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As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
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Fundação Universidade Federal do Vale do São Francisco
Colegiado de Engenharia Elétrica
Prof. Pedro Macário de Moura
Pedro.mmoura@univasf.edu.br
Geometria Analítica
VETORES
Definições:
O estudo de vetores será fundamentado no conjunto de todos os pontos do espaço
tridimensional ou Euclidiano, que será indicado por R³. Os pontos de R³ serão denotados por
letras latinas maiúsculas as retas, por letras latinas minúsculas os
planos, por letras gregas minúsculas e números reais, ou escalares por letras
minúsculas latinas ou gregas.
Grandezas Escalares e Vetoriais
As grandezas físicas se subdividem em escalares e vetoriais. As grandezas escalares se
caracterizam por sua intensidade ou tamanho (um número e sua unidade correspondente),
como por exemplo: o tempo, a massa, a temperatura, comprimento, etc. As grandezas
vetoriais se caracterizam por três componentes, ou sejam, intensidade, direção e sentido,
como por exemplo: a força, o momento linear, o deslocamento, e por ai vai.
Segmento Orientado
Um segmento orientado é determinado por um par ordenado de pontos sendo o
primeiro chamado de origem e o segundo de extremidade. Sua representação geométrica é
feita por uma seta indo do ponto A para o ponto B, conforme na figura abaixo.
A direção de um segmento orientado é dada pela sua reta suporte, isto é, pela reta que
contém os pontos que o define ou por qualquer reta paralela a ela.
O sentido de um segmento orientado é definido pela orientação do ponto origem para
o ponto extremidade ou pela seta na sua representação geométrica.
O comprimento de um segmento orientado é a medida do segmento geométrico que
vai desde o ponto origem até o ponto extremidade. Veja o exemplo seguinte
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Segmentos orientados nulos são aqueles cuja origem e cuja extremidade é o mesmo
ponto. Exemplos: e por ai vai.
Segmentos opostos são dois segmentos com mesma direção, mesmo comprimento e
sentidos opostos. Por exemplo, se , então os segmentos e são segmentos
opostos.
Dois segmentos orientados, e são equipolentes quando têm a mesma
direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento ou quando ambos forem nulos. A notação
para segmentos equipolentes é a seguinte: Veja na figura abaixo
representações de segmentos orientados equipolentes.
A relação de equipolência de segmentos orientados tem as seguintes propriedades:
a) Reflexiva:
b) Simétrica: Se ( então
c) Transitiva: Se e se então
Portanto, a relação de equipolência é uma relação de equivalência. Denomina-se classe
de equipolência do segmento orientado ao conjunto de todos os segmentos orientados
equipolentes a
Vetor
Definição: Vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados do Espaço
Euclidiano O conjunto de todos os vetores é indicado por
Notação:
I. Se é um segmento orientado, o vetor correspondente é denotado por AB.
II. Usam-se também letras latinas minúsculas para indicar vetores. Por exemplo e por
ai vai.
III. Vetor nulo – é aquele cujo representante é um segmento orientado nulo e é representado
por
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3 3
IV. Vetores iguais – Dois vetores e são iguais se, e somente se , ou
seja,
Vetores opostos – Dado um vetor , o vetor é o oposto de e se indica por
ou por .
Norma (intensidade ou módulo) de um vetor é o comprimento de qualquer um de seus
representantes. Por exemplo, seja u um vetor qualquer, a norma de u é |u|.
Vetor unitário - é o vetor cuja norma é igual à unidade, ou seja, u é unitário, | u | 1.
Versor - de um vetor não nulo é o vetor unitário com mesma direção e mesmo sentido que
v, ou seja:
Adição de vetores
Para todos os vetores e de , a operação de adição de e faz corresponder um
vetor chamado soma, indicado por .
Regra do Paralelogramo para a Adição de Vetores –
Sejam os vetores u e v dados por seus representantes
e respectivamente, então a soma é
dada pelo representante como pode ser visto na
figura ao lado.
Propriedades da adição de vetores
Sejam os vetores e quaisquer e 0 o vetor nulo, então as seguintes propriedades
são válidas para a adição de vetores:
I. Propriedade Associativa.
II. Propriedade Comutativa.
III. Elemento Neutro.
IV. Elemento Oposto. –
PS. Subtração de vetores – u, v V³.
