del agua. Se debe destacar de la geometrıa (figura 2.8) que la ecuacion (2.8) no
se aplica estrictamente al flujo variado particularmente cuando θ es muy grande,
mientras que la ecuacion (2.9) es posible aplicarla para este tipo de flujo. La ecuacion
(2.8) establece que la altura de presion en cualquier profundidad vertical es igual
a esta profundidad multiplicada por un factor de correccion cos2 θ. Obviamente, si
el angulo θ es pequeno, este no diferira mucho de la unidad. En efecto, el factor de
correccion tiende a disminuir la altura de presion por una cantidad menor al 1 %
en tanto θ sea menor que 6o, o sea, una pendiente de alrededor de 1 en 10. Como
la pendiente de los canales comunes es mucho menor que 1 en 10, la correccion por
efecto de la pendiente puede ignorarse.
-Fuerza tractiva (τ0): es cuando el agua fluye en un canal, se desarrolla una
fuerza que actua sobre el lecho de este en la direccion del flujo, esta fuerza, la cual
es simplemente el empuje del agua sobre el area mojada, se conoce como fuerza
tractiva.
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 35
Figura 2.8: Deduccion de la ecuacion del flujo gradualmente variado.
En un flujo uniforme la fuerza tractiva es aparentemente igual a la componente
efectiva de la fuerza de gravedad actuando sobre el cuerpo de agua, paralela al
fondo del canal e igual a γA∆LSf donde γ es el peso especıfico del agua, A es el
area mojada, ∆L es la longitud del tramo del canal y Sf es la pendiente de la lınea
de energıa (siguiendo las hipotesis de la ecuacion de Chezy). Luego, el valor medio
de la fuerza tractiva por unidad de area mojada es conocida como fuerza tractiva
unitaria τ0, es igual a γA∆LSf/P∆L = γRSf , donde P es el perımetro mojado y
R es el radio hidraulico; es decir
τ0 = γRSf . (2.10)
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36
En un canal abierto ancho, el radio hidraulico es igual es igual a la profundidad
del flujo y; por consiguiente τ0 = γ ySf .
-Resistencia a la direccion del flujo: es igual al producto de la fuerza de
friccion, por la superficie mojada de contacto con el fluido agua, ası tenemos
Resistencia = τ0P∆L, (2.11)
donde τ0 es la fuerza de friccion (tractiva), ∆L longitud del tramo del canal, P
perımetro mojado, teniendo en cuenta la direccion (signo) de la fuerza de friccion
para el balance de fuerzas.
2.2.7. Propagacion de la onda
Para discutir la propagacion de onda de gravedad en canales, considere una
forma simple de onda de gravedad, conocida como la onda Solitaria. La onda
solitaria tiene una forma simple, que en su totalidad consta de una elevacion sin
ninguna depresion o valle asociado. La onda se localiza por completo por encima
de la superficie normal del agua, se mueve suave y tranquilamente sin turbulencia
en cualquier lugar de su perfil. En un canal sin friccion, la onda puede viajar una
distancia infinita sin cambiar de forma y su velocidad; pero en un canal abierto, la
altura de la onda esta gradualmente reducida por los efectos de la friccion.
Figura 2.9: Generacion de una onda solitaria: (a) Flujo no permanente; (b) flujo que
aparece como permanente.
Considere una onda solitaria, viajando a la derecha en un canal rectangular, con
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 37
celeridad c (figura 2.9(a)). Un observador que en la orilla corre con la cresta de la
onda con una velocidad igual a la celeridad notara una imagen de flujo permanente
(Figura 2.9(b)) en la cual la onda parece permanecer quieta en tanto que el flujo se
mueve con una velocidad igual a c en magnitud. Despreciando la friccion y supo-
niendo una pendiente pequena, la ecuacion de energıa entre la seccion normal del
flujo y la seccion en la cresta de la onda puede escribirse como
y +c2
2g= y + h+
c2
2g
(y
y + h
)2
. (2.12)
Resolviendo para c, se obtiene
c =
√2g(y + h)2
2y + h, (2.13)
donde h es la altura de la onda sobre la superficie normal del agua. Para ondas de
altura moderada, la ecuacion (2.13) puede aproximarse por:
c =
√g y
(1 +
3h
2y
)≈ √g y
(1 +
3h
4y
). (2.14)
La ecuacion (2.14) es conocida comunmente como la ecuacion de la celeridad de
Saint – Venant. Para ondas de pequena altura, h es despreciable. Luego,
c =√
g y, (2.15)
esta es la ecuacion para la propagacion de ondas pequenas en canales rectangula-
res. Comunmente se conoce como la ecuacion de celeridad de Lagrange. Del
mismo modo puede demostrarse que la celeridad de ondas pequenas en canales no
rectangulares es
c =√
gD, (2.16)
donde D es la profundidad hidraulica.
En el analisis anterior no se consideran el efecto de la fuerza centrıfuga sobre la
curvatura de la onda ni la componente vertical de la aceleracion de las partıculas de
agua. De acuerdo a observaciones de campo hechas por Rusell y con experimentos
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hechos por Bazin (ver [7]), una ecuacion mas apropiada para la celeridad de una
onda solitaria en un canal rectangular es
c =√
g(y + h). (2.17)
De acuerdo con el analisis completo por Lamb (ver [7]), una ecuacion mas exacta
para las ondas gravitacionales en general; pero aun suponiendo pequenas alturas, es
c =
√gλ
2πtanh
2πy
λ, (2.18)
donde λ es la longitud de onda de cresta a cresta. Por lo general esta se conoce
ecuacion de celeridad de Airy. En aguas profundas, donde y es muy grande
comparado con λ, anterior ecuacion se convierte en c =√
gλ2π
. Para pequenas alturas
de onda, λ es muy grande comparada con h y tanh 2πyλ
puede reemplazarse por 2πyλ
.
Luego la ecuacion (2.18) se convierte en la ecuacion (2.15).
La ecuacion para la celeridad, ya sea la ecuacion (2.15) o (2.16), puede utilizarse
para estudiar la propagacion de ondas de gravedad. Si se deja caer un canto rodado en
agua quieta, el patron de onda puede representarse mediante cırculos concentricos
como los que se muestran en la figura 2.10(a). Las ondas viajan alejandose de la
fuente de la perturbacion en todas las direcciones con una velocidad o celeridad
igual a c.
Figura 2.10: Patrones de onda creados por perturbaciones: (a) Agua quieta, υ=0;
(b) flujo subcrıtico, υ < c; (c) flujo crıtico, υ = c y (d) flujo supercrıtico, υ > c.
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2.2 Canales Abiertos y Propiedades 39
Si el agua fluye, el patron de ondas introducido por una perturbacion se des-
plazara en la direccion del flujo. Cuando la velocidad υ del agua es menor que la
celeridad, el patron se muestra en la figura 2.10(b). Como la velocidad del flujo es
menor que la celeridad, es posible que el frente de onda viaje hacia aguas arriba con
una velocidad igual a
υw = c− υ. (2.19)
La onda que viaja hacia aguas abajo se encuentra en la direccion del flujo. Su
velocidad se incrementa a
υw = c+ υ. (2.20)
Notese que la celeridad representada mediante la ecuacion (2.16) es identica a la
velocidad crıtica del flujo (ecuacion (2.2)). Por consiguiente, el flujo en consideracion
es subcrıtico.
Cuando la velocidad del agua es igual a la celeridad, los frentes de onda en la
direccion hacia aguas arriba son estacionarios, o sea υw = 0 y aquellos en la direccion
hacia aguas abajo tienen una velocidad igual a υw = 2c. Este tipo de onda se ve en
la figura 2.10(c). Vemos que el flujo es crıtico.
Cuando la velocidad del agua es mas grande que la celeridad, las ondas viajaran
solamente hacia aguas abajo. Este esquema de onda se muestra en la figura 2.10(d).
Podemos ver que el flujo es supercrıtico. Las lıneas tangentes a los frentes de onda
se localizan en un angulo con respecto a la direccion original del flujo. Llamaremos
β el angulo de la onda y su magnitud esta dada por
senβ =c
υ=
√gD
υ=
1
Fr, (2.21)
en donde Fr es el numero de Froude.
La celeridad c debe distinguirse con claridad de la velocidad absoluta de la onda
υw. La celeridad es la velocidad de una onda relativa a la velocidad del flujo. Cuando
la onda se propaga a traves de agua quieta, la celeridad es identica a la velocidad
absoluta y en canales abiertos, esta es la velocidad de la onda relativa a una cierta
seccion fija del canal. Puede escribirse una ecuacion general que expresa la velocidad
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absoluta de la onda como la suma vectorial de la celeridad y de la velocidad υ no
perturbada del agua a traves de la cual la onda se propaga; es decir
υw = υ + c. (2.22)
Como regla general, estos vectores son paralelos al eje del canal; luego la ecuacion
(2.22), se puede reducir a una simple suma algebraica
υw = υ ± c, (2.23)
donde las velocidades se consideran positivas en la direccion hacia aguas abajo y
negativas en el sentido contrario. El flujo inicial de agua en el canal se supone que
ocurre en la direccion hacia aguas abajo.
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Capıtulo III
ESQUEMA DE DIFERENCIAS
FINITAS
Este capıtulo presentamos los resultados matematicos con algunas demostracio-
nes que van a ser utilizados para el desarrollo de nuestra investigacion.
Este capıtulo esta basado en las siguientes referencias [24], [22], [19], [18] y [9].
3.1. Esquema de Diferencias Finitas
El Esquema de Diferencias Finitas (EDF) se utiliza para aproximar la solucion
analıtica de una ecuacion diferencial tanto parcial como ordinaria, consiste en el uso
de la aproximacion de la serie de Taylor para las derivadas de la ecuacion y mediante
operaciones recursivas obtener la solucion aproximada.
Considere el sistema como un problema de valor inicial escalar, con Ω = R×R+ ⊂
R2, luego P (x, t, ∂t, ∂x)u = f(x, t), x ∈ R, t > 0
u(x, 0) = u0(x), x ∈ R,(PVI)
donde P = P (ξ1, ξ2, ξ3, ξ4) es un polinomio en las variables ξ1, ξ2, ξ3 y ξ4, P es un
operador que puede ser lineal o no.
La discretizacion del (PVI) se hace en tres pasos:
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3.1.1. Discretizacion del dominio
El dominio Ω es dividido en un numero finito de subintervalos igualmente espa-
ciados de longitud ∆x para el caso de las abscisas y ∆t para el caso de las ordenadas,
estos son llamados la diferencia finita, los cuales son numeros positivos (ver figura
3.1).
Figura 3.1: Dominio discretizado.
Definicion 3.1 (Malla) Sean h y k numeros positivos, una malla en el dominio
Ω es un conjunto de puntos τ = (xj, tn) = (jh, nk)/j, n ∈ Z ⊂ Ω, tal que cada
(xj, tn) esta en el interior o en la frontera de un subdominio de la subdivision del
dominio Ω y satisface
xj+1 = xj + ∆x , (3.1)
tn+1 = tn + ∆t ; (3.2)
es decir, se cumple ∆x = xj+1 − xj y ∆t = tn+1 − tn, estos puntos son conocidos
como nodos (ver figura 3.2).
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3.1 Esquema de Diferencias Finitas 43
Figura 3.2: Malla computacional.
3.1.2. Discretizacion de la variable
Definicion 3.2 Una funcion discreta u es aquella que esta definida sobre la ma-
lla, tal que a cada punto (xj, tn) le asocia un valor ujn. Una funcion continua u(x, t)
definida en Ω, puede ser discretizada sobre la malla, definiendo
unj = u(xj, tn). (3.3)
3.1.3. Discretizacion de la ecuacion
Para discretizar la ecuacion del sistema, se utiliza la funcion discreta unj que
aproxima la solucion u(x, t) en el punto (xj, tn), los operadores diferenciales son
aproximados por diferencias finitas empleando la serie de Taylor, en el problema
de valor inicial (PVI) para obtener el problema de valor inicial discreto (PVID),
siguiente P∆x,∆tunj = f(j∆x, n∆t), j ∈ Z, n ∈ Z+,
u0j = u0(j∆x), j ∈ Z.
(PVID)
Entonces el problema (PVI) ha sido sustituido por (PVID) para puntos discretos
xj = j∆x y tn = n∆t , con j ∈ Z , n ∈ Z+ . Dependiendo de la forma del operador
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discreto se determina un esquema de diferencias finitas. La manera de conseguir
estos esquemas es aproximando las derivadas por diferencias finitas, en este caso es
fundamental la serie de Taylor.
Observacion 3.1 En muchos textos h y k representan ∆x y ∆t, respectivamente.
Para este capıtulo adoptaremos este notacion.
Ejemplo 3.1 Utilizando las derivadas de u en (x, t) con respecto a x, tenemos
las siguientes aproximaciones en los puntos de la malla
∂u
∂x(jh, nk) ' u((j + 1)h, nk)− u(jh, nk)
h, (3.4a)
∂u
∂x(jh, nk) ' u((j + 1)h, nk)− u((j − 1)h, nk)
2h. (3.4b)
Consideremos la siguiente ecuacion
ut + aux = 0, (3.5)
donde a 6= 0.
