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MatemáticaFascículo 02
Manoel Benedito Rodrigues
Índice
Geometria Plana
Resumo Teórico .................................................................................................................................1
Exercícios ...........................................................................................................................................3
Dicas .................................................................................................................................................5
Resoluções ........................................................................................................................................6
Geometria Plana
Resumo Teórico
Principais Fórmulas
Lei dos Senos
asen
bsen
csen
2R� � �
� � �
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 – 2 � b � c �cos �
b2 = a2 + c2 – 2 � a � c �cos �
c2 = a2 + b2 – 2 � a � b �cos �
Relações Métricas no Triângulo Retângulo
h2=m � n b � c=a � h
b2=a � m a2=b2 + c2
c2=a � n
Relações Métricas no Círculo
PA � PB = PC � PD PA � PB = PC � PD (PT)2 = PA � PB
1
a b
c
��
�
R
ab
c
��
�
h
m n
a
b c
A
BC
DP
T
B
A
P
A
BC
D
P
Razões Trigonométricas
sen =ba
ca
e tg =bc
� � �, cos �
Polígonos Convexos
Sendo n= número de lados;
d= número de diagonais;
Si= soma dos ângulos internos e
Se= soma dos ângulos externos,
temos: d=n(n – 3)
2Si = (n – 2) � 180º e Se = 360º
Teorema da Bissetriz Interna
bx
cy
�
Teorema da Bissetriz Externa
bx
cy
�
2
x y
b c
S
A
c
y
x
b c
C SB
A
c
a
�
b
Semelhança de Triângulos
Sendo k a razão de semelhança entre os �ABC e �PQR, temos:
ax
by
cz
Hh
k� � � �Área ABC
Área PQRk2�
��
Comprimento da Circunferência
C 2� �R � em graus: l =360º
R)�
�� (2
� em radianos: l = �R
Áreas
Círculo Setor Circular
A R2� �� AR2
�� �� �360º
AR2
���2
AR
��l
2
� em graus � em radianos
Exercícios
01. Na figura, as retas r e s são paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede 55º. A medida, emgraus, do ângulo 3 é:
a. 50b. 55c. 60d. 80e. 100
3
yz
P
xQ R
h
bc
A
aB C
H
R�
R
l
R�
R
�
R R
l
02. Considere um arco AB de 110º numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A’B’
de 60º numa circunferência de raio 5cm. Dividindo–se o comprimento do arco AB pelo do arco A’B’(ambos medidos em cm), obtém–se
a.116
b. 2
c.113
d.223
e. 11
03. No quadrilátero ABCD abaixo, ABC$ = 150º, AD = AB = 4 cm, BC = 10 cm, MN = 2 cm, sendo M eN, respectivamente, os pontos médios de CD e BC. A medida, em cm2, da área do triângulo BCD é:
a. 10b. 15c. 20d. 30e. 40
04. O triângulo ABC está inscrito numa circunferência de raio 5cm. Sabe–se que A e B são extremidadesde um diâmetro e que a corda BC mede 6 cm. Então a área do triângulo ABC, em cm2, vale
a. 24b. 12
c.5 3
2d. 6 2e. 2 3
05. A figura mostra a planta baixa da sala de estar de um apartamento. Sabe–se que duas paredescontíguas quaisquer incidem uma na outra perpendicularmente e que AB = 2,5m, BC = 1,2m,EF = 4,0m, FG = 0,8m, HG = 3,5m e AH = 6,0m. Qual a área dessa sala em metros quadrados?
a. 37,2b. 38,2c. 40,2d. 41,2e. 42,2
4
06. Do quadrilátero ABCD da figura, sabe–se que: os ângulos internos dos vértices A e C são retos; osângulos CDB e ADB medem, respectivamente, 45º e 30º; o lado CD mede 2dm.
Então os lados AD e AB medem, respectivamente, em dm:
a. 6 3eb. 5 3ec. 6 2ed. 6 5ee. 3 5e
07. Na figura ao lado têm-se AB // CD, AB = 6cm, AD = 4 cm e os ângulos internos de vértices A e B têmas medidas indicadas. A área do quadrilátero ABCD, em centímetros quadrados, é
a. 3b. 2 3c. 4 3d. 6 3e. 8 3
Dicas
01. Prolongue um dos segmentos entre as paralelas de forma a obter um triângulo.
Use o fato de ângulos alternos entre paralelas serem congruentes.
02. Se para 360º (uma “volta completa”) em torno da circunferência, é percorrida uma distância igual a2�R, onde R é o raio da circunferência, qual seria a distância percorrida correspondente a 110º?
03. Teorema: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceirolado e mede a metade da medida do terceiro lado.
04. Use o fato de que todo triângulo inscrito numa semi-circunferência é retângulo.
05. A seguinte figura pode ajudar:
Área do retângulo = base x altura
5
06. Note que o triângulo BCD é isósceles.
Calcule seus lados e use razões trigonométricas (sen30º, cos30º) no �ABD.
07. Considere a seguinte figura:
Resoluções
01. Alternativa e.
1. DBA D 1$ $ $� � (alternos internos)
2. �ABC: $3 é ângulo externo, logo:$ $ $
$ º º
$ º
3 1 2
3 45 55
3 100
� �
� �
�
02. Alternativa c.
3602 10
110 559
3602 5
60 5
º º
º º
��
��
��
��
AB
AB= cm
A'B'
A' B'=3
55953
113
cm
AB
A'B'
� �
�
�
03. Alternativa c.
1.M ponto médio de CD
N ponto médio de BC
��
MN // BD; BD = 4cm
2.�ADB é equilátero
ABC =150ºDBC = 90º$
$��
3. Sendo ABCD a área do �BCD, tem-se:
ABCD =(BC) (BD)�
��
2
10 42
ABCD = 20cm2
6
04. Alternativa a.
1. Se AB é diâmetro, o ângulo $C é reto.Logo, pelo teorema de Pitágoras, temos:
AC2 + BC2 = AB2
AC2 + 62 = 102 AC = 8 cm
2. A�ABC =(AC) (BC)�
��
28 6
2A�ABC = 24 cm2
05. Alternativa e.
1.a resolução:
AI = 6 � 2,5 = 15 m2
AII = 5 � 4,8 = 24 m2
AIII = 4 � 0,8 = 3,2 m2
AT: área total
AT = AI + AII + AIII
AT = 15 + 24 + 3,2 AT = 42,2 m2
2.a resolução:
Área A I E J = 7,5 � 6,8 = 51m2
Área B C D I = 1,2 � 5 = 6 m2
Área F G H J = 0,8 � 3,5 = 2,8 m2
Área da sala ABCDEFGH =
51 – 6 – 2,8 = 42,2 m2
06. Alternativa c.
1. �BCD$B= 45º BC = 2 dm
BD2 = 22 + 22 BD = 2 2
2. �BCD
cos 30º =x x
x dm2 2
32 2 2
6 � �
sen 30º =y y
y dm2 2
12 2 2
2 � �
7
07. Alternativa e
Consideremos E e F as projeções dos vértices D e C, nesta ordem, sobre a base AB do trapézio ABCD.
Temos:
1. �ADE é congruente ao �BCF, pelo caso LAAo.
Logo, ABCD é trapézio isósceles
2. No triângulo ADE:
sen 60º =x x
x cm4
32 4
2 3 � �
cos 60º =y y
y cm4
12 4
2 � �
3. AB = 6 2y + EF = 6 2 � 2 + EF = 6 EF = 2 cm = CD
4. Seja A a área do trapézio ABCD
A(AB CD) DE
2A
(6 2) 22
A = 8 3 cm2�� �
�� �
3
8
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