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Financial
Engineering
and
Risk
Management
Course
PREVI – BRASIL
2002
ALGO ACADEMY
Estrtura a Termo
Representa a relação, em determinado
instante, entre prazo para o vencimento e
taxa de retorno de títulos de renda fixa
oriundos da mesma classe de risco;
Sua construção baseia-se, normalmente, em
títulos ao par;
Fornece uma descrição dinâmica das
variações futuras nas taxas de juros
Taxas Forward
Podem ser usadas para se travarem taxas de
juro futuras
As taxas forward fornecem informações sobre
a sequência de taxas a vista de um ano no
futuro e sobre estruturas a termo futuras.
Taxas ForwardEx: título pós com vencimento em 3 anos e
valor de face igual a 1.
P = E[R0,1] / (1+R1) + E[R1,2] / (1+R2)2+ E[R2,3]
+1 / (1+R3)3
P = R1 / (1+R1) + F1,2 / (1+R2)2+ F2,3 +1 /
(1+R3)3
P = (R1 (1+F1,2)(1+F2,3) + F1,2(1+F2,3)+ F2,3
+1) / (1+R3)3
P = ((1+F2,3)(1+F1,2)(1+R1)) / (1+R3)3 =1
Taxas Forward
Da fórmula:
1+ F1,2 = (1+ r2 )2/252 /
( 1+r1 )1/252
Como,
r1 = 0.1787
r2 = 0.183336
Logo,
1+ F1,2 = 1.00068382
Anualizando,
F1,2 = 0.187991
Modelos
Bootstrapping amostra de títulos que pagam cupons com vencimentos
igualmente espaçados
Interpolação de uma funçãoEstimativa empírica da estrutura a termo envolve a
construção de uma curva de taxa a vista que seja
suficientemente ”suave“, tomando como base uma ”função
de desconto“
Tipos
O Market Server gera diariamente vários tipos de curvas tais como:
Curvas de Juros
Long Term IRBRL – Projeção de taxas de juros pré-fixadas para instrumentos
denominados em real
Long Term IRSPOT – Projeção de cupom cambial limpo para instrumentos denominados
em real, mas indexados a variação da cotação de câmbio
Curvas Históricas
Índices Históricos (SELIC, CDI,..)
Inflação (IGP-M, IGP-DI,..)
TJLP
Curvas de Expectativa
Indíces
Inflação
Características
EX : IRBRL e IRSPOT
Estas duas curvas de juros são padrão
reserva e apresentam taxas anualizadas
para o prazo de 252 dias úteis, mas com
termos apresentados em dias corridos.
Curvas de Expectativa também seguem
este padrão. (IGP-M, IGP-DI)
IRBRL
Interpolação
Tipos - Constante
- Linear
- Cúbica
- Exponencial
- Log-Linear (Money Market)
Interpolação O método de interpolação mais utilizada pelo mercado é o Log-Linear
Onde:
ft é o fator de correção do termo t
du1 é o prazo em dias úteis do vértice anterior a t
tx1 é a taxa relativa ao termo prazo du1
du2 é o prazo em dias úteis do vértice posterior a t
tx2 é a taxa relativa ao termo prazo du2
Interpolação
Método Log-Linear
termos taxa dias úteis
32 0.189471002 2261 0.212654895 43
45 1.203199156 31
Extrapolação
Tipos - Constante
- Linear
- Nelson-Siegel
Extrapolação O método de Nelson-Siegel é uma extensão do modelo de Hull-White.
O modelo :
• Adequação de um polinômio de terceiro grau aos pontos amostrais da curva
• Baseado nas taxas forwards obtidas a partir da análise de preços de ativos negociados no Mercado
• fazendo uso de recursos de programação quadrática, determina a equação que melhor define o comportamento da taxa de juros
Onde:
ft é o fator de correção do termo t
du1 é o prazo em dias úteis do vértice anterior a t
tx1 é a taxa relativa ao termo prazo du1
du2 é o prazo em dias úteis do vértice posterior a t
tx2 é a taxa relativa ao termo prazo du2
Extrapolação
Construção
Instrumentos que podem ser utilizados:
Taxa Média Selic
Taxa Média CDI
Contratos Futuro de DI
Contratos Termo de DI
Contratos Swap Pré x CDI
Construção
Taxa Média SELIC
É a taxa média de operação compromissadas de 1dia útil, registradas no
sistema Selic. Seu valor é muito próximo da meta Selic, definida pelas
reuniões do COPOM.Uma vez que essa taxa é publicada no formato
anual, com capitalização diária em dias úteis, não é preciso fazer
nenhuma transformação para utilizá-la.
Construção
Taxa Média CDI
É a taxa média dos depósitos interbancários de um dia registrados no Cetip e publicada pela ANDIMA.
Onde IRBRL2 é o vértice de dois dias úteis na curva
Para transformar em uma taxa padrão reserva deve-se compor essa taxa forward com a taxa média Selic de 1 dia
Construção
Contrato Futuro de DI “A taxa de juro efetiva até o vencimento do contrato, definida para esse efeito
pela acumulação das taxas diárias de DI no período compreendido entre a data
de negociação, inclusive, e o último dia de negociação do contrato, inclusive”.
Apesar desse contrato ser cotado diretamente na base de taxa necessária para
montar a curva IRBRL, o valor capturado para montar a curva é o PU relativo à
taxa considerada. Dado o PU, e sabendo que no vencimento é definido que o
contrato vale R$100.000,00, a taxa é data por:
Onde IRBRLt é o vértice de t dias úteis na curva
Construção
Contrato Termo de DI
Apresenta o mesmo objeto de negociação do contrato de Futuro de DI e,
assim como ele, é cotado em taxa efetiva para o prazo de 252 dias úteis.
Construção
Contrato Swap Pré x CDI
Swaps são contratos a termo de troca de rentabilidade entre duas partes, representado por duas pontas (uma ativa e uma passiva) que iniciam com o mesmo valor mas evoluem segundo regras diferentes. A liquidação financeira no vencimento se dá pela transferência do valor liquido positivo das duas pontas para a contraparte cuja ponta tem o maior valor.
Na construção da curva Long Term IRBRL sÃo usados Swaps onde uma ponta é valorizada com juros pré-fixados e a outra é indexada a 100% do CDI acumulado até o vencimento.
A cotação publicada é em taxa anualizada para o período do contrato.
Construção
Exemplo:
Construção
Importante
Com o novo Sistema de Pagamento Brasileiro (SPB), não haverá mais a
necessidade de se ajustar em um dia de Selic os outros instrumentos
que compoem a curva.
Instrumentos de Renda Fixa
Este módulo tem como objetivo apresentar os
principais produtos de investimento e de
financiamento do mercado financeiro.
Daremos ênfase ao regime de capitalização, ao
processo de cálculo e aos detalhes específicos de
cada instrumento
Taxas de juros
A taxa de juros de uma operação pode ser entendida,
num dado intervalo de tempo, como a remuneração
da unidade de capital inicial.
J = juros
P = capital inicial
i = taxa de juros
J = P. i
Regimes de Capitalização Simples
F1 = P(1+ n.i)
Composta
F2 = P(1+i)n
n = prazo
P = capital inicial
i = taxa de juros
F = capital final
Regimes de Capitalização Contínua
F = P. e I .T
T = tempo
P = capital inicial
I = taxa de juros
F = capital final
Tipos de Instrumentos
Pré-fixados
CDB
LTN
BBC Pós-fixados
CDB
NTN’s
LFT
CDB/RDB
Títulos emitidos por bancos, registrados na CETIP (em
sua grande maioria) para captação de recursos junto
aos investidores;
Emitidos com prazo mínimo de 30 dias corridos; os
pós-fixados com prazo mínimo de 120 dias corridos;
Podem ser pré ou pós-fixados (indexados a CDI ou
TR).
CDB/RDB pré-fixado
Este papel é regido pelo regime de captalização composta.
Atualmente utiliza a base 252 (du). Porém, ainda existem
algumas instituições que operam tomando como base 360 dias
corridos.
F = P(1+i)n
MtM = F / (1+IRBRL) (du / 252 )
CDB/RDB pré-fixado
Exemplo: Um investidor aplica R$100.000,00 num CDB pré, à taxa de
21.50% aa (base 252), por um período de 46 dias corridos (32 du). Qual
o valor de mercado (MtM) para este CDB? Assumir que a estrutura a
termo para as taxas de juros é a seguinte:
termos taxa dias úteis
32 0.189471002 2261 0.212654895 43
45 1.203199156 31
CDB/RDB indexado a CDI CDI
Spread (multiplicativo ou aditivo) aplicado sobre o indexador
F = P x (1+CDIo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]
MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )
F = valor de resgate
P = valor inicial da operação
i = taxa
CDIo = CDI acumulado desde a emissão
S = Spread
CDB/RDB indexado à CDI Exemplo: Um investidor aplica R$100.000,00 num CDB pagando 101%
de CDI, por um período de 3 dias corridos (3 du). Supondo que o papel
vença amanhã, qual o valor de mercado (MtM) para este CDB?