Podemos encontrar varios esquema de diferencias finitas para discretizar la ecua-
cion (3.5), enunciaremos los esquemas mas usados
1. Forward-Time Forward-Space (FTFS):
un+1j − unjk
+ aunj+1 − unj
h= 0. (3.6)
2. Forward-Time Backward-Space (FTBS):
un+1j − unjk
+ aunj − unj−1
h= 0. (3.7)
3. Forward-Time Central-Space (FTCS):
un+1j − unjk
+ aunj+1 − unj−1
2h= 0. (3.8)
4. Leapfrog:un+1j − un−1
j
2k+ a
unj+1 − unj−1
2h= 0. (3.9)
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 45
5. Lax-Friedrichs:
un+1j − 1
2(unj+1 + unj−1)
k+ a
unj+1 − unj−1
2h= 0. (3.10)
Ejemplo 3.2 Sea el problema de valor inicial y de contornout + ux = 0, (x, t) ∈ [−2, 3]× [0,∞)
u(x, 0) = u0(x) :=
1− |x| , si |x| ≤ 1,
0 , si |x| ≥ 1.
(3.11)
Con la frontera u(−2, t) = 0. El primer paso es elegir el esquema a usar, en este
caso emplearemos el esquema de Lax-Friedrichs (3.10) con λ := kh
= 0,8 y h = 0,1.
En el lado derecho de la frontera usamos la condicion un+1J = un+1
J−1 donde xJ = 3 y J
simboliza el ultimo termino de la discretizacion en x. Para el dato inicial tomamos
u0j = u0(xj). Para proceder al calculos de las soluciones, podemos ver que (3.10) se
puede transformar en la formula
un+1j =
1
2(unj+1 + unj−1) +
1
2λ(unj+1 − unj−1). (3.12)
Ahora solo es calcular los valores de un+1j para todos los puntos excepto en los puntos
finales del intervalo. El grafico de la solucion en el punto t =1.6 es mostrado en la
figura (3.3), donde la solucion exacta es dada por la linea solida y la solucion dada
por el esquema esta con pequenos cırculos.
3.2. Convergencia, Consistencia y Estabilidad
Definicion 3.3 (Convergencia) Un esquema de diferencias finitas de un solo
paso de aproximacion de una ecuacion diferencial parcial es un esquema convergente
si para cualquier solucion del (PVI), u(x, t), y una solucion del (PVID), unj , tal que
u0j converge para u0(x) cuando jh converge para x, entonces unj converge para u(x, t)
cuando (jh, nk) converge para (x, t) cuando h, k converge para 0.
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Figura 3.3: Solucion del esquema de Lax - Friedrichs.
Demostrar que un esquema de diferencias finitas es convergente no es facil en
general, si queremos mostrar de manera directa. Sin embargo, hay dos conceptos
que son faciles de comprobar: la consistencia y la estabilidad ([24], pagina 24).
Definicion 3.4 (Consistencia) Dada la ecuacion diferencial parcial, Pu = f
y el esquema de diferencia finita, Ph,kυ = f , decimos que el esquema de diferencias
finitas es Consistente con la ecuacion diferencial parcial si para culaquier funcion
suave φ(x, t), se cumple
Pφ− Ph,kφ→ 0, cuando h, k → 0 , (3.13)
donde la convergencia es puntual, en cada punto (x, t).
Definicion 3.5 Sean F y G funciones de algun parametro α:
Decimos que F = O(G) cuando α → 0, si∣∣∣FG ∣∣∣ ≤ K, para algun K y todo α
suficientemente pequeno.
Decimos que F = o(G) cuando α→ 0, si FG→ 0 cuando α→ 0.
En particular, una cantidad es O(hr) si esta acotada por una constante multiplo de
hr para h pequeno. Una cantidad es o(1) si esta converge para 0 en una tasa no
determinada.
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 47
Ejemplo 3.3 Vamos a analizar la consistencia del esquema Forward-Time Forward-
Space. Para la ecuacion de la onda (3.5), donde Pφ = ∂φ∂t
+ a∂φ∂x
. Para el esquema
(FTFS) (3.6), el operador Ph,k es dado por
Ph,kφ =φn+1j − φnjk
+ aφnj+1 − φnj
h, (3.14)
donde φnj = φ(jh, nk).
Damos la serie de Taylor de la funcion φ alrededor de (xj, tn), tenemos
φn+1j = φnj + kφt +
k2
2φtt +O(k3), (3.15a)
φnj+1 = φnj + hφx +h2
2φxx +O(h3), (3.15b)
donde las derivadas en el lado derecho son todas evaluadas en (xj, tn) y
Ph,kφ = φt + aφx +k
2φtt +
ah
2φxx +O(k2) +O(h2). (3.16)
Luego
Pφ− Ph,kφ = −k2φtt −
ah
2φxx +O(k2) +O(h2)
h,k→0−−−→ 0. (3.17)
Por lo tanto, este esquema es consistente.
La consistencia implica que la solucion de la ecuacion diferencial parcial, si es sua-
ve, es una solucion aproximada del esquema de diferencias finitas. Del mismo modo,
la convergencia significa que la solucion del esquema de diferencias finitas aproxima
a la solucion (analıtica, exacta) de la diferencia parcial ecuacion. Es natural conside-
rar si la consistencia es suficiente para un esquema ser convergentes. La consistencia
es ciertamente necesario para la convergencia, pero como muestra el ejemplo 1.4.3
([24], pagina 27), un esquema puede ser consistente, pero no convergente.
Definicion 3.6 (Estabilidad) Un (EDF) Pk,hunj = 0 para una ecuacion de pri-
mer orden es estable en la region de estabilidad Λ si existe un entero N tal que para
todo tiempo positivo T , existe una constante CT tal que
h
∞∑j=−∞
|unj |2 ≤ CThN∑i=0
∞∑j=−∞
|uij|2, (3.18)
para 0 ≤ nk ≤ T , con (h, k) ∈ Λ.
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Observacion 3.2 Podemos escribir (3.18) en funcion de la norma de L2(Z), es
decir ‖un‖2h := h
∑∞j=−∞ |unj |2, ası tenemos
‖un‖h ≤
(CT
N∑i=0
‖ui‖2h
)1/2
. (3.19)
Ejemplo 3.4 Una condicion suficiente para la estabilidad del esquema (FTFS)
(3.6), que puede ser considerado en la forma
un+1j = αunj + βunj+1,
es que |α|+ |β| ≤ 1 (ver [24], pagina 30).
Definicion 3.7 (Problema Bien Puesto) El problema de valor inicial para la
ecuacion diferencial parcial de primer orden Pu = 0 es bien puesto si para cualquier
tiempo T > 0, existe una constante CT tal que toda solucion u(x, t) satisface
∞∫−∞
|u(x, t)|2dx ≤ CT
∞∫−∞
|u(x, 0)|2dx, (3.20)
para 0 ≤ t ≤ T .
Teorema 3.1 (Equivalencia de Lax - Richtmyer) Un (EDF) consistente pa-
ra una ecuacion diferencial parcial, para el cual el (PVI) es bien puesto, es conver-
gente si y solamente si es estable.
Demostracion: Ver [24], pagina 263. 2
3.2.1. La condicion de Courant-Friedrichs-Lewy
Definicion 3.8 Un (EDF) Explıcito es cualquier esquema que puede ser escrito
en la forma
un+1j = suma finita de un
′
j′ , con n′ ≤ n. (3.21)
Diremos (EDF) Implıcito es un esquema que no es explıcito.
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 49
Teorema 3.2 Para un esquema explıcito de la ecuacion hiperbolica (3.5) de la
forma un+1j = αunj−1 + βunj + γunj+1 con λ = k/h una constante, una condicion
necesaria para la estabilidad es la condicion de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL),
|aλ| ≤ 1. (3.22)
Para sistemas de ecuaciones ut + Aux = 0, donde u es un vector y α, β y γ son
matrices, debemos tener |aiλ| ≤ 1, para todo autovalor ai de la matriz A.
Demostracion: Ver [24], pagina 34. 2
Observacion 3.3 En el caso donde no hay restricciones sobre la relacion entre h
y k para la estabilidad, decimos que el esquema es estable o incondicionalmente
estable. Caso contrario, decimos que el esquema es condicionalmente estable.
Un argumento analogo puede ser usado para mostrar que no existe un esque-
ma explıcito, consistente para ecuaciones diferenciales parciales hiperbolicas que es
estable para todos los valores de λ (con λ constante cuando h, k → 0).
Teorema 3.3 No existe (EDF) explıcito, incondicionalmente estable, consistente
para sistemas hiperbolicos de ecuaciones diferenciales parciales.
Demostracion: Ver [9]. 2
Presentamos dos esquemas implıcitos para la ecuacion de la onda (3.5). Estos
esquemas son consistentes y estables para todos los valores de λ y ası ilustramos
que el Teorema 3.3 no se extiende a los esquemas implıcitos. Los esquemas son:
Backward-time Central-space (BTCS)
un+1j − unjk
+ aun+1j+1 − un+1
j−1
h= 0 (3.23)
y Backward-time Backward-space (BTBS)
un+1j − unjk
+ aun+1j − un+1
j−1
h= 0 (3.24)
para a positivo (ver [24], pagina 36).
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Definicion 3.9 (Orden de precision) Un esquema Ph,ku = Rh,kf que es con-
sistente con la ecuacion diferencial Pu = f es de orden de precision p en el tiempo
y orden q en el espacio si para cualquier funcion suave φ(x, t), se tiene
Pk,hφ−Rk,hPφ = O(kp) +O(hq). (3.25)
Decimos que tal esquema tiene orden de precision (p, q).
Observacion 3.4 La cantidad Ph,kφ−Rh,kPφ es llamada error de truncamiento
del esquema.
Ejemplo 3.5 Usamos la definicion anterior para mostrar que el esquema de Lax
- Wendroff
un+1j − unjk
+ aunj+1 − unj−1
2h−a
2k
2
(unj+1 − 2unj − unj−1)
h2
=1
2(fn+1j + fnj )− ak
4h(fnj+1 − fnj−1) (3.26)
para la ecuacion de la onda no homogenea ut + aux = f , tiene orden de precision
(2, 2).
Vemos de (3.26), se tiene
Ph,kφ =φn+1j − φnjk
+ aφnj+1 − φnj−1
2h− a2k
2
(φnj+1 − 2φnj − φnj−1)
h2(3.27)
y
Rh,kf =1
2(fn+1j + fnj )− ak
4h(fnj+1 − fnj−1). (3.28)
Usamos la serie de Taylor para (3.27) evaluada en (xj, tn) para obtener
Ph,kφ = φt + aφx +k
2φtt −
a2k
2φxx +O(k2) +O(h2). (3.29)
Para una funcion suave f(x, t), (3.28) se torna
Rh,kf = f +k
2ft −
ak
2fx +O(k2) +O(h2), (3.30)
y si f = φt + aφx = Pφ, esto es,
Rh,kPφ = φt + aφx +k
2φtt +
k
2aφxt −
ak
2φxt −
a2k
2φxx +O(k2) +O(h2)
= φt + aφx +k
2φtt −
a2k
2φxx +O(k2) +O(h2). (3.31)
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 51
Substituyendo (3.29) en (3.31), tenemos que Ph,kφ − Rh,kPφ = O(k2) + O(h2). De
esto, el esquema de Lax - Wendroff tiene orden de precision (2, 2).
3.2.2. Analisis de estabilidad de Von Neumann
Una aplicacion del analisis de Fourier muy importante es el analisis de Von
Neumann de la estabilidad del (EDF), por medio de este analisis podemos dar
condiciones necesarias y suficientes para la estabilidad del (EDF). A continuacion
presentamos un ejemplo de lo antes mencionado, haciendo uso de la transformada
de Fourier para analizar la estabilidad del esquema Forward-Time Backward-Space
(FTBS):
un+1j − unjk
+ aunj − unj−1
h= 0, (3.32)
podemos reescribirlo como
un+1j = (1− aλ)unj + aλunj−1, (3.33)
donde λ = k/h. Usando a formula de inversion de Fourier (ver [24, ecuacion (2.1.6)])
para unj , tenemos
unj =1√2π
π/h∫−π/h
eijhξun(ξ)dξ. (3.34)
Sustituyendo (3.34) en (3.33) para unj y unj−1, obtenemos
un+1j =
1√2π
π/h∫−π/h
eijhξ[(1− aλ) + aλe−ihξ]un(ξ)dξ. (3.35)
Comparando la ecuacion (3.35) con la formula de inversion de Fourier para unj ,
tenemos
un+1j =
1√2π
π/h∫−π/h
eijhξun+1(ξ)dξ, (3.36)
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y usando, el hecho de que la transformada de Fourier es unica, deducimos de la
expresion (3.36), lo siguiente
un+1(ξ) = [(1− aλ) + aλe−ihξ]un(ξ)
= g(hξ)un(ξ), (3.37)
donde
g(hξ) = (1− aλ) + aλe−ihξ.
