View
285
Download
10
Category
Preview:
Citation preview
Sasaran Kuliah Hari ini
1. Mampu menentukan persamaan lingkaran
2. Mampu menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran
3. Mampu menentukan persamaan garis singgung lingkaran (baik garissinggung lingkaran dengan gradien tertentu, garis singgung titikpada lingkaran, atau garis singgung yang melalui titik di luarlingkaran)
4. Mampu menentukan persamaan polar (kutub) lingkaran
5. Mampu menentukan garis kuasa dua lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Definisi Lingkaran
Lingkaran adalah himpunan titik-titik pada bidang sedemikian sehingga jarak titik-titik tersebut terhadap suatu titik tertentu sama panjangnya
Selanjutnya jarak tersebut disebut jari-jari/radius dan titik tertentudisebut pusat lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan LingkaranMisal titik tertentu adalah (a,b) danjaraknya adalah r, maka dengankonsep jarak dua titik diperoleh:
(x−a)2+ (y−b)2 = r
(x−a)2+ (y−b)2= r2
Maka persamaan lingkaran denganpusat (a,b) dan jari-jari r adalah
L : (x−a)2+ (y−b)2= r2
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
X
Y
O
Persamaan Lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Jika lingkaran berpusat di O (0,0) dan jari-jari r maka nilai a = 0 dan
b = 0, sehingga diperoleh:
L : (x−0)2+ (y−0)2= r2
L : x2+ y2= r2
Contoh 1
Carilah persamaan lingkaran berikut
1. Pusat O (0,0) dan jari-jari 3
2. Pusat P (-2,3) dan jari-jari 2
3. Pusat P (-5,-1) dan melalui (-2,2)
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain
Apabila lingkaran dengan pusat (a,b) dan jari-jari r yang berbentuk:
(x− a)2+ (y− b)2= r2 diuraikan, maka diperoleh
x2+ y2 − 2ax− 2by + a2+ b2= r2
x2+ y2 − 2ax− 2by + a2+ b2 −r2= 0
Sehingga apabila persamaan lingkaran dituliskan dalam bentuk
x2+ y2 + Ax + By + C = 0 , maka diperoleh
A =−2a⟹ a = −12
A ; C = a2+ b2 − r2⟹ r2 = a2+ b2 − C
B =−2b⟹ b = −12
B ; r = a2+ b2 − C = 14A2+14B2− C
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan Lingkaran dalam bentuk lain
Lingkaran L: x2+ y2 + Ax + By + C = 0
memiliki:
Pusat (−12
A , −12
B)
r = 14A2+14B2− C
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Contoh 2
Tentukan pusat dan jari-jari dari persamaan lingkaran berikut dansketsalah:
a. L1 : x2+ y2 − 6x + 10y − 2 = 0
b. L2 : x2+ y2 + 20x + 36 = 0
c. L2 : x2+ y2 − 8y− 9 = 0
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Contoh 3
Tentukanlah persamaan lingkaran yang melalui titik A (2,2), B (4,0), danC (7,3)
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Kedudukan garis terhadap lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Kedudukan sebarang garisterhadap lingkaran ada 3 kemungkinan:
1. Memotong (D > 0)
2. Tidak memotong dan tidakmenyinggung (D < 0)
3. Menyinggung (D = 0)
D adalah diskriminan persamaankuadrat (D = b2 − 4ac)
Persamaan garis singgung
Garis singgung suatu lingkaranadalah garis yang menyinggunglingkaran tersebut sedemikiansehingga titik persekutuan garisdan lingkaran ada satu dan hanyasatu titik.
Dari gambar disamping hanya g1
yang menyinggung lingkaran. TitikD disebut dengan titik singgung
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan garis singgung dengan m tertentu
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Pada gambar disamping garis g1
dan g2 memiliki gradien (m) yang sama dan keduanya merupakangaris singgung dari lingkaran L
Persamaan garis singgung dengan m tertentu
Bagaimana mencari persamaan garis g1 dan g2 jika gradien danpersamaan lingkaran yang disinggungnya diketahui??
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan garis singgung dengan m tertentu
Jika garis g1 dan g2 memiliki persamaan y = mx + p dan menyinggung
lingkaran L : x2+ y2= r2, maka dengan mensubtitusikan y = mx + p kex2+ y2= r2 diperoleh:
x2+ (mx + p)2= r2
x2 + m2x2+ 2mpx + p2 = r2
(m2+1)x2+ 2mpx + (p2 − r2) = 0
Karena garis menyinggung lingkaran, maka hanya memiliki satu titikpersekutuan sehingga nilai deskriminan persamaan kuadrat tersebutbernilai nol (D = 0)
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Persamaan garis singgung dengan m tertentu
D = 0
b2 − 4ac = 0
(2mc)2 −4(m2+1) (p2 − r2) = 0
4m2p2 −4(m2p2 −m2r2+p2 − r2) = 0
4m2p2 −4m2p2 + 4m2r2 − 4p2 + 4r2 = 0
m2r2 − p2 + r2 = 0
p2 = r2(1+m2) ⇒ p = ±r 1+m2
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Sehingga diperolehpersamaan garis singgunglingkaran dengan pusatO (0,0) dengan gradient madalah:
y = mx + p
y =mx± r 1+m2
Persamaan garis singgung dengan m tertentu
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Dengan cara yang sama, maka garis singgung lingkaran
L: (x− a)2+ (y− b)2 = r2 dengan gradien m adalah:
(y − b) =m(x −a)± r 1+m2
Contoh 4
1. Carilah persamaan singgung lingkaran x2+ y2= r2 dengan gradien
(m) =23
2. Carilah persamaan garis singgung lingkaran
x2+ y2 − 6x + 10y − 2 = 0 dengan gradien (m) = −2
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Titik P (x1,y1) pada lingkaran
L : x2+ y2= r2 dan garis g adalahgaris singgung lingkaran L di titik P
Bagaimana mencari persamaangaris singgung g?
