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GEOMETRÍA DE LO IRREGULAR
"He encontrado la fuerza esencial de la geometría y temo que
nuestros jóvenes hayan sido privados
demasiado tiempo de este placer"
¿Por qué se suele decir que la Geometría es fría y áspera? En parte, por su incapacidad para describir la forma de una nube, de una montaña, de una costa o de un árbol. Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, …
o es que la aturaleza exhiba n grado mayor de omplejidad, sino ue presenta un ivel ompletamente iferente de omplejidad”. Mandelbrot, 1977).
Mandelbrot desarrolló la GEOMETRÍA FRACTAL,término acuñado por él,
que designa objetos geométricos de estructura irregular presentes en muchos comportamientos y formas de la naturaleza
Rasgos característicos
La simplicidad de su construcción.La aparente
complejidad del producto final.
Antecedentes de los fractales
Construcciones intuitivas:El conjunto de Cantor. Curvas continuas de propiedades sorprendentes : curva de Koch, curva de Hilbert…
El conjunto de Cantor
(1845-1918)
El conjunto de Cantor
Fue descrito en 1883 por GeorgeCantor, pero fue mencionado en 1875 (posiblemente antes) por el matemático irlandés Henry Shmith.
El conjunto de Cantor• Se parte de un segmento de longitud 1• Se divide el segmento inicial en tres partes iguales • Se elimina la parte central• Se repite el proceso sobre cada segmento obtenido
Curva de Koch
Curva de Koch
Es una curva delPlano, continua entodos sus puntos y no diferenciable en ninguno
Curva de KochSe parte de un segmento de lado 1. Se divide el segmento en 3 partes iguales.Se elimina el segmento central.Se sustituye por dos segmentos con ángulo 60º.
Isla de Koch
a construcción de a construcción de isla de isla de KochKoch
omienza con un omienza con un iángulo equilátero, iángulo equilátero, que aplicamos un que aplicamos un
goritmo análogo al goritmo análogo al escrito para la escrito para la urva, a cada uno urva, a cada uno e sus lados.e sus lados.
Longitud
n la etapa k disponemos de 3·4k segmentos, e longitud 3-k cada uno de ellos. Así, la ngitud total de la curva en esa etapa 3·(4/3)k .
s evidente que esta cantidad crece definidamente cuando k→∞
Área
designamos con Δ el área del triángulo de artida, el área de la figura obtenida en la etapa se escribe
yo límite, cuando k→∞, es
1
0
1 413 9
ik
ki
A
85
La curva de Hilbert
La curva de Hilbert
La curva de Hilbert pertenece a un tipo de curvas que pasan por todos los puntos de un cuadrado de lado la unidad
La curva de Hilbert
Es una curva del plano,continuaen todos los puntos, no diferenciable en ningúno y de longitud infinita.
Fractales autosemejantes
1) Cada una de sus partes es semejante al todo, repitiéndose este proceso indefinidamente.
) Su estructura, forma y características ermanecen constantes al variar la escala e observación
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Se parte de un triángulo equilátero T0, de lado unidad. Se halla el punto medio de cada lado de T0.Se unen dichos puntos dando lugar a triángulos semejantes a T0, de lado 1/2Se elimina el triángulo central.Se repite el proceso ilimitadamente sobre cada uno de los triángulos obtenidos.
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Triángulo de Sierpinski
Contemos y midamos
En el paso k-ésimo, F, tendrá 3k
triángulos con:
Longitud del lado:
Altura: 1 32 2
k
12
k
Área
Si definimos el área de F como la suma de las áreas de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene área :
Que es cero, cuando
1 1 3( ) 32 2 2
kkkA F
k
Longitud
Definimos la longitud de F como la suma de los perímetros de todos los triángulos que componen F, este conjunto tiene longitud :
Que es infinita cuando
1( ) 3 32
kkL F
k
Semejanzas
Transformaciones ortogonalesHomoteciasComposición de transformaciones ortogonales con homotecias
Conjuntos semejantes
F y F’ son semejantes si existe una semejanza que transforme F en F’
Conjuntos autosemejantes
n conjunto F del plano es utosemejante si existen semejanzas ,…,gn de razones k1 ,…,kn menores que
no tales que
1( ) ... ( )nF g F g F
Triángulo de Sierpinski
Las semejanzas que dan lugar al triángulo de Sierpinski T1
• Homotecias de razón ½ con centro en encada uno de los vértices del T0
T0
1 1 0 2 0 3 0( ) ( ) ( )T g T g T g T
Dimensión de Haussdorf
ara un conjunto autosemejante del ano,
on g1,…,gn semejanzas de razones k1…,kn menores que uno, definimos la
mensión de Haussdorf de F como la olución de la ecuación
1( ) ... ( )nF g F g F
d d
Dimensión de Haussdorf
las razones de semejanzas son todas uales a k entonces la dimensión es
loglog
nkk
Dimensión fractal
Conjunto de Cantor: log2/log3=0,62093
Triángulo de Sierpinski: log3/log2=1,58496
Curva de Koch: log4/log3=1,262
andelbrot estudió la convergencia y la vergencia de procesos iterativos en el plano mplejo
nde c es un determinado número fijo. rtiendo del cero como número inicial, la serie nerada por este método puede ser nvergente o divergente, y eso dependerá del
21n nz z c
Conjunto de Mandelbrot
Conjunto de Mandelbrot
Al representar los distintos valores de c, coloreados según las serie converja o diverja, obtenemos el conjunto de Mandelbrot
Conjunto de Mandelbrottán representados negro todos los ores posibles de ce dan lugar a series nvergentes y en os colores los ores que causan ergencia, variando onalidad del color
gún la velocidad de ergencia.
¿Qué es un fractal?
enneth Falconer, en su obra titulada “Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications” (John Wiley and Sons, 1990), describe un concepto de estructura fractal ‘F’ como la que satisface alguna(s) de las propiedades siguientes:
) “F” posee detalle a todas las escalas de bservación.
2) No es posible describir “F” con eometría Euclidiana, tanto local como lobalmente.
3) “F” posee alguna clase de utosemejanza, posiblemente estadística.
4) La dimensión fractal de “F” es mayor que u dimensión topológica.
5) El algoritmo que sirve para describir “F”
Arquitectura fractal
H. Vöth
Water cubo, Libeskind
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