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INSTITUCIÓN EDUCATIVA INSTITUTO NACIONAL DE PROMOCIÓN SOCIAL Creada mediante decreto 000255 de 01 de julio de 2003
Educación Preescolar – Básica- Media Técnica y Académico San Vicente del Caguán
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GUÍA “TRABAJO EN CASA” No 1
AREA / ASIGNATURA: Algebra GRADO: 900 PERIODO: III
DOCENTE CORREO CELULAR
ALBA NELLY OBREGON R.
JORGE ENRIQUE MORENO B.
3133532974
3208378007
MODO DE ENTREGA
FECHA DE ENTREGA
03 Agosto – 04 Septiembre
Las actividades se entregaran de acuerdo al medio de comunicación que se ajuste al estudiante. (Quienes trabajen en la plataforma teams las actividades se desarrollaran en el horario de clase establecido)
ESTANDAR
Resuelvo problemas y simplifico cálculos usando propiedades y relaciones de los números reales y de las relaciones y operaciones entre ellos.
COMPETENCIA: Utiliza expresiones numéricas, algebraicas o gráficas para hacer descripciones de situaciones concretas y tomar decisiones con base en su interpretación.
TEMA Y CONTENIDO
1. FUNCIONES CUADRATICAS
Una Función Cuadrática es una función de la forma: 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 𝑐𝑜𝑛 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 ∈ 𝑅 𝑦 𝑎 ≠
0.
Por ejemplo, las funciones 𝑓(𝑥) = 2𝑥2 − 3𝑥 + 1; 𝑔(𝑥) =1
3𝑥2 − 𝑥; ℎ(𝑥) = −3𝑥2 + 7son funciones
cuadráticas.
A las funciones cuadráticas también se les denomina funciones de segundo grado porque en la
expresión 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 el mayor exponente de la variable x es 2.
GRAFICA DE UNA FUNCION CUADRATICA
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola. En la
parábola se pueden distinguir varios elementos: abertura, vértice, eje de simetría, intercepto con el
eje y e. intercepto con el eje x.
La parábola que representa una función cuadrática puede abrir hacia arriba o hacia abajo.
Teniendo en cuenta lo siguiente:
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El varice V es un punto de coordenadas (h , k) en el cual ℎ = −𝑏
2𝑎 𝑦 𝑘 = 𝑓 (−
𝑏
2𝑎).
La recta paralela al eje y que pasa por el vértice de la parábola, de denomina eje de simetría.
La parábola tiene un intercepto con el eje x, se halla al reemplazar x por 0 en la función
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Mientras que los intercepto con el eje x, se hallan al reemplazar y por 0 en la
expresión algebraica de la función cuadrática.
El dominio de una función cuadrática el conjunto R, el rango es el intervalo {k,+∝) si la parábola abre hacia arriba y
es(−∝, 𝑘| si la parábola abre hacia abajo.
2. REPRESENTACION GRAFICA DE LA FUNCIONCUADRATICA
Para la gráfica de una función cuadrática se tiene en cuenta cuatro casos, de acuerdo con la
expresión algebraica que la define: 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 +
𝑏𝑥 + 𝑐, donde la función mas simple es 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
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Para graficar una funcion cuadratica se identifica el vertice y se ekabora una tabla de valores que
determinan la forma de la parabola.
Caso 1. f(x) = 𝑎𝑥2, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0 𝑦 𝑐 = 0.
Las parabolas de esta forma tienen como vertice el punto (0,0) y el eje de simetria es el eje
y.
𝑠𝑖 𝑎 > 0, la parabola abre hacia arriba. 𝑠𝑖 𝑎 < 0, la parabola abre hacia abajo.
𝑠𝑖 |𝑎| > 1, la parabola es mas estrecha, en relacion con la parábola donde a = 1.
𝑠𝑖 0 < |𝑎| < 1, la parabola es mas estrecha, en relacion con la parabola donde a = 1.
Por ejemplo, para representar la funcion cuadratica 𝑓(𝑥) = 𝑥2; 𝑔(𝑥) = 2𝑥2; ℎ(𝑥) =1
2𝑥2, en
el
mismo plano se realiza lo siguiente:
Se construye la tabla de valores correspondientes a las funciones.
Las gráficas de las funciones abren hacia arriba. Además la gráfica de 𝑔(𝑥) = 2𝑥2, es más estrecha en relación con la
parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 y la gráfica de ℎ(𝑥) =1
2𝑥2 es mas ancha en relación con la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2.
La representación en el plano se puede observar en la siguiente figura:
Para representar las funciones cuadráticas 𝑓(𝑥) = −𝑥2, 𝑔(𝑥) = −2𝑥2, 𝑔(𝑥) = −1
2𝑥2.
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Se realiza la tabla de valores correspondientes a las funciones, así:
Las gráficas de las funciones abren hacia abajo. Además, la gráfica de 𝑔(𝑥) = −2𝑥2, es más
estrecho en relación con la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥2 y la gráfica de ℎ(𝑥) = −1
2𝑥2 en más ancha en
relación cin la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥2.