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4 4
Multiplicação de escalar (número real) por vetor
Seja v um vetor qualquer de V3 e seja um número real qualquer. A multiplicação do
escalar pelo vetor v é a operação “externa” em V3 que a cada escalar e a cada vetor v
associa um vetor v tal que:
I. Se =0 ou v 0, então v 0 (por definição).
II. Se 0 e 0 v, então v é caracterizado por:
III. v é paralelo a v.
IV. v e v tem mesmo sentido se 0 e sentidos contrários de 0.
V. isto é, a norma de v é igual ao produto do módulo de pela norma de v.
Propriedades da multiplicação de escalar por vetores
Sejam os vetores u e v quaisquer e os escalares e quaisquer, então as seguintes
propriedades são válidas para a multiplicação de escalar por vetor:
I.
II.
III. Elemento Neutro
IV
Soma de ponto com vetor Definição: Sejam um ponto qualquer do Espaço
Euclidiano um vetor qualquer do Espaço Vetorial Tridimensional. Chama-se
operação de soma de um ponto com um vetor a operação que associa um único ponto
de R³ a , ou seja:
PS. é a soma de P com o inverso de v. Também, como consequência dessa operação,
um vetor pode ser definido como diferença de dois pontos, ou seja,
Propriedades dessa Operação:
I.
II. Se P + u = P + v u v
III. (P +u) + v = P + (u + v)
IV. Se
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Dependência e Independência Linear
Combinação linear: Se um vetor x pode ser escrito da forma
então dizemos que é uma combinação linear de v1 , v2 , ... e vn.
Definição informal de independência linear: Um grupo de vetores é dito linearmente
independente se não for possível escrever qualquer deles como combinação linear
dos outros. A dependência e a independência linear de vetores são conceitos
fundamentais no estudo de espaços vetoriais. Por isso, sua conceituação será feita
sob dois enfoques: o geométrico e o algébrico. Porém, para isso necessita-se do
conceito de paralelismo entre vetor e reta e entre vetor e plano.
Diz-se que um vetor v é paralelo a uma reta r se algum representante de v
tiver a reta r como reta suporte. Dois vetores são paralelos quando suas retas
suportes forem paralelas.
Diz-se que um vetor v é paralelo a um plano se algum representante de v
tiver como reta suporte uma das retas do plano .
Conceituação geométrica da dependência linear de vetores
A definição geométrica da dependência linear de vetores é feita por etapas,
dependendo das quantidades de vetores envolvidos.
Definição 1
a) Um único vetor v V³ é Linearmente Dependente (LD) se v 0. Se v 0 então v
é Linearmente Independente (LI);
b) Dois vetores u, v V³ são linearmente dependentes se, e somente se, forem
colineares ou paralelos. Caso contrário, são linearmente independentes;
c) Três vetores u, v, w V³ são linearmente dependentes se, e somente se, forem
paralelos a um mesmo plano . Caso contrário, são linearmente independentes;
d) Quatro ou mais vetores de V³ são sempre linearmente dependentes.
Caracterização algébrica da dependência linear de vetores
Definição 2 Sejam v1, v2,..., vn (n vetores de V³ e sejam 1, 2 ... n números
reais. Chama-se COMBINAÇÃO LINEAR dos vetores v1, v2, ... vn ao vetor u
definido por .
PS. Diz-se também que u é gerado pelos vetores v1, v2,... vn .
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Definição 3 Sejam v1,v2,...,vn V³. Dizemos que o conjunto {v1,v2,....,vn} é
linearmente independente (LI), ou que os vetores v são LI, se a equação
, implicar em que a única solução seja 1= 2=...= n=0. No
caso em que exista algum i 0 diz-se que {v1, v2,..., vn} é linearmente dependente
(LD), ou que os vetores v1, v2,..., v n são LD.
Teorema 1 {v1, v2,..., vn} é LD se, e somente se um destes vetores for combinação
linear dos outros, isto é, se existe pelo menos um valor 1 0 tal que
Corolário 1 Os vetores u, vV³ são linearmente dependentes se, e somente se,
existir um número real tal que u v ou se existir um número real tal que v = u.
