Gauss-Jordan method) ندﺮﺟ سﻮﮔ شورresearch.iaun.ac.ir/pd/yaghoubi...

Advanced Numerical Methods 45

)Gauss-Jordan method(روش گوس جردن

Advanced Numerical Methods 46

روش گوس جردن

یریاضعملیاتتعداد

Advanced Numerical Methods 47

)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه

Advanced Numerical Methods 48

)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه

:داریمفوق،فرموالسیوناعمالبا

Advanced Numerical Methods 49

)TDMA(قطري روش حل مستقیم ماتریس سه

Advanced Numerical Methods 50

LULU Decomposition (Factorization)روش تجزیه

ماتریس پائین مثلثیماتریس باال مثلثی

Advanced Numerical Methods 51

LUایده اصلی روش تجزیه

[ ][ ][ ] [ ]BXUL =

[ ][ ] [ ]BXA =

[ ] [ ][ ]XUD ≡

[ ] [ ][ ]ULA =

[ ][ ] [ ]BL =D

[ ][ ] [ ]DU =X

[ ][ ] [ ]BDL =

[ ]D

ن و تجزیه ماتریس ضرائب به دو ماتریس پائی: 1گام باال مثلثی

با استفاده از جایگذاري رو به جلوDمحاسبه بردار : 2گام

با استفاده از جایگذاري رو به عقب Xمحاسبه بردار : 3گام

Advanced Numerical Methods 52

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه

[ ] [ ][ ]ULA =

ضریبدراولردیفضربگوسحذفروشدراولگامf21ازآنماحصلتفریقو.می شودحذفa21درایهصورتایندر.استدومردیف

باالوپائینماتریسدوبهضرائبماتریسگوسحذفروشازاستفادهباروشایندر.می شودتجزیهمثلثی

[U]همان ماتریس باال مثلثی بعد از مرحله اول روش حذف گوس می باشد.[L]از ضرایب مورد استفاده در مرحله اول ساخته می شود.

ضریبدراولردیفسپسf31می شودکمسومردیفازآنماحصلوشدهضرب..می شودحذفa31درایهصورتایندر

Advanced Numerical Methods 53

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه

ضریبدردومیافتهتغییرردیفنهاییگامدرf32ردیفازآنماحصلوشدهضرب.می شودحذفa32درایهصورتایندر.می شودکمسوم

Advanced Numerical Methods 54

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3 0.1 0.2 7.850.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4

x x xx x xx x x

− − =+ − = −− + =

3 0.1 0.2 7.850.1 7 0.3 19.30.3 0.2 10 71.4

− − − − −

3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0.190000 10.0200 70.6150

− − − − −

2nd row - 1st row×0.1/33rd row - 1st row ×0.3/3

Advanced Numerical Methods 55

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه 3مثال 0.1 0.2 7.85

0 7.00333 0.293333 19.56170 0.190000 10.0200 70.6150

− − − − −

3rd row-2nd row ×-0.19/7.00333

3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0 10.0120 70.0843

− − − −

Advanced Numerical Methods 56

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال

3 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10

A− −

= − −

21

11

31 32

11 22

1 0 0 1 0 0 1 0 00.11 0 1 0 0.0333333 1 03

0.1 0.02713 10.3 0.19 11 3 7.00333

aLaa aa a

= = = − − ′ ′

3 0.1 0.20 7.00333 0.2933330 0 10.0120

U− −

= −

Advanced Numerical Methods 57

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال

1

2

3

1 0 0 7.850.1 1 0 19.33

71.40.3 0.19 13 7.00333

ddd

= − −

Bddd

L =

3

2

1

[ ][ ] [ ]BL =D

1

2

3

7.8519.3 0.0333333(7.85) 19.5617

71.4 0.1(7.85) 0.02713( 19.5617) 70.0843

ddd

== − − = −= − + − =

Advanced Numerical Methods 58

با استفاده از روش حذف گوسLUروش تجزیه مثال

1

2

3

7.8519.5617

70.0843

dD d

d

= = −

1

2

3

3 0.1 0.2 7.850 7.00333 0.293333 19.56170 0 10.0120 70.0843

xxx

− − − = −

1

2

3

32.5

7.0

xxx

= −

Dxxx

U =

3

2

1

[ ][ ] [ ]DU =X

Advanced Numerical Methods 59

Croutبا استفاده از روش تجزیه LUروش تجزیه ماتریسروشایندر[U]آناصلیقطردرایه هايکهاستمثلثیباالماتریسی