Alguns dados:
Taxa de Desconto 1.190405519Taxa Dia 1.000691882Taxa Efetiva 1.000698801Dias úteis até vencimento 1Notional 1000Valor Acumulado 1001.398727400250
Spread CDI Histórico Taxa Efetiva Fator Acumulado101% 19.0500000% 1.000699119 1.000699119
19.0500000% 1.000699119 1.001398727
Cash Flow 1002.098506THEO Value 1001.405651
CDB/RDB indexado a TR TR
Regime de capitalização composta
Principal atualizado pelo indexador
F = P x (1+TRo) x (1 + i)( dc / 360 )
MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )
F = valor de resgate
P = valor inicial da operação
i = taxa
TRo = coupon de TR acumulado desde a emissão até o primeiro aniversário
após o instante t
CDI Títulos de emissão dos bancos que servem de lastro para operações
interbancárias no mercado financeiro.
Aplica-se um spread (multiplicativo ou aditivo) sobre o indexador
F = P x (1+CDIo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]
MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )
F = valor de resgate
P = valor inicial da operação
i = taxa
CDIo = CDI acumulado desde a emissão
S = Spread
Títulos Públicos
Os títulos públicos são lançados no mercado pela primeira vez através de leilões
realizados pelo BACEN. É o que se convencionou chamar de “mercado primário”
Os títulos públicos adquiridos no mercado primário não são carregados necessariamente pelas instituições até o vencimento. Podem ser negociados com outras instituições no open-market. Trata-se do “mercado secundário””
Os principais títulos públicos negociados
LTN
NTN
NBC
LFT
LTN
Título emitido pelo Tesouro Nacional para cobrir défict
orçamentário e para realizar operações de crédito por
antecipação de receitas orçamentárias;
Título pré-fixado, com prazo mínimo de 28 dias,resgatado
no vencimento pelo valor nominal. O valor nominal é
múltiplo de R$1000,00;
LTN/BBC
Estes papéis são regidos pelo regime de captalização
composta. A colocação junto às instituições é feita através de
um desconto em relação ao valor nominal.
F = 1000
MtM = F / (1+IRBRL) (du / 252 )
LTN
Exemplo: Uma instituição adquiriu num leilão uma LTN pelo PU de R$
978,35 pelo prazo de 45 dias corridos. Qual é a taxa efetiva (base 252)
gerada pelo título no período? Qual é o MtM deste papel? Foi uma boa
compra? Assumir que a estrutura a termo para as taxas de juros é a
seguinte: termos taxa dias úteis
32 0.189471002 2261 0.212654895 43
45 1.203199156 31
BBC
Título emitido pelo BACEN para fins de política monetária;
Título pré-fixado, com prazo mínimo de 28 dias (os demais
prazos são múltiplos de 7 dias),resgatado no vencimento
pelo valor nominal. O valor nominal é múltiplo de R$1000,00;
BBC
Exemplo: Uma instituição pretende entrar num leilão de BBC. O prazo
do papel é de 56 dias corridos e 38 dias úteis. A que PU mínimo a
instituição deve entrar no negócio? Assumir que a estrutura a termo
para as taxas de juros é a seguinte:
termos taxa dias úteis
32 0.189471002 2261 0.212654895 43
56 1.209432466 38
NTN
Título emitido pelo Tesouro Nacional para cobrir défict orçamentário e
para realizar operações de crédito por antecipação de receitas
orçamentárias;
Título pós-fixado, regido pela capitalização composta. Existem diversas
séries de NTN, cada uma delas com uma utilização específica. As séries
mais ofertadas atualmente são:
NTN-D
NTN-C
NTN-D
Prazo mínimo de 3 meses;
Acompanha a variação cambial;
Pagam juros semestraias (variando de 6 a 12%aa);
Resgate em parcela única na data de vencimento;
Valor Nominal igual a R$ 1000,00.
NTN-D
Estes papéis são regidos pelo regime de captalização
composta. A colocação junto às instituições é feita através de
leilão ao valor nominal de R$ 1000,00.
J = P . % cambial . [(1+i)1/2 -1]
F = P. % cambial + J
MtM = (P. % cambial.(1+i)1/2 ) / (1+IRBRL(du / 252 ) ) + F /
(1+IRBRL(du / 252 ) )
NTN-D
Exemplo: Uma instituição adquiriu num leilão uma NTN-D com
vencimento em 12 meses. O papel paga juros semestrais de 6% aa.
Qual o fluxo de caixa da instituição compradora? Qual o MtM do papel?
O dolar na data de emissão estava cotado a R$2.95. Assumir a
estrutura a termo para as taxas de juros e que o dolar projetado
abaixo: termos taxa dias úteis Dolar Projetado
180 0.189471002 126 3.21360 0.212654895 252 3.62
NTN-C
Prazo mínimo de 1 ano;
Acompanha a variação do IGP-M;
Pagam juros semestraias de 6% aa;
Resgate em parcela única na data de vencimento;
Valor Nominal igual a R$ 1000,00.
NTN-C
Exemplo: Uma instituição possui em carteira uma NTN-C emitida a 10
meses e com vencimento em 2 meses. Qual o MtM do papel?
Considerar que o IGP-M acumulado nos 10 meses foi de 1.06899.
Assumir a estrutura a termo para as taxas de juros e o IGM-P
projetado abaixo:
termos taxa dias úteis IGP-M Projetado
30 0.189471002 22 1.70%60 0.212654895 42 1.80%
LFT Prazo determinado no ato de sua emissão;
Rendimento definido pela taxa média ajustada dos financiamentos no SELIC para títulos federais;
Valor Nominal igual a R$ 1000,00;
Podem ser de dois tipos:
LFT-A
LFT-B
LFT
LFT-A
Spread aditivo (SELIC + 0.0245% am)
Amortização em 180 parcelas
Pouco negociada
LFT-B
Spread multiplicativo (100 % de SELIC)
Retorna o principal corrigido no vencimento
Muito negociada
LFT Títulos de emissão do Governo Federal com o objetivo de
prover recursos necessários à cobertura de défict orçamentário.
F = P x (1+SELICo . S) . [(1 + i)( du / 252 ) . S]
MTMt = F / (1+IRBRL)(du / 252 )
F = valor de resgate
P = valor inicial da operação
i = taxa
SELICo = SELIC acumulado desde a emissão
S = Spread
LFT-B
Exemplo: Um investidor compra R$1.000.000,00 em LFT’s com
vencimento em 1 ano. Qual é o fluxo de caixa esperado para aquela
data assumindo as expectativas que o mercado possui hoje com
relação ao comportamento da taxa de juros? Assumir a estrutar a
termo abaixo:
termos taxa dias úteis
330 0.229471002 232361 0.231265490 252
Sensibilidades – Renda FixaAnálise de Sensibilidades é uma excelente ferramenta para se avaliar o
comportamento de uma carteira.
As principais análises feitas para a Renda Fixa são:
PV01
Duration
Monetary Duration
Modified Duration
Convexity
PV01
Mostra a variação no valor do ativo (MtM) caso as taxas de juros subam
1 basis point (0,01%).
PV01 = MtM’ – MtM
MtM’ = Valor marcado a mercado variando a taxa de juros em 0.01%
MtM = Valor marcado a mercado
PV01
Exemplo: Um investidor aplica R$ 120.550,00 num CDB que vence em 30 dias
(22 du). Este CDB paga 20.50% aa base 252. A taxa prevista pelo mercado hoje
para a data de vencimento é 20.38%. Calcular o MtM e PV01 para este papel?
Duration Reflete o tempo médio de um fluxo de caixa, ponderado pelas razões entre o
valor presente de cada fluxo dividido pela soma dos valores presentes de todos os fluxos. A Duration tem um significado econômico, mostrando a sensibilidade do preço de um título em relação à mudança da taxa de juros, ou seja, quanto maior a Duration, mais exposto se apresenta o título diante de alterações nas taxas de juros.
C = fluxos de caixa esperados
y = taxa de juros
Modified Duration A Modified Duration mede a relação linear entre o retorno do título e as
mudanças nas taxas de retorno.
D = Duration
r = taxa de juros
Monetary DurationA Monetary Duration mede a variação do preço de um ativo caso a taxa
de juros (Yield) se altere em 1%.
MD = Modified Duration
P = Valor presente do papel
ConvexityDuration mensura bem as variações de preço para oscilações na taxa de
juro de até um basis point (0,01%). Para grandes aumentos da taxa de
juros o Modelo de Duration superestima a queda de preço enquanto que
para grandes quedas da taxa o modelo subestima o aumento de preço.
Convexidade é a propriedade que captura estas distorções do Modelo
de Duration e mensura a taxa de mudança da Duration em relação às
mudanças de Yield.