Corolário 2 Se os vetores u, v V³ são linearmente independentes e se os vetores u,
v, w V 3 são linearmente dependentes, então w é combinação linear de u e v, isto é,
existem escalares e tais que w= u + v.
Corolário 3 Se os vetores u, v, wV³ são linearmente independentes, então todo
vetor x V³ é gerado pelos vetores u, v e w, isto é, para todo o vetor x V³, existem
números reais , e y, tais que:
Base
Base do espaço vetorial V³
Definição Chama-se base de V³ a qualquer tripla ordenada, E = (e1, e2, e3), de
vetores linearmente independentes de V³.
PS. A base “E” gera todos os vetores de V³, isto é, qualquer vetor de V³ é uma
combinação linear de e1, e2 e e3, ou seja, existem escalares a1, a2, a3, tais que
v = a1e1 + a2e2 + a3v3 para qualquer vetor v.
Coordenadas do Vetor
Escolhida uma base “E” de V³, fica associado univocamente a cada vetor v um terno
ordenado de escalares (a1, a2, a3). Esse terno é denominado “coordenado do vetor
v” em relação à base “E”.
Notação: A ordem dos escalares é importante, pois se trata de um terno ordenado.
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Adição de vetores em função das coordenadas
Sejam os vetores
Então se define adição de u e v por
Multiplicação de escalar por vetor em função das coordenadas
Seja um vetor qualquer u= ( a1, a2, a3 )E = a1 e1 a2 e2 a3 e3 e seja um escalar
qualquer . Então, define-se produto do escalar pelo vetor u por
Dependência linear de vetores em função das coordenadas
Teorema 4 Os vetores u (a1, a2, a3)E e v (b1, b2, b3)E são LINEARMENTE
DEPENDENTES se, e somente se, são proporcionais a , isto é,
constante.
Teorema 5 Os vetores u (a1, a2, a3)E e v (b1, b2, b3)E w (c1, c2, c3)E são
LINEARMENTE INDEPENDENTES se, e somente se:
Ortogonalidade de vetor com Reta e Plano
Diferenciação entre retas perpendiculares e ortogonais
Definição:
I. O vetor u 0 é ortogonal à reta r (ao plano ) se existir um representante (A,B) de
u tal que AB é ortogonal a r (a ). O vetor nulo é considerado ortogonal a toda reta r
e a todo plano .
II. Os vetores u e v são ortogonais se um deles é nulo ou, caso contrário, admitirem
representantes perpendiculares (símbolo de ortogonalidade ).
Teorema 6 Os vetores u e v são ortogonais se, e somente se
Base ortonormal
Definição Uma base E = (e1, e2, e3) é ortonormal (ou canônica) se e1 ,e2 e e3 são
unitários e ortogonais dois a dois.
Teorema 6 Se E = (e1, e2, e3) é uma base ortonormal, e se
u = xe1 + ye2 + ze3 (x, y, z)E , então a norma de u é dada por
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Cossenos Diretores
Ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor
Seja uma base ortonormal (i, j, k) e seja o vetor v 0. Chamam-se cossenos
diretores de v, relativamente à base (i, j, k), aos números reais cos , cos ,
cos onde, , e são as medidas dos ângulos que v forma com i, j, k
respectivamente.
Os cossenos diretores do vetor v são dados pelas seguintes expressões:
Paralelismo Entre Dois Vetores
Dois vetores u (x1, y1, z1) e v (x2, y2, z2) são paralelos (ou colineares) se forem
LD, isto é, se existir um número real tal que . Ou ainda, se
.
PRODUTO DE VETORES
Ângulo entre dois vetores
Definição Sejam os vetores não nulos u e v e sejam os pontos A, B e C tais que
u AB e v AC (veja a figura abaixo). Seja a medida em radianos (graus) do
“ângulo BÂC” satisfazendo a restrição 0 (0 180).
Então, o número é chamado medido em radianos (graus) do ângulo entre u e v.
Produto escalar
Definição Chama-se produto escalar dos vetores u e v ao número real dado
por sendo a medida do ângulo entre u e v .
