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FUNDAMENTOS DEMATEMÁTICA FINANCIERA

Curso de Preparación y Evaluación de Proyectos

• Ciclo

de vida

•Identifi-

cación

•Diagnós-

tico

•Evaluación

Temario

ILPES

2

EVALUACIÓN DE PROYECTOS:

Introducción

Matemáticas Financieras

Flujo de Fondos

Criterios de Decisión

VANTIROtros

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3

MATEMÁTICA FINANCIERA

Valor del dinero en el tiempo

Valor futuro y valor actual

Tasas de interés compuesta y simple

Anualidades

Inflación y tasas de interés

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4

Corresponde a la rentabilidad que un agenteeconómico exigirá por no hacer uso del dineroen el periodo 0 y posponerlo a un periodofuturo

Valor del dinero en el tiempo

Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.

Un monto hoy puede al menos ser invertido en el bancoganando una rentabilidad.

La tasa de interés (r) es la variable requerida paradeterminar la equivalencia de un monto de dinero en dosperiodos distintos de tiempo

La sociedad es un participante más que también tienepreferencia intertemporal entre consumo e inversiónpresente y futura.

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5

Periodo 0(Año 0)

$1.000 $1.100

Si r = 10%Periodo 1(Año 1)

Valor del dinero en el tiempo ...continuación...

EjemploUn individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una solavez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner eldinero en el banco.

a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasarentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de10% ?

1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)

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6

Valor del dinero en el tiempo ...continuación

Si : Sólo hay 2 periodos Ingreso sólo hoy (Y0=1.000) Puede consumir hoy o en un año

(C0, C1) Rentabilidad exigida por no

consumir hoy: r=10%

b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un año si consume $200 hoy ?

Si C0=200, C1=(1000-200)*1,1= 880

EntoncesC1 = (Y0 – C0)*(1+r)

0

200

400

600

800

1.000

1.200

0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1.0

00

Periodo 0

Pe

rio

do

1

(200, 880)

(500, 550)

(800, 220)

1.100

Consumo total= 200 + 880 = 1.080

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7

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

31111* rVArrrVAVF

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Si son 3 periodos

Caso General: nrVAVF 1*

VALOR FUTURO

rVAVF 1*

0 1

VFVA

Año:

Sólo 1 periodo

Donde:r = tasa de interés

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Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

311*1*1 r

VF

rrr

VFVA

0 3

VF

Año:

VA

1 2

Caso 3 periodos

Caso General: nr

VFVA

1

VALOR ACTUAL

...continuación...

r

VFVA

1

0 1

VFVA

Año:

Caso 1 periodo

Donde:

r = tasa de interés

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9

Ejemplo VF :

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Año 0: 1.000Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405

VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Alternativamente:

...continuación...

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10

Ejemplo VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa deinterés anual es de 15%.¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?

Año 4: 3.300Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8

VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8

Alternativamente:

...continuación

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11

Ejemplos VF y VA:

Valor futuro (VF) y valor actual (VA)

Caso especialc) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.

¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?

...continuación

VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643(1+r)3 = 1,64(1+r) = (1,64)1/3

1+r = 1,18r = 0,18

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12

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés compuesta

Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de unvalor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.

El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así porejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más losintereses ganados y este total es el que gana intereses para unsegundo periodo.

nrVAVF 1*

VF = Monto capitalizado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r) n : Factor de capitalización

nr

VFVA

1 : Factor de descuento1

(1+r) n

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13

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés simple

Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión periodo a periodo.

El capital invertido es llevado directamente al final sin que se capitalice periodo a periodo con los intereses ganados

)*1(* nrVAVF

VF = Monto acumulado (valor final) VA = Inversión inicial (valor actual)r = tasa de interés del periodon = número de períodos

(1+r*n) : Factor acumulación simple

nr

VFVA

*1 : Factor descuento simple

1(1+r*n)

...continuación...

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14

Tasas de interés compuesta y simple

Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés simple

Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%. ¿Cuál será su valor al final del tercer año?

Con tasa interés compuesta:

C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405

Con tasa interés simple:

C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360

1000 14051120 1254

1+r 1+r 1+r

1000 1360

1+r*3

...continuación...

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 134Año 3: $ 151

Intereses ganados:Año 1: $ 120Año 2: $ 120Año 3: $ 120

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15

Tasas de interés compuesta y simple

Tasa de interés equivalente

Si se tiene una tasa de interés anual ra , la tasa deinterés mensual equivalente rm, puede ser calculadausando las siguientes expresiones:

12

rr

am

11 121

amrrCon interés compuesto:

Con interés simple:

Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de tiempo.