Duration e o Risco A Duration pode ser usada para transformar a volatilidade da taxa de retorno em
volatilidade de preço. Geralmente acredita-se que a volatilidade da taxa de
retorno seja mais estável que a de preço;
A partir de Modified Duration deriva-se a mudança relativa nos preços como
função da mudança na taxa de retorno.
Duration e o VaR A Duration está diretamente ligada ao valor no risco.
O VaR captura a exposição de uma carteira a um fator de risco (duration), bem
como a probabilidade de uma oscilação adversa.
Propriedades Válida apenas como medida de exposição a deslocamentos pequenos e
“paralelos”nas taxas de juros;
Quanto mais longo o instrumento, maior a convexidade;
Quanto maior o cupom, menor a convexidade para instrumentos de mesmo
vencimento;
Quanto maior o cupom, maior a convexidade para instrumentos de mesma
Duration;
Yield e convexidade são inversamente relacionados.
Renda Variável
• Ações de Empresas
• Ativos Reais (ex: Imóveis)
• Dívida de Empresas
• Recebíveis
De forma Genérica :
Ativos cujos rendimentos estejam atrelados a performance de alguma atividade econômica .
AtivosAtivos Cujos Rendimentos são Incertos Cujos Rendimentos são Incertos
Renda Variável
Hipótese da Teoria :
Aversão ao Risco
Os indivíduos são basicamente aversos ao
risco, ou seja, entre dois ativos de mesmo
retorno irão escolher o de menor risco.
Evidência : Títulos com maior grau de risco
requerem maior retorno ( exemplo : rating de
corporate bonds)
A taxa de retorno esperada de um ativo
individual de renda variável com um conjunto
de retornos potenciais é a média destes
retornos ponderada pelas probabilidades de
cada retorno se realizar.
Retornos Esperados
Retorno Esperado de um Ativo de RiscoProbabilidade Retorno Retorno Esperado
0.25 0.08 0.020.25 0.1 0.0250.25 0.12 0.030.25 0.14 0.035
0.11
Um analista avaliou um Ativo que tem as seguintes Características :
5% de probabilidade do retorno ser de – 7 %
20 % de probabilidade do retorno ser de 2,5 %
35 % de probabilidade do retorno ser de 9 %
25 % de probabilidade do retorno ser de 14 %
15 % de probabilidade do retorno ser de 25 %
Qual é o Retorno Esperado do Ativo ?
Retornos Esperados
Retornos Esperados
A taxa de retorno esperada de um portfolio
de ativos de renda variável é a média dos
retornos dos ativos ponderada pela proporção
do valor investido em cada ativo.
Retorno Esperado de um PortfolioPeso (%) Retorno Retorno Esperado
0.2 0.1 0.020.3 0.11 0.0330.3 0.12 0.0360.2 0.13 0.026
0.115
Um portfolio manager selecionou os seguintes ativos
Petrobras, Gerdau, Aracruz, Celpe, cujos retornos
Esperados são 12 %, 8 %, 20 % e 25 %
respectivamente. Se os montantes investidos são R$
30 M, R$ 25 M, R$ 18M e R$ 7 M respectivamente,
qual é o retorno esperado deste Portfolio ?
Retornos Esperados
Variância
A Variância, ou desvio-padrão, é a medida de
variação de possíveis taxas de retorno, Ri, a
partir da taxa de retorno esperada [ E(Ri) ].
Variância (σ²) = Σ [ Ri – E (Ri) ] ² Pi
Retorno Retorno Esperado(Ri) E (Ri) Ri - E (Ri) [Ri - E(Ri) ]² Pi Ri - E(Ri)² Pi0.08 0.11 -0.03 0.0009 0.25 0.0002250.10 0.11 -0.01 0.0001 0.25 0.0000250.12 0.11 0.01 0.0001 0.25 0.0000250.14 0.11 0.03 0.0009 0.25 0.000225
0.000500
Covariância
A covariância é a medida do grau com que
duas variáveis “se movem em conjunto”
relativamente aos seus valores médios
individuais ao longo do tempo.
COV ij = E { [Ri – E (Ri) ] [ Rj – E(Rj) ] }
Se as taxas de retorno de dois ativos em um dado período estão
acima (abaixo) da média dos seus respectivos retornos, o
produtos destes desvios da média será positivo (negativo).
Covariância TNLP4 PETR4
Fechamento Fechamento
22/07/2002 0.02439 41
23/07/2002 0.02361 -0.03198 40 -0.02439
24/07/2002 0.02385 0.01017 41.99 0.04975
25/07/2002 0.02320 -0.02725 40.65 -0.03191
26/07/2002 0.02150 -0.07328 38.96 -0.04157
29/07/2002 0.02185 0.01628 38.5 -0.01181
30/07/2002 0.02240 0.02517 39.1 0.01558
31/07/2002 0.02380 0.06250 40.91 0.04629
1/8/2002 0.02430 0.02101 41.9 0.02420
2/8/2002 0.02430 0.00000 43.3 0.03341
5/8/2002 0.02246 -0.07572 41.23 -0.04781
6/8/2002 0.02430 0.08192 41.3 0.00170
7/8/2002 0.02479 0.02016 41.4 0.00242
8/8/2002 0.02598 0.04800 44.1 0.06522
9/8/2002 0.02470 -0.04927 45 0.02041
12/8/2002 0.02363 -0.04332 43.13 -0.04156
13/08/2002 0.02311 -0.02201 40.69 -0.05657
14/08/2002 0.02345 0.01471 40.4 -0.00713
15/08/2002 0.02270 -0.03198 40.85 0.01114
16/08/2002 0.02349 0.03480 40.75 -0.00245
19/08/2002 0.02325 -0.01022 39.9 -0.02086
20/08/2002 0.02267 -0.02495 39.4 -0.01253
21/08/2002 0.02306 0.01720 40 0.01523
22/08/2002 0.02439 0.05768 41.11 0.02775
23/08/2002 0.02440 0.00041 41.3 0.00462
Datas Retorno Retorno
CovariânciaTNLP4 PETR4 TNLP4 PETR4 Ri - E [ R ] X
retorno retorno Ri - E [ R ] Rj - E [ R ] Rj - E [ R ]
22/07/2002
23/07/2002 -3.20 -2.44 -3.28 -2.52 8.27
24/07/2002 1.02 4.98 0.93 4.90 4.57
25/07/2002 -2.73 -3.19 -2.81 -3.27 9.19
26/07/2002 -7.33 -4.16 -7.41 -4.24 31.40
29/07/2002 1.63 -1.18 1.54 -1.26 -1.95
30/07/2002 2.52 1.56 2.43 1.48 3.60
31/07/2002 6.25 4.63 6.17 4.55 28.05
1/8/2002 2.10 2.42 2.02 2.34 4.72
2/8/2002 0.00 3.34 -0.08 3.26 -0.27
5/8/2002 -7.57 -4.78 -7.66 -4.86 37.21
6/8/2002 8.19 0.17 8.11 0.09 0.73
7/8/2002 2.02 0.24 1.93 0.16 0.31
8/8/2002 4.80 6.52 4.72 6.44 30.39
9/8/2002 -4.93 2.04 -5.01 1.96 -9.83
12/8/2002 -4.33 -4.16 -4.42 -4.24 18.70
13/08/2002 -2.20 -5.66 -2.28 -5.74 13.10
14/08/2002 1.47 -0.71 1.39 -0.79 -1.10
15/08/2002 -3.20 1.11 -3.28 1.03 -3.39
16/08/2002 3.48 -0.24 3.40 -0.32 -1.10
19/08/2002 -1.02 -2.09 -1.11 -2.17 2.39
20/08/2002 -2.49 -1.25 -2.58 -1.33 3.44
21/08/2002 1.72 1.52 1.64 1.44 2.36
22/08/2002 5.77 2.77 5.68 2.70 15.32
23/08/2002 0.04 0.46 -0.04 0.38 -0.02
media 0.084 0.080 Soma = 196
COV = 8.17
Datas
Correlação
É uma “normalização” da medida de covariância.
COVij
σi σj ρ =
O coeficiente de correlação varia entre –1 e + 1.