A formula (3.37) muestra que adelantando la solucion del esquema por un paso en
el tiempo es equivalente a multiplicar la transformada de Fourier de la solucion por
el factor de amplificacion g(hξ). El factor de amplificacion es llamado ası, por que
su magnitud es la cantidad que la amplitud de cada frecuencia en la solucion, dadas
por un(ξ), es amplificada en la solucion adelantada un paso en el tiempo. De la
expresion (3.37), obtenemos la siguiente formula
un(ξ) = g(hξ)nu0(ξ). (3.38)
Note que el superındice de u es el nivel del tiempo, mientras sobre g es una potencia.
Ahora usaremos la ecuacion (3.38) para el estudio de la estabilidad del esquema
(3.32). Para la transformada de Fourier, tenemos la siguiente relacion
‖u‖2h =
π/h∫−π/h
|u(ξ)|2dξ =∞∑
j=−∞
|uj|2h = ‖u‖2h, (3.39)
esta es llamada relacion de Parseval. Utilizando las relaciones (3.38) y (3.39), resulta
∞∑j=−∞
|unj |2h =
π/h∫−π/h
|un(ξ)|2dξ =
π/h∫−π/h
|g(hξ)|2n|u0(ξ)|2dξ. (3.40)
Vemos entonces que la desigualdad de estabilidad (3.18) se cumple, con N = 0, si
|g(hξ)|2n esta acotada adecuadamente. Colocando θ = hξ, tenemos
g(θ) = (1− aλ) + aλe−iθ
= (1− aλ) + aλ cos θ + aλ sin θ. (3.41)
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 53
Ahora, aplicando el modulo en (3.41), obtenemos
|g(θ)|2 = (1− aλ+ aλ cos θ)2 + a2λ2 sin2 θ
= (1− 2aλ sin2 θ
2)2 + 4a2λ2 sin2 θ
2cos2 θ
2
= 1− 4aλ sin2 θ
2+ 4a2λ2 sin4 θ
2+ 4a2λ2 sin2 θ
2cos2 θ
2
= 1− 4aλ(1− aλ) sin2 θ
2. (3.42)
De la expresion (3.42), tenemos que |g(θ)| es acotada por 1 si 0 ≤ aλ ≤ 1, ası por
(3.38), resulta
h∞∑
j=−∞
|unj |2 ≤π/h∫
−π/h
|u0(ξ)|2dξ = h∞∑
j=−∞
|u0j(ξ)|2, (3.43)
y el esquema es estable por la Definicion 3.6.
Teorema 3.4 Un (EDF ) de un paso con coeficientes constantes es estable en
una region de estabilidad Λ si y solamente si existe una constante Σ (independiente
de θ, k y h) tal que
|g(θ, k, h)| ≤ 1 + Σk (3.44)
con (k, h) ∈ Λ. Si g(θ, k, h) es independiente de h y k, la condicion de estabilidad
de (3.44) puede ser reemplazada con la condicion de estabilidad restringida
|g(θ)| ≤ 1. (3.45)
Demostracion: [⇐] Por la relacion de Parseval y la definicion de g resulta
‖un‖2h =
π/h∫−π/h
|g(hξ, k, h)|2n|u0(ξ)|2dξ. (3.46)
Si |g(hξ, k, h)| ≤ 1 + Σk, para (k, h) ∈ Λ, tenemos
‖un‖2h ≤
π/h∫−π/h
(1 + Σk)2n|u0(ξ)|2dξ
= (1 + Σk)2n‖u0‖2h. (3.47)
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Ahora n ≤ T/k, ası
(1 + Σk)n ≤ (1 + Σk)T/k ≤ eΣT .
Por lo tanto, ‖un‖h ≤ eΣT‖u0‖h, que satisface la condicion (3.18) y ası el esquema
es estable en Λ.
[⇒] Probaremos ahora que si la desigualdad (3.44) puede no ser satisfecha para
(k, h) ∈ Λ para cualquier valor de Σ, entonces el esquema no es estable en Λ.
Hacer esto muestra que podemos conseguir cualquier cantidad de crecimiento en la
solucion, es decir, muestra que la desigualdad de estabilidad (3.18) puede no ser
cumplida.
Si para algun valor positivo C existe un intervalo de θ, θ ∈ [θ1, θ2] y (k, h) ∈ Λ
con |g(θ, k, h)| > 1 + Ck, entonces construimos una funcion u0j como
u0(ξ) =
0 , sihξ 6∈ [θ1, θ2],√h(θ2 − θ1)−1 , sihξ ∈ [θ1, θ2].
Vemos que
‖u0‖2h =
π/h∫−π/h
|u0(ξ)|2dξ =
θ2/h∫θ1/h
h(θ2 − θ1)−1dξ = 1.
Entonces
‖un‖2h =
π/h∫−π/h
|g(hξ, k, h)|2n|u0(ξ)|2dξ
=
θ2∫θ1
|g(hξ, k, h)|2n h
θ2 − θ1
dξ
≥ (1 + Ck)2n
≥ 1
2e2TC‖u0‖2
h,
para n cerca de T/k. Esto muestra que el esquema es inestable si C es arbitrariamente
grande. Ası, el esquema es inestable si no existe una region en la cual g(hξ, k, h)
pueda ser limitada como en (3.44). La prueba de la condicion (3.45) es similar a la
demostracion do Teorema (3.6). 2
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 55
Definicion 3.10 (Von Neumann) La estabilidad de Von Neumann esta basa-
do en que el (EDF ) del (PVI) tiene una solucion de la forma, unj = gneiθj, esta
se reemplaza en el (EDF ) y se obtiene el factor de amplificacion g = g(θ), luego el
Teorema 3.4 indica si el esquema es estable o no.
Observacion 3.5 El analisis de estabilidad de Von Neumann, tambien se puede
aplicar para sistemas de ecuaciones, en ese caso encontramos una matriz de amplifi-
cacion G(θ) = (gij) (ver [1], [22], [24]), despues de reemplazar unm,j = gnmeiθj, donde
m es el numero de soluciones.
Definicion 3.11 El (EDF) Un+1 = QUn con Q una matriz de orden p × p,
Un = (un1 , . . . , unp ) y p ∈ N, satisface la Condicion de Von Neumann si existe una
constante C independiente de h, k, n y θ tal que
σ(G(θ)) ≤ 1 + Ck,
donde G(θ) es la matriz de amplificacion de orden p × p con autovalores λi(θ),
i = 1, . . . , p y el radio espectral σ(G(θ)) = max1≤i≤p |λi(θ)|.
Teorema 3.5 La condicion de Von Neumann es necesaria para la estabilidad del
(EDF) en la norma `2.
Demostracion: Ver [22, Teorema 2.2]. 2
Ejemplo 3.6 Usando el esquema forward-time forward-space (3.6) y la ecuacion
(3.37), obtenemos
|g(θ)|2 = 1 + 4aλ(1 + aλ) sin2 θ
2, (3.48)
donde a es positiva. Si λ es constante, entonces podemos usar la condicion (3.45),
vemos que |g| ≥ 1 para θ 6= 0, y por lo tanto este esquema es inestable. Recordemos
el Ejemplo 1.4.3 ([24], pagina 27), sabemos que este esquema no es convergente.
Si a es negativo, entonces el esquema forward-time forward-space es estable para
−1 ≤ aλ ≤ 0.
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Ejemplo 3.7 Consideremos el esquema modificado de Lax - Friedrichs para
ut + aux − u = 0, (3.49)
dado porun+1j − 1
2(unj+1 + unj−1)
k+ a
unj+1 − unj−1
2h− unj = 0. (3.50)
Este esquema tiene el factor de amplificacion
g(θ, k, h) = cos θ − iaλ sin θ + k, (3.51)
y obtenemos
|g(θ, k, h)|2 = (cos θ + k)2 + a2λ2 sin2 θ
≤ (1 + k)2, (3.52)
si |aλ| ≤ 1.
Corolario 3.1 Si un esquema como en el Teorema 3.4 se modifica de forma
que el unico resultado de las modificaciones es la adicion al factor de amplificacion
de terminos que son O(k) uniformemente en ξ, entonces el esquema modificado es
estable si y solo si el esquema original es estable.
Demostracion: Si g es el factor de amplificacion para el esquema y satisface
|g| ≤ 1+Σk, entonces el factor de amplificacion del esquema modificado, g, satisface
|g| = |g +O(k)| ≤ 1 + Σk + Ck = 1 + Σk.
Por lo tanto, el esquema modificado es estable si el esquema original es estable y
viceversa. 2
Teorema 3.6 Un esquema de un solo paso consistente para la ecuacion
ut + aux + bu = 0
es estable si y solo si es estable para esta ecuacion cuando b es igual a 0. Ademas,
cuando k = λh y λ es una constante, la condicion de estabilidad sobre g(hξ, k, h) es
|g(θ, 0, 0)| ≤ 1. (3.53)
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3.2 Convergencia, Consistencia y Estabilidad 57
Demostracion: Debido a la consistencia, es facil ver que el termino de orden
inferior bu contribuye a la expresion de g solamente terminos que son proporcionales
a k. Por el Corolario 3.1 la supresion de estos terminos no afectara la estabilidad
del esquema. Para mostrar el otro resultado, usamos la serie de Taylor en k y h,
tenemos
g(θ, k, h) = g(θ, 0, 0) +O(h) +O(k),
y si h = λ−1k, entonces los terminos que son O(h) tambien son O(k). Ademas,
como θ es restricta al conjunto compacto [−π, π], los terminos O(k) son acotados
uniformemente. De este modo, por el Corolario 3.1 la condicion de estabilidad es
g(θ, 0, 0) ≤ 1 + Σk,
para alguna constante Σ. Pero, el lado izquierdo de esta relacion es independiente
de k y la desigualdad deberıa cumplirse para todo valor positivo pequeno de k.
Tenemos, por lo tanto, que la estimacion anterior se cumple si y solamente si
g(θ, 0, 0) ≤ 1.
Este mismo razonamiento demuestra la ultima afirmacion del Teorema 3.4. 2
Observacion 3.6 El Teorema 3.6 es valido tambien para sistemas de ecuaciones,
es decir, cuando la ecuacion es de la forma: Ut + AUx + BU = 0, donde U es
un vector, A y B son matrices. Esto es, debido que en la demostracion, de este
teorema fue usado el Corolario 3.1 ıntegramente, gracias al Ejercicio 7.1.5 de [24],
nos dice que este corolario puede ser extendido para sistemas de ecuaciones, con esto
generalizamos el Teorema 3.6.
Ejemplo 3.8 Presentamos el analisis de Von Neumann para el esquema de Lax
- Friedrichs del Ejemplo 3.7. El esquema es estable si y solamente si el esquema es
estable sin el termino sin derivadas. Para este caso
g(θ) = cos θ − iaλ sin θ (3.54)
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y tenemos
|g(θ)|2 = cos2 θ + a2λ2 sin2 θ. (3.55)
Vemos que |g(θ)| ≤ 1 si y solo si |aλ| ≤ 1. Ası, el esquema de Lax - Friedrichs con
constante λ es estable si y solamente si |aλ| ≤ 1.
Definicion 3.12 (Expansion de Taylor) Si la funcion f tiene mas de una va-
riable independiente, digamos, f = f(x, y), la expansion de Taylor en el punto (a, b),
se expresa
f(x, y) = f(a, b) + (x− a)∂f
∂x+ (y − b)∂f
∂x
+1
2!
[(x− a)2∂
2f
∂x2+ 2(x− a)(y − b) ∂
2f
∂x∂y+ (y − b)2∂
2f
∂y2
]
+1
3!
[(x− a)3∂
3f
∂x3+ 3(x− a)2(y − b) ∂3f
∂x2∂y
+ 3(x− a)(y − b)2 ∂3f
∂x∂y2+ (y − b)3∂
3f
∂y3
]+ . . . , (3.56)
con todas las derivadas evaluadas en el punto (a, b). Usando αjt = xj−xj0, podemos
escribir la expansion de Taylor para m variables independientes en la forma simbolica
f(x1, . . . , xm) =∞∑n=0
tn
n!
(m∑i=1
αi∂
∂xi
)n
f(x1, . . . , xm)
∣∣∣∣∣(xk=xk0 , k=1,...,m)
. (3.57)
Ahora mostraremos una extension importante de la regla de Leibniz. Suponga-
mos que f : R ⊂ R2 → R, donde R = (x, t) : a ≤ x ≤ b, c ≤ t ≤ d, denotemos
I = x : a ≤ x ≤ b y J = t : c ≤ t ≤ d y sean h0, h1 : I → J . Suponga que
F : I → R es definido por
F (x) =
h1(x)∫h0(x)
f(x, t)dt. (3.58)
Consideremos una funcion φ : R3 → R definido por
φ(x, y, z) =
z∫y
f(x, t)dt. (3.59)
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3.3 Metodo de Solucion de Double - Sweep 59
Teorema 3.7 Suponga que f y ∂f∂x
son continuas en R y φ es definida como en
(3.59) con x ∈ I y y, z ∈ J . Entonces
φx(x, y, z) =
z∫y
∂f(x, t)
∂xdt, φy = −f(x, y), φz = f(x, z). (3.60)
Demostracion: La primera formula en (3.60) es resultado de usar la Regla de
Leibniz (ver [18, Teorema 9.1]). La segunda y tercera formula se cumplen debido al
teorema fundamental del calculo. 2
Teorema 3.8 (Regla de Leibnitz General) Suponga que f y ∂f∂x
son conti-
nuas en R y h0, h1 : I → J son funciones de clase C1. Si F : I → R es definido
como en (3.58), entonces
∂F (x)
∂x= f(x, h1(x))h′1(x)− f(x, h0(x))h′0(x) +
h1(x)∫h0(x)
∂f(x, t)
∂xdt. (3.61)
Demostracion: Usamos φ definido en (3.59), vemos que F (x) = φ(x, h0(x), h1(x)).