...continuación

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16

Anualidades

Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos igualesque se paga al final de todos los años por un período detiempo n a una tasa r

0 1 2 3 n-1 n

F1 F1 F1 F1 F1

Año:

FlujosActualizados:

F1

(1+r)

F1

(1+r)2

F1

(1+r)3

F1

(1+r)n-1

F1

(1+r)n

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17

El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica lasuma de todos esos flujos actualizados al momento 0 sedefine como:

n

n

rr

rF

)1(*

1)1(*1

Anualidades...continuación...

r

rFVA

n

)1(1*1

n

r

F

r

F

r

FVA

)1(

1*1...

)1(

1*1

)1(

1*1 2

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18

Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:

El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la sumade todos esos flujos llevados al periodo n y se definecomo:

Anualidades ...continuación...

r

rFVF

n 1)1(*1

1...1

)1(*1)1(*1 Fn

rFn

rFVF

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19

Ejemplo anualidad:

Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1% mensual.

¿ Cuál fue el valor del préstamo?

Anualidades ...continuación...

508.186.301,0

)01,01(1*000.250

24

VA

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20

Ejemplo anualidad:

Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en laAFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece unarentabilidad mensual de 0,5%

¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de jubilar?

Anualidades ...continuación...

301.090.20005,0

1)005,01(*000.20

360

VF

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21

Ejemplo anualidad:

Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 ysolicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo(180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.

¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?

Anualidades ...continuación...

r

rFVA

n

)1(1*1

Si: Entonces:nr

rVAF

)1(1*1

Así: 771.168)005,1(1

005,0*000.000.20

1801

F

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22

Anualidades

PerpetuidadConsidérese un flujo (F1) (anualidad) por montos igualesque se paga a perpetuidad.Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo losuficientemente grande para considerar los flujos finalescomo poco relevantes dado que al descontarlos al año 0son insignificantes.

El Valor actual de esa anualidad se define como:

r

FVA 1

...continuación...

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23

Ejemplo perpetuidad:

Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a los50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000 mensualeshasta que muera. La tasa de interés relevante es de 1%mensual y la empresa que le dará la renta supone una “largavida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal vez 95 oporqué no 100 años).

¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tenerpara poder cubrir dicha obligación?

Anualidades ...continuación

000.000.501,0

000.50VA

En rigor, usando la fórmula de valor actual de una anualidad (no perpetua) se tendría:Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231

Todos muy cercanos a $5 millones

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Inflación y tasas de interés

Aumento sostenido en el nivel general de precios. Normalmente medido a través del cambio en el IPC

Inflación:

En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en un año más.

$100 $100Si π = 25%

Periodo 0(Año 0)

Periodo 1(Año 1)

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25

Inflación y tasas de interés

La ecuación que relaciona las tasas nominal y real, esconocida en la literatura con el nombre de igualdad deFischer:

Donde i = tasa de interés nominal

r = tasa de interés real

= Tasa de inflación

ri 1*11

AB

La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberáincorporar:

A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un montoahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)

B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poderadquisitivo (tasa inflación)

...continuación...

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26

RESUMEN:2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)

* Poder adquisitivo (inflación)

Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de 10%

Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%

Inflación y tasas de interés

$1100 $1375

Año 1 Año 1Si π = 25%

$1000 $1100

Año 0 Año 1Si r = 10%

...continuación...

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27

Inflación y tasas de interés

Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interésnominal anual del 37,5% y me encuentro en una economíadonde la inflación es del 25% anual.

¿ Cuál es la tasa real correspondiente ? ¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?

Ejemplo:

...continuación...

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28

Si: ( 1 + i ) = ( 1 + ) * ( 1 + r )

Donde =0,25 y i =0,375

Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r) (1+r) = 1,1r = 10%

Si el capital inicial es C0 = $ 500

Entonces: C1 = C0*(1+i)= 500*(1,375)

C1= $ 687,5

Inflación y tasas de interés...continuación...

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Inflación y tasas de interés...continuación

La evaluación de proyectos utiliza tasas deinterés reales y por tanto flujos reales, de estaforma se evita trabajar con inflaciones quenormalmente tendrían que ser estimadas afuturo con el consiguiente problema deincertidumbre.

Nota importante

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Inflación

Ejemplo: Inflactar

Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son$7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003.

Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indicede Precios al Consumidor (IPC):

Si: IPC promedio 2001 = 108,67IPC promedio 2002 = 111,38

11

t

t

IPC

IPCCambioIPC

Así: )1(*1 cambioIPCCostoCosto tt

7.174,6 )167,108

38,111(1(*000.7tCosto

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31

Inflación

Ejemplo: DeflactarSi costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son$15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo realen el año 2001

Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios alConsumidor (IPC):

Si: IPC promedio 2001 = 108,67IPC promedio 2002 = 111,38

)1(1

cambioIPC

CostoCosto t

t

)1(*1 cambioIPCCostoCosto tt Así:

11

t

t

IPC

IPCCambioIPC

14.635

)167,108

38,111(1(

000.151tCosto