Alterando a formulação, temos que :
COVij = ρ x σi σj
Correlação TNLP4 PETR4 TNLP4 PETR4 Ri - E [ R ] X
retorno retorno Ri - E [ R ] Rj - E [ R ] Rj - E [ R ]
22/07/2002
23/07/2002 -3.20 -2.44 -7.33 -5.65 41.40
24/07/2002 1.02 4.98 -3.11 4.98 -15.48
25/07/2002 -2.73 -3.19 -6.85 -3.87 26.54
26/07/2002 -7.33 -4.16 -11.46 -4.16 47.63
29/07/2002 1.63 -1.18 -2.50 -1.18 2.95
30/07/2002 2.52 1.56 -1.61 1.56 -2.51
31/07/2002 6.25 4.63 2.12 4.63 9.82
1/8/2002 2.10 2.42 -2.03 2.42 -4.91
2/8/2002 0.00 3.34 -4.13 3.34 -13.80
5/8/2002 -7.57 -4.78 -11.70 -4.78 55.94
6/8/2002 8.19 0.17 4.06 0.17 0.69
7/8/2002 2.02 0.24 -2.11 0.24 -0.51
8/8/2002 4.80 6.52 0.67 6.52 4.38
9/8/2002 -4.93 2.04 -9.06 2.04 -18.48
12/8/2002 -4.33 -4.16 -8.46 -4.16 35.16
13/08/2002 -2.20 -5.66 -6.33 -5.66 35.81
14/08/2002 1.47 -0.71 -2.66 -0.71 1.89
15/08/2002 -3.20 1.11 -7.33 1.11 -8.16
16/08/2002 3.48 -0.24 -0.65 -0.24 0.16
19/08/2002 -1.02 -2.09 -5.15 -2.09 10.74
20/08/2002 -2.49 -1.25 -6.62 -1.25 8.30
21/08/2002 1.72 1.52 -2.41 1.52 -3.67
22/08/2002 5.77 2.77 1.64 2.77 4.55
23/08/2002 0.04 0.46 -4.09 0.46 -1.89
desvpad 4.129 3.211 Soma = 216.54
CORRELAÇÃO = 0.680 COV = 9.02
Datas
Risco e Retorno - Exercício A seguinte tabela apresenta retornos mensais
para Embraer e CVRD.
0.020.056
-0.06-0.025
0.150.124
-0.10-0.073
-0.020.062
0.07-0.041
CVRDEmbraerMês
Calcule :
A – Retorno Mensal Esperado
B – Desvio-Padrão
C – Covariância entre as taxas de retorno
D – A correlação entre as taxas de retorno
Risco e Retorno - Exercício
Risco do Portfolio
n
i
n
iijji
jiii
n
iport Covwww
1 1
22
1
σ port = Desvio-padrão do Portfolio
w I = Pesos dos ativos individuais no portfolio, aonde os pesos são determinados pela proporção de valor no portfolio
σ² = Variância das taxas de retorno para o ativo i
Cov ij = Covariância entre os ativos i e j.
Risco do Portfolio
E (R1) = 0.20 E (σ1) = 0.10
E (R2) = 0.20 E (σ2) = 0.10
Exemplo – Portfolio com 2 ativos :
COV ij = rij σi σj w1 = 0.5 w2 = 0.5
Retorno Esperado Portfolio = (0.5) 0.20 + (0.5) 0.20 = 0.20
Risco do Portfolio [ Correlação = 1]
a) r12 = 1.00 ; Cov 12 = (1.0) x (0.10) x (0.10)
Risco do Portfolio
n
i
n
iijji
jiii
n
iport Covwww
1 1
22
1
2112212
22
22
12
1 2 rwwwwport
)01.0)(5.0)(5.0(2)10.0()5.0()10.0()5.0( 2222 port
Caso de 2 ativos :
Exemplo :
)01.0()25.0(2)0025.0()0025.0( port
10.0001.0 port
Caso de N ativos :
a) r12 = 0.50 ;
b) r12 = 0.0 ;
c) r12 = - 0.50 ;
d) r12 = - 1.00 ;
Risco do Portfolio
Calcule o Retorno e o Risco do Portfolio nos Seguintes Casos :
E(Ra) = 0.10 E(Rb) = 0.20 Wa = 0.4 Wb = 0.6
σa = 0.1 σb = 0.15
Risco e Retorno para diferentes Composições da Carteira
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0 0.05 0.1 0.15 0.2
r = 0
r=-1
r = 0.5
r = -0.5
Retorno e Risco do Portfolio
Risco do PortfolioRespostas :
Retorno = 0.16, Risco =
a) 0.1153
b) 0.0984
c) 0.0781
d) 0.05
Risco do Portfolio
Problemas na Estimação :
Quanto maior o número de ativos que compõe o portfolio, maior será a necessidade de estimativas de correlação entre estes ativos. Para um portfolio de 100 ativos, o número de correlações envolvido no cálculo é de 4.950.
É possível reduzir o número de coeficientes de correlação se assumirmos que os retornos dos ativos podem ser descritos por um único índice de mercado :
R = a + b Rm + E
Risco do Portfolio
Se todos os ativos são relacionados ao índice, e um coeficiente b é estimado para cada um, pode ser mostrado que o coeficiente de correlação entre os dois ativos é :
ji
mjiij bbr
2
2m = variância dos retornos do mercado
A Fronteira Eficiente
A Curva envelope que contém todas as melhores combinações possíveis para os ativos no portfolio é chamada de fronteira eficiente.
B
A C
A domina C
B domina C
E
σ
A Fronteira Eficiente
E
σ
U1 U2 A Fronteira Eficiente e a Maximização da
Utilidade do Investidor.
A Fronteira Eficiente
A teoria de mercado de capitais extende a teoria do portfolio e desenvolve um modelo para precificar todos os ativos de risco. O produto final do modelo, o Capital Asset Pricing Model (CAPM), determinará a taxa de retorno requerida para qualquer ativo de risco.
Asset Pricing ModelsAsset Pricing Models
DOIS PARADIGMAS :
CAPM
APT
Estrutura, Limitações e Alternativas
A teoria começa aonde termina a discussão da
fronteira eficiente de Markowitz.
A teoria do mercado de capitais extende a teoria do
portfolio e desenvolve um modelo de precificação de
todos os ativos de risco.
A existência de um ativo livre de risco tem grandes
implicações para os riscos e retornos potenciais e
combinações alternativas de risco e retorno.
Teoria do Mercado de Capitais
Premissas da Teoria do Mercado de Capitais
• Todos os investidores são eficientes no sentido de Markowitz, ou seja, buscam portfolios target na fronteira eficiente.
• Investidores podem tomar empréstimos e aplicar capital à taxa livre de risco.
• Todos os investidores possuem expectativas homogêneas.
• Todos os investidores tem o mesmo horizonte de investimentos.
• Todos os ativos são infinitamente divisíveis.
• Não existem impostos ou custos de transação.
• Não há inflação
• O mercado de capitais está em equilíbrio.
O relaxamento de muitas destas premissas teria
uma influência pequena sobre o modelo, e não
modificaria suas principais conclusões.
Uma teoria nunca deve ser julgada em base de
suas premissas, e sim em sua capacidade de
explicar e nos ajudar a prever o comportamento no
mundo real.
Premissas da Teoria do Mercado de Capitais
O modelo
A premissa da existência de um ativo livre de
risco na economia, ou seja, um ativo de Variância
Zero, é crítica para o modelo. Esta premissa nos
permite derivar uma teoria geral de precificação
de ativos de capital sob as condições de incerteza
da teoria de portfolio de Markowitz.
Por seu desenvolvimento William Sharpe recebeu
o prêmio Nobel.
Relembrando a covariância entre dois
ativos :
Covariância com um ativo sem Risco
nRERRERCov
n
ijjiiij
1)]()][([
1
Como os retornos de renda fixa são “certos” , seu desvio-padrão é zero, o que significa dizer que R = E(R) em todos os períodos. Portanto, R – E(R) será zero, e o produto desta expressão com qualquer outra será zero. Consequentemente a covariância e a correlação do ativo sem risco com qualquer outro ativo de risco será zero.
Ativo sem Risco em um Portfolio com Risco
Retorno Esperado :
)()1()()( irfrfp REwTxSemRiscowRE
Desvio-Padrão :
22
2222 )1(2)1( rfrfrfrfrfrfrfport rwwww
irfport wE )1()(
0000
O desvio-Padrão de qualquer ativo que combine uma ativo sem risco com ativos arriscados é uma proporção linear do desvio-padrão do portfolio com risco.
Risco e Retorno
E
σ
RF
Portfolio eficiente – Problema de Maximização
E
σ
Aplicar RF
Tomar RF
Risco e Retorno
CML
MM
Nova Fronteira Eficiente
Market Portfolio
Portfolio de Mercado
• Como o Portfolio M está no ponto de tangência, ele possui o número máximo de possibilidades de construção de portfolios. Portanto, todos irão querer possuir combinações entre a renda fixa e o portfolio M, e se posicionar em algum ponto ao longo da CML.
• Este portfolio deve incluir todos os ativos de risco, incluídos em proporção de seu valor de mercado.
• Este portfolio é chamado de Portfolio de Mercado, e inclui todos os ativos de risco, incluindo ações domésticas e estrangeiras, opções, imóveis, moedas, selos, arte e antiquidades.
• Como o portfolio contém todos os ativos de risco, ele é completamente diversificado.
• Somente o risco sistemático permanece no portfolio.