Aplicamos la regla de la cadena para F ′, obtenemos
F ′(x) = φx + φyh′0(x) + φzh
′1(x). (3.62)
Ahora, colocamos los valores de φx, φy y φz de (3.60) en la formula arriba con
y = h0(x) y z = h1(x), obtenemos la regla de Leibniz general (3.61). 2
3.3. Metodo de Solucion de Double - Sweep
El algoritmo de Double - Sweep (doble barrido), es una tecnica de solucion que
esta basada en un caso especial de la eliminacion Gaussiana. Esta tecnica es usada
para cualquier esquema implıcito de diferencias finitas que puede ser representado
en la forma tridiagonal general
Ajun+1j+1 +Bju
n+1j + Cju
n+1j−1 = Dj. (3.63)
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60
Para solucionar (3.63) para todo j = 1, . . . , J−1, usamos el Algoritmo de Thomas
(ver [2], pagina 117), introducimos 2 variables independientes Ej y Fj tal que
un+1j+1 = Eju
n+1j + Fj, (3.64)
de forma que una relacion lineal es asumida existe entre uj+1 y uj en el siguiente
nivel de tiempo. Substituyendo (3.64) en (3.63), se obtiene
(AjEj +Bj)un+1j + Cju
n+1j−1 = Dj − AjFj. (3.65)
Dividiendo (3.65) por (AjEj +Bj), resulta
un+1j =
(−Cj
AjEj +Bj
)un+1j−1 +
(Dj − AjFjAjEj +Bj
). (3.66)
Ası, podemos identificar que
Ej−1 =−Cj
AjEj +Bj
(3.67a)
Fj−1 =Dj − AjFjAjEj +Bj
. (3.67b)
Podemos repetir el proceso de indexar en forma descendente para valores sucesivos
de j (J − 2, J − 3, etc.) y entonces vemos que cada par sucesivo de valores Ej−1 y
Fj−1 pueden ser calculado facilmente del par adyacente de valores Ej y Fj, usando
(3.67a) y (3.67b). De esta manera (3.67a) y (3.67b) se tornan las relaciones de
recurrencias para calcular el conjunto de Ej, Fj de j = J (usualmente la frontera
del lado derecho) a j = 1. Estas variables adicionales estan entonces usadas en un
segundo conjunto de calculos sucesivos de un+1j+1 = Eju
n+1j + Fj, para calcular todos
los valores de la solucion, comenzamos en j = 1 donde un+11 es una condicion de
frontera conocida.
La tecnica es esquematizada en la figura 3.4. Calculamos primero EJ y FJ para
comenzar y entonces usamos (3.67a) y (3.67b) recursivamente y barriendo hacia
adelante (sweep forward) para calcular E y F para todos los puntos de la malla
j = J − 1 a 1. Entonces, usando esto almacenamos la informacion de E − F y
(3.64), barriendo hacia atras (sweep back), calculamos un+1j para todos los puntos
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3.3 Metodo de Solucion de Double - Sweep 61
de la malla de j = 2 a J − 1: de ahı el nombre de metodo (algoritmo) de Double
- Sweep. En otras palabras, tomamos la informacion de frontera del lado derecho
para el izquierdo, de tal modo que acondicionamos la solucion para el uso de esta
informacion en los valores de E − F y entonces procedemos en la direccion inversa,
transferimos los datos de la frontera del lado izquierdo para el derecho a fin de
determinar la solucion completa.
Figura 3.4: Esquematizacion del algoritmo de double - sweep.
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3.3.1. Condicion de Frontera del tipo Dirichlet: un+1J cono-
cido.
Dado un+1J y reescribiendo (3.64), tenemos
un+1J = EJ−1u
n+1J−1 + FJ−1 (3.68)
y deberıamos establecer EJ−1 y FJ−1 (valores de arranque) que son independientes
de un+1J−1. El proceso es simple tomando
EJ−1 = 0 (3.69)
ası que
FJ−1 = un+1J . (3.70)
Las ecuaciones (3.69) y (3.70) son los valores de arranque del barrido E − F .
Observacion 3.7 Para el caso con la condicion de frontera del tipo de Neumann
podemos ver [2], pagina 119.
Observacion 3.8 (Estabilidad del Algoritmo de Thomas) Para el algorit-
mo de Thomas estar bien condicionado o estable, debe cumplir
|Ej| ≤ 1 (3.71)
La condicion (3.71) es satisfecha sii el esquema tridiagonal (3.63) satisface |−Cj| ≤
|Aj|+ |Bj| (ver [24], pagina 90).
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Capıtulo IV
LAS ECUACIONES DE SAINT -
VENANT
En el presente capıtulo se presenta una deduccion de las ecuaciones de Saint –
Venant unidimensional (1-D) en la forma diferencial usando hipotesis que simplifican
su deduccion mediante el uso del diagrama de cuerpo libre de un volumen de control,
donde se aprecia el fenomeno a estudiar. El modelo hidraulico original de las ecua-
ciones de Saint – Venant fue presentado en [20]. Las ecuaciones de Saint – Venant
son deducidas a partir de las leyes basicas de la mecanica de fluidos que gobiernan
el flujo de la superficie libre: conservacion de masa y conservacion de momento. En
este caso vamos a hacer una adaptacion de lo que fue estudiado en [10].
4.1. Sistema Natural de Coordenadas e Hipotesis
Basicas
Un canal abierto inclinado es aquel donde el flujo del fluido sucede primordial-
mente por accion directa de la gravedad a traves de la accion de la componente del
peso del agua, en direccion del declive, en una analogıa directa con lo que ocurre en
los rıos. Ası, tenemos que el flujo de un canal inclinado, presenta un unico sentido
de movimiento: aguas arriba (upstream, montante), para aguas abajo (downstream,
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jusante). Sin embargo, esto no implica que no ocurra el flujo contrario en otras
estructuras.
El sistema de coordenadas mas adecuado, para determinar las ecuaciones de
Saint – Venant, debe tener el eje x sobrepuesto al lecho (fondo) del canal, siendo
inclinado en relacion a la horizontal, de forma que la componente de la velocidad de
mayor interes tenga la misma direccion de x. Por otro lado, si el eje x fuese colocado
horizontal, surgirıa una componente vertical de la velocidad, causando una dificultad
extra a las ecuaciones. Entonces, el sistema de coordenadas utilizado es concebido
como natural por tener el declive del propio canal, una vez que el eje x (longitudinal)
sigue el eje del canal y presenta una inclinacion α en relacion con la horizontal. El
origen del eje x es colocado en la desembocadura, entendida como punto de partida
del cual no se observa inversion del flujo, admitiendose que el sentido positivo del
eje sea siguiendo la direccion x y que el eje z sea ortogonal a x como muestra la
figura 4.1.
Figura 4.1: Vista de la seccion longitudinal del canal.
Habiendo definido las caracterısticas basicas de la geometrıa del problema, ahora
vamos a establecer las demas hipotesis necesarias para deducir las ecuaciones de
Saint – Venant, como sigue:
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4.2 Modelo Unidimensional 65
1. Flujo Isocorico, implicando un valor constante para la densidad.
2. Campo de Presion Hidrostatico, en el balance de fuerzas en la direccion per-
pendicular al movimiento, las aceleraciones verticales son despreciadas en pre-
sencia de la componente del peso.
3. Pendiente del declive pequena.
4. Declive constante.
4.2. Modelo Unidimensional
Usando las hipotesis anteriores podemos deducir las ecuaciones de Saint – Ve-
nant en su forma unidimensional. En coordenadas rectangulares, consideramos un
volumen de control, con un ancho (∆x), en donde el flujo se procesa de la seccion 1
para la 2, conforme ilustra la figura 4.2.
Figura 4.2: Volumen de control.
Consideramos tambien el area (A) de cada una de las secciones transversales del
volumen de control. En cada seccion transversal, el area depende de la altura de la
lınea de agua (h), definida como altura hidraulica, tomada perpendicularmente al
eje del canal. Esta altura depende del tiempo (t) y de la variable espacial (x) como
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se observa en la figura 4.3. De la hipotesis de inclinacion pequena del canal es posible
despreciar la parte aleatoria admitiendo apenas la componente media de la velocidad.
Por tanto, las caracterısticas del flujo permiten una aproximacion unidimensional
de las ecuaciones que lo determinan. Ası, podemos considerar−→U = u
−→i , donde u
representa la velocidad media en la seccion transversal.
Figura 4.3: Seccion transversal del volumen de control.
4.3. Ecuacion de Conservacion de Masa
Consideremos un volumen de control de un canal inclinado abierto entre la sec-
cion aguas arriba 1 y la seccion aguas abajo 2, como muestra la figura 4.4. La masa
presente en el volumen de control es ρA∆x (ver [17], pagina 11).
Figura 4.4: Diagrama de flujo.
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4.4 Ecuacion de Conservacion de Momento 67
Principio de Conservacion de Masa: el flujo neto a traves del volumen de control
en un intervalo ∆t debe ser igual al cambio en volumen del volumen de control en
el mismo intervalo.
Usando este principio en relacion al diagrama de fuerzas 4.4, vemos que el flujo
neto es la diferencia de los flujos, entre la seccion 1 y 2 que estan en funcion del
caudal (Q), obtenemos[ρ(Q− ∂Q
∂x
∆x
2
)− ρ(Q+
∂Q
∂x
∆x
2
)]∆t =
∂(ρA∆x)
∂t∆t. (4.1)
Haciendo algunos calculos simples, tenemos
∂A
∂t+∂Q
∂x= 0, (4.2)
donde (∂A∂t
) representa la tasa de acumulacion de masa en el interior del volumen de
control y (∂Q∂x
) representa el balance del flujo de masa en el volumen de control (ver
[10], pagina 9).
4.4. Ecuacion de Conservacion de Momento
Consideramos un volumen de control de un canal abierto entre una seccion aguas
arriba 1 y la seccion aguas abajo 2, como muestra la figura 4.5.
Ley de Conservacion de Momento: la velocidad de cambio del momento acu-
mulado a traves del volumen de control debe ser igual a la tasa neta del momento
trasferido dentro del volumen de control, mas la suma de fuerzas externas en la
direccion del flujo (ver [17], pagina 12).
Siguiendo esta ley en relacion al diagrama de fuerzas 4.5, tenemos
ρ∂Q
∂t∆x =
[ρQ2
A− ρ
(Q2
A+
∂
∂x
(Q2
A
)∆x
)]+∑
Fx. (4.3)
Mediante operaciones simples llegamos a obtener
∂Q
∂tρ∆x+
∂
∂x
(Q2
A
)ρ∆x =
∑Fx. (4.4)
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68
Figura 4.5: Diagrama de fuerzas.
De la figura 4.5, se observan que existen fuerzas que resta establecer para reemplazar
en la ecuacion (4.4), estas son las componentes de las fuerzas en la direccion x,
actuando en el volumen de control, las cuales son: la componente del peso en el
sentido del flujo, las fuerzas de presion en las paredes del canal y la fuerza de
friccion en el fondo del canal (ver [10], pagina 11).
Para mejor entendimiento de cada una de estas fuerzas, vamos a estudiarlas por
separado, observando su definicion y geometrıa dentro del canal inclinado.
4.4.1. Componente del peso en la direccion x
Vamos a denotar a la componente de la aceleracion de la gravedad en la direccion
x por gx y la componente de la fuerza del peso en la misma direccion por Wx y usando
(1.1), tenemos
Wx = m.gx. (4.5)
Sea m, la masa del agua en el volumen de control de la figura 4.6, donde el eje z es
perpendicular al eje x, empleando la formula (1.2), obtenemos
m = ρA∆x. (4.6)
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4.4 Ecuacion de Conservacion de Momento 69
Por la hipotesis del declive constante, resulta
gx = g sen(α). (4.7)
Sustituyendo las ecuaciones (4.6) y (4.7) en (4.5), llegamos a
Wx = ρg sen(α)A∆x. (4.8)
El fenomeno ocurrido en el volumen de control puede ser descrito como indica la
figura 4.6.
Figura 4.6: Vista lateral del volumen de control.
4.4.2. Fuerza de presion en la direccion x
Para observar las fuerzas de presion en la direccion x actuando en el volumen de
control, podemos ver la figura 4.7. Recordemos que una de nuestras hipotesis es que
el campo de presiones es hidrostatico.