Corolário Se as coordenadas dos vetores u (x1, y1, z1) e v (x2, y2, z2) se referem a
uma base ortonormal, então o produto escalar, , pode ser dado por
.
Corolário Se |u| 0 e |v| 0, então da Definição anterior vem:
e
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Propriedades do produto escalar
Teorema – Para quaisquer u v w V³ e para qualquer número real , tem-se:
1. u v+ w)= u v + u w
2. u ( v)= ( u) v= (uv)
3. uv = v u
4. u u 0; u u 0 u 0
Norma de vetor como função do Produto Escalar
Definição – Seja um vetor qualquer u= (x y z) com as coordenadas referindo-se a
uma base ortonormal. Então, da definição de produto escalar, temos:
u.u = |u|² cos 0, e:
Condição de ortogonalidade de dois vetores
Teorema 2.2: Sejam dois vetores quaisquer u e v de V³. O vetor u é ortogonal a v
(uv ) se, e somente se, uv 0.
Projeção do vetor u na direção do vetor v
Sejam os vetores u e v, sendo u 0 e v 0, e o ângulo entre eles. A projeção do
vetor u sobre o vetor v, representada por proj u, é o vetor definido por:
I Miscelânea Introdutória
01. Dados os pontos e encontre
os seguintes vetores.
02. Sejam e Determine o vetor tal que. a) b) c)
d) e) – f)
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03. Dados os vetores a
=(1,–1,0), b
=(3,–1,1), c
=(2,2,1) e d
=(4,–3,1). Determinar o
vetor v
=(x,y,z), tal que : ( v
+ a
) b
e ( v
+c
) d
. RESP: v
=( –10,4,–3) 04. Determinar a medida, em radianos, do ângulo entre os vetores e 05. Determinar se os pontos A = (0; 1; 0), B = (1; 1; 1) e C = (2; 1; 2) são colineares ou não. 06. Sejam , E verifiquemos
que: a) e são LD b) e são LI
07. Sejam k2-ji2b e k3j2ia
. Determine um versor dos vetores abaixo:
a) a
+ b; b) 2a
–3;b
c) 5a
+4b
.
Respostas. a) 43
1u
(3, 3, –5); b) )0,1,4(17
1u
c)
894
1u
(13, 14, –23)
08. Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1, 3,–2) e que as diagonais são
CA
=(4,2,–3) e DB
=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices. Respostas. C(5, 5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)
09. Dados os vetores u
=(3,2), v
=(2,4) e w
=(1,3), exprimir w
como a combinação
linear de u e v
. Resposta.
10. Demonstre a Desigualdade de Cauchy-Schwarz e a Desigualdade triangular.
11. Sendo u
= ( 2,3,1) e v
= ( 1,4, 5) . Calcular:
a) u v
b) u– v c)(u
+ v
)2 d) (3u
– 2 v
)2 e) (2u
-3 v
)(u
+2 v
).
Resposta a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205
12. Sejam os vetores a – – b
– e c
–
Determinar m para que ab
=(a
+b
)c
. Resposta 13. Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados:
A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Resposta: –1 ou
14. Dados a
=(2,1,–3) e b
=(1,–2,1), determinar o vetor va
, vb
e v=5.
Resposta 1 ,1 ,1 3
35v
15. Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as
coordenadas do vetor HM
, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ. Resposta
HM
=(2,2,1)
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11 11
16. Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:
Respostas. a) 0 b) 0 c) 0 d) 3a e 2a e) a2
f) 333 a,a,a g) 44543
3cos arc 0 h) 1370
3
1 cos arc 0
17. Determinar o que se pede em cada caso: a) Mostrar que o quadrilátero cujos vértices são os pontos A(1,-2,3), B( 4,3,-1), C( 5,7,-3) e D(2,2,1) é um paralelogramo e calcule a sua área;
b) Achar um vetor de mesma direção e sentido do vetor e módulo 18. Em que ponto a reta que passa por A(2,3,4) e B( 1,0,-2) Intercepta o plano x0z
19. Se ,
,
, , calcule:
20. O vetor é ortogonal aos vetores e ) e forma um ângulo
agudo com o eixo dos determine , sabendo que
21. Sejam k2-ji2b e k3j2ia
. Determine um versor dos vetores abaixo:
a)a
+ b
b) 2a
–3b
c) 5 a
+4b
Resp. a) 43
1u
(3, 3, –5) b) )0,1,4(17
1u
c) 894
1u
(13, 14, –23)
22. Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.Resposta. (2,2), (0,−4), e (10,6).