Market Portfolio
• Como todos os ativos de risco são parte do portfolio M, pode-se descrever suas taxas de retorno em relação aos retornos do portfolio M como :
R = a + b Rm + E
R = retorno do ativo no período t
a = termo constante
b = inclinação
Rm = retorno do mercado durante o período t
E = Erro randômico
Capital Asset Pricing Model
E
RF
Rm
2 imCov
SML
A equação da reta de risco-retorno é :
Capital Asset Pricing Model
)()( ,2 mi
m
mi Cov
RFRRFRE
)()( 2, RFR
CovRFRE m
m
mii
Definindo
2,
m
miCov)()( RFRRFRE mii
Capital Asset Pricing ModelO Beta pode ser visto como uma medida padronizada de risco sistemático. Como resultado, o portfolio de mercado tem Beta = 1.
E
RF
Rm
12m
imCov
SML
Capital Asset Pricing ModelO modelo nos diz que o retorno esperado de um ativo de risco é determinado pela Taxa sem Risco mais um prêmio de risco pelo ativo individual.
O prêmio de risco é determinado pelo risco sistemático do ativo (Beta) e pelo Prêmio de risco do Mercado (Rm-RF)
Exemplo :
Assuma a taxa de Renda Fixa da Economia em 6 % e o retorno sobre o Portfolio de Mercado em 12 %. Portanto, o prêmio de risco do mercado é de (12% - 6%) = 6 %.
Capital Asset Pricing Model
Assuma as seguintes ações :
Ação Beta
A 0.7
B 1.00
C 1.15
D 1.40
E - 0.30
Quais são as taxas de retorno esperado para estas ações ?
Capital Asset Pricing Model
)()( RFRRFRE mii
E(Ra) = 0.06 + 0.70 (0.12 – 0.06) = 0.102 = 10.2 %
E(Rb) = 0.06 + 1.00 (0.12 – 0.06) = 0.12 = 12 %
E(Rc) = 0.06 + 1.15 (0.12 – 0.06) = 0.129 = 12.9 %
E(Rd) = 0.06 + 1.40 (0.12 – 0.06) = 0.144 = 14.4 %
E(Re) = 0.06 + (- 0.30) (0.12 – 0.06) = 0.042 = 4.2%
Setores BetaAlimentos 0.315 Bancário 0.649 Celulose 0.148 Energia 1.149 Metalurgia 0.084 Mineração 0.273 Outros 0.297 Petróleo 0.859 Siderurgia 1.111 Tel. Celular 0.578 Tecnologia 0.876 Textil 0.395 Tel. Fixa 1.280
Capital Asset Pricing Model
Capital Asset Pricing Model
Em equilíbrio, todos os ativos e todos os portfolios de ativos devem estar posicionados ao longo da SML.
E
RF
Rm
imCov
SMLFora do
Equilíbrio.
Caros ou Baratos ?
Questão 1 (CFA-1999)
Explique se os investiores devem esperar um maior retorno do portfolio A versus o portfolio B conforme o CAPM. Assuma que todos os portfolios são totalmente diversificados.
BaixoAltoRisco Específico
de cada ativo
1.01.0Risco Sist. (Beta)
Portfolio BPortfolio A
Questão 2 (CFA - 1998)
14 %0.8B
16 %1.2A
Retorno Estimado
pelo AnalistaBetaAção
Um analista espera a taxa sem risco em 4.5 %, o retorno de mercado em 14.5 % e os retornos dos ativos A e B como descritos abaixo.
Aonde os ativos A e B estariam posicionados na SML se estivessem justamente precificados pelo CAPM , e aonde eles estão atualmente posicionados de acordo com a tabela.
Qual é a interpretação desta análise ?
Questão 3 (CFA-2000)
12115
-984
14-113
1392
15371
S&P500FordAno
Calcule a correlação, os desvios-padrão e o Beta para a Ford Motors no período analisado.
O Risco em Mercados Emergentes
• Prêmio Extra de Risco ?
Primeira AbordagemPrimeira Abordagem
Computar um Beta para o País, considerando a Bovespa como um ativo da NYSE.
CAPM :CAPM :
Ri = RF usa + Beta (usa) x Beta (br) x Prêmio de Risco (usa)
O Risco em Mercados Emergentes
Segunda AbordagemSegunda Abordagem
O Benchmark de taxa sem risco é a taxa paga pelos títulos do país no mercado secundário.
CAPMCAPM :
R = RF (c-bond) + Beta (empresa) x Prêmio de Risco (usa)
VALUATION
RF (c-bond) = 11 %
Beta empresa = 1.3
Prêmio de mercado = 6 %
Fluxos de Caixa para o Acionista :
Ano1 R$ 120 M Ano 2 R$ 170 M Ano 3 + Perp R$ 400 M
Calcule o Valor dos Tïtulos Patrimoniais desta Empresa.
VALUATION
Utilizando a mesma abordagem, como podemos calcular o risco,
retorno esperado e retorno requerido de um ativo imobiliário ?
Arbitrage Pricing Theory
Dadas as restrições do modelo CAPM, a comunidade acadêmica considerou uma teoria alternativa que requer poucas premissas : o APT.
As Premissas :
1 – Os mercados de Capitais são Imperfeitos
2 – Os investidores preferem mais riqueza a menos riqueza, na ausência de incerteza.
3 – O processo estocástico que gera os retornos dos ativos pode ser representado por um modelo de K fatores.
Arbitrage Pricing Theory
Premissas não necessárias no APT :
1 – O investidor possui uma função de utilidade quadrática
2 – Os retornos são normalmente distribuídos
3 – Existe um portfolio de mercado que contém todos os ativos e é eficiente em termos de média-variância.
O Modelo K Fatorial :
Arbitrage Pricing Theory
ikikiiii bbbER ...2211
Os fatores que impactam o retorno dos ativos não são especificados, e podem incluir Inflação, Crescimento do PIB, Fatores Políticos, Variações nas taxas de juros, etc.
O APT contrasta com o CAPM, cuja única variável explicativa relevante dos retornos é a covariância do ativo com o portfolio de mercado, ou seja, o coeficiente Beta.
Arbitrage Pricing Theory
Exemplo :
Os fatores considerados no modelo foram a taxa de inflação e o crescimento do PIB.
Prêmio para a taxa de Inflação : 1 % (para cada variação de 1% na taxa de inflação)
Prêmio para o cresc. do PIB : 2 % (para cada variação de 1% na taxa de inflação)
ATIVO A :
Resposta a variações na taxa de Inflação = 0.5
Resposta a variações no cresc. do PIB = 1.5
ATIVO B :
Resposta a variações na taxa de Inflação = 2.0
Resposta a variações no cresc. do PIB = 1.75
Mercado de Opções Se desenvolveu a partir de 1973, com a criação da CBOE;
Formador de preços;
Negociadas em bolsa;
Existem contratos para 4 categorias básicas:
Commodities agrícolas
Metais
Recursos naturais
Instrumentos financeiros
Através deste mercado, podemos usufruir de um mecanismo simples, eficiente e
barato para minimizar os riscos associados às flutuações de preço;
Transfere o risco da variação de preços dos hedgers para os especuladores.
O papel da bolsa
Estabelecer todas as regras de negociação, sempre à luz
das resoluções baixadas pelas instituições responsáveis;
Disseminar informações do mercado;
Atender as necessidades do mercado, através do
desenvolvimento de contratos e da adequação dos
existentes.
Participantes
Hedger
Pode ser pessoa física ou jurídica que compra ou vende
determinada commodity ou instrumento financeiro consubstanciado
num contrato de opções (Ex : commodities agrícolas e fazendeiros)
Buscam proteção contra a flutuação de preço
Tomam uma posição no mercado de opções contrária a do mercado
a vista
Buscam manter o lucro esperado
Participantes
Especulador
Pode ser pessoa física ou jurídica
Buscam obter ganhos nos mercados voláteis
Assumem o risco dos hedgers
Normalmente não vendem e nem compram a commodity
física ou ativo financeiro objeto da opção
Participantes
Arbitrador
Aproveitam-se das distorções de preços entre
determinados produtos ou mercados
Operam no curtíssimo prazo
A estratégia depende da tendêcia do mercado
O que é uma opção?
Uma opção é o direito de comprar ou vender uma
quantidade específica de um bem ou ativo a um preço
determinado para exercê-lo numa data prefixada ou num
prazo determinado até a data de vencimento ou expiração;
O comprador de uma opção tem a escolha ou oportunidade
de comprar ou vender o ativo-objeto da opção;
O vendedor proporciona ao comprador esta oportunidade.
Tipos de opções
Call
O comprador adquire o direito de comprar do vendedor o ativo-
objeto da opção
Para adquirir esse direito, o comprador desembolsa uma quantia,
que é chamada de prêmio
Put
O comprador adquire o direito de vender para o vendedor o ativo-
objeto da opção
Para adquirir esse direito, o comprador desembolsa uma quantia,
que é chamada de prêmio
Classificação quanto ao Exercício
Americana
O comprador pode exercer o seu direito a qualquer momento,
desde a data em que foi lançada a opção até sua data de expiração
propriamente dita.