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Titik P (x1,y1) pada lingkaran
L : x2+ y2 = r2, sehingga berlaku
x12 + y1
2 = r2
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Lihat OP ⊥ g
Jika OP kita anggap sebagaisebuah garis yang memiliki
gradien m OP , maka m OP =y1x1
Maka m OP . mg = −1
mg = −1
m OPsehingga mg = −
x1y1
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Jika persamaan garis g adalah
g: y−y1 =m(x −x1)
y−y1 = −x1y1
(x −x1)
yy1− y12= −xx1+ x1
2
xx1+ yy1 = x12 + y1
2
xx1+ yy1 = r2
Jadi diperoleh persamaan garis
g: xx1 + yy1 = r2
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Dengan cara yang sama, dapatdibuktikan, jika titik P (x1,y1) pada
lingkaran L : (x−a)2+ (y−b)2 = r2, maka garis singgung lingkaran L melalui P (x1,y1) adalah
(x−a)(x1−a)+ (y−b)(y1−b) = r2 (*)
(*) silahkan dibuktikan sendiri
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik pada lingkaran
Jika lingkaran dinyatakan dalampersamaan
L: x2+ y2 + Ax + By + C = 0, makapersamaan garis yang melalui titik P (x1,y1) pada L adalah:
xx1+ yy1+12A(x+x1)+
12B(y+y1)+C = 0 (*)
(*) silahkan dibuktikan sendiri
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Contoh 5
Tentukan persamaan garis singgung titik pada lingkaran sebagaiberikut:
1. Titik A (2,− 5) pada lingkaran x2+ y2 = 9
2. Titik P (−3,7) pada lingkaran (x + 2)2+ (y− 3)2 = 17
3. Titik Q (5, −6) pada lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 7 = 0
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis kutub (polar) suatu lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Jika titik P (x0,y0) terletak di luar
lingkaran L : x2+ y2 = r2, maka dari titikP dapat dibuat 2 buah garis singgunglingkaran L.
Garis singgung tersebut menyinggunglingkaran L di titik A (x1,y1) dan B (x2,y2).
Karena titik A dan B pada L, makapersamaan garis singgung yang melaluiA dan B berturut-turut adalah
g1: xx1+ yy1 = r2 dan g2: xx2+ yy2 = r2
P (x0,y0)
B (x2,y2)
A (x1,y1)
Garis kutub (polar) suatu lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Karena g1 dan g2 melalui titik P (x0,y0), maka berlaku:
x0x1+ y0y1= r2 dan x0x2+ y0y2 = r2
Dari dua persamaan di atas, dapatdisimpulkan bahwa koordinat-koordinattitik A (x1,y1) dan B (x2,y2) memenuhipersamaan:
x0x+ y0y= r2 (*)
Selanjutnya, persamaan garis (*) disebutpersamaan garis kutub (polar) lingkaran L. Garis polar tersebut melalui titik A dan B seperti terlihat pada gambar di samping
P (x0,y0)
B (x2,y2)
A (x1,y1)
Garis kutub (polar) suatu lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Selanjutnya dengan cara yang sama(buktikan sendiri) persamaan gariskutub (polar) titik P (x0,y0) terhadap
lingkaran L : (x−a)2+ (y−b)2 = r2
adalah: (x0−a)(x−a)+ (y0−b)(y−b) = r2
P (x0,y0)
B (x2,y2)
A (x1,y1)
Garis kutub (polar) suatu lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
P (x0,y0)
B (x2,y2)
A (x1,y1)
Sedangkan persamaan garis kutub(polar) titik P (x0,y0) terhadap lingkaranL : x2+ y2 + Ax + By + C = 0 adalah:
xx0 + yy0 +12A(x+x0) +
12B(y+y0) + C = 0
Garis kutub (polar) suatu lingkaran
Dari penyelesaian di atas, maka dapat disimpulkan bahwa:
1. Jika titik P di luar⨀, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa talibusur (memotong lingkaran di dua titik berbeda)
2. Jika titik P pada⨀, maka garis kutub (polar) nya adalah berupa garissinggung lingkaran di titik tersebut
3. Jika titik P di dalam⨀, maka garis kutub (polar) nya tidakmemotong lingkaran
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Contoh 6
Tentukan persamaan garis polar (kutub) dari titik berikut terhadaplingkaran yang diketahui:
1. Titik A (5, −4) terhadap lingkaran x2+ y2 = 25
2. Titik P (1, −2) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 25
3. Titik P (−1,4) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 16
4. Titik Q (8,4) terhadap lingkaran x2+ y2 − 6x + 4y − 3 = 0
5. Titik R (1,1) terhadap lingkaran (x− 4)2+ (y− 2)2 = 16
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik di luar lingkaran
Dengan memanfaatkan garispolar suatu lingkaran, maka kitadapat menentukan persamaangaris singgung lingkaran yang melalui titik di luar lingkarantersebut.
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Garis singgung melalui titik di luar lingkaran
Langkahnya adalah:
1. Cari persamaan garis polar titik tersebut terhadaplingkaran
2. Potongkan garis polar terhadap lingkaran, sehinggaterdapat dua titik potong
3. Selanjutnya cari persamaangaris singgungnya denganmenggunakan titik-titiksinggung yang diketahui
Sofyan Mahfudy IAIN Mataram
Recommended