23. Que características de um vetor precisamos conhecer para que ele fique determinado? 24. O que são vetores iguais? E vetores opostos? Dê exemplo de cada um deles. 25 Observe a figura:Qual o módulo,
direção e sentido do vetor , em cada caso:
a) = +
b) = +
c) = +
d) = + e) = + + f) = + +
cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o
aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g
OGABEDf) OBOE)c
CGEGe) ODOA)b
OG e OBd) OCOA)a
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12 12
26. A soma de dois vetores de um módulo diferente pode ser nula? Tente explicar. 27. Quais as condições para que o módulo do vetor resultante de dois vetores, não nulos, seja igual a zero?
28. Dados os vetores , , , e , Ao lado representado, obtenha graficamente os vetores e .
a) = + +
b) = 2 - +
II Miscelânea Introdutória 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:
Respostas. a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V 2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações abaixo:
BCAF)d
CGAB)c
HGAB)b
BFDH)a
coplanares são CG e BC,AB)h
ED//BG)g
|DF||AG|)f
HFAC)e
coplanares são EG e FG,AB)i
coplanares são HF e CB,EG)j coplanares são FG e DB,AC)k
coplanares são CF e BG,AB)l coplanares são CF e DC,AB)m
ABCplano ao ortogonal é AE)n BCG plano ao ortogonal é AB)o
HEF. plano ao paralelo é DC)p
Respostas. a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V
EDDE)e
MCBL)d
OPBC)c
PHAM)b
OFAB)a
FG//AJ)j
LD//JO)i
HI//AC)h
FIKN)g
MGAO)f
AMPN)o
NBPN)n
ECPE)m
BLAM)l
EGAB)k
|BL||AM|)t
NP2AO)s
|AC||AJ|)r
MFIF)q
|FP||AC|)p
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13 13
3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:
DHOH)e
BOOC)d
HGDO)c
CHAF)b
OGEO)a
HG//GF)j
CD//AF)i
DB2
1OA)h
BDAC)g
COEH)f
FEOB)o
HFAO)n
CBEO)m
OHAB)l
OC//AO)k
Respostas. a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V 4) Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
AKAC)d
DCAC)c
BDAB)b
CNAC)a
OEAO)h
ANAK)g
BLAM)f
EOAC)e
PBBNBL)l
NFPNLP)k
CBBC)j
NPMO)i
Respostas. a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK
g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l)0 5) Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
EHBF)c
DEBC)b
CGAB)a
FBEF)f
EHCG)e
BCEG)d
FHDAEG)h
AEADAB)g
Respostas. AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h 6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
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14 14
AF2AE2)c
FGEH)b
CHOC)a
OC2OE2)f
BGEO)e
EFEH)d
FGFE)h
EHBC2
1)g
AOFOAF)j
HOOG)i
Resposta AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j
7) Determine as somas que se pedem:
Resposta. ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a .
8) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A (2, –1,2).
Resp B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)
9) Determine x para que se tenha DCBA
, sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).RESP: x=2
GCFGEFAE)e
BHBGFGEFHE)d
BCBGBF)c
BFDBED)b
AGHBGCDHCDAD)a
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15 15
10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e outro paralelo ao vetor (1,1). Resposta x = 3 e y = 4
11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que a) AB2
1AC b) BA
3
2CA
Resposta a) x = 1 e y = 2 b) 3
5x e y =3
12) Dados os vetores a
=( 2,–1 ) e b
=( 1,3) , determinar um vetor x
, tal que:
a) 2
xab)ax(2
2
1x
3
2
b) 2
axb
3
1x2a4
Resposta a) x
=
7
12,
7
3 b)
9
33,
9
52x
13) Dados os vetores a
=(–1,1,2) e b
=( 2,0,4), determine o vetor v
, tal que:
2
vabav2
3
v2)a
2
av
4
bbav2v
3
2)b
Resposta
5
6,3,
5
27v)a
5
12,3,
5
24v)b
14) Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor? Res. (9,7,11) 15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar: a) os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
Resposta
2
5,1,0C)a , 2,3,2D e
2
3,5,4E ; b)
3
7,
3
5,
3
2F e
3
5,
3
13,
3
10G .
16) Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v
do 3, calcular sua terceira
coordenada z, de maneira que v= 13 Resposta z= 3
17) Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor v
colinear à PM e
tal que .3v Resposta
6
4,
6
1,
6
1v
18) Achar um vetor x
de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor
v
=6 i
–2 j
–3k
. Resposta
7
12,
7
8,
7
24x
19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5): a) determinar a natureza do triângulo; b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.
Respostas a) isósceles b) MA= 22
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
16 16
20) Sejam k2-ji2b e k3j2ia
. Determine um versor dos vetores abaixo:
a)a
+ b
b) 2a
–3b
c) 5a
+4b
Respostas: a) 43
1u
(3,3,–5) b) )0,1,4(17
1u
c) 894
1u
(13,14,–23)
21) Determine um vetor da mesma direção de v
= 2 i
– j
+2k
e que:
a) tenha norma (módulo) igual a 9;
b) seja o versor de v
;
c) tenha módulo igual a metade de v
.
Respostas: a) w
=(6,–3,6) b)3
1u
(2,–1,2) c)2
1p
(2,-1,2)
22) Dados os vetores a
=(3,–2,1),b
=(–1,1,–2) e c
=(2,1,–3), determinar as
coordenadas do vetor v
=(11,–6,5) na base c,b,a
. Resposta cb3a2v
23) Escreva o vetor v
=(4,1,0) , na base 321 v,v,v
,sendo 1v
=(1,0,0) ,
2v
=(3,2,1) e 3v
=(1,1,1). Resposta 321 v3
3
1v
3
1v
3
16v
24) Dois vetores a
=(2,–3,6) e b
=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as
coordenadas do vetor c
sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores a
eb
sabendo que c= 423 . Resposta c
=( 3, 15, 12)
Produto Escalar
25) Sendo u
= ( 2,3,1) e v
= ( 1,4, 5) . Calcular:
a) u v
b) (u
– v
) c)(u
+ v
)2 d) (3u
– 2 v
)2 e) (2u
-3 v
)(u
+2 v
)
Resposta a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28
26) Sendo a
=(2,–1,1), b
=(1,–2,–2) e c
=(1,1,–1). Calcular um vetor v
=(x,y,z), tal
que v a
= 4, v b
= –9 e v c
= 5. Resposta v
=(3,4,2)
27) Sejam os vetores a
=(1,–m,–3),b
=(m+3,4–m,1)e c
=(m,–2,7).Determinar m para
que ab
=(a
+b
)c
. Resposta m=2
28) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados:
A(1,0,2), B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). Resposta –1 ou 5
13
29) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine: a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?
b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD .
Resposta a) Paralelogramo b) 22,446310221
21arccos 0 .
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
17 17
30) Os vetores u
e v
formam um ângulo de 600. Sabe-se que u=8 e
v=5, calcule:
a)u
+ v b) u
– v c) 2u
+3 v
d) 4u
– 5 v
Resposta a) 129 b)7 c) 721 d) 849
31) Os vetores a
e b
formam um ângulo de 1500, sabe-se que a= 3 e que
b= 2 , Calcule:
a) a
+b b) a
–b c) 3a
+2b
d) 5a
– 4b
Resposta a) 235 b) 235 c) 21835 d) 260107
32) Determinar o valor de x para que os vetores 1v
= x i
–2 j
+3k
e 2v
=2 i
– j
+2k
,
sejam ortogonais. Resposta x = –4
33) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a
=(2,6,–1) e b
=(0,–2,1).
Resposta
3
2,
3
1,
3
2c
34) Dados a
=(2,1,–3) e b
=(1,–2,1), determinar o vetor va
, vb
e v= 5.
Resposta 1 ,1 ,1 3
35v
35) Dados dois vetores a
=(3,–1,5) e b
=(1,2,–3), achar um vetor x
, sabendo-se que
ele é perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: xa
=9, e x
b
=–4. Resposta x
=(2,–3,0) 36) Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos
agudos de um triângulo retângulo isósceles. Resposta: =arc cos5
4 , 360 52'11,6''
37) Um vetor v
forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados
positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v= 3. Resposta 1,1,13v
.