La fuerza de desbalance de presion en la direccion x (FPx), es la resultante
de la fuerza hidrostatica en la seccion 1 del volumen de control (FP1), la fuerza
hidrostatica en la seccion 2 del volumen de control (FP2) y la fuerza de presion
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Figura 4.7: Vista de planta del volumen de control.
hidrostatica ejercida en la frontera lateral del volumen de control (FPb) (ver Figura
4.7), ası tenemos
FPx = FP1 − FP2 + FPb. (4.9)
Como podemos apreciar en la figura 4.8 y 4.6, un elemento del fluido de espesor dz
con una elevacion z medida desde el fondo del canal esta sumergido a la profundidad
h−z, luego la presion hidrostatica en el elemento es ρgz(h−z) y la fuerza hidrostatica
es ρgz(h− z)bdz, donde b representa el ancho del elemento a traves del canal.
Figura 4.8: Vista lateral del volumen diferencial de altura dz.
Por tanto la fuerza hidrostatica total en la seccion 1 del volumen de control es
FP1 =
h∫0
ρgz(h− z)bdz. (4.10)
La fuerza hidrostatica en la seccion 2 del volumen de control es
FP2 =
(FP1 +
∂(FP1)
∂x∆x
). (4.11)
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4.4 Ecuacion de Conservacion de Momento 71
La fuerza ejercida en la frontera lateral del canal se relaciona con la tasa de cambio
en el ancho del canal ( ∂b∂x
), a traves del elemento ∆x como
FPb =
[ h∫0
ρgz(h− z)∂b
∂xdz
]∆x. (4.12)
Sustituyendo las ecuaciones (4.10), (4.11) y (4.12) en (4.9), resulta
FPx = − ∂
∂x
h∫0
ρgz(h− z)bdz
∆x+
h∫0
ρgz(h− z)∂b
∂xdz
∆x. (4.13)
Aplicando el Teorema 3.8, en la ecuacion (4.13), se obtiene
FPx =−
h∫0
∂
∂x
[ρgz(h− z)b
]dz + ρgz(h− h)b
∂h
∂x− ρgzhb
∂0
∂x
∆x+ ∆x
h∫0
ρgz(h− z)∂b
∂xdz
=−
h∫0
b∂
∂x
[ρgz(h− z)
]dz +
h∫0
ρgz(h− z)∂b
∂xdz −
h∫0
ρgz(h− z)∂b
∂xdz
∆x.
(4.14)
Simplificando la ecuacion (4.14), se tiene
FPx = −
h∫0
∂
∂x[ρgz(h− z)]bdz
∆x. (4.15)
Visto que h(x, t) y ρ son independientes de la variacion de z, despreciando la varia-
cion de gz, a lo largo de la direccion z, la ecuacion (4.15), puede ser escrita como
FPx = −
∂
∂x(ρgzh)
h∫0
bdz
∆x, (4.16)
en donde A =∫ h
0bdz. Por lo tanto la ecuacion (4.16), se transforma en
FPx = −ρgzA∂h
∂x∆x. (4.17)
Conforme indica la figura 4.6, podemos ver que gz = g cosα. Ası, la ecuacion (4.17),
puede ser reescrita como
FPx = −ρgA cosα∂h
∂x∆x. (4.18)
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4.5. Fuerza de la resistencia en la direccion x
Resta calcular las fuerzas de resistencia provenientes del contacto del agua con
el fondo y las paredes del canal, una vez que la accion del viento es despreciada.
Por tanto, es necesario determinar la fuerza de friccion τ que se distribuye a lo largo
de toda la superficie lateral del volumen de control como se muestra en la figura
4.6. Expresando la fuerza de friccion media en toda la seccion por τ0, la fuerza de
resistencia (2.11) en la direccion x sera escrita
FRx = −τ0P∆x, (4.19)
donde P es el perımetro mojado. Siendo
τ0 = ρgRhSf , (4.20)
donde Rh es el radio hidraulico y Sf es la pendiente o gradiente de friccion.
Reemplazando (4.20) y (2.5) en (4.19), se tiene
FRx = −ρgASf∆x. (4.21)
Finalmente, podemos reescribir la ecuacion (4.4), sustituyendo en el lado derecho
las ecuaciones (4.8), (4.18), (4.21) y haciendo algunos calculos se llega a la siguiente
expresion∂Q
∂t+
∂
∂x
(Q2
A
)= gA sinα− gA cosα
∂h
∂x− gASf . (4.22)
Usando la hipotesis de que el declive es pequeno, se tiene
cosα ≈ 1, (4.23)
sinα ≈ tanα = S0, (4.24)
donde S0 es la pendiente o gradiente del fondo (lecho) del canal.
Empleando (4.23) y (4.24) en (4.22), se obtiene
∂Q
∂t+
∂
∂x
(Q2
A
)+ gA
∂h
∂x= gAS0 − gASf , (4.25)
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4.6 Caso Particular 73
donde ∂Q∂t
es la aceleracion local, que describe el cambio de momento debido a cam-
bios de la velocidad con respecto al tiempo, ∂∂x
(Q2
A
)es la aceleracion convectiva, que
describe el cambio de momento debido a los cambios espaciales de la velocidad, g∂h∂x
el termino de la fuerza de presion, proporcional a la variacion de la profundidad del
agua en el canal, gSf es la fuerza de friccion, proporcional a la pendiente de friccion
y gS0 es la fuerza de la gravedad, proporcional a la pendiente del lecho (ver [10],
pagina 17).
Las ecuaciones (4.2) y (4.25) constituyen las ecuaciones de Saint – Venant,
utilizadas para describir flujos en canales abiertos inclinados.
4.6. Caso Particular
En esta seccion vamos a estudiar una forma particular de las ecuaciones de Saint
– Venant, que sera usada en lo restante del trabajo. Por lo tanto, es necesario tomar
algunas hipotesis mas:
e) Ancho del canal constante, tornando las ecuaciones independientes.
f) Canal rectangular.
4.6.1. Geometrıa del canal
Como se menciono anteriormente, el canal tiene una area transversal, la cual
tiene diversas formas geometricas como: canales, alcantarillado; pero en otros no
tine forma definida, como: rıos, lagos y mares. Este trabajo se basa en un canal con
area transversal con la forma geometrica rectangular (ver figura 4.9); es decir,
A = b.h. (4.26)
4.6.2. Conservacion de la masa
Sustituyendo la ecuacion (1.14) en la ecuacion (4.2), resulta
∂A
∂t+∂(uA)
∂x= 0, (4.27)
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74
Figura 4.9: Seccion transversal rectangular.
donde u es la velocidad media.
Usando las hipotesis (e) y (f), tenemos que A = b.h(x, t), donde (h) es la altura
de la linea de agua y (b) es el ancho del canal que es un valor fijo. Empleando este
resultado en la ecuacion (4.27), se tiene
∂(bh)
∂t+∂(ubh)
∂x= 0. (4.28)
Como b es una constante, la ecuacion (4.28) puede ser transformada en
b∂h
∂t+ b
∂(uh)
∂x= 0. (4.29)
Dividiendo la ecuacion (4.29) por b y operando, se obtiene
∂h
∂t+ h
∂u
∂x+ u
∂h
∂x= 0. (4.30)
4.6.3. Conservacion de momento
En la ecuacion (4.25) substituimos la ecuacion (1.14), se tiene
∂(uA)
∂t+∂(u2A)
∂x+ gA
∂h
∂x= gAS0 − gASf . (4.31)
Como A = A(x, t) y u = u(x, t), calculando las derivadas de la ecuacion (4.31),
resulta
A∂u
∂t+ uA
∂u
∂x+
(u∂A
∂t+ uA
∂u
∂x+ u2∂A
∂x
)+ gA
∂h
∂x= gAS0 − gASf . (4.32)
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4.6 Caso Particular 75
De la ecuacion (4.27), se puede obtener
∂A
∂t= −∂(uA)
∂x. (4.33)
Reemplazando la ecuacion (4.33) en la ecuacion (4.32), se encuentra
A∂u
∂t+ uA
∂u
∂x+
(− u∂(uA)
∂x+ uA
∂u
∂x+ u2∂A
∂x
)+ gA
∂h
∂x= gAS0 − gASf . (4.34)
Calculando la derivada de ∂(uA)∂x
en la ecuacion (4.34), se verifica
A∂u
∂t+ uA
∂u
∂x+ gA
∂h
∂x= gAS0 − gASf . (4.35)
Dividiendo la ecuacion (4.35) por A, se obtiene
∂u
∂t+ u
∂u
∂x+ g
∂h
∂x= gS0 − gSf . (4.36)
Las ecuaciones (4.30) y (4.36), constituyen la version unidimensional de las ecuacio-
nes de Saint – Venant que sera utilizada en este trabajo.
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Capıtulo V
ESQUEMA DE DIFERENCIAS
FINITAS DE ABBOTT -
IONESCU
En este capıtulo, vamos a utilizar el esquema de Abbott – Ionescu para encontrar
una solucion aproximada para las ecuaciones de Saint – Venant (ecuaciones (4.30)
y (4.36)). De esta manera, buscar resolver el problema numericamente, empleando
un esquema de diferencias finitas y analizar tambien si el esquema usado es conver-
gente, mediante el teorema de equivalencia de Lax – Richtmyer; es decir, probar la
consistencia y estabilidad del esquema de diferencias finitas.
Presentamos las ecuaciones de Saint – Venant en su forma completa colocando
las ecuaciones (4.30) y (4.36) en forma de sistema, como sigue
∂h
∂t+ u
∂h
∂x+ h
∂u
∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,
∂u
∂t+ g
∂h
∂x+ u
∂u
∂x= gS0 − gSf , (x, t) ∈ [0, L]× R+,
h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],
h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,
(5.1)
donde L es la longitud del canal.
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Este sistema puede ser escrito en la forma vectorial conservativa
Ut + F (U)x = S, (5.2)
donde U = [h, u]T , F (U) =[uh, u
2
2+ gh
]Ty S = [0, g(S0 − Sf )]T .
El jacobiano de F , es dado por
A(U) =∂F (U)
∂x=
u h
g u
. (5.3)
Los autovalores de A(U) son dados por
a1 = u− c, (5.4)
a2 = u+ c, (5.5)
y los autovectores son
v1 = [h,−c]T , (5.6)
v2 = [h, c]T , (5.7)
donde c =√
gh es la celeridad y es expresada por (2.4). Consecuentemente A(U)
tiene 2 autovalores reales y 2 autovectores linealmente independientes si c 6= 0. El
sistema (5.2) es por definicion es hiperbolico, pues tiene la forma
Ut + A(U)Ux = S, (5.8)
y tambien, como los autovalores son distintos, el sistema es estrictamente hiperbolico
(ver [15], pagina 58). Ademas, este sistema (5.1) tiene un termino no lineal en
la ecuacion de momento, debido a esto, se torna complicada la forma de resolver
analıticamente; por esta razon vamos a emplear los metodos numericos. En este caso,
emplearemos un esquema de diferencias finitas como mencionamos anteriormente.
5.1. Algunas soluciones particulares para las ecua-
ciones de Saint – Venant
En esta seccion, vamos a estudiar la referencia [5] donde podemos encontrar
algunas soluciones analıticas particulares del sistema (5.1) con condiciones iniciales
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5.1 Algunas soluciones particulares para las ecuaciones de Saint – Venant 79
y de contorno particulares. Este sistema es dado por
∂h
∂t+ u
∂h
∂x+ h
∂u
∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,
∂u
∂t+ g
∂h
∂x+ u
∂u
∂x= gS0 − F (h, u), (x, t) ∈ [0, L]× R+,
h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],
h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,
(5.9)
donde L es la longitud del flujo y F (h, u) = g u2
C2fh
. Suponiendo que la solucion del
sistema (5.9), sea de la forma
h(x, t) = a(t)x+ b(t),
u(x, t) = c(t)x+ d(t).(5.10)
Podemos ver que F (h, u) = r u2
h, donde r = g
C2f
es una constante. Sin perdida de
generalidad podemos suponer que r = 1, simplemente ahora es encontrar cuales son
los coeficientes de (5.10), para los siguientes casos:
i) Si F (h, u) = 0, los coeficientes son:
a(t) = p2(t+ p1)−2, (5.11)
b(t) =−gp2
2[1 + ln(t+ p1)] + p2p3 + p4(t+ p1)
t+ p1
, (5.12)
c(t) = (t+ p1)−1, (5.13)
d(t) =−gp2 ln(t+ p1) + p3
t+ p1
, (5.14)
donde p1, p2, p3 y p4 son constantes de integracion.
ii) Si F (h, u) = 0 y h = Θ(u), tenemos que
h = Θ(u) =1
2
(u√2g
+ p1
), (5.15)
u =2x3
+ p2
t+ p3
, (5.16)
donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion.