.می باشند1همگیماتریساولستوندرایه هايابتداروشایندر[L]می آیندبه دست:

ماتریساولسطردرایه هايسپس[U]می شوندمحاسبه.

ماتریسستون هايمیاندریکبه صورتوترتیبهمینبه[L]ماتریسردیف هايو[U]می آیندبه دست:

Advanced Numerical Methods 60

LUروش تجزیه تجزیهبراينیازموردزمان[A]بامتناسبn3/3می باشد.دستگاهدوازیکهرحلبرايالزمزمان[L][D]=[B]و[U][X]=[D]

.استn2/2بامتناسبروشدرLU،بردارتجزیه[A]بردارازمستقل[B]می باشد.

Advanced Numerical Methods 61

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

11 12 1

21 22 21

1 2

n

n

n n nn

x x xx x x

A X

x x x

−

= =

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x xa a a x x x

AX

a a a x x x

= =

مجهوالتxها می باشند

Advanced Numerical Methods 62

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x xa a a x x x

AX

a a a x x x

= =

11

21

1

11 12 1

21 22 2

1 2

10

0

n

n n

n

n n n

xx

x

a a aa a a

a a a

=

Advanced Numerical Methods 63

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x xa a a x x x

AX

a a a x x x

= =

12

22

2

11 12 1

21 22 2

1 2

01

0

n

n n

n

n n n

xx

x

a a aa a a

a a a

=

Advanced Numerical Methods 64

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

11 12 1 11 12 1

21 22 2 21 22 2

1 2 1 2

11

1

n n

n n

n n nn n n nn

a a a x x xa a a x x x

AX

a a a x x x

= =

1

2

11 12 1

21 22 2

1 2

00

1

n

n

nn

n

n

n n nn

a a aa a a

a a a

xx

x

=

Advanced Numerical Methods 65

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثال

3 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10

A− −

= − −

1 ?A− =

11 12 131

21 22 23

31 32 33

x x xA X x x x

x x x

−

= =

Advanced Numerical Methods 66

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثال11

21

31

3 0.1 0.2 10.1 7 0.3 00.3 0.2 10 0

xxx

− − − = −

12

22

32

3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 10.3 0.2 10 0

xxx

− − − = −

13

23

33

3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 00.3 0.2 10 1

xxx

− − − = −

Advanced Numerical Methods 67

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

3مثال 0.1 0.20.1 7 0.30.3 0.2 10

A− −

= − −

21

11

31 32

11 22

1 0 0

1 0

1

aLaa aa a

= ′ ′

3 0.1 0.20 7.00333 0.2933330 0 10.0120

U− −

= −

1 0 00.1 1 03

0.3 0.19 13 7.00333

= −

Advanced Numerical Methods 68

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثالAX LUX B= =

11

21

31

1 0 0 10.0333333 1 0 0

0.1 0.02713 1 0

ddd

= −

11

21

31

3 0.1 0.2 10 7.00333 0.293333 0.033330 0 10.0120 0.1009

xxx

− − − = − −

11

21

31

10.033330.1009

ddd

= − −

11

21

31

0.332490.005180.01008

xxx

= − −

LD B=

UX D=

11

21

31

3 0.1 0.2 10.1 7 0.3 00.3 0.2 10 0

xxx

− − − = −

Advanced Numerical Methods 69

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثالAX LUX B= =