38)Um vetor unitário v
forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com
os outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v
.
Resposta
4
6,
4
6,
2
1v
ou
4
6,
4
6,
2
1
39) O vetor 2,1,1v forma um ângulo de 600 com o vetor BA
, onde A (0,3,4) e
B(m, 1,2). Calcular o valor de m. Resposta m=–34 ou m=2
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
18 18
40)Os vetores a
e b
formam um ângulo = 6
, calcular o ângulo entre os vetores
p
=a
+b
e q
= a
– b
, sabendo que a= 3 e b
= 1.
Resposta cos=7
72,40053'36,2''
41) Dados u
=(2,–3,–6) e v
=3 i
–4 j
–4k
, determine:
a) a projeção algébrica de v
sobre u
( norma do vetor projeção de v
sobre u
);
b) 0 vetor projeção de v
sobre u
. Resposta a)6 b) 6,3,27
6
42) Decomponha o vetor v
=(–1,2,–3) em dois vetores a
e b
, tais que aw
e b
w
com w
=(2,1,–1). Resposta:
2
1,
2
1,1a
e
2
5,
2
3, 2b
43) São dados os vetores 1v
= (1,1,1), 2v
=(–1,2,3) e 3v
=(26,6,8). Decompor o
vetor 3v
em dois vetores x
e y
ortogonais entre si, sendo x
simultaneamente
ortogonal a 1v
e a 2v
. Resposta x
=(1,–4,3) e y
=(25,10,5)
44) São dados 1v
=(3,2,2) e 2v
=(18,–22,–5), determine um vetor v
, que seja
ortogonal à 1v
e a 2v
, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que
v=28. Resposta v
=(–8,–12,24)
IV Miscelânea Introdutória Tratamento Algébrico
1) Dados os vetores
jiu 32 ,
jiv e
jiw 2 , determinar:
a)
vu2 b)
wuv 2 c)
wvu 22
1 d)
wvu2
1
2
13
2) Dados os vetores 1,3
u e 2,1
v , determinar o vetor
x tal que:
a)
xuxvu 23
1)(4 b) )34(2)2(3
uxuvx
3) Dados os pontos A(-1, 3), B(2, 5), C(3, -1) e O(0, 0), calcular:
a)
ABOA b)
BCOC c)
CBBA 43
4) Dados os vetores )6,12()1,5(),4,2(
wevu , determinar 21eaa , e escreva as
novas coordenadas do vetor resultante
w , tais que
vauaw 21.
5) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor )3,2(
v , calcular:
a) (B - A) + 2
v b) (A - B) -
v c) B + 2(B - A) d) 3
v -2(A - B)
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
19 19
6) Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor
v = (a, b) tal que:
a) B = A + 2
v b) A = B + 3
v c) Construir o gráfico correspondente a cada
situação.
7) Representar no gráfico o vetor
AB e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-1, 3) e B(3, 5) b) A(-1, 4) e B(4, 1) c) A(4, 0) e B(0, -2) d) A(3, 1) e B(3, 4)
8) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor
v = (-1, 3), sabendo que a sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. a) Sejam os pontos P(2, 3), Q(4, 2) e R(3, 5). Representar em um mesmo gráfico os
vetores posição
wevu, de modo que Q = P +
u , R = Q +
v e P = R +
w .
b) Determinar
wvu .
9) Dados os vetores
u = (1, -1),
v = (-3, 4) e )6,8(
w , calcular:
a)
u b)
v c)
w d)
vu e)
wu2 f)
uw 3 g)
v
v h)
u
u
10) Calcular os valores de a para que o vetor
u = (a, -2) tenha módulo 4.
11) Calcular os valores de a para que o vetor
u =
2
1,a seja unitário.