Européia
Contém cláusula para efeito de prazo de exercício do direito do
comprador, onde tal direito somente poderá ser realizado na data de
vencimento ou expiração do contrato de opção
Situações Básicas
Long Call (compra de uma opção de compra)
Short Call (venda de uma opção de compra)
Long Put (compra de uma opção de venda)
Short Put (venda de uma opção de venda)
O prêmio O prêmio de uma opção respoderá à variação dada no preço do ativo-objeto da
opção;
O prêmio de uma call é positivamente relacionado com o preço do ativo-objeto da
opção.
Preço do ativo objeto baixa Baixa prêmio da Call
O prêmio de uma put é inversamente relacionado com o preço do ativo-objeto da
opção.
Preço do ativo objeto baixa Sobe o prêmio da Put
O prêmio
O objetivo básico de quem negocia uma opção é vendê-la por um
prêmio maior do que o prêmio pago, ou alternativamente, obter lucro
exercendo a opção.O prêmio de uma put é inversamente relacionado
com o preço do ativo-objeto da opção. Para acompanhar isto, o
investidor deve entender como as variações no preço do ativo-objeto
influenciam os prêmios das opções de compra e de venda.
O investidor
Comprador ou titular de uma call
Vendedor ou lançador de uma call
Comprador ou titular de uma put
Vendedor ou lançador de uma put
Titular de uma call O titular de uma call espera que
o preço do ativo-objeto da opção
aumente
Não há limite superior absoluto
para o ganho líquido que pode
realizar um comprador de uma
call
A perda máxima do titular está
limitado ao prêmio pago ao
lançador no momento da
abertura de posição
Lançador de uma call O lançador de uma call espera que o preço do ativo-objeto da opção baixe
O lançador tem a melhor possibilidade de obter resultado quando a opção não dá exercício
O ganho máximo do lançador está limitado ao valor líquido recebido pelo prêmio no momento da abertura de posição
A perda máxima é teoricamente ilimitada. Isso porque um aumento no preço do ativo-objeto da opção, faz com que o prêmio sofra também um acréscimo.
Titular de uma put O titular de uma put espera que o
preço do ativo-objeto da opção baixe
Teoricamente não há limite
superior absoluto para o ganho
líquido que pode realizar um
comprador de uma put
A perda máxima do titular está
limitado ao prêmio pago ao lançador
no momento da abertura de posição.
Isto acontece quando a opção”vira
pó“
Lançador de uma put O lançador de uma put espera que o preço do ativo-objeto da opção aumente. Na prática, ele tem uma visão neutra a ligeiramente bullish (de alta)
O lançador tem a melhor possibilidade de obter resultado quando a opção não dá exercício
O ganho máximo do lançador está limitado ao valor líquido recebido pelo prêmio no momento da abertura de posição
A perda máxima é teoricamente ilimitada. Isso porque uma grande baixa no preço do ativo-objeto da opção, faz com que o prêmio sofra também um decréscimo. Além disso, a opção pode dar exercício.
Conceito de posição
Assim como nos mercados futuros, uma posição no mercado de opções
é o saldo líquidos das operações realizadas por um mesmo cliente, em
uma mesma série. Este saldo líquido pode resultar numa posição
compradora ou vendedora
O exercício da posição também diminui o saldo ou encerra a própria
posição
Operações “descobertas” no mercado de opções são bastante
arriscadas. É uma posição que eventualmente envolve ilimitadas perdas
e um potencial relativamente pequeno de ganho.
Posição “descoberta”
É uma posição em que um especulador lança (vende) opções sobre um
determinado ativo-objeto que ele não possui no momento da operação.
Tomar posições de opções a descoberto é frequentemente descrito
como o equivalente a vender apólices de seguro. O ganho máximo que
um vendedor pode obter é o prêmio recebido do comprador.A perda
máxima equivale ao valor exigido para ressarcir o comprador por inteiro.
Variáveis básicas de uma opçãoTempo até o Vencimento ou Exercício ( T )
Preço de Exercício ou Strike ( X )
Preço do ativo-objeto ( S )
Taxas de juros ( r )
Volatilidade ( )
Prêmio
Volatilidade
Os mercados de opções jogam com a incerteza em relação ao nível de
preço de mercado do ativo-objeto para uma determinada data no futuro.
Esta incerteza é medida pelo grau de volatilidade do preço de mercado
Quanto maior a incerteza sobre o futuro, maior a probabilidade da opção
ser exercida.
A volatilidade pode ser:
Histórica
Implícita
Volatilidade Histórica A volatilidade histórica é um indicador de nossa incerteza quanto aos retornos
proporcionados por um ativo tomando como base os retornos passados (históricos) deste ativo.
Onde,
N = número de observações Xt = log ( Yt/ Yt-1)
Yt = observação no período t Xt = média aritmética de Xt
Cálculo da Volatilidade Procedimento
Escolher a série de preços do ativo para o período escolhido;
Calcula-se a variação diária dos preços, através da divisão do preço de fechamento do
dia pelo preço de fechamento do dia anterior (caso se queira a taxa de retorno composta
continuamente deve-se aplicar o log-neperiano (ln) a esta divisão);
Calcula-se a média das variações através da soma de todas as variações e a posterior
divisão deste resultado pelo número de observações em que se realizou o cálculo;
Calcula-se a diferença entre cada variação e a variação média;
Cada resultado anterior deverá ser elevado ao quadrado, somados e depois divididos
pelo número de observações que compuseram o cálculo subtraídos de uma unidade (no
caso de uma amostra);
Do valor obtido acima deverá ser extraída a raiz quadrada, dando assim o desvio padrão
das variações de preço, ou seja, o quanto a variação de preço pode sair do valor
esperado, representando um risco para o investidor.
Cálculo da Volatilidade Algumas fórmulas:
Cálculo da Volatilidade
Exemplo: Calcule a volatilidade da ação XPTO. Utilize os dados abaixo:
Cálculo de Volatilidade da Ação XPTO
Série Histórica
Obs. Diária Preço Retorno Média dos Retornos1 271.00 - -0.00345312 273.00 0.00743 274.00 0.0037 Desvio Padrão4 270.00 -0.0147 0.0213355965 272.00 0.00746 271.00 -0.00377 281.50 0.0380 Volatilidade Anual8 275.00 -0.0234 33.8692%9 276.00 0.003610 277.00 0.003611 270.00 -0.025612 258.00 -0.045513 260.00 0.0077
Volatilidade Implícita O cálculo da volatilidade implícita toma como base o prêmio da opção mais
líquida do mercado (At the money), a taxa de juros e o preço do ativo. A partir
destas informações é possível se obter o nível de volatilidade implícita que
carrega o preço de mercado da opção objeto de estudo. A volatilidade ímplicita
pode ser então comparada com a que o investidor considera apropriada, e esta
comparação é usada como guia para a negociação da opção
Podemos dizer que a volatilidade implícita é o desvio padrão que torna o preço
justo da opção, calculado pelo modelo Black-Scholes, igual ao prêmio da opção
negociada pelo mercado
Pode ser estimada através do método de Newton-Raphson
Modelos de Avaliação de preço
Modelo Binomial
Determina o preço justo de uma opção baseado na variação do
preço do ativo-objeto.
O preço justo pode assumir dois valores:
Valor acima do preço anterior
cu = c (1+u)
• u = probabilidade de subida
Valor abaixo do preço anterior
cd = c (1+d)
• d = probabilidade de descida
Modelo Binomial Valor do ativo-objeto no início da análise
S = $ 100
Comportamento do Ativo-objeto
u = 5%
d = 5%
No instante t1
S11 = S (1 + 0.05)
S12 = S (1 - 0.05)
No instante t4
S41 = S31 (1 + 0.05)
S42 = S31 (1 - 0.05)
t0 t1 t2 t3 t4
121.55 (S41)
Ativo-objeto 115.76110.25 109.97 (S42)
105 (S11) 104.74100 99.75 99.5
95 (S12) 94.7690.25 90.02
85.7481.45
Modelo Binomial Preço de Exercício
X = $ 95
No intante t4
C41 = máx(S41 – X ; 0)
C42 = máx(S42 – X ; 0)
No intante t3
C31 = C41 x 50% + C42 x
50%
No intante t0
C = C11 x 50% + C12 x 50%
t0 t1 t2 t3 t4
26.55 (C41)
Call 20.7615.25 14.97 (C42)
10.63 (C11) 9.746.82 6 4.5
3 (C12) 2.250 0
00
Modelo Binomial
Podemos afirmar que o modelo utilizado no exemplo anterior
está completo ??
Sim ou Não?? E por quê??