LD B=

UX D=

12

22

32

1 0 0 00.0333333 1 0 1

0.1 0.02713 1 0

ddd

= −

12

22

32

3 0.1 0.2 00 7.00333 0.293333 10 0 10.0120 0.2713

xxx

− − − =

12

22

32

01

0.2713

ddd

=

12

22

32

0.0049440.1429030.00271

xxx

=

12

22

32

3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 10.3 0.2 10 0

xxx

− − − = −

Advanced Numerical Methods 70

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثالAX LUX B= =

LD B=

UX D=

13

23

33

1 0 0 00.0333333 1 0 0

0.1 0.02713 1 1

ddd

= −

13

23

33

3 0.1 0.2 00 7.00333 0.293333 00 0 10.0120 1

xxx

− − − =

13

23

33

001

ddd

=

13

23

33

0.0067980.0041830.09988

xxx

=

13

23

33

3 0.1 0.2 00.1 7 0.3 00.3 0.2 10 1

xxx

− − − = −

Advanced Numerical Methods 71

LUمحاسبه ماتریس معکوس با استفاده از روش تجزیه

مثال

11

21

31

0.332490.005180.01008

xxx

= − −

12

22

32

0.0049440.1429030.00271

xxx

=

13

23

33

0.0067980.0041830.09988

xxx

=

1

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0.33249 0.004944 0.0067980.00518 0.142903 0.0041830.01008 0.00271 0.09988

A Xx x xx x xx x x

− = =

= − −

Advanced Numerical Methods 72

بررسی بد رفتاري سیستم

ضرایبماتریس[A]،1عددبرابرردیفهردردرایهبزرگترینبه طوري کهکردهترازرا1-[A]ماتریسازدرایه هاییاگرکنید،معکوسراشدهترازماتریسحالتایندر.باشد

-Ill(بدرفتارسیستمباشند،بزرگتر1ازمرتبهچندینکهباشندداشتهوجودcondition(است.

ضرایبماتریس[A]ماتریسدررا[A]-1واحدماتریسبارانتیجهوکردهضرب[I].استتاررفبدماتریسباشد،داشتهاختالفواحدماتریسبانتیجهاگر.کنیدمقایسه

معکوسماتریس[A]-1ماتریسباراآنوکنیدمعکوسدوبارهرا[A]کنیدمقایسه..استرفتاربدسیستمشد،مشاهدهاختالفیاگر

Advanced Numerical Methods 73

)Vector and Matrix Norms(نرم بردار و ماتریس

:بگیریدنظردرزیربه صورتبعديسهفضايدرراFبردار

:شودمیتعریفزیربه صورتFبرداراندازهول نرم اقلیدسی بیانگر ط

بردار

Advanced Numerical Methods 74

نرم بردار و ماتریس:بگیریدنظردرزیربه صورتاستبعدnدارايکهرا[X]بردار

نرم اقلیدسی بردار

:نوشتزیربه صورتتوانمیرا[A]ماتریسنرم

Frobenius Norm:

Uniform Vector Norm:

Uniform Matrix Norm:

یک مقدار را به عنوان بر [A]اندازه ماتریس

.می گرداند

Vector P Norn

Advanced Numerical Methods 75

نرم بردار و ماتریس

Matrix Condition Number:

هامجهولنرمنسبیخطايکهدادنشانتوانمی[X]،ضرایب،نرمنسبیخطايبا[A]داردرازیررابطه:

حالتعددکههنگامی)Condition Number(اررفتبدسیستمباشد،یکازبیشتر)Ill-Condition(است.

سیستمبدرفتاريبررسیبراينظام مندروش:

ضرایبماتریساگر[A]دقتتاt10مرتبهازکردنگردخطاي(باشدمعلومرقم−t(Condحالتعددو [A] = 10c،بردارحل[X]دقتتاتنهاt-cاستمعتبررقم.

Advanced Numerical Methods 76

مثال

ماتریسHilbert

حالتعدداستمطلوب)Condition Number(هیلبرت3⨯3ماتریسبراي.

ماتریس را تراز کرده تا 1بیشینه درایه هر ردیف

.شود

Advanced Numerical Methods 77

مثال

:اینبنابردارد،راضرایبمقداربیشترینسومردیف

:شدهتراز[A]معکوسماتریس