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iii) Si F (h, u) = u, los coeficientes son:
a(t) = p2(1 + p1et)−2, (5.17)
b(t) =1
1 + p1et
[∫d(s)(1 + p1e
t)ds+ p2
], (5.18)
c(t) = p2et(t+ p1e
t)−1, (5.19)
d(t) =−gp2e
t
t+ p1et[p3 − e−t + p1 ln(p1 + e−t)], (5.20)
donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion.
iv) Si F (h, u) = u2, los coeficientes son:
a(t) = p1, (5.21)
b(t) = −p1
∫d(s)ds+ p3, (5.22)
c(t) = 0, (5.23)
d(t) =
√−gp1tg[
√−gp1(t+ p2)], si p1 < 0,
−(t+ p2)−1, si p1 = 0,
√gp1(1 + z)/(1− z), si p1 > 0,
(5.24)
donde p1, p2 y p3 son constantes de integracion y z = e2√
gp1(t+p2).
Para el caso que F (h, u) = g u2
C2fh
no existe solucion de la forma (5.10) para el sistema
(5.9) ([5], pagina 3), de este resultado, vemos la necesidad de buscar una solucion
aproximada.
A continuacion, se va a estudiar los dos casos del sistema (5.1), tanto el ho-
mogeneo como no homogeneo y emplearemos el esquema implıcito de diferencias
finitas de Abbott – Ionescu (ver [1], [2] o [3]). Para analizar la convergencia de di-
chas soluciones aproximadas con las soluciones analıticas, sera hecho por medio del
estudio de la consistencia y estabilidad del esquemas de diferencias finitas y por
ultimo desarrollaremos el algoritmo de la solucion numerica.
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 81
5.2. Caso homogeneo del esquema de Abbott –
Ionescu
En esta seccion, se va a estudiar el caso donde S0 = Sf ; es decir, el flujo estudiado
es uniforme y permanente. Este es el caso original de las ecuaciones de Saint – Venant
(1850) para flujos en un canal con superficie libre casi horizontal (ver [2, pagina 30] y
[13, pagina 111]). Entonces el sistema (5.1) queda expresado de la siguiente manera:
∂h
∂t+ u
∂h
∂x+ h
∂u
∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,
∂u
∂t+ g
∂h
∂x+ u
∂u
∂x= 0, (x, t) ∈ [0, L]× R+,
h(x, 0) = 0, u(x, 0) = 0, x ∈ [0, L],
h(0, t) = 0, u(0, t) = 0, t > 0,
(5.25)
donde las soluciones del problema (5.25) son las funciones u = u(x, t) y h = h(x, t).
Graficamente se puede interpretar como muestra la figura 5.1
Figura 5.1: Flujo unidimensional con superficie libre casi horizontal.
Escribimos el problema (5.25) en su forma matricial h
u
t
+
u h
g u
h
u
x
=
0
0
. (5.26)
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Ahora reescribimos la ecuacion matricial (5.26) en su forma conservativa
Ut +A(U)Ux = 0, (5.27)
donde U =
h
u
y A := A(U) =
u h
g u
.
Para poder aplicar la inversa de la matriz A a la ecuacion (5.27), debemos supo-
ner que el tipo de flujo a estudiar debe ser: subcrıtico o supercrıtico; ası, tendrıamos
que Fr < 1 o Fr > 1, respectivamente. Despues de esta suposicion, se obtiene
A−1Ut + Ux = 0, (5.28)
donde A−1 = 1u2−gh
u −h
−g u
.
Colocando la ecuacion (5.28) en su forma no conservativa, se tiene
P (h, u) := h∂u
∂t− u∂h
∂t− (u2 − gh)
∂h
∂x= 0, (5.29a)
P (h, u) := g∂h
∂t− u∂u
∂t− (u2 − gh)
∂u
∂x= 0, (5.29b)
donde P, P : R2 → R son operadores no lineales asociados a las ecuaciones (5.29a) y
(5.29b), respectivamente. Ahora presentamos el esquema diferencias finitas implıcito
de 6 puntos formulado por Abbott – Ionescu (ver [1, pagina 171], [2, pagina 261],
[3]), donde discretiza el sistema de ecuaciones (5.29) de la siguiente manera
h∗
(un+1j − unj
∆t
)− u∗
2
(hn+1j+1 − hnj+1
∆t+hn+1j−1 − hnj−1
∆t
)
−[u2∗ − gh∗
]4
(hn+1j+1 − hn+1
j−1
∆x+hnj+1 − hnj−1
∆x
)= 0, (5.30a)
g
(hn+1j − hnj
∆t
)− u∗
2
(un+1j+1 − unj+1
∆t+un+1j−1 − unj−1
∆t
)
−[u2∗ − gh∗
]4
(un+1j+1 − un+1
j−1
∆x+unj+1 − unj−1
∆x
)= 0. (5.30b)
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 83
Observacion 5.1 Debemos entender que los terminos u∗ y h∗ que aparecen en
la ecuaciones (5.30a) y (5.30b) son considerados como terminos congelados o de-
jados fijos. Estos elementos son calculados un paso anterior; es decir, se busca las
soluciones u y h en el nivel n+ 1, mientras que u∗ y h∗ estan el nivel n, los cuales
son conocidos. Por este motivo no afecta en el analisis de consistencia y estabilidad;
pero para el calculo computacional estos elementos son unj y hnj .
El esquema de Abbott – Ionescu es descrito esquematicamente en la figura (5.2)
para cada ecuacion, pero sobre una malla escalonada basica, de manera que u y h
son calculados en lugares alternados de la malla.
Figura 5.2: Diagrama del esquema escalonado de Abbott – Ionescu.
5.2.1. Consistencia
Para analizar la consistencia de las ecuaciones discretizadas (5.30) utilizamos
dos funciones ϕ y φ suficientemente suaves, empleamos la expansion de Taylor en
dos dimensiones (la ecuacion (3.56) en la Definicion 3.12) en el punto (xj, tn+1/2)
(ver figura 5.3) que por simplicidad denotamos este punto por (x, t) y escribimos los
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valores de:
φnj−1 = φ(xj−1, tn+1/2 −∆t/2) = φ(x, t)−∆xφx(x, t)−∆t
2φt(x, t) +
(∆x)2
2!φxx(x, t)
+∆x∆t
2φxt(x, t) +
(∆t/2)2
2!φtt(x, t)−
(∆x)3
3!φxxx(x, t)−
(∆x)2(∆t/2)
2!φxxt(x, t)
− ∆x(∆t/2)2
2!φxtt(x, t)−
(∆t/2)3
3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)
+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).
φn+1j−1 = φ(xj−1, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t)−∆xφx(x, t) +
∆t
2φt(x, t) +
(∆x)2
2!φxx(x, t)
− ∆x∆t
2φxt(x, t) +
(∆t/2)2
2!φtt(x, t)−
(∆x)3
3!φxxx(x, t) +
(∆x)2(∆t/2)
2!φxxt(x, t)
− ∆x(∆t/2)2
2!φxtt(x, t)−
(∆t/2)3
3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)
+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).
φnj = φ(xj, tn+1/2 −∆t/2) = φ(x, t)− ∆t
2φt(x, t) +
(∆t/2)2
2!φtt(x, t)
− (∆t/2)3
3!φttt(x, t) +O((∆t)4).
φn+1j = φ(xj, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t) +
∆t
2φt(x, t) +
(∆t/2)2
2!φtt(x, t)
+(∆t/2)3
3!φttt(x, t) +O((∆t)4).
φn+1j+1 = φ(xj+1, tn+1/2 + ∆t/2) = φ(x, t) + ∆xφx(x, t) +
∆t
2φt(x, t) +
(∆x)2
2!φxx(x, t)
+∆x∆t
2φxt(x, t) +
(∆t/2)2
2!φtt(x, t) +
(∆x)3
3!φxxx(x, t) +
(∆x)2(∆t/2)
2!φxxt(x, t)
+∆x(∆t/2)2
2!φxtt(x, t) +
(∆t/2)3
3!φttt(x, t) +O((∆x)4) +O((∆x)3∆t)
+O((∆x)2(∆t)2) +O(∆x(∆t)3) +O((∆t)4).
Analogamente para ϕnj−1, ϕn+1j−1 , ϕnj , ϕn+1
j , ϕn+1j+1 .
Los operadores diferenciales discretos P∆t,∆x y P∆t,∆x para las ecuaciones (5.30a)
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 85
Figura 5.3: Esquema de discretizacion.
y (5.30b), respectivamente, son dados por
P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕ
(φn+1j − φnj
∆t
)− φ
2
(ϕn+1j+1 − ϕnj+1
∆t+ϕn+1j−1 − ϕnj−1
∆t
)
−[φ2 − gϕ
]4
(ϕn+1j+1 − ϕn+1
j−1
∆x+ϕnj+1 − ϕnj−1
∆x
), (5.31a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) = g
(ϕn+1j − ϕnj
∆t
)− φ
2
(φn+1j+1 − φnj+1
∆t+φn+1j−1 − φnj−1
∆t
)
−[φ2 − gϕ
]4
(φn+1j+1 − φn+1
j−1
∆x+φnj+1 − φnj−1
∆x
). (5.31b)
Reemplazando las expansiones de Taylor de ϕ y φ en las ecuaciones (5.31a) y (5.31b),
se obtiene
P∆t,∆x(ϕ, φ) =ϕ(φt + o(∆t2)
)− φ
2
[(ϕt −∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))
+ (ϕt + ∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ
]4
[(2ϕx + ∆tϕxt
+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2ϕx −∆tϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))], (5.32a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) =g(φt + o(∆t2)
)− φ
2
[(φt −∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))
+ (φt + ∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ
]4
[(2φx + ∆tφxt
+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2φx −∆tφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]. (5.32b)
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Luego, haciendo unos calculos en (5.32), resulta
P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕφt − φϕt − (φ2 − gϕ)ϕx + o(∆x2) + o(∆t2)
= P (ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2), (5.33a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) = gφt − φφt − (φ2 − gϕ)φx + o(∆x2) + o(∆t2)
= P (ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2). (5.33b)
Finalmente, se obtiene
P∆t,∆x(ϕ, φ)− P (ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0, (5.34a)
P∆t,∆x(ϕ, φ)− P (ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0. (5.34b)
Por lo tanto de los limites (5.34a) y (5.34b), se deduce que esquema de Abbott -
Ionescu es consistente y de orden de precision (2, 2).
5.2.2. Estabilidad
En esta seccion vamos a mostrar que el esquema de Abbott – Ionescu dado en
(5.30) es estable.
Comenzamos este estudio aplicando el analisis de Von Neumann. Es decir, vamos
a substituir los terminos hnj = Hneijθ y unj = ξneijθ en las ecuaciones (5.30a) y
(5.30b), de donde se obtiene
h∗
(ξn+1eijθ − ξneijθ
∆t
)− u∗
2
(Hn+1ei(j+1)θ −Hnei(j+1)θ
∆t+Hn+1ei(j−1)θ −Hnei(j−1)θ
∆t
)
−[u2∗ − gh∗
]4
(Hn+1ei(j+1)θ −Hn+1ei(j−1)θ
∆x+Hnei(j+1)θ −Hnei(j−1)θ
∆x
)= 0,
(5.35a)
g
(Hn+1eijθ −Hneijθ
∆t
)− u∗
2
(ξn+1ei(j+1)θ − ξnei(j+1)θ
∆t+ξn+1ei(j−1)θ − ξnei(j−1)θ
∆t
)
−[u2∗ − gh∗
]4
(ξn+1ei(j+1)θ − ξn+1ei(j−1)θ
∆x+ξnei(j+1)θ − ξnei(j−1)θ
∆x
)= 0.
(5.35b)
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 87
Factorizando los terminos comunes en las ecuaciones (5.35a) y (5.35b), se obtiene
h∗
(ξn+1 − ξn
∆t
)eijθ − u∗
2
[(Hn+1 −Hn
)ei(j+1)θ
∆t+
(Hn+1 −Hn
)ei(j−1)θ
∆t
]
−[u2∗ − gh∗
]4
[Hn+1
(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ
)∆x
+Hn(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ
)∆x
]= 0, (5.36a)
g
(Hn+1 −Hn
∆t
)eijθ − u∗
2
[(ξn+1 − ξn
)ei(j+1)θ
∆t+
(ξn+1 − ξn
)ei(j−1)θ
∆t
]
−[u2∗ − gh∗
]4
[ξn+1
(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ
)∆x
+ξn(ei(j+1)θ − ei(j−1)θ
)∆x
]= 0. (5.36b)
Dividiendo las ecuaciones (5.36a) y (5.36b) por el termino eijθ y haciendo algunas
operaciones, (5.36a) y (5.36b) se puede escribir como
h∗(ξn+1 − ξn
)− u∗
2
(Hn+1 −Hn
)(eiθ + e−iθ
)−[u2∗ − gh∗
]4
(Hn+1 +Hn
)(eiθ − e−iθ
)∆t
∆x= 0, (5.37a)
g(Hn+1 −Hn
)− u∗
2
(ξn+1 − ξn
)(eiθ + e−iθ
)−[u2∗ − gh∗
]4
(ξn+1 + ξn
)(eiθ − e−iθ
)∆t
∆x= 0. (5.37b)
Usando las identidades del sen θ = eiθ−e−iθ2i
y cos θ = eiθ+e−iθ
2de los numeros comple-
jos, en las ecuaciones (5.37a) y (5.37b), se tiene
h∗(ξn+1 − ξn
)− u∗ cos θ
(Hn+1 −Hn
)−(u2∗ − gh∗
)∆t
2∆xsin θ
(Hn+1 +Hn
)i = 0,
(5.38a)
g(Hn+1 −Hn
)− u∗ cos θ
(ξn+1 − ξn
)−(u2∗ − gh∗
)∆t
2∆xsin θ
(ξn+1 + ξn
)i = 0.