Modelo Binomial O modelo não considerou dois fatores importantes para se determinar o prêmio
de uma opção. São eles:
Volatilidade do ativo-objeto (****)
Custo de oportunidade do dinheiro livre de risco
O modelo precisa ser ajustado por:
Ativo-objeto Prêmio
Modelo Binomial O modelo ajustado :
= volatilidade
dias = dias corridos no mês
n = prazo em períodos
i = taxa de juros
du = dias úteis no ano
Modelos de Avaliação de preço
Modelo de Black-Scholes
Precursor das teorias de valoração para determinar o preço ou
prêmio de opções de compra e venda européias sobre ações
sem dividendo.
Pode medir tanto o valor como o risco de uma opção
Pode ser usado para a construção ótima de carteira que
contenha tanto opções como outros títulos.
Modelo Black-Scholes
Modelo de Black-Scholes c = prêmio da call
p = prêmio da put
S = preço do ativo-objeto
X = preço de exercício
T = Prazo para exercício
= volatilidade
N(.) = função de distribuição normal
r = taxa de juro livre de risco
Xe-rT = valor presente do preço de exercício
Modelo Black-Scholes Função de distribuição Normal N(x)
Podem ser obtidas a partir de tabelas encontradas em livros de estatística
Calculada através de uma aproximação polinomial
N(x) = 1 - (a1k + a2k2 + a3k3) N’(x)
k = 1/ (1 + x)
• quando x > 0; N’(x) = (1/2)e-(x2)/2
• quando x = 0; N’(x) = ½
• quando x < 0; N’(x) = 1 – N(-x)
a1 = 0.4361836
a2 = -0.1201676
a3 = 0.9372980
= 0.33267
Modelo Black-Scholes Exercício – Vamos supor as seguintes informações: Preço a vista (S) da ação ZZZZ a
R$136.50, preço de exercício(X) da opção ZZZZH a R$ 120.00, prazo para o
vencimento (T) de 26 dias, volatilidade anual de 57.96% e taxa DI over de 5.69% a.m.
Qual o preço justo para a opção?
As gregas - SensibilidadesAlgumas relações podem ser derivadas a partir do modelo de Balck-
Scholes:
Delta
Gama
Teta
Rô
Vega
Delta Mede a variação percentual que se produz no preço da opção ao variar o preço do ativo-objeto (S).
Conhecido também como a proporção de cobertura ou taxa de hedge necessária para uma carteira combinando ações e opções.
= prêmio / S
O delta de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos deltas de cada um dos ativos que a compõe.
= n11 + n22 + n33 + ….
Para uma call
0 < <= 1
Para uma put
0 > <= -1
Posição x Delta
Delta Negativo Posição de Baixa
Delta Zero Posição Neutra
Delta Positivo Posição de Alta
Delta Exemplo : Um investidor vende 2000 contratos de opções de Telemar (TNLP4),
que corresponde a 2.000.000 ações. O prêmio da opção de compra TNLPL30 é
de R$ 1.20, o preço da ação à vista é de R$ 28.50 e o delta da opção é 0.55. O
investidor deseja fazer um hedge da sua posição.
A Estratégia será adquirir 0.55 x 2.000.000 = 1.100.000 ações de Telemar. Com
o passar do tempo, o preço da opção de compra tende a mudar em 55% do
preço da ação e o lucro da call será eliminado pelo prejuízo da ação à vista. A
medida que se aproxima o vencimento, o delta mudará e o investidor deverá
realizar um ajuste na posição da ação à vista. Assim, se o delta aumentar para
0.63, o investidor deverá comprar mais 0.08 x 2.000.000 = 160.000 de ações
para manter o hedge de sua carteira.
Gama Mede o quanto varia o delta da opção ao variar o preço do ativo-objeto.
Pode ser definido como a segunda derivada parcial do preço da opção em relação ao preço do ativo-objeto.
= prêmio / S = 2premio / S2
O gama de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos gamas de cada um dos ativos que a compõe.
= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….
Podemos dizer, ainda, que o gama mede o grau de ajuste que tem que ser feito no hedge para que ele permaneça perfeito
Posição x Gama
Gama Negativo Posição top (Alta)
Gama Zero Posição Neutra
Gama Positivo Posição bottom (Baixa)
Teta Mede o quanto varia o prêmio da opção ao se aproximar a data de exercício.
Pode ser definido como a segunda derivada parcial do preço da opção em relação ao seu prazo de exercício (T).
= 2 prêmio / t2
O teta de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos tetas de cada um dos ativos que a compõe.
= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….
No caso do preço do ativo-objeto permanecer inalterado
Prazo diminui e o prêmio aumenta => expectativa temporal positiva
Prazo diminui e o prêmio diminui => expectativa temporal negativa
Posição x Teta
Teta Negativo influência negativa do tempo na posição
Teta Zero influência neutra do tempo na posição
Teta Positivo influência positiva do tempo na posição
Rô
Mede o quanto varia o prêmio da opção em relação à taxa de juro livre
de risco ( r ).
= prêmio / r
O rô de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos rôs de
cada um dos ativos que a compõe.
= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….
Vega
Mede o quanto varia o prêmio da opção em relação à volatilidade do
preço do ativo-objeto.
= prêmio /
O vega de uma posição composta por n ativos é a igual a soma dos
vegas de cada um dos ativos que a compõe.
= n1 1 + n2 2 + n3 3 + ….
Contrato Futuro
Contrato a termo padronizado (o bem, volume, data de
liquidação, data de entrega estabelecidas pela bolsa);
As partes não se relacionam ( a câmara de compensação
da Bolsa assume a parte oposta);
Maior liquidez;
Instrumento de transferência de risco;
Liquidação por diferença na grande maioria dos casos.
Mercados Futuros
Mercados organizados onde podem ser assumidos
compromissos padronizados de compra ou venda de
contratos de uma determinada mercadoria, ativo financeiro
ou índice econômico, para liquidação numa data futura
preestabelecida
Mercados Futuros
Participantes
Hedgers
Procuram se defender de oscilações imprevistas de preços de
seus produtos ou ativos.
Especuladores
Compram o risco dos hedgers
Formação dos preços Um conceito importante para o entendimento da formação dos preços no mercado futuro é
o conceito de “base”, que é a diferença entre o preço futuro para um determinado vencimento e o preço à vista de uma mercadoria, ativo financeiro ou índice.
o preço futuro e o preço à vista tendem a se mover na mesma direção, embora não necessariamente na mesma magnitude e ao mesmo tempo, pois as expectativas podem afetar diferentemente cada um dos preços;
a base tende a zero à medida que se esgota o prazo para o vencimento do contrato – o preço futuro converge para o pre;co à vista, pois na data de vencimento o contrato futuro deve ser liquidado, possuindo as mesmas características do produto no mercado à vista naquela data;
a base corresponde em valor ao custo de se manter a posse da mercadoria física até a época de vencimento do contrato.
Função Econômica Tranferência de Riscos
Maximizar lucros
Risco de preços
Visibilidade de preços
Obter preço à vista tomando como base o preço futuro
Os preços futuros refletem a expectativa presente sobre o futuro
por parte dos agentes econômicos
Operações de financiamentoou Arbitragem
O financiamento do carregamento de estoques ou de ativos
Aumento da integração entre os mercados futuros e disponível,
com inegável contribuição para justeza de preços
Funcionamento Mecanismos Básicos garantidos das Liuquidações
Ajuste Diário
Manutenção dos valores das posições compradas e vendidas nos níveis de
mercado
Todas as posições são ajustadas diariamente com base no preço de fechamento
Calculado para cada contrato e pago em dinheiro
Margem Inicial
Garantir o pagamento, se for o caso, de pelo menos alguns ajustes diários
negativos
Constitui-se num depósito de boa-fé
Não precisa ser em dinheiro necessariamente. Sendo um garantia, pode ser
prestada em títulos ou carta de fiança
Pode ser aumentada ou reduzida dependendo das condições de mercado
Contratos Futuros
DI
DolarCupom Cambial (DDI)
Ibovespa
Café
Contratos Futuros
DI
DolarCupom Cambial (DDI)
Ibovespa
Café
Futuro de Taxa de Juros - DIA introdução dos mercados futuros de taxas de juros foi feita
baseada em ativos financeiros , tais como LTN e CDB’s;
A idéia é que o custo do dinheiro pode ser visto da mesma
forma que outra commodity qualquer;
O preço do dinheiro ( taxa de juros) é influenciado pela lei da
oferta e procura;
Concebido para oferecer melhor cobertura específica ao
risco de oscilação da taxa de juros.
Futuro de Taxa de Juros - DIUma transação envolvendo taxa de juros é altamente
sensível e é função direta de fatores macroeconômicos e
das características da operação realizada
Inflação
Política monetária e fiscal
Desempenho econômico
Natureza da operação
Prazo contratado
Futuro de Taxa de Juros - DICaracterísticas
Não existe a entrega, no vencimento, de nenhum ativo físico;
Cotados na forma de PU;
A flutuação do PU reflte a variação na taxa de juros esperada para um
período futuro;
Juros elevam PU cai
Juros baixam PU sobe
O contrato de DI vale no seu vencimento, obrigatoriamente,
R$100.000,00;
Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com base no
ajuste do preço do dia;
Futuro de Taxa de Juros - DI O contrato de DI futuro equivale a um título de renda fixa do tipo “Zero Coupon Bond”.
