FUNCIONES DE VARIABLE REAL. Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a...

FUNCIONES DE

VARIABLE REAL

Función real de variable real es toda correspondencia f que asocia a cada elemento de un determinado subconjunto de números reales, llamado dominio, otro número real.

f : D R x f(x) = y

•El subconjunto en el que se define la función se llama dominio o campo existencia de la función. Se designa por D.•El número x perteneciente al dominio de la función recibe el nombre de variable independiente.•Al número, y, asociado por f al valor x, se le llama variable dependiente. •La imagen de x se designa por f(x). Luego y= f(x) •Se denomina recorrido de una función al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f(x).

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f

Es una función

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No es una función

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Es una función

f

A B AA B

BA

Dominio y Conjunto imagen o recorrido

•El dominio es el conjunto de elementos que tienen imagen.D = {x / f (x)}

•El recorrido es el conjunto de elementos que son imágenes.R = {f (x) / x D}

Estudio del dominio de una función

• Dominio de la función polinómica enteraEl dominio es R, cualquier número real tiene imagen. f(x)= x2 - 5x + 6 D=R

• Dominio de la función racional

El dominio es R menos los valores que anulan al denominador (no puede existir un número cuyo denominador sea cero).

2

2 5( )

5 6

xf x

x x

• Dominio de la función irracional de índice impar

El dominio es R.

•Dominio de la función irrracional de índice par

El dominio está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

2( ) 5 6f x x x

3 2( ) 5 6f x x x

Composición de funciones

Si tenemos dos funciones: f(x) y g(x), de modo que el dominio de la 2ª esté incluido en el recorrido de la 1ª, se puede definir una nueva función que asocie a cada elemento del dominio de f(x) el valor de g[f(x)].

Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:

(f o g)(x) = f [ g (x) ]

(g o f)(x) = g [ f (x) ]

Ejemplo_1Sea f(x) = 1 / x , g(x) = x2 - 1

(f o g)(x) =

(g o f)(x) =

Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

Ejercicio 2 Halla g(f(x)) , si f(x) = 2x ; g(x) = 3x +1

INVERSA DE UNA FUNCIÓNSea f(x) una función real de variable real tal que f(x) <>0.Llamamos función RECÍPROCA y la denotamos así: (1/f)(x) = 1 / f(x)Para Vx є [f(x) <>0]

IMPORTANTE: No confundir la inversa de una función (1/f)(x) con la función inversa o recíproca f -1(x)

Cálculo de la función inversa1Se escribe la ecuación de la función con x e y.2Se despeja la variable x en función de la variable y.3Se intercambian las variables.Calcular la función inversa de:

2 3( )

1

xf x

x

1 3( )

2

xf x

x

• Función Constante:

Una función constante es aquella que tiene la forma y=f(x)=c, donde c es un número real fijo.

El dominio de una función constante es IR, y su recorrido es {c}. Su gráfica es una recta paralela (o coincidente) al eje X.

• Función Lineal: Una función lineal es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma: y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 , a,b IR∈

Propiedades•El gráfico de una función lineal es siempre una línea recta.

•El coeficiente a es la pendiente de la recta y=ax+b.

•Cuando a>0, la función lineal es creciente, y cuando a <0, la función lineal es decreciente.

•El dominio y el recorrido de una función lineal es IR.

•La función lineal y = f (x) = ax + b , con a ≠ 0 es inyectiva (y sobre), por lo tanto, tiene inversa. Su inversa es también una función lineal:

Recordatorio

• Función Lineal:

FUNCIÓN LINEAL FUNCIÓN LINEAL

Ecuación de la Recta.

) Horizontal Recta ( )(constante ky

) Vertical Recta ( )(constante kx

a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b

y

a

x

) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y

)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax

)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy

1

))(

) Horizontal Recta ( )(constante ky

) Vertical Recta ( )(constante kx

a)Segmentari o Canónica Ecuación ( b

y

a

x

) Pendiente Punto ( 0x-(x m 0y-y

)(implícita o Recta) la de general Ecuación ( 0cbyax

)(explícita o ) ónintersecci - Pendiente ( bmxy

1

))(

PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA

x

y

●

●

B

.A

1x 2x

2y

1y

12 x x

12 y y

d

(b)

(a) -mpendiente

0cbyax :recta En

Halla la función y grafica si:

Halla la función y grafica si:

Recordatorio Función Cuadrática:

Una función cuadrática es aquella que tiene la forma, o puede ser llevada a la forma:

Propiedades•El gráfico de una función cuadrática es una parábola.

•La gráfica de intercepta al eje Y en (0,c)

•El vértice está definido por el punto

•Si a>0 la parábola se abre hacia arriba, y si a<0 se abre hacia abajo

Recordatorio• Función Cuadrática:

Puntos de corte con el eje OX

En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos:ax² + bx +c = 0

Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY : (0,c)

Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.

1) y = −3(x − 2)² − 5

2)y = x² − 7x −18

• Función Valor Absoluto: La función valor absoluto, básica, se define: y = f (x) = | x |

Propiedades•Su dominio es IR, y su recorrido es IR+ U{0}.• La función f (x) =| x | es una función par.

1) f(x) = |x − 2| 2) f(x) = |x −+4|

REPRESENTAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES

• Funciones definidas por tramos: En muchas ocasiones se requiere más que una sola fórmula para describir una función.

Se dice que estas funciones son funciones definidas por tramos.

El dominio de la función del ejemplo a) es IR; y en el ejemplo b) es ] − ∞, 3] U ]5,+∞[

REPRESENTAR LAS SIGUIENTES FUNCIONES A TROZOS

• Conceptos

x

x

y

y

1) Las funciones de demanda y oferta de un determinado bien son respectivamente: y

Determine:a) El precio de equilibrio y la cantidad de equilibriob) A qué precio el bien no tiene demandac) A qué precio no hay oferta.

a ) El punto de equilibrio es la solución del sistema de ecuaciones:

24 pqd 14 pqs

14

4 2

pq

pq

0)5)(1(054144 22 pppppp

De donde .Reemplazando en cualquiera de las ecuaciones del sistema, se obtiene

1p

3q

b) A qué precio el bien no tiene demanda

c) A qué precio no hay oferta

0dq

04 2 p

2p

0sq014 p

41p

f(x)=4-x^2

f(x)=4x-1

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

-8

-6

-4

-2

2

4

6

x

y