View
264
Download
3
Category
Preview:
Citation preview
Fungsi Zeta Riemann & Hipotesis Riemann
Hendra GunawanBandung, 25 September 2018
Bernhard Riemann (1826-1866)
Hendra Gunawan, 25-09-2018 2
Hot News
Kemarin, Senin 24-09-2018, Michael Atiyah (89 thn)memberikan seminar pada Heidelberg Laureate Forum dan menyampaikan bukti Hipotesis Riemann.
Hipotesis Riemann diajukan oleh Bernhard Riemannpada tahun 1859 dan dinyatakan oleh David Hilbertsebagai masalah ke-8 dari 23 masalah yang dikemukakannya pada ICM 1900 di Paris.
Hipotesis Riemann dicantumkan oleh The Clay Institute sebagai salah satu di antara Millenium Prize Problems.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 3
Hipotesis Riemann
Hipotesis Riemann menyatakan bahwaFungsi zeta Riemann ΞΆ(s) hanya memiliki akarbilangan genap negatifdan bilangan kompleksdengan bagian real Β½.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 4
Fungsi Zeta Riemann
Fungsi zeta Riemann adalah fungsi kompleks
π π β
π=1
β1
ππ
yang pada awalnya terdefinisi untuk π β β denganRe π > 1, diperluas ke seluruh bidang kompleksmelalui kontinuasi analitik.
Rujukan: S. Lang, Complex Analysis, 3rd ed., Springer-Verlag, NY 1993.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 5
Sifat Simetri
Fungsi zeta Riemann memenuhi persamaan
π π = 2π π Ξ 1 β π sin12ππ
ππ 1 β π β
Pada awalnya, [*] berlaku untuk Re π < 0, tetapikemudian dengan kontinuasi analitik [*] berlakuuntuk seluruh s.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 6
Akar-Akar Trivial Fungsi Zeta Riemann
π π = 2π π Ξ 1 β π sin12ππ
ππ 1 β π β
Melalui persamaan [*], kita dapat menghitung bahwaπ β1 = β
1
12.
Fakta ini sering dipelesetkan sebagai
1 + 2 + 3 +β― = β1
12.
Catat bahwa melalui [*] kita dapatkan π π = 0 untukπ = β2π, π β β.
Dalam hal ini, π = β2π, π β β, merupakan akar-akartrivial dari π π .
Hendra Gunawan, 25-09-2018 7
Hipotesis Riemann
Riemann membuat konjektur bahwa akar-akar
lainnya hanya mungkin ada pada garis Re π =1
2.
Catat bahwa garis Re π =1
2merupakan garis
simetri persamaan [*].
Hendra Gunawan, 25-09-2018 8
Kaitan Hipotesis Riemann dengan Teori Bilangan
Untuk Re π > 1, kita mempunyai
π π =
π prima
1 β1
ππ
β1
.
Hasil kali di ruas kanan dikenal sebagai hasil kali Euler.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 9
Banyaknya Bilangan Prima (1)
βπβ²
ππ =
π
log π
ππ β 1= Ξ¦ π +
π
βπ π
dengan
Ξ¦ π =
π
log π
ππ , Re π > 1,
dan
βπ π β€ πΆlog π
π2π .
JadiΞ¦ π meromorfik untuk Re π >1
2dan mempunyai
kutub di π = 1 dan akar-akar π π saja.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 10
Banyaknya Bilangan Prima (2)
Jika
π π₯ β
πβ€π₯
log π,
maka
Ξ¦ π = π 1
βπ π₯
π₯π +1ππ₯.
Jikaπ π₯ β banyaknya bilangan prima β€ π₯,
maka
π π₯ ~π₯
log π₯.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 11
Epilog
Banyak teorema tentang bilangan prima yang bertumpu pada Hipotesis Riemann (bahwa fungsizeta Riemann tidak memiliki akar selain bilangangenap negatif dan bilangan kompleks dengan bagian
real 1
2).
Kebenaran Hipotesis Riemann sangat krusial. BilaHipotesis Riemann ternyata salah, banyak teorematentang bilangan prima gugur.
Hendra Gunawan, 25-09-2018 12
Recommended