La representación en el plano se puede observar en la siguiente figura:
Caso 2. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐, 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑏 = 0.
La grafica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑐 se obtienen trasladando la grafica de la función
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2, c unidades. Si c > 0, la traslacción es hacia arriba. Si c < 0, la tralación es
hacia abajo.
El eje de simetría es el eje y y el vertece de la parabola es el punto (0,c).
Por ejemplo, las graficas de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1 y 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 se obtienen a
Partir de la parábola 𝑦 = 𝑥2,, asi:
Para graficasr 𝑓(𝑥) = 𝑥2 + 1, se traslada la grafica de 𝑦 = 𝑥2 una unidad arriba.
Para graficar 𝑔(𝑥) = 𝑥2 − 2 se traslada la grafica de 𝑦 = 𝑥2 dos unidades hacia abajo.
Las tablas de valores y las representaciones graficas son:
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Caso 3. 𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙; donde c = 0.
En este caso el eje de simetría de la parábola es una recta paralela al eje y.
Las coordenadas del vertice (h, k) se hallan haciendo ℎ = −𝑏
2𝑎 y calculando 𝑘 = 𝑓 (−
𝑏
2𝑎)
Por ejemplo, la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑠í:
Como 𝑎 = −3, la parábola abr hacia abajo
Luego, se hallan las coordenadas del vertice teniendo en cuenta que 𝑎 = −3 y b = 6, así:
ℎ = (−𝑏
2𝑎) = −
6
2(−3)= 1 𝑘 = 𝑓 (−
𝑏
2𝑎) = 𝑓(1) = −3(1)2 + 6(1) = −3 + 6 = 3
Por lo tanto, el vertice es el punto (1,3).
Los puntos de inrtersección con el eje x se obtien cuando 𝑓(𝑥) = 0, es decir,
−3𝑥2 + 6𝑥 = 0
−3𝑥(𝑥 − 2) = 0
−3𝑥 = 0 o 𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 0 𝑜 𝑥 = 2
Luego, los puntos de corte con el eje x son (0,0) y (2,0). La tabla de valores es:
x -1 0 1 2 3
𝑓(𝑥) = −3𝑥2 + 6𝑥 -9 0 3 0 -9
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Caso 4. 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
La grafica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 se obtiene a partir de la parábola que
representa la función 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥, trasladando la gráfica c unidades hacia arriba si c > 0, o c
unidades hacia abajo si c < 0.
Por ejemplo, para graficar la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5, se traslada la gráfica de la parábola
. 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 Cinco unidades hacia abajo.
Como 𝑎 = −2 𝑦 𝑏 = 4, entonces, la parábola 𝑦 = −2𝑥2 + 4𝑥 tiene como vértice:
Por lo tanto el vértice es el punto (1,2). La tabla de valores correspondiente a la función 𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5 es:
x -1 0 1 2 3
𝑓(𝑥) = −2𝑥2 + 4𝑥 − 5 -11 -5 -3 -5 -3
3. CEROS, RAICES O SOLUCIONES DE LA FUNCION CUADRATICA
Se denominan ceros, raíces o soluciones de una función cuadrática los pontos de corte de la
gráfica con el eje x.
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Ejemplo
Realizar la gráfica de cada función u determinar los ceros o las raíces de cada función si es
posible.
a. 𝑦 = (𝑥 − 2)2 𝑦 = 𝑥2 − 4𝑥 + 4
La tabla de valores correspondiente es:
x 0 1 2 3 4
𝒚 = 𝒙𝟐 − 𝟒𝒙 + 𝟒 4 1 0 1 4
En la gráfica el vértice es en el punto (2,0)
La grafica de la función es:
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Como la gráfica de la función intersecta al eje x en x=2, se concluye que la función tiene una
sola raíz en x=2.
b. 𝑦 = −𝑥2 − 4𝑥 + 5
La grafica de la función es:
La función tiene dos soluciones reales y diferentes, en x= - 5 y x = 1
c. 𝑦 = 2𝑥2 − 4𝑥 + 5
La grafica de la función es:
La función no tiene solución en los reales.
4. ECUACIÒN CUADRÀTICA
Una ecuación de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 y 𝑎 ≠ 0, recibe el nombre de ecuación
cuadrática o ecuación de segundo grado.
Dependiendo del valor de las constantes 𝑏 y 𝑐, las ecuaciones cuadráticas se clasifican en
incompletas y completas.
Ecuaciones incompletas: Son aquellas ecuaciones donde 𝑏 = 0 o 𝑐 = 0.
Por ejemplo, las ecuaciones 2𝑥2 - 3𝑥 = 0,3𝑥2 + 4𝑥 = 0,4𝑥2 = 0, son ecuaciones incompletas.
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Ecuaciones completas: Son aquellas ecuaciones de la forma 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0, con 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠
0, 𝑐 ≠ 0.
Por ejemplo, las ecuaciones 2𝑥2 + 43𝑥 − 5 = 0, −3𝑥2 + 15𝑥 − 31 0 = 0, −7𝑥2 − 14𝑥 + 49 = 0, son
ecuaciones completas.
Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores
de las incógnitas que hacen verdadera la igualdad.
Gráficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los
puntos de corte, si los hay, de la parábola con el eje x.
Toda ecuación cuadrática puede tener dos raíces reales diferentes, dos raíces complejas
diferentes o una sola raíz real.
Solución de ecuaciones cuadráticas incompletas
En la solución de una ecuación cuadrática incompleta, se distinguen tres casos.
Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎
En este caso se despeja así:
𝑎𝑥2 = 0
𝑥2 = 0
𝑥 = 0
Por lo tanto, la ecuación tiene una solución real, 𝑥 = 0.
Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎
En este caso, se aplica la factorización y se iguala cada factor a cero para despejar la variable en
cada caso. Así:
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 = 0
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
Luego, 𝑥 = 0 o 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
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𝑥 = 0 𝑎𝑥 = −𝑏
𝑥 = −𝑏
𝑎
Por lo tanto, la ecuación tiene dos soluciones reales y diferentes, 𝑥1 = 0 y 𝑥2 = −𝑏
𝑎
Ecuaciones de la forma 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎
En este caso, se despeja 𝑥 y se extrae la raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad.
𝑎𝑥2 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥2 = − 𝑐
𝑥2 = − 𝑐
𝑎
𝑥 = ± √−𝑐
𝑎
Las soluciones de la ecuación son 𝑥1 = − √−𝑐
𝑎 o 𝑥2 = + √−
𝑐
𝑎.
Ejemplos
Resolver las siguientes ecuaciones.
a. 3𝑥2 – 27 = 0
3𝑥2 – 27 = 0
3(𝑥2 − 9) = 0
X2 − 9 = 0
X2 = 9
√𝑥2 = √9
X = ± 3
Las soluciones son 𝑥 = 3 o 𝑥 = −3.
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B: 4𝑥 − 6𝑥2 = 0
4𝑥 − 6𝑥2 = 0
2𝑥(2 − 3𝑥) = 0
2𝑥 = 0 2 − 3𝑥 = 0
x= 0 −3𝑥 = −2
x=2
3x
Las soluciones son 𝑥 = 0 o 𝑥 =2
3.
ACTIVIDAD A DESARROLLAR
ACTIVIDAD 1.
1. Marca con una X cuales de las siguientes representaciones corresponden a funciones
cuadráticas
𝑎. 𝑦 = −𝑥2 − 4 b. 𝑦 = 𝑥2 − 7
𝑐. 𝑦 = −1
2𝑥2 + 2𝑥3 − 5 d y = −x − 𝑥2
. 𝑒. 𝑦 = −𝑥 + 3𝑥2 f. 𝑦 = −5 +8
3𝑥
2. Determina en cada caso, si la parábola abre hacia arriba o hacia abajo.
a. 𝑦 = −5𝑥 − 3𝑥2 y b, 𝑦 = −𝑥2 + 𝑥
𝑐. 𝑦 = 3𝑥 −1
2𝑥2 d. 𝑦 = 2𝑥2 − 5𝑥 + 4
e. 𝑦 = 8𝑥 + 𝑥2 f. 𝑦 = −5 − 4𝑥2
ACTIVIDAD 2.
1. Representa gráficamente las siguientes funciones y halla los ceros o
soluciones de cada una.
a. 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 3
b. 𝑦 = −𝑥2 − 8
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c. 𝑦 =2
3𝑥2
2. Observa las gráficas y determina la solución de cada función si es posible.
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos
encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar del trabajo en
casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la
plataforma (Microsotf Teams) o Whatsapp y la participación.
PROFUNDIZACIÓN
Solucionar una ecuación cuadrática significa encontrar el valor o los valores de las incognitas que
hacen verdadera la igualdad.
Graficamente, la solución de una ecuación cuadrática corresponde a los puntos de corte si los hay,
de la parábola con el eje x.
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ESTANDAR
Resuelvo problemas y simplifico
cálculos usando propiedades y
relaciones de los números reales y de
las relaciones y operaciones entre ellos.
COMPETENCIA:
Utiliza procesos inductivos y lenguaje simbólico o
algebraico para formular, proponer y resolver conjeturas
en la solución de problemas numéricos, geométricos,
métricos, en situaciones cotidianas y no cotidianas.
TEMA Y CONTENIDO
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ACTIVIDAD A DESARROLLAR
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1. Teorema de Tales
2. Polígonos Semejantes
3. Semejanza de triángulos.
4. Criterios de semejanza de triángulos
5. Escalas
CRITERIOS DE EVALUACIÓN
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Teniendo en cuenta la situación por la que estamos atravesando y el contexto en el que nos
encontramos, se tendrá en cuenta varios aspectos esenciales a la hora de evaluar el trabajo en
casa realizado por los estudiantes, como son: la responsabilidad, puntualidad, buen manejo de la
plataforma (Microsotf Teams) o Whatsapp y la participación.
PROFUNDIZACIÓN
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