O valor de vencimento (Notional) é de R$100000,00.
O valor do PU na data “0” é igual ao valor do contrato no momento da abertura da posição. (daytrade)
Para contratos abertos por mais de um dia, o PU passa a ser o Ajuste corrigido por 1 dia de CDI.
Futuro de Taxa de Juros - DICálculo da Posição
em D0
Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N
em D1
Posição $ = (Preço Corrigido – AjusteD1) x N
Preço Corrigido = AjusteD0 x (1+CDI%)1/252
em D2
Posição $ = (Preço Corrigido – AjusteD2) x N
Preço Corrigido = AjusteD1 x (1+CDI%)1/252
** Ajuste A BMF calcula o seu valor baseado na média ponderada dos valores negociados nos últimos 30 minutos de pregão.
Futuro de Taxa de Juros - DIExercício
Calcular o resultado financeiro da posição para D0, D1 e D2.
em D0
Venda de 300 contratos de DI Dez02 a 96000
Ajuste = 95924.95
em D1
Ajuste = 96818.75
CDI = 17.88%
em D2
Ajuste = 96427.37
CDI = 17.95%
Futuro de Taxa de Juros - DIExercício (Crise Real)
Faça hedge em 22.01.99 para fundo de renda fixa DI que
possui R$10 M em títulos pré a 4.17% efetiva, com
vencimento em 01.03.99. Dados: PU do DI MAR9 é igual a
96000. Assumir que o CDI acumulado de 22.01 à 01.03 é
5%.
Futuro de Taxa de Juros - DIExercício (Crise Real)
Fazer um hedge para uma instituição que captou R$ 20M
pré e emprestou os mesmos R$ 20M recebendo 100% CDI.
em 22/01/99. O vencimento ocorre em 01/03/99. Assumir
que o CDI acumulado no período será de 3.5% e que o PU
do DI Mar9 é igual a 96000.
Dólar Futuro Objeto de Negociação
A taxa de câmbio de reais por dólar dos Estados Unidos, para entrega pronta,
contratada nos termos da Resolução 1690/90
Cotação
Reais por US$ 1.000
Unidade do contrato
US$ 50.000
Meses de vencimento
Todos os meses
Liquidação no vencimento
Na data de vencimento, as posições em aberto, serão liquidadas
financeiramente pela Bolsa, mediante o registro de operação de natureza
inversa (compra ou venda) à da posição, na mesma quantidade de contratos.
Dolar Futuro Uma operação com dólar futuro funciona exatamente como sendo uma operação
de swap Dol x Pré.
No caso de um investidor estar “comprado” num contrato de dólar futuro o efeito
é o mesmo se ele tivesse em carteira uma operação de swap Dol x Pré, aonde
ele estaria “ativo” na perna “Dol” e “passivo” na perna “Pré”
Os fatores de risco para esta posição são:
Taxa de Juros
Taxa de Câmbio
Cupom Cambial
Dolar Futuro
Características
Não existe a entrega, no vencimento, de nenhum ativo físico;
Cotação em R$/US$1.000,00;
Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com
base no ajuste do preço do dia;
A liquidação ocorre quando assumimos no mercado uma
posição contrária a inicial ( mesma quantidade e mesmo ativo).
Quando isso ocorre dizemos que “zeramos” nossa posição.
Dolar Futuro
Cálculo da Posição
em D0
Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N x 50
em D1
Posição $ = (AjusteD0 – AjusteD1) x N x 50
em D2
Posição $ = (AjusteD1 – AjusteD2) x N x 50
** Normalmente o mercado trabalha com o Ajuste dividido por 1000.
Desta maneira teríamos:
Posição $ = (AjusteD1’ – AjusteD2’) x N x 50.000
Dolar Futuro
Exercício
Calcular o resultado financeiro da posição para D0, D1 e D2.
em D0
Venda de 100 contratos de Dol Dez02 a 3.69
Ajuste = 3.685
em D1
Ajuste = 3.77
em D2
“Zero” posição comprando 100 contratos de Dol Dez02 a 3.81
Dolar Futuro Exercício
Um investidor está preocupado com uma possível alta do dólar. Sabe-se que ele
possui um vencimento para o final do mês de novembro no valor de US$ 5.000.000.
Faça um hedge para esta posição usando contratos de dólar futuro.
Suponha que o vencimento da operação e do contrato ocorre no mesmo dia e que a
cotação do dólar para este dia será de R$ 3.35. Usar a tabela abaixo.
Dolar Futuro
É importante salientar que no exercício anterior, as operações estavam
casadas, ou seja, o vencimento tanto da operação quanto do contrato
futuro ocorria no mesmo dia.
Neste caso, o número de contratos adquiridos ou vendidos é igual a
posição financeira (Ativo ou Passivo) dividido pelo tamanho do
contrato (50.000)
Dolar FuturoNa prática isso não é muito comum. Desta maneira, precisamos fazer um
ajuste na ‘fórmula que nos dá o número de contratos futuros que precisam ser negociados.
N = número de contratos
n1= dias úteis para o vencimento da operação
n2= dias úteis para o vencimento do contrato futuro
P = Valor financeiro a ser “hedgeado”
C0= cotação do dólar à vista
r = desvalorização cambial
Dolar Futuro
Arbitragem
Operação Tomar emprestado US$1 à taxa de juros externa i*
Transformar US$1 em R$ pela taxa de câmbio do dia C0
Aplicar na renda fixa R$ C0 à taxa de juros interna i
Comprar US$1 (1+ i*) à R$ F0 (mercado futuro)
*** Os custos para se manter este tipo de operação podem ser altos
Ibovespa Futuro Objeto de Negociação
Índice de ações da Bolsa de Valores de São Paulo (Ibovespa).
Cotação
Pontos do índice, sendo cada ponto equivalente ao valor em reais
estabelecido pela BM&F. Atualmente, cada ponto equivale a R$ 3,00.
Meses de vencimento
Meses pares. A BM&F poderá, ao seu critério, quando as condições do
mercado assim exigirem, autorizar a negociação para vencimento em meses
ímpares.
Data de vencimento
Quarta-feira mais próxima do dia 15 do mês de vencimento
Ibovespa Futuro No vencimento do contrato futuro, a cotação futura e a cotação àvista terão o
mesmo valor. De uma forma geral, a diferença entre as duas cotações vai
diminuindo a medida que o vencimento se aproxima. Esta diferença equivale
normalmente ao CDI projetado no mercado futuro.
Ibovespa Futuro
Quando usado para se “hedgiar” uma carteira de ações, pode
transformar uma carteira de renda variável em um fundo de randa fixa;
O momento ideal de se usar o hedge é exatamente quando já atingimos
a meta desejada e gostaríamos de travar nossos lucros a partir daquele
instante, passando a render CDI;
Instrumento muito utilizado em operações de arbitragem.
Ibovespa Futuro
Características
Não existe a entrega, no vencimento, de nenhum ativo físico;
Cotação em R$ 3,00 / ponto do índice;
Posições em aberto ao final de cada pregão são ajustadas com
base no ajuste do preço do dia;
A liquidação ocorre quando assumimos no mercado uma
posição contrária a inicial ( mesma quantidade e mesmo ativo).
Quando isso ocorre dizemos que “zeramos” nossa posição.
Ibovespa Futuro
Cálculo da Posição
em D0
Posição $ = (Preço Inicial – AjusteD0) x N x 3
em D1
Posição $ = (AjusteD0 – AjusteD1) x N x 3
em D2
Posição $ = (AjusteD1 – AjusteD2) x N x 3
Ibovespa Futuro
Exercício
Calcular o resultado financeiro da posição para D0, D1 e D2.
em D0
Venda de 10 contratos de Ibov Out02 a 8.610
Ajuste = 8.655
em D1
Ajuste = 8.370
em D2
“Zero” posição comprando 10 contratos de Ibov Out02 a 8.700
Ibovespa Futuro
Cálculo do Número de contratos
IBov0 = cotação do Ibovespa à vista
carteira = relação linear entre a carteira e o índice
P = valor presente da carteira
É importante salientar que o número de contratos envolvidos numa operação de
hedge depende diretamente do cálculo do da carteira de ações que se quer
“hedgiar”. Assim sendo, caso este cálculo não esteja correto, o número de
contratos negociado pode desbalancear o hedge.
Ibovespa Futuro Exercício
Fazer hedge para um fundo de pensão que possui 100 milhões de TNLP4 a
R$ 22,00/M e acha que a bolsa vai cair. Assumir que o da ação é 1.096 e
que o Ibovespa à vista está cotado a 8622 pontos. No vencimento do
contrato futuro, assumir que o índice estará a 7800 pontos.
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