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Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Bracke
Lehrstuhl für Zuverlässigkeitstechnik und Risikoanalytik
Fakultät für Maschinenbau und Sicherheitstechnik
Gaußstraße 20, 42119 Wuppertal
Formelsammlung zur Klausurvorbereitung
(ENTWURF)
„Sicherheitstheorie“
&
„Grundlagen der technischen Zuverlässigkeit“
Univ.-Prof. Dr.-Ing. Stefan Bracke
Lehrstuhl für Zuverlässigkeitstechnik und Risikoanalytik
Fakultät für Maschinenbau und Sicherheitstechnik
Gaußstraße 20
42119 Wuppertal
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1) A B = A B
2) A B = A B
𝑃(𝐴) = ∑ 𝑝 (
𝑖
𝜔𝑖) = 𝑔 (𝐴)1
𝑚=
𝑔 (𝐴)
𝑚
P(B | A) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)
𝑃(𝐴)
P(A B) = P(A) · P(B | A)
f(x) F(x)
R(x) = 1 – F(x) λ (x) = 𝑓(𝑥)
𝑅(𝑥)
f(x) = 𝑏
Τ ∙ (
𝑥
Τ) 𝑏−1 ∙ 𝑒
− (𝑥Τ
)𝑏
f(x) = 𝑏
Τ−𝑡0 ∙ (
𝑥− 𝑡0
Τ−𝑡0 ) 𝑏−1 ∙ 𝑒
− (𝑥−𝑡0 Τ− 𝑡0
)𝑏
f(x) = 1
x ∙ σ √2 𝜋 ∙ 𝑒
− (𝑙𝑔 𝑥 − 𝜇)2
2 𝜎2
h(A) = 𝑛(𝐴)
𝑛
P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B)
P(A B) = P(A) · P(B)
P(Aj|B) = 𝑃(𝑂𝐴𝑗𝐵)
𝑃(𝐵)=
𝑃(𝐴𝑗) ∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)
∑ 𝑃(𝐴𝑖)∙ 𝑃(𝐵|𝐴𝑖)𝑛𝑖 =1
f(x) = λ · e -λx
f (x)= 1
σ √2 π ∙ e
- 12
(x- μσ
)2
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𝑅𝑠 (𝑥) = ∏ 𝑅𝐵𝑖 (𝑥)
𝑛
𝑖=1
𝑅𝑠 (𝑥) = 1 − ∏ (1 − 𝑅𝑖 (𝑥))
𝑛
𝑖=1
y = �̅� y = x1 ˅ x2 y = x1 ˄ x2
F(x) = 𝑖−0,3
𝑛+0,4
b = 𝜎𝑁
2,30258⋅𝑆𝑙𝑜𝑔
𝑆2 =1
𝑛 − 1 ∑
𝑛
𝑖=1
(𝑥𝑖 − �̅�)2
𝑆2 =1
𝑛 − 1 [(∑
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖2) −
1
𝑛 (∑
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖)2
]
𝑆𝑙𝑜𝑔 = √1
𝑛 − 1 [∑(log 𝑥𝑖) 2
− 1
𝑛 (∑ 𝑙𝑜𝑔(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
)2
𝑛
𝑖=1
]
Fs (x) = 1 – Rs (x)
RB (x) = exp (− (𝑥−𝑡𝑜
Τ−𝑡𝑜) 𝑏)
F(x) = 𝑖
𝑛+1
F(x) = 1 - 𝑒 − (
𝑥
Τ)
𝑏
Τ = 10[(∑ log(𝑥𝑖)𝑛
𝑖=1 )𝑛
+ �̅�𝑁
2,30258⋅𝑏 ]
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�̅� =1
𝑛 ∑
𝑛
𝑖=1
𝑥𝑖
𝑏 1
1 + √𝑘𝑛
≤ 𝑏 ≤ 𝑏 (1 + √𝑘
𝑛 )
Τ (2𝑛
𝜒2𝑛, 1− 𝛼2⁄
2 )
1𝑏
≤ Τ ≤ Τ (2𝑛
𝜒2𝑛, 𝛼 2⁄2 )
1𝑏
𝜆(𝑥) = 𝑓(𝑥)
𝑅(𝑥)=
𝑓(𝑥)
1 − 𝐹(𝑥)
⟹ 𝜆(𝑥) = 𝑏
Τ ∙ (
𝑥
Τ)
𝑏−1
k VB
1,4 90 %
2,0 95 %
3,4 99 %
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2
2
1
2
1)(
x
exf
xnx qpx
nxf
)( Transformationsformel: 𝑢 =
𝑥− 𝜇
𝜎
pn ; qpn 2
Annäherung BV durch PV erlaubt wenn: 10 pn und pn 1500
ex
xfx
!)(
n
N
xn
MN
x
M
xf )(
N
Mn
)1(
)()(2
2
NN
nNMNMn
Annäherung HV durch die BV erlaubt wenn:
nN mit mindestens Nn 05,0 (Prozentsatz dann N
Mp )
𝑛 ∙ �̂� ∙ (1 − �̂�) > 9
1)(n
cxn
cxP
Beidseitig: links: rechts:
)( cXcP )( cXP )( cXP
2
1)(
c 1)(c )(c n
cl
2
1)(n
scx
n
scxP
Beidseitig: links: rechts: )( cTcP )( cTP )( cTP
2
1)(
cF 1)(cF )(cF
1 nf n
csl
2 n > 30 dann s
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𝑃 ((𝑛 − 1)𝑠²
𝑐2≤ 𝛿² ≤
(𝑛 − 1)𝑠²
𝑐1) = 𝑦 = 1 − 𝛼
Beidseitig: links: rechts:
𝑃(𝑐2 ≤ 𝑍 ≤ 𝑐1) 𝑃(𝑍 ≥ 𝑐2) 𝑃(𝑍 ≤ 𝑐1)
𝐹(𝑐1) =1
2 (1 − 𝛾) 𝐹(𝑐2) = 𝛾 𝐹(𝑐1) = 1 − 𝛾 = 𝛼
𝐹(𝑐2) =1
2 (1 + 𝛾)
𝑓 = 𝑛 − 1 𝑙 =(𝑛−1)(𝑐2−𝑐1)𝑠²
𝑐1∙𝑐2
𝑃 (�̂� −𝑐
𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�) ≤ 𝑝 ≤ �̂� +
𝑐
𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�)) = 𝛾 = 1 − 𝛼
Beidseitig: links: rechts:
𝑃(−𝑐 ≤ 𝑋 ≤ 𝑐) 𝑃(𝑋 ≥ 𝑐) 𝑃(𝑋 ≤ 𝑐)
𝛷(𝑐) =𝛾+1
2 𝛷(𝑐) = 1 − 𝛾 𝛷(𝑐) = 𝛾
𝑙 = 2𝑐
𝑛√𝑛�̂�(1 − �̂�) 𝑠 = √
∑ (𝑥𝑖−�̅�)²𝑛𝑖=1
𝑛−1 �̅� =
𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑛
𝑛=
1
𝑛∙ ∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1
�̃� = 𝑥𝑛
2+𝑥𝑛
2+1
2 𝑅 = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 𝑘 = √𝑛 𝑤 =
𝑅
√𝑛=
𝑅
𝑘
𝑘 = 1 +10 log(𝑛)
3 𝑤 =
𝑅
𝑘
𝑠𝑥2 =
1
𝑛−1∑ (𝑥𝑖 −�̅� )2𝑛
𝑖=1 𝑠𝑦2 =
1
𝑛−1∑ (𝑦𝑖 −�̅� )2𝑛
𝑖=1
𝑠𝑥𝑦 =1
𝑛−1∑ (𝑥𝑖 − �̅�)(𝑦𝑖 − �̅�)𝑛
𝑖=1 𝑟 =𝑠𝑥𝑦
𝑠𝑥∙𝑠𝑦
𝑆(𝑎𝑖 𝑏) = ∑ (𝑦𝑖 − 𝑎𝑥𝑖 − 𝑏𝑖)𝑛𝑖=1
𝑎 =𝑛∙∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 𝑦𝑖−(∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )∙(∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 )
𝑛∙∑ 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )
2 =∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 𝑦𝑖−𝑛�̅��̅�
∑ 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −𝑛�̅�2 𝑏 =(∑ 𝑥𝑖
2𝑛𝑖=1 )(∑ 𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 )−(∑ 𝑥𝑖
𝑛𝑖=1 )(∑ 𝑥𝑖∙𝑦𝑖
𝑛𝑖=1 )
𝑛∙∑ 𝑥𝑖2𝑛
𝑖=1 −(∑ 𝑥𝑖𝑛𝑖=1 )
2 = �̅� − 𝑎 ∙ �̅�
𝑠𝑥𝑦 =1
𝑛−1(∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑛 �̅� �̅�𝑛
𝑖=1 ) 𝑟 =∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖−𝑛 �̅� �̅�𝑛
𝑖=1
√(∑ 𝑥𝑖2−𝑛 �̅�2𝑛
𝑖=1 )(∑ 𝑦𝑖2−𝑛 �̅�2𝑛
𝑖=1 )
Stichprobenumfang n Anzahl k der Klassen
Bis 50 Keine Klasseneinteilung
Bis 100 Mindestens 10 Klassen
Bis 1000 Mindestens 13 Klassen
Bis 10000 Mindestens 16 Klassen
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Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
(entnommen aus: Papula L., Mathematische Formelsammlung – Für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 11. Auflage, Springer Vieweg, 2014)
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Quantile der Standardnormalverteilung
(entnommen aus: Papula L., Mathematische Formelsammlung – Für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 11. Auflage, Springer Vieweg, 2014)
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Quantile der Chi-Quadrat-Verteilung
(entnommen aus: Papula L., Mathematische Formelsammlung – Für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 11. Auflage, Springer Vieweg, 2014)
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Quantile der t-Verteilung nach Student (Gosset)
(entnommen aus: Papula L., Mathematische Formelsammlung – Für Ingenieure und Naturwissenschaftler, 11. Auflage, Springer Vieweg, 2014)
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