12) Provar que os pontos A(-2, -1), B(2, 2), C(-1, 6) e D(-5, 3), nessa ordem, são vértices de um quadrado. 13) Encontrar um ponto P de eixo 0x de modo que a sua distância ao ponto A(2, -3) seja igual a 5. 14) Dados os pontos A(-4, 3) e B(2, 1), encontrar o ponto P nos casos: a) P pertence ao eixo 0y e é equidistante de A e B; b) P é equidistante de A e B e sua ordenada é o dobro abscissa; c) P pertence à mediatriz do segmento de extremos A e B.
15) Encontrar o vetor unitário que tenha (I) o mesmo sentido de
v e (II) sentido
contrário a
v , nos casos:
a)
jiv b)
jiv 3 c) 3,1
v d) 4,0
v
16) Dado o vetor
v =(1, -3), determinar o vetor paralelo a
v que tenha:
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
20 20
a) Sentido contrário ao de
v e duas vezes o módulo de
v ;
b) O mesmo sentido de
v e módulo 2:
c) Sentido contrário ao de
v e módulo 4. 17) Dados os pontos A(-3, 2) e B(5, -2), determinar os pontos M e N pertencentes ao
segmento AB tais que
ABAM2
1 e
ABAN3
2. Construir o gráfico, marcando os
pontos A, B, M, N e P, devendo P ser tal que
ABAP2
3.
18) Sendo A(-2, 3) e B(6, -3) extremidades de um segmento, determinar: a) Os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento; b) Os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
19) Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor
v =(1, 3, -4), calcular:
a) A + 3
v b) (A - B) -
v c) B + 2(B - A) d) 2
v - 3(B - A)
20) Verificar se são unitários os seguintes vetores:
u =(1, 1, 1) e
6
1,
6
2,
6
1v
21) Determinar o valor de n para que o vetor
4
3,
2
1,nv seja unitário.
22) Determine o valor de a para que aaau 2,2,
seja um versor.
23) Dados os pontos A(1, 0, -1), B(4, 2, 1) e C(1, 2, 0), determinar o valor de m para
que 7
v , sendo
BCACmv .
24) Determinar o valor de y para que seja equilátero o triângulo de vértices A(4, y, 4), B(10, y, -2) e C(2, 0, -4). 25) Resolva os sistemas abaixo:
a)
2)kj2i4(x
0)kj3i2(x
2)ki2(v
k8i8)kj2i(v)b
k3j2i3)0,3,2(v
2)2,1,3(v)c
Resposta a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)
26) Dados os vetores u
=(2,1,1) e v
=(1,1, ), calcular o valor de para que a
área do paralelogramo determinado por u
e v
seja igual a 62 u.a
As artes e as ciências históricas são modos de experimentação nos quais nossa própria compreensão da existência entram diretamente em ação. Gadamer
21 21
27) Dados os vetores u
=(1,1,1) e v
=(2,3,4), calcular:
a) A área do paralelogramo de determinado por u
e v
; a)A= .a.u6
b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u
. b) .c.u2h
28) Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0).
Determine a altura relativa ao lado BC. Resposta .c.u7
353h
29) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o
vetor BC , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). Resposta ua9
2128A
30) Escreva o vetor unitário na direção de: a) (3, 4) b) (-8, 6) c) (1, 2, 3) d) (-3, 12, -4).
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
1. BOULO, Paulo; CAMARGO, Ivan de. Geometria Analítica um Tratamento Vetorial.
3ª ed. São Paulo: Prentice Hall, 2005.
2. REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmar da. Geometria Analítica, 2ª ed.,
[Reimpr.]. Rio de Janeiro: LTC, 2014.
3. STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo. Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo:
Pearson Makron Books, 1987.
4. WINTERLE, Paulo. Vetores e Geometria Analítica, 2ª ed. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2014.
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
1. ANTON, Howard, BIVENS, Irl, DAVIS, Stephen. Cálculo Vol. 2, 10ª ed. Porto Alegre:
Bookman, 2014.
2. ESPINOSA, Isabel C. de O. Navarro; BARBIERI FILHO, Plínio. Geometria Analítica
para computação. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
3. Santos, Fabiano José dos, FERREIRA, Silvimar Fábio. Geometria Analítica. Porto
Alegre: Bookman, 2009.
SANTOS, Nathan Moreira dos. Vetores e Matrizes: Uma introdução à Álgebra Linear, 4ª
ed. São Paulo: Cengage Learning, 2010.
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