Función Exponencial Se conoce como función exponencial a la función f de variable real cuya regla...

Función Exponencial

Se conoce como función exponencial a la función f de variable real cuya regla de correspondencia es:

Si a > 0; a ≠ 1; x € IR

xaxf )(

Propiedades

El dominio de la función exponencial está dado por los números R.

El recorrido de la función exponencial está dado por los R*.

El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).

La función no intercepta el eje X.

A continuación se puede ver como varían las funciones de acuerdo a su base a

f(x) = 2^x

f(x) = (1 / 4)^xf(x) = 4^x

g_1(x) = (1 / 2)^x

f(x) = 6^x f(x) = (1 / 6)^xf(x) = 8^x f(x) = (1 / 8)^x

f(x) = (1 / 10)^xf(x) = 10^x

Caso 1: 0 < a < 1

Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR

Caso 1: 0 < a < 1Ejemplo: f(x) = 0,5x

Caso 1: 0 < a < 1f(x) para diferentes valores de a

Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Función decreciente

Dominio= IRRango= (- ∞, 0)Asíntota en y=0Función creciente

xy 5.0 xy 5.0

Caso 2: a > 1

Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.

Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.

Caso 2: a > 1Ejemplo: f(x) = 2x

Caso 2: a > 1f(x) para diferentes valores de a

Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Punto de corte en y = 1Función crecienteAsíntota horizontal

Dominio= IRRango= (-∞, 0)Asíntota en y=0Punto de corte en y =- 1Función decrecienteAsíntota horizontal

xy 2 xy 2

Desplazamientos vertical

A la función se le suma o resta un valor c para el desplazamiento vertical

Dominio= IRRango= (1, ∞)Asíntota en y=1Función crecientePunto de corte con y en y=2Punto de corte con x= no existe

cay x

12: xyEjemplo

A la función se le suma o resta un valor b para el desplazamiento horizontal

Dominio= IRRango= (0, ∞)Asíntota en y=0Función crecientePunto de corte en y=4Punto de corte con x= no existe

bxay

22: xyEjemplo

Desplazamiento horizontal

Xexf )(

Es decir con base e=2.718

Puesto que 2<e<3, la grafica de la función exponencial natural esta entre las graficas:

Función Exponencial natural

Gráfica de la función logarítmica

Función Logarítmica

La inversa de una función exponencial de base a se llama función logarítmica de base a y se representa por:

a

f(x) = loga x

Propiedades

El dominio de la función logarítmica está definida para x > 0.

El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).

La función no intercepta el eje Y.

Función Logarítmica creciente

Si a > 1, f(x) = loga x es creciente

Función Logarítmica crecienteEjemplo: f(x) = log2 x

Función Logarítmica crecienteEjemplo: f(x) = log2 x

Función Logarítmica creciente

Función logarítmica para diferentes valores de a

Función Logarítmica Decreciente

Si 0 < a < 1, f(x) = loga x es decreciente

Función Logarítmica Decreciente

Ejemplo: f(x) = log0,5 x

Función Logarítmica Decreciente

Ejemplo: f(x) = log0,5 x

Función Logarítmica Decreciente

Funciones logarítmicas con diferentes valores de a

nxxf log)(

3log)(: xxfEjemplo

Dominio= IR+Rango=RealesCrecienteAsíntota en x=0Asíntota vertical

Desplazamiento vertical

Dominio= (-3 , ∞)Rango=RealesCrecienteAsíntota en x = -3Asíntota vertical

Desplazamiento Horizontal)log()( nxxf

)3log()(: xxfEjemplo

Leyes de los logaritmos1. El logaritmo de un producto de números es la suma de los logaritmos de los números.

2. El logaritmo de un cociente de números es la diferencia de los logaritmos de los números

3. El logaritmo de una potencia de un numero es el exponente multiplicado por el numero.

BAAB loglog)log(

BAB

Aloglog)log(

AnAn loglog

n

AAn

loglog

El Logaritmo con base 10 se llama logaritmo común y se denota omitiendo la base: Log x

El logaritmo con base e se llama logaritmo natural y se denota por ln: ln x

Para algunos propósitos, se encuentra útil cambiar los logaritmos de una base a logaritmos de otra base para lo que se utiliza la siguiente formula:

Logaritmos comunes

Logaritmo natural

Fórmula de cambio de base

V. Función Logarítmica• Ejercicios:

– Dado los valores: log 2 = 0.3010 y log 3 = 0.4771. Entonces, en la función f(x) = log x, determine f(6).

Solución:

f(6) = log (6)

Donde

log 6 = log (2 · 3)

Por Propiedad

log (2 · 3) = log 2 + log 3

= 0.3010 + 0.4771

= 0.7781

Por lo tanto:

Si f(x) = log x, entonces f(6) = 0.7781

V. Función Logarítmica

La Respuesta correcta es D

Los logaritmos

Se usaron para hacer operaciones de forma sencilla con una tabla