(5.38b)
Ordenando los terminos comunes de las ecuaciones (5.38a) y (5.38b), resulta
(a+ ib)Hn+1 + h∗ξn+1 = (a− ib)Hn + h∗ξ
n, (5.39a)
gHn+1 + (a+ ib)ξn+1 = gHn + (a− ib)ξn, (5.39b)
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donde a = −u∗ cos θ y b = − (u2∗−gh∗)∆t2∆x
sin θ.
Escribiendo las ecuaciones (5.39a) y (5.39b) en forma matricial, se tiene a+ ib h∗
g a+ ib
Hn+1
ξn+1
=
a− ib h∗
g a− ib
Hn
ξn
. (5.40)
Aplicando la inversa de la matriz del lado izquierdo de la ecuacion matricial (5.40),
se obtiene Hn+1
ξn+1
=1
(a+ ib)2 − gh∗
a+ ib −h∗−g a+ ib
a− ib h∗
g a− ib
Hn
ξn
=
1
a2 − b2 − gh∗ + 2abi
a2 + b2 − gh∗ 2bh∗i
2bgi a2 + b2 − gh∗
Hn
ξn
.
(5.41)
Luego la ecuacion matricial (5.41), se transforma Hn+1
ξn+1
= G
Hn
ξn
, (5.42)
donde la matriz de amplificacion G := 1Ξ
a2 + b2 − gh∗ 2bh∗i
2bgi a2 + b2 − gh∗
y Ξ :=
a2 − b2 − gh∗ + 2abi.
Encontrando los autovalores de la matriz G; es decir, det(G− µI) = 0, se obtiene(a2 + b2 − gh∗Ξ
− µ)2
+4b2gh∗
Ξ= 0. (5.43)
Haciendo los calculos respectivos en la ecuacion (5.43) para hallar µ, se encuentra
µ± =a2 + b2 − c2 ± 2bci
a2 − b2 − c2 + 2abi, (5.44)
donde c =√
gh∗. Calculando el modulo de µ± de (5.44), resulta
|µ±| =√a4 + b4 + c4 + 2a2b2 − 2a2c2 − 2b2c2 + 4b2c2
√a4 + b4 + c4 − 2a2b2 − 2a2c2 + 2b2c2 + 4a2b2
= 1.
Por lo tanto, el esquema (5.30) es estable segun el criterio de Von Neumann (ver
Teorema 3.5).
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 89
5.2.3. Convergencia
De lo visto en las secciones anterioes vemos que el esquema de Abbott – Ionescu
dada por las ecuaciones (5.30a) y (5.30b) son consistentes y estables, luego usan-
do el Teorema 3.1, tenemos que las soluciones discretas convergen a las soluciones
analıticas. Por lo tanto, el esquema empleado es adecuado.
5.2.4. Solucion numerica
Las ecuaciones (5.30a) y (5.30b) puede ser escritas en la forma
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]hn+1j+1 +
(h∗∆t
)un+1j +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]hn+1j−1
=
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]hnj+1 +
(h∗∆t
)unj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]hnj−1, (5.45a)[
− u∗2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]un+1j+1 +
(g
∆t
)hn+1j +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]un+1j−1
=
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]unj+1 +
(g
∆t
)hnj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]unj−1. (5.45b)
Colocando las ecuaciones (5.45a) y (5.45b) de una manera mas simplificada, resulta
Ajhn+1j+1 +Bju
n+1j + Cjh
n+1j−1 = Dj, (5.46a)
Ajun+1j+1 +B∗jh
n+1j + Cju
n+1j−1 = D∗j , (5.46b)
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donde
Aj = − u∗2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x, (5.47a)
Bj =h∗∆t, (5.47b)
Cj = − u∗2∆t
+(u2∗ − gh∗)
4∆x, (5.47c)
Dj = Cjhnj+1 +Bju
nj + Ajh
nj−1, (5.47d)
B∗j =
(g
∆t
), (5.47e)
D∗j = Cjunj+1 +B∗jh
nj + Aju
nj−1. (5.47f)
Para solucionar el sistema (5.46) vamos a usar el metodo Double – Sweep (ver
Seccion 3.3). Usando el algoritmo de Thomas, tenemos que un+1j y hn+1
j , se pueden
relacionar mediante las expresiones
hn+1j+1 = Eju
n+1j + Fj, (5.48a)
un+1j+1 = E∗jh
n+1j + F ∗j . (5.48b)
Luego, substituyendo las ecuaciones (5.48a) y (5.48b) en las ecuaciones (5.46a) y
(5.46b), respectivamente; resultan las siguientes ecuaciones
AjEjun+1j +Bju
n+1j + Cjh
n+1j−1 = Dj − AjFj, (5.49a)
AjE∗jh
n+1j +B∗jh
n+1j + Cju
n+1j−1 = D∗j − AjF ∗j . (5.49b)
Estas ecuaciones (5.49a) y (5.49b), se pueden escribir tambien como
un+1j =
(−Cj
AjEj +Bj
)hn+1j−1 +
(Dj − AjFjAjEj +Bj
), (5.50a)
hn+1j =
(−Cj
AjE∗j +B∗j
)un+1j−1 +
(D∗j − AjF ∗jAjE∗j +B∗j
). (5.50b)
Comparando las ecuaciones (5.48a) y (5.48b) con las ecuaciones (5.50b) y (5.50a),
se puede identificar
Ej−1 =−Cj
AjE∗j +B∗j, Fj−1 =
D∗j − AjF ∗jAjE∗j +B∗j
(5.51a)
E∗j−1 =−Cj
AjEj +Bj
, F ∗j−1 =Dj − AjFjAjEj +Bj
. (5.51b)
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5.2 Caso homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 91
Si el algoritmo es iniciado en una de las condiciones de frontera; es decir, un+1J o hn+1
J
es dado donde xJ = J∆x, entonces la ecuacion (5.46b) y (5.46a), respectivamente,
nos proporcionan
AJ−1un+1J +B∗J−1h
n+1J−1 + CJ−1u
n+1J−2 = D∗J−1, (5.52a)
AJ−1hn+1J +BJ−1u
n+1J−1 + CJ−1h
n+1J−2 = DJ−1. (5.52b)
Las ecuaciones (5.52a) y (5.52b), se pueden reescribir
hn+1J−1 =
(− CJ−1
B∗J−1
)un+1J−2 +
(D∗J−1 − AJ−1u
n+1J
B∗J−1
), (5.53a)
un+1J−1 =
(− CJ−1
BJ−1
)hn+1J−2 +
(DJ−1 − AJ−1h
n+1J
BJ−1
). (5.53b)
Comparando las ecuaciones (5.53a) y (5.53b) con las ecuaciones (5.48a) y (5.48b),
respectivamente; se identifica
EJ−2 = −CJ−1
B∗J−1
, FJ−2 =D∗J−1 − AJ−1u
n+1J
B∗J−1
. (5.54a)
E∗J−2 = −CJ−1
BJ−1
, F ∗J−2 =DJ−1 − AJ−1h
n+1J
BJ−1
. (5.54b)
Nuevamente comparando las ecuaciones (5.54a) y (5.54b) con las ecuaciones (5.51a)
y (5.51b), respectivamente; se aprecia
E∗J−1 = 0 , F ∗J−1 = un+1J , (5.55a)
EJ−1 = 0 , FJ−1 = hn+1J . (5.55b)
Por lo visto anteriormente, para el caso que un+1J sea conocido, se tiene la condicion
(5.55a). Ahora los EJ−2 y FJ−2 pueden ser obtenidos usando la ecuacion (5.51a) y
AJ−1, B∗J−1, CJ−1 con valores en el tiempo n∆t, pues D∗J−1 depende tambien de
AJ−1, B∗J−1, CJ−1 de la relaciones (5.47). Con EJ−2 y FJ−2 determinados, E∗J−3 y
F ∗J−3 son encontrados de la expresion (5.51b) y ası sucesivamente hasta llegar a E0,
F0 o E∗0 , F ∗0 segun la naturaleza de las otras condiciones finales. De esta manera,
si hn+1J es dado como condicion de frontera, la malla es escogida tal que E∗0 y F ∗0
son hallados por ultimo. Entonces, un+11 es determinado de la ecuacion (5.48b), hn+1
2
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92
Figura 5.4: Esquema implıcito de Abbott - Ionescu.
de (5.48a) y ası sucesivamente hasta llegar a un+1J . A malla usada en este caso es
descrita por la figura 5.4. Refiriendose a esta malla y a la correspondiente estructura
del dato de la frontera es visto que las suposiciones (5.48a) y (5.48b), corresponden
a la hipotesis del flujo ser subcrıtico; es decir, solo necesitamos un dato en la frontera
aguas abajo, puede ser el un+1J o hn+1
J .
Observacion 5.2 Si el flujo fuese supercrıtico, entonces dos datos deberıan ser
dados en la frontera aguas arriba y las ecuaciones (5.46a) y (5.46a) podrıan ser
solucionadas directamente a traves de las relaciones de recurrencia
hn+1j+1 = − 1
Aj
(Bju
n+1j + Cjh
n+1j−1 −Dj
),
un+1j+1 = − 1
Aj
(B∗jh
n+1j + Cju
n+1j−1 −D∗j
),
(5.56)
cuando el flujo esta en la direccion positiva de x, o
hn+1j−1 = − 1
Cj
(Ajh
n+1j+1 +Bju
n+1j −Dj
),
un+1j−1 = − 1
Cj
(Aju
n+1j+1 +B∗jh
n+1j −D∗j
),
(5.57)
cuando el flujo esta en la direccion negativa de x (ver [1], pagina 173).
Para la estabilidad del algoritmo de Thomas sabemos de la Observacion 3.8 que
|Ej|, |E∗j | ≤ 1, para todo j. De esta manera, podemos ver que para |Ej−1| ≤ 1,
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5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 93
tenemos
| − Cj| ≤ |AjE∗j +B∗j | ≤ |Aj|+ |B∗j |,
luego
| − Cj| − |Aj| ≤ |B∗j |.
En el caso donde
|Cj| − |Aj| ≤ 0, (5.58)
esto serıa suficiente para el cumplimiento de la condicion (3.71). De este analisis,
vemos que el esquema tridiagonal (5.46) es estable.
5.3. Caso no homogeneo del esquema de Abbott
– Ionescu
Finalmente vamos estudiar el sistema de ecuaciones (5.1) completo, nuevamente
haremos uso del esquema de Abbott – Ionescu para este caso adicionando la dis-
cretizacion para los terminos restantes, tambien analizaremos a convergencia de las
soluciones discretas, tal como fue hecho para el caso homogeneo.
El problema (5.1), mas las hipotesis que el ancho del canal es mucho mayor que
la altura del agua (Rh ≈ h) y que el flujo es turbulento, entonces Sf = |u|uC2fh
, donde
|.| depende de la direccion del flujo, luego (5.1) se puede escribir
∂h
∂t+ u
∂h
∂x+ h
∂u
∂x= 0, (5.59a)
∂u
∂t+ g
∂h
∂x+ u
∂u
∂x= gS0 − g
|u|uC2fh, (5.59b)
donde Cf es el coeficiente de Chezy (ver [10, pagina 15]).
Escribimos el problema (5.59) en su forma matricial h
u
t
+
u h
g u
h
u
x
=
0
gS0 − g |u|uC2fh
. (5.60)
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94
Observacion 5.3 Como nuestro trabajo esta orientado al movimiento del flujo
en un canal inclinado, el movimiento es positivo, es decir, el valor absoluto es sim-
plemente el mismo elemento; pero vamos a trabajar con el, en la parte del analisis
de consistencia. Luego para el estudio de la estabilidad prescindimos de el.
Ahora, la ecuacion matricial (5.60) en su forma conservativa
Ut +A(U)Ux = S(U), (5.61)
donde U =
h
u
, A := A(U) =
u h
g u
y S := S(U) =
0
gS0 − g |u|uC2fh
.
Como antes para aplicar la inversa de la matriz A a la ecuacion (5.61), debemos
suponer que el tipo de flujo a estudiar debe ser: subcrıtico o supercrıtico. Despues
de esta suposicion, se obtiene
A−1Ut + Ux = A−1S, (5.62)
donde A−1 = 1Λ
u −h
−g u
, donde Λ = u2 − gh.
Colocando la ecuacion (5.62) en su forma no conservativa, se tiene
P(h, u) := h∂u
∂t− u∂h
∂t− (u2 − gh)
∂h
∂x− ghS0 + g
|u|uC2f
= 0, (5.63a)
P(h, u) := g∂h
∂t− u∂u
∂t− (u2 − gh)
∂u
∂x+ guS0 − gu
|u|uC2fh
= 0, (5.63b)
donde P , P : R2 → R son operadores no lineales asociados a la ecuacion (5.63a) y
(5.63b), respectivamente.
Presentamos el esquema implıcito de diferencias finitas de Abbott – Ionescu
para el caso no homogeneo (ver [13, pagina 119]), la discretizacion del sistema de
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5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 95
ecuaciones (5.63) es como sigue
h∗
(un+1j − unj
∆t
)− u∗
2
(hn+1j+1 − hnj+1
∆t+hn+1j−1 − hnj−1
∆t
)
−[u2∗ − gh∗
]4
(hn+1j+1 − hn+1
j−1
∆x+hnj+1 − hnj−1
∆x
)− gh∗S0 + g
|unj |un+1j
C2f
= 0, (5.64a)
g
(hn+1j − hnj
∆t
)− u∗
2
(un+1j+1 − unj+1
∆t+un+1j−1 − unj−1
∆t
)−[u2∗ − gh∗
]4
(un+1j+1 − un+1
j−1
∆x
+unj+1 − unj−1
∆x
)+ gu∗S0 − g
u∗C2fh∗
(|unj−1|un+1
j−1 + |unj+1|un+1j+1
2
)= 0, (5.64b)
donde h∗ y u∗ son los mismos definidos anteriormente en la observacion 5.1.
5.3.1. Consistencia
Para analizar la consistencia del sistema (5.64), se procede de manera analo-
ga como fue hecho para el caso homogeneo. Definimos los operadores diferenciales
discretos P∆t,∆x(ϕ, φ) y P∆t,∆x(ϕ, φ) para las ecuaciones (5.64a) y (5.64b), respec-
tivamente y son dados por
P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕ
(φn+1j − φnj
∆t
)− φ
2
(ϕn+1j+1 − ϕnj+1
∆t+ϕn+1j−1 − ϕnj−1
∆t
)
−[φ2 − gϕ
]4
(ϕn+1j+1 − ϕn+1
j−1
∆x+ϕnj+1 − ϕnj−1
∆x
)− gϕS0 + g
|φnj |φn+1j
C2f
,
(5.65a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) = g
(ϕn+1j − ϕnj
∆t
)− φ
2
(φn+1j+1 − φnj+1
∆t+φn+1j−1 − φnj−1
∆t
)−[φ2 − gh
]4
(φn+1j+1 − φn+1
j−1
∆x
+φnj+1 − φnj−1
∆x
)+ gφS0 − g
φ
C2fϕ
(|φnj−1|φn+1
j−1 + |φnj+1|φn+1j+1
2
). (5.65b)
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96
Reemplazando las expansiones de Taylor para ϕ y φ dadas en la Seccion 5.2.1, en
las ecuaciones (5.65a) y (5.65b), se obtiene
P∆t,∆x(ϕ, φ) =ϕ[φt + o(∆t2)
]− φ
2
[(ϕt −∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))
+ (ϕt + ∆xϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ
]4
[(2ϕx + ∆tϕxt
+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2ϕx −∆tϕxt + o(∆x2) + o(∆t2))]
− gϕS0 + g[|φ|φ+ o(∆t2)]
C2f
, (5.66a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) =g(φt + o(∆t2)
)− φ
2
[(φt −∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))
+ (φt + ∆xφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]−[φ2 − gϕ
]4
[(2φx + ∆tφxt
+ o(∆x2) + o(∆t2)) + (2φx −∆tφxt + o(∆x2) + o(∆t2))]
+ gφS0 − gφ
C2fϕ
(|φ|φ+ |φ|φ+ o(∆x2) + o(∆t2)
2
). (5.66b)
Luego de las ecuaciones (5.66), resulta
P∆t,∆x(ϕ, φ) = ϕφt − φϕt − (φ2 − gϕ)ϕx − gϕS0 + g|φ|φC2f
+ o(∆x2) + o(∆t2)
= P(ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2), (5.67a)
P∆t,∆x(ϕ, φ) = gφt − φφt − (φ2 − gϕ)φx + gφS0 − gφ|φ|φC2fϕ
+ o(∆x2) + o(∆t2)
= P(ϕ, φ) + o(∆x2) + o(∆t2). (5.67b)
Finalmente, se obtiene
P∆t,∆x(ϕ, φ)− P(ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0, (5.68a)
P∆t,∆x(ϕ, φ)− P(ϕ, φ)∆x,∆t→0−−−−−→ 0. (5.68b)
Por lo tanto de los limites (5.68a) y (5.68b), se deduce que esquema de Abbott -
Ionescu es consistente y de orden de precision (2, 2).
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5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 97
5.3.2. Estabilidad
Vamos a probar la estabilidad del esquema de diferencias finitas dadas por las
ecuaciones (5.64a) y (5.64b). Para hacer esto, primero vamos a linealizar el sistema
(5.59), donde llegamos a una ecuacion del tipo: Ut+AUx+BU = 0, donde U = (H,U)
(H y U son dados en (5.70)), A y B son matrices constantes 2 × 2. Ahora usando
el Teorema 3.6 generalizado (Observacion 3.6), tenemos que analizar la estabilidad
del sistema: Ut +AUx +BU = 0 es equivalente a analizar la estabilidad del sistema:
Ut + AUx = 0, que no es mas que la ecuacion (5.59) homogenea, la cual, sabemos
que es estable.
Comenzaremos por mostrar la forma linealizada del sistema de ecuaciones de
Saint - Venant no homogeneas (5.59), que esta basada en [16] (donde hacen lineali-
zacion del sistema formado por las ecuaciones (4.2) y (4.25)) y los resultados de esta
linealizacion para un modelo de canal abierto de seccion rectangular e inclinacion
de fondo constante son corroborados en [4]. Las ecuaciones de Saint – Venant no
homogeneas son linealizadas alrededor de un punto de equilibrio (estado estable) en
(h∗, u∗), es decir; es un estado constante h∗ y u∗ que satisface la relacion
Sf (h∗, u∗) = S0 o S0C
2fh∗ = (u∗)2. (5.69)
Con la finalidad de linealizar este modelo, definimos las traslaciones de estado h(x, t)
y u(x, t) con respecto al estado estable h∗ y u∗, como
H = H(x, t) = h(x, t)− h∗, (5.70a)
U = U(x, t) = u(x, t)− u∗. (5.70b)
Para un determinado termino Φ(h, u), su expansion de Taylor alrededor del punto
de equilibrio (h∗, u∗), puede ser escrita como
Φ(h, u)− Φ(h∗, u∗) = Φh(h∗, u∗)H(x, t) + Φu(h
∗, u∗)U(x, t) + T.O.S., (5.71)
donde T.O.S. representa los terminos de orden superior en la expansion de Taylor,
Φh, Φu son las derivadas parciales de Φ con respecto a h y u, respectivamente. Como
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queremos buscar aproximaciones lineales, suponemos que T.O.S. es despreciable
([16], pagina 17).
Pasamos a linealizar la ecuacion (5.59a), identificando que Φ(h, u) = hu y susti-
tuyendola en (5.71), se tiene
hu− h∗u∗ = u∗H + h∗U. (5.72)
Luego, derivando (5.72) con respecto a x, resulta
(hu)x = u∗Hx + h∗Ux. (5.73)
Como dhdt
= dHdt
junto con (5.73), obtenemos la linealizacion de (5.59a), como
∂H
∂t+ u∗
∂H
∂x+ h∗
∂U
∂x= 0. (5.74)
Para la ecuacion (5.59b), como dudt
= dUdt
y dhdx
= dHdx
, solo restan dos terminos
para linealizar, los cuales seran analizados por separado.
Para esto, identificamos Φ(h, u) = u2
2, luego aplicando (5.71), se obtiene
u2
2− (u∗)2
2= u∗U. (5.75)
Derivando con respecto a x, se tiene(u2
2
)x
= u∗Ux. (5.76)
Considerando Φ(h, u) = g
(u2
C2fh− S0
)y empleando (5.71), se obtiene
g
(u2
C2fh− S0
)− g
((u∗)2
C2fh∗ − S0
)= g
(− (u∗)2
C2f (h∗)2
)H + g
(2u∗
C2fh∗
)U. (5.77)
Recordando que S0 en el punto (h∗, u∗) es dado por (5.69), podemos ver que (5.77)
puede expresarse como
g
(u2
C2fh− S0
)=
(− g
S0
h∗
)H +
(2gS0
u∗
)U. (5.78)
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5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 99
Luego reemplazando (5.76) y (5.78) en (5.59b), tenemos
∂U
∂t+ g
∂H
∂x+ u∗
∂U
∂x−
(gS0
h∗
)H +
(2gS0
u∗
)U = 0. (5.79)
Juntando las ecuaciones (5.74) y (5.79), obtenemos el sistema
∂H
∂t+ u∗
∂H
∂x+ h∗
∂U
∂x= 0, (5.80a)
∂U
∂t+ g
∂H
∂x+ u∗
∂u
∂x−
(gS0
h∗
)H +
(2gS0
u∗
)U = 0. (5.80b)
El sistema (5.80) puede ser escrito en la forma
Ut +AUx + BU = 0, (5.81)
donde U =
H
U
, A =
u∗ h∗
g u∗
y B =
0 0
−gS0
h∗2gS0
u∗
. Luego, aplicando
la Observacion 3.6 tenemos que para un esquema de un solo paso en el tiempo,
analizar la estabilidad del sistema (5.81) es equivalente a analizar este esquema con
B = 0; es decir, solo necesitamos analizar el sistema (5.27) que ya fue analizado
anteriormente.
Por lo tanto deducimos que el esquema de Abbot – Ionescu para el caso no
homogeneo, representado por el esquema (5.64), es estable.
5.3.3. Convergencia
Como vimos anteriormente los esquemas (5.64a) y (5.64b) son consistentes y
estables, usando el Teorema 3.1, tenemos que los esquemas son convergentes. Con-
secuentemente, las soluciones discretas convergen a las soluciones analıticas.
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5.3.4. Solucion numerica
Las ecuaciones (5.64a) y (5.64b) puede ser escritas en la forma[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]hn+1j+1 +
(h∗∆t
+ g|unj |C2f
)un+1j +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]hn+1j−1
= gh∗S0 +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]hnj+1 +
(h∗∆t
)unj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]hnj−1,
(5.82a)[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x− g
u∗|unj+1|2hC2
f
]un+1j+1 +
(g
∆t
)hn+1j +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x− g
u∗|unj−1|2hC2
f
]un+1j−1
= −gu∗S0 +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]unj+1 +
(g
∆t
)hnj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]unj−1.
(5.82b)
Colocando las ecuaciones (5.82a) y (5.82b) de una manera mas simplificada, resulta
Ajhn+1j+1 + Bjun+1
j + Cjhn+1j−1 = Dj, (5.83a)
Ajun+1j+1 +B∗jh
n+1j + Cjun+1
j−1 = D∗j , (5.83b)
donde
Bj =h∗∆t
+ g|unj |C2f
, (5.84)
Dj = gh∗S0 +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]hnj+1 +
(h∗∆t
)unj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]hnj−1,
(5.85)
Aj = − u∗2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x− g
u∗|unj+1|2hC2
f
, (5.86)
Cj = − u∗2∆t
+(u2∗ − gh∗)
4∆x− g
u∗|unj−1|2hC2
f
, (5.87)
D∗j = −gu∗S0 +
[− u∗
2∆t+
(u2∗ − gh∗)
4∆x
]unj+1 +
(g
∆t
)hnj +
[− u∗
2∆t− (u2
∗ − gh∗)
4∆x
]unj−1.
(5.88)
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5.3 Caso no homogeneo del esquema de Abbott – Ionescu 101
Vemos que las ecuaciones (5.83a) y (5.83b) estan en la misma forma como se estudio
en la parte homogenea, ası; que simplemente se aplica el mismo metodo, teniendo
en cuenta los cambios de los coeficientes.
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Conclusiones
Del estudio y analisis efectuado anteriormente llegamos a las siguientes conclu-
siones:
1. El esquema de diferencias finitas implıcito de Abbott – Ionescu es un optimo
metodo para encontrar soluciones aproximadas para las ecuaciones de Saint –
Venant, tanto homogenea como no homogenea, debido a su orden de precision
(2, 2).
2. Las soluciones aproximadas de las ecuaciones de Saint – Venant usando el
esquema de diferencias finitas implıcito de Abbott – Ionescu son convergentes
a las soluciones analıticas de las ecuaciones de Saint – Venant. Este es un hecho
de mucha relevancia.
3. El esquema de Abbott – Ionescu sera un metodo de gran ayuda para el estudio
de prefactibilidad en la construccion de canales abiertos inclinados con seccion
rectangular.
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Sugerencias
Para una futura investigacion que consistirıa en encontrar las soluciones de las
ecuaciones de Saint – Venant bidimensionales con termino fuente o tambien conoci-
das como ecuaciones de aguas poco profundas, mediante el uso de volumenes finitos
sugiero seguir las referencias [11] y [25].
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Bibliografıa
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mensional”, Dissertacao de Mestrado, Universidade Federal de Santa Catarina,
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Br. Rodiak Nicolai Figueroa Lopez
Autor
Dr. Obidio Rubio Mercedes
Asesor
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