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Figures semblables Figures semblables
et et
rapport de similituderapport de similitude
Les figures semblables
~
~
Les figures semblables possèdent les propriétés suivantes :
- mêmes formes;
- mêmes mesures d’angles homologues;
- rapports des côtés homologues proportionnels.
Les figures semblables sont créées par des similitudes, donc une (des) transformation(s) utilisant toujours une homothétie.
Le rapport de similitude (K) joue donc un rôle important dans ce type de figures.
Des figures sont semblables si et seulement si elles possèdent à la fois ces trois conditions.
Voici quelques exemples :
Détermine si les figures suivantes sont semblables et justifie ta réponse.
elles n’ont pas la même forme.
Oui, même forme, mêmes angles homologues congrus et côtés homologues proportionnels.
Non,
Non,
1
3
6
2
1
3
7
2
1
2
3
7≠
2
5
2
5
Oui, les figures isométriques sont des figures semblables avec K = 1.
1
2
3
6=
même forme, mêmes angles homologues congrus, mais côtés homologues non proportionnels.
Le rapport de similitude
Exemple :
4
6A
B
C
12
8
A’
B’
C’
m A’C’K :
m A C=
12
6= ou 8
4==
m hauteur A’B’C’
m hauteur ABC
Il s’établit comme suit :Il s’établit comme suit : mesure d’un segment d’une des figuresmesure d’un segment d’une des figures
mesure du segment homologue de l’autre figuremesure du segment homologue de l’autre figure
est le rapport des segments homologues,
22 22
noté K.
Remarque Remarque
Tu pourrais aussi poser ce rapport :Tu pourrais aussi poser ce rapport : m A CK =
m A’C’=
6
12=
1
2
L’important est de conserver le même rapport tout au long du problème.L’important est de conserver le même rapport tout au long du problème.
4 8
Ces deux pyramides à base carrée sont semblables. Quel est le rapport des hauteurs et des apothèmes ?
rapport des hauteurs : 2
rapport des apothèmes : 2
2 cm
12 cm 9 cm
Ces deux cylindres sont semblables. Quelle est la mesure du rayon du petit cylindre ?
=12
9
2
x
12 x = 18
x = 1,5 cm
rapport des côtés :8
4= 2
HAUTEURhauteur
=RAYONrayon
Le rapport de similitude (K) est le mLe rapport de similitude (K) est le mêême pour tous les segments homologues.me pour tous les segments homologues.
K :K :
KK22 : :
K3 : :
- le rapport de similitude- le rapport de similitude
- le rapport des périmètres ( R- le rapport des périmètres ( Rpp ) )
le rapport des aires ( Rle rapport des aires ( Raa ) )
le rapport des volumes ( Rle rapport des volumes ( Rvv ) )
À partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesuresÀ partir du rapport de similitude, on peut déterminer plusieurs mesures
en créant d’autres rapports :en créant d’autres rapports :
Examinons ce qu’il en est.Examinons ce qu’il en est.
Un carré de 3 unités de côtés. Si on double ses dimensions,
Le rapport de similitude est le rapport entre les côtés homologues.
3 6
Ici, K = = 2
on obtient un carré de 6 unités de côtés.
6
3
On l’appelle K.
Si on double ses dimensions,on obtient un carré de 6 unités de côtés.
3 6
Un carré de 3 unités de côtés.
K =63
= 2
Qu’en est-il du rapport des périmètres ?
Carré 1 : 4c = 4 X 3 = 12 Carré 2 : 4c = 4 X 6 = 24
Rapport des périmètres :24
12= 2
Le rapport de similitude = le rapport des périmètres.
Un carré.
Un carré.
Si on double ses dimensions :
On obtient un nouveau carré dont l’aire est plus grande.4 fois
K = 2.K = 2.
KK22 = 4 = 4
Si on triple ses dimensions : K = 3.K = 3.
On obtient un nouveau carré dont l ’aire est plus grande.9 fois
KK22 = 9 = 9
Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son aire est multipliée par K².
Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.
Le nombre k2 s’appelle le rapport des aires.
Si on double ses dimensions :
On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand.8 fois
Un cube.
K = 2.K = 2.
KK33 = 8 = 8
Un cube.Un cube.
Si on triple ses dimensions :
On obtient un nouveau cube dont le volume est plus grand.27 fois
K = 3.K = 3.
KK33 = 27 = 27
Ainsi de suite…Ainsi de suite…
Si les dimensions d’une figure sont multipliées par un nombre K alors son volume est multiplié par K3.
Le nombre k s’appelle le rapport de similitude.
Le nombre k3 s’appelle le rapport des volumes.
Rapport des périmètres
Le rapport des périmètres = le rapport de similitude.
A’
B’
C’
D’
3 cm
5 cm
A
B
C
D
6 cm
10 cm
K =m A’B’
m AB=
3
6=
1
2Kp =
Périmètre A’B’C’D’
Périmètre ABCD=
16
32=
1
2
Exemple :Exemple :
A’
B’
C’
D’
3 cm
5 cm
A
B
C
D
6 cm
10 cm
Rapport des aires
Le rapport des aires = le rapport de similitude au carré.
Raire = K2
K =12
Ra =15
60=
1
4soit
1
2
2
Exemple :Exemple :
Aire A’B’C’D’
Aire ABCD= = K= K22
Rapport des volumes
3 cm
5 cm
2 cm
Prisme 1
10 cm
6 cm
4 cm
Prisme 2
K =1
2Rv =
Volume du prisme 1
Volume du prisme 2=
1
8240
30= soit 1
2
3
Exemple :Exemple :
= K= K33
Le rapport des volumes = le rapport de similitude au cube.
Rv K3==
K :K : le rapport de similitudele rapport de similitude
KK22 : : le rapport des airesle rapport des aires (Ra)(Ra)
K :K : le rapport des périmètresle rapport des périmètres (Rp)(Rp)
KK33 : : le rapport des volumesle rapport des volumes (Rv)(Rv)
Ces 4 rapports Ces 4 rapports
permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.permettront de trouver des mesures en les utilisant dans des proportions.
aa
bb
cc
dd==
Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.Détermine les mesures de chaque segment du parallélogramme GHIK.
AA BB
CC DD EE
2020 4040
3030
1414
GG HH
II KK LL
3434
K =K =m GIm GI
m ACm AC==
2020
3434==
1010
1717
m GHm GH :: ==3030
x
1010
1717x =x = 30 X 1730 X 17
1010x =x = 5151
m IHm IH :: ==4040
y
1010
1717y =y = 40 X 1740 X 17
1010y =y = 6868
m LHm LH :: ==1414
z
1010
1717z =z =
14 X 1714 X 17
1010z =z = 23,823,8
x
yz
Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.Détermine le périmètre du parallélogramme GHIK.
AA BB
CC DD EE
2020 4040
3030
1414
GG HH
II KK LL
3434
K =K =m ACm AC
m GIm GI==
2020
3434==
1010
1717
Périmètre ABCD :Périmètre ABCD : 2 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 1002 ( L + l ) = 2 ( 20 + 30 ) = 100
==100100
xx
1010
1717x =x =
100 X 17100 X 17
1010x =x = 170170
Le rapport des périmètres = le rapport de similitude.
Périmètre ABCDPérimètre ABCD
Périmètre GHIKPérimètre GHIK::
Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.Détermine l’aire du parallélogramme GHIK.
AA BB
CC DD EE
2020 4040
3030
1414
GG HH
II KK LL
3434
K =K = 1010
1717
Aire ABCD : L X l = 30 X 14 = 420Aire ABCD : L X l = 30 X 14 = 420
Le rapport de similitude au carré = le rapport de aires.
1010
1717
22
==100100
289289
==420420
xx
100100
289289x =x =
420 X 289420 X 289
100100x x ≈≈ 1213,81213,8
Aire GHIKAire GHIK
Aire ABCDAire ABCD::
KK22 = = 101022
171722==
Le rapport de similitude au cube = = le rapport des volumes.
Sachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cmSachant que l’aire de la base du petit cylindre est de 50 cm22, détermine le volume du gros , détermine le volume du gros cylindre.cylindre.
Volume du petit cylindre :Volume du petit cylindre :
Aire de la base X hauteurAire de la base X hauteur
50 X 4 =50 X 4 = 200 cm200 cm33
K =4
9
44
99
33
==6464
729729
==200200
xx
6464
729729x =x =
200 X 729200 X 729
6464xx ≈≈2278,1 cm2278,1 cm33
Volume du grandVolume du grand
Volume du petitVolume du petit::
KK33 = = 4433
9933==
44
99
Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus Le rapport des périmètres entre deux rectangles semblables est 2/3. Si le périmètre du plus grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ?grand est de 54 cm. Quel est le périmètre du plus petit ?
Rapport des périmètres : Rapport des périmètres : 22
33
Périmètre du petitPérimètre du petit
Périmètre du grandPérimètre du grand::
22
33==
xx
5454
x =x =54 X 254 X 2
33x =x = 36 cm36 cm
Prends le temps de poser le rapport correctement.Prends le temps de poser le rapport correctement.
Deux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cmDeux triangles rectangles semblables ont respectivement des aires de 20 cm22 et de 45 et de 45 cmcm22. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ?. Si la hauteur du petit est de 16 cm, quelle est la hauteur du grand ?
L’information fournie est le rapport des aires.L’information fournie est le rapport des aires.
RRa a : : 2020
4545
20 20 ÷÷ 5 5
45 45 ÷ 5÷ 5==
99
44donc K :donc K :
99
44==
33
22
Petite hauteurPetite hauteur
Grande hauteurGrande hauteur:: ==
1616
xx
22
33x =x =
3 X 163 X 16
22x = 24 cmx = 24 cm
99
44==
On demande la mesure d’un segment.On demande la mesure d’un segment.
Il faut donc retrouver le rapport de similitude (K).Il faut donc retrouver le rapport de similitude (K).
Les volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cmLes volumes de 2 prismes semblables sont 1600 cm33 et 3125 cm et 3125 cm33. Détermine le rapport . Détermine le rapport de similitude et le rapport des aires.de similitude et le rapport des aires.
RRvv : :16001600
31253125
1600 1600 ÷ 25÷ 25
3125 3125 ÷ 25÷ 25==
6464
125125
K =K =
125125
646433
==55
44
RRaa : K : K22 ==55
442
==1616
2525
125125
646433
33==
552
4422
==
Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures Voici deux prismes semblables. Détermine le volume du plus grand à partir des mesures données.données.
6622
44
Aire totale : 88 cmAire totale : 88 cm22
Aire totale : 126,72 cmAire totale : 126,72 cm22
Volume du petit prisme :Volume du petit prisme :
RRaa : : 8888
126,72126,72
Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.Le rapport des aires est donné et on a besoin du rapport des volumes.
L X l X H =L X l X H = 6 X 2 X 4 =6 X 2 X 4 = 48 cm48 cm33
Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.Il faut donc trouver, en premier, le rapport de similitude.
alors K :alors K :
RRaa : : 8888
126,72126,72sisi
8888
126,72126,72==
8888
126,72126,72≈≈
9,38089,3808
11,25711,257
4 chiffres après la virgule pour 4 chiffres après la virgule pour de la précision.de la précision.
K3 ≈9,38089,380833
11,25711,25733
≈9,38089,3808
11,25711,257≈
3825,504 9825,504 9
1 426,487 61 426,487 6
KK33 = = Volume du petit prismeVolume du petit prisme
Volume du gros prismeVolume du gros prisme==
825,5049825,5049
1 426,487 61 426,487 6==
48 cm48 cm33
xx
82,94 cm82,94 cm33x ≈ x ≈ 48 cm48 cm33 X 1 426,487 6 X 1 426,487 6
825,5049825,5049≈≈
alors K :alors K : 8888
126,72126,72
ouou
126,72126,72
8888
et Ket K33 : :
126,72126,72
8888
33
==8888
33
22
33
22126,72126,72
888811
22
11
22126,72126,72
33
==
Volume du petit prismeVolume du petit prisme
Volume du grand prismeVolume du grand prisme:: ==
4848
xx
888833
22
33
22126,72126,72
Avec la calculatrice :Avec la calculatrice : 48 X 126,72 48 X 126,72 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷÷ 2 ) 2 ) ÷ 88 ÷ 88 ^ ^ ( 3 ( 3 ÷ 2 )÷ 2 )
RRaa : : 8888
126,72126,72sisi
≈ ≈ 82,94 cm82,94 cm33
48 X 126,7248 X 126,72
33
22
33
228888
x =x =
Tu pourrais aussi procéder comme suit :Tu pourrais aussi procéder comme suit :
Il faut 160 mg d’argent pour fabriquer ce bijou.
Calcule la masse d’argent nécessaire pour fabriquer les 2 autres modèles.
K =K =11
22
11
88KK3 3 == K =K =
33
22
2727
88KK3 3 ==
Masse de la figure réduiteMasse de la figure réduite
Masse de la figure initiale Masse de la figure initiale ::
11
88==
xx
160160
x = 20 mgx = 20 mg
Masse de la figure agrandie Masse de la figure agrandie
Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::
2727
88==
xx
160160
x = 540 mgx = 540 mg
Deux autres modèles sont fabriqués.
Cette masse est proportionnelle au volume du bijou.
Echelle 1/2 Echelle 3/2
Il faut 4 mg d’or pour recouvrir ce bijou.
Calcule la masse d’or nécessaire pour recouvrir les 2 autres modèles.
Masse de la figure réduiteMasse de la figure réduite
Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::
x = 1 mgx = 1 mg
Masse de la figure agrandieMasse de la figure agrandie
Masse de la figure initialeMasse de la figure initiale::
x = 9 mgx = 9 mg
Deux autres modèles sont fabriqués.
Cette masse est proportionnelle à l’aire du bijou.
Echelle 1/2 Echelle 3/2
K =K =11
22
11
44KK2 2 == K =K =
33
22
99
44KK2 2 ==
11
44==
xx
44
99
44==
xx
44
RemarquesRemarques
1)1) Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin :Lorsque tu lis une mise en situation, détermine le rapport dont tu as besoin :
- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K- pour trouver des mesures de segments ou de périmètres : K
- pour trouver des mesures d’aires : K- pour trouver des mesures d’aires : K22
- pour trouver des mesures de volumes : K- pour trouver des mesures de volumes : K33
2)2) Prends le temps d’écrire correctement la proportion.Prends le temps d’écrire correctement la proportion.
3)3) Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène Pour passer du rapport des aires au rapport des volumes ou vice-versa, ramène d’abord ces rapports au rapport de similitude.d’abord ces rapports au rapport